Karl Menger の試み。

某大手ネット通販サイトで注文した本が届いた。

Karl Menger の "CALCULUS A Modern Approach" (Dover, paperback) である。

※ もしやと思って調べてみたら，無償で全文をオンラインで閲覧できたことが判明してしまった・・・。G○○gle さんが見つけてくれていれば・・・。(2012/4/30 付記)

3ページほどインクで汚れているので交換してもらいたい気もするのだが，交換してもらっても同じようなものしかこないかもしれないので，手放してしばらく読めないよりはと我慢することにした。
本文が読めないほどの汚れというわけでもないし・・・。

パラパラめくってみると，意外と重厚で，読み応えがありそうである。

あるサイトによると，Karl Menger は学部生に教えることを楽しんでいたらしい。彼はその経験が研究活動にも刺激を与えるという信条を抱いていたそうである。Feynman も同じような意見だったことを何か（「ご冗談でしょう，ファインマンさん」シリーズのどれか）で読んだことがある。第一級の研究者の中にはそういう意見の人が少なくないのかもしれない。

そのサイトで紹介されている "What is x?"（引用文献は Math. Gazzette の "What are x and y?" と題する論文らしいが）という高校生向けの講義の一端は，"CALCULUS" の付録で垣間見ることができるようだ。

本が届くまでの間に，"CALCULUS" よりも前に出版された "Algebra of Analysis" (1944) を web 上で見つけたので，少しページってみた。

中身はタイトルからほぼ想像された通りのものだったが，ある点では想像を超えていた。

タイトルから連想したのは，誰かが van der Waerden の言として引用していたのだったか，「初等微積分は極限の概念を使わず，完全に代数的な取り扱いが可能である」という主旨の言葉である。確かに，sin(x) を微分したら cos(x) になる，というような基本的な関数の導関数のリストと，和や積，合成に関する微分規則さえいったん認めてしまえば，導関数を求めたり，不定積分を求めるといった計算は，極限のことなどすっかり忘れて代数的に行うことができる。
そういう意見を知ったときは，そりゃそうだけど，極限概念を取り扱うのが微分積分の理論の真髄だからなぁ，と腑に落ちない気分がしたが，その後，基本的な関数の導関数のリストを「アトム」，和や積，合成関数の微分規則を「ルール」と名づけて，それらをきちんと身に付けさせるという方針を自ら編み出したのだが，それは微分計算の代数的取り扱いを前面に押し出す立場そのものだという気がしなくもない。

"Algebra of Analysis" では，2つの関数を組み合わせて新しい関数を生み出す演算として，和と積，そして合成の3種類を基本的な演算 (tri-operational algebra) として位置づけている。そこでは，関数の記号が，出力の数値と徹底して分離される。あくまでも関数に対する演算という姿勢が貫かれているのである。

その姿勢は "CALCULUS" で踏襲されている。Menger は本の写しを Einstein に送ったそうだが，Einstein はそれを絶賛したとのことである。とはいえ，手放しの賞賛というわけではなく，「ちょっとやり過ぎだと思うが」と懸念も表明したらしいが。

あまりにも斬新過ぎて Menger の試みは受け入れられずに終わってしまったそうだが，歴史の中に埋もれさせるには惜しいのではないかと思う。ちゃんと読んで，活かせるところは活かしたいと思う。

僕も関数を独立して取り扱おうと思ったことはあったが，Menger ほど徹底してその路線を追及したことはなかった。この本からは非常に多くのことを学べそうなので，わくわくしている。

【高校数学のツボ】 3乗の因数分解公式。

大した話ではないが，この間小ネタを思いついたので，記念に記しておく。

2つの文字が入った3乗の展開公式のうち，

(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)

という「中途半端展開」あるいは「部分因数分解」版が以前からのお気に入りであった。

この公式を利用すると，

a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)
=(a+b){(a+b)²-3ab}
=(a+b)(a²-ab+b²)

のように，3乗の和の因数分解が得られる。a²-ab+b² という式が (a+b)² や (a-b)² を展開した式によく似ていて，「惜しい！」と常々思っていたのだが，上に述べたような証明を見ると，(a+b)² に似て非なるものである理由が納得できるような気がする。特になぜ ab の係数が -1 のようにマイナスになるのか，そのカラクリが一目瞭然であるから，これなら忘れることはないはずである。

さて，中途半端展開版は a³+b³+c³-3abc という，「3変数の3乗」という，高校で学ぶ因数分解のうち，最も難しい部類に入る有名な因数分解公式の証明に大いに役立つ。

a³+b³+c³-3abc=(a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc
=(a+b)³+c³-3ab(a+b+c)
={(a+b)+c}³-3(a+b)c{(a+b)+c}-3ab(a+b+c)
=(a+b+c){(a+b+c)²-3(a+b)c-3ab}
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

といった具合である。

ここで，一旦話題を変えて，この因数分解をいばらの道を経由して行うことにしよう。

答えを見ると，a+b+c が因数であるらしい。そこで，x=a+b+c とおき，c=x-(a+b) を消去して得られた式が，確かに x を因数に持つことを計算で確かめてみよう。

これがいばらの道だというのは，c³ の計算において，x，a，b の3文字を含んだ式の 3 乗を計算するはめに陥るからである。また，この計算の方針としては，できる限り展開を行ってしまってから因数分解できそうかどうかを考えるという，「展開して因数分解する」という，やや矛盾に満ちた印象を受けるやり方であるから，躊躇せずに展開することにする。すると

a³+b³+c³-3abc=a³+b³+{x-(a+b)}³-3ab{x-(a+b)}
=a³+b³+{x³-3x²(a+b)+3x(a+b)²-(a+b)³}-3xab+3ab(a+b)
=x³-3x²(a+b)+3x(a+b)²-3xab
=x{x²-3x(a+b)+3(a+b)²-3ab}
=x{x²-3c(a+b)-3ab}

のようになり，後は先ほどと全く同じである。


では最初の中途半端展開に話を戻そう。

3 文字の式の因数分解として，2次式版はないだろうか？

残念ながら特に知っているものはない。せいぜい

a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)²

だけである。3乗版は紹介済みである。4乗版はどんなものであろうか？さらに，5乗版は？

これらについても，僕は答えを持ち合わせていない。何か考えられそうな気もしないでもないが，面倒そうなので試みていない。

文字が2つなら次のような中途半端展開を使って，a⁵+b⁵ の因数分解ができる。

(a+b)⁵=a⁵+b⁵+5ab(a+b)(a²-ab+b²)+10a²b²(a+b).

もっとも，n が奇数のときの xⁿ+yⁿ の因数分解については，等比数列の和の公式を利用した方がもっと見通しよく一般の奇数 n に対する公式を導きやすい。


この他，文字数と次数を連動して変化させていくという方向性も検討の余地がありそうである。

a²+b²-2ab=(a-b)²,

a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

と並べてみると，

a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-4abcd

も因数分解できるのではないかという予想が立つ。

しかし，ちょっと試してみたが，うまく行かない。

4文字4乗ともなるとお手上げである。

なお，この式を因数分解するわけではないが，うまく変形して a, b, c, d の値によらずに式の値が非負であることが示せるらしい。

いつまで続くか。

今日は昭和な日である。

まちには昭和の名曲が流れ，人々は昭和なファッションに身を包み，昭和の流行語を口にして，昭和の時代に思いを馳せる。

しかし，そんな昭和な人々は，25歳以上限定である。それにいくら昭和生まれだからと言っても，物心ついたときにはすでに平成真っ只中だった30歳前後にとってすら，昭和はもう遠い時代に違いない。

最後の昭和生まれが地球上から姿を消す頃には，昭和の日もなくなっているのではないだろうか。

というか，いつの間にみどりの日が4月29日ではなく5月4日の名称になっていたのだろう。

げに世の中の移り変わりとは激しいものよ。そしてそれにどんどんついていけなくなっている，年老いていく自分がいる。

時期が来たらシーラカンスとでも名乗ることにしよう。すでにスマートフォンの潮流にも乗り遅れているから，そう名乗れるようになる日はそれほど遠くのことではあるまい。