試行回数の期待値。

表が出る確率がp，裏が出る確率が q(=1-p) のコインを何度も投げる独立試行を考える。0<p<1 であるとしておく。


問1
初めて表が出るまでの試行回数の期待値はいくらだろうか。

n-1 回は裏が出て，n 回目に初めて表が出る確率は q^n-1p であるから，期待値は n=1 から ∞ まで nq^n-1p を足し合わせたものに等しい。
それには，qⁿ を q で微分すると nq^n-1 になることに着目して，qⁿ の n=1 から ∞ までの和 q/(1-q)(=1/(1-q)-1) を q で微分すればよい。それは 1/(1-q)² になる。したがって，それに和の各項に掛かっている p を掛けた p/(1-q)²

この推論が正しいことを実感するために，簡単な例で確かめてみよう。p=q=1/2 で考えてみると，期待値は
1*1/2+2*(1/2)²+3*(1/2)³+4*(1/2)⁴+... で求められるが，和は 1/2，1，11/8，13/8，57/32，・・・，のように，まあ p/(1-q)²=2 に近づいていきそうな気配が確かにみてとれる。


さて，本題は次の問題である。有名な問題だと思うが，ちゃんと考えていないし，答えが書かれた文献を調べたわけでもない。そのうち考えることにして，問題だけを載せておく。


問2
初めて2回連続して表が出るまでの試行回数の期待値はいくらだろうか。


問題だけ書いてもちょっとアレなので，少し様子を調べておこう。

n 回目に初めて2回連続して表が出る確率を p(n) とおく。
明らかに p(1)=0 である。

n=2 となるのは表が2回立て続けに出た場合なので，p(2)=p² である。

n=3 となるのは，裏表表の場合だけなので p(3)=p²q である。

n=4 は表裏表表と裏裏表表の場合があるので p(4)=p²q²+p³q=p²q である。ここで p+q=1 を用いた。

これだけでは様子がほとんどわからない。もう少し調べなければならないようだ。


なお，類似の問題として「初めて表が2回連続で出るか，あるいは裏が2回連続で出るまでの試行回数の期待値を求めよ」というものがある。こちらは2人が勝敗の決まるゲームを行い，2連勝したら試合終了ということにした場合，決着がつくまで平均で何試合ほど行う必要があるかを求めるという設定でよく見かける問題のような気がする。
こちらの方が考えやすいのかもしれない。

今宵は。

今宵は満月。

月光は雲に遮られて地上には届かない。
外に出て夜空を見上げていると，時折雨粒すら頬に当たる。

雨粒は，真冬のように鋭い冷たさで肌を刺すのではなく，湿り気を帯びた温かみのある大気から絞り出されてそっと肌に触れる程度である。

東京近郊は今が紅葉の盛りで，銀杏並木は黄一色となり，桜の葉は散り，ドウダンツツジや紅葉は真っ赤に染まっている。

色づいた葉がすべて落ち葉に変わる頃，寒々と突き出た木々の枝を冷たい風が吹きすさぶ冬が来る。

ノートパソコンは拡声器です。

試合を観たその日に書くべきだったのだが，機を逸してしまった。けど，書いておく。

女子バレーの決勝リーグでの日本チームの活躍はすさまじかった。

ブラジルとの闘いは，第2セットの死闘を制したものの，それで気力を使い果たしたのか，その後はミスが目立って3セット連取の逆転負けを喫した。

それにひきかえ，メダルのかかったアメリカ戦では粘り勝ちした。

ホームでの大会だったとはいえ，メダルを獲得したのはやはり快挙である。
迫田選手だけでなく，江畑選手や山口選手の名前も覚えておこうと思う。

いや～，竹下選手ってほんとスーパーセッターって感じだねぇ。拾うわ，上げるわで大活躍だった。とんでもない運動神経の持ち主だと思う。

日本選手だけでなく，他国の選手もファインプレーで楽しませてくれた。特に足でトスを上げる光景を何度か観たが，実に見事だった。

ついつい声が出てしまうほど興奮してしまうような試合ばかりで，大会期間中はたくさん楽しませてもらった。素晴らしい試合を魅せてくれた選手たちに拍手を送りたい。


※　追記。
もうひとつ書きたかったことがあったのを忘れていた。
真鍋監督から学んだこと。
それはノートPCは拡声器として使用できるということである。

あるのだろうか。

和式の便器でも，ウォシュレットを装備することは不可能ではない気がする。

ただ，どこにつけるのか，といわれると，明確には答えられそうにない。

あんまし言わないかも。

「馬鹿？」を「マジか？」と読めなくもないかと，なかなかナイスなことを思いついた。
けれども，「マジで？」とはよく言うけど「マジか？」はあんまり言わないかも，と気付いた。

「マジかよ」ということはあるかな。「馬鹿よ」。ありかな。

ぞろ目。

今年最後のぞろ目。

季節はずれの。

アブラゼミの声。
確かに聞いたぞ＠大宮キャンパス。

セミファイナル，だな。

どっち・・・？

昔書いたことがあるかもしれないけど，もしそうだとしてもだいぶ前だろうから，書いておく。

シンデレラがかぼちゃの馬車に戻るときに忘れたという靴は，右足用と左足用のどっち？

もちろん，両方の靴を脱いで素足で走った，という可能性もあるかもしれないけど。

Cool 過ぎる。

Hey, bros!

別の単語を検索していて偶然発見。イカしたラップでCERNの加速器の仕組みを学んじゃおうゼ。

Yo!

その名もLarge Hadron Rap！

素材は何で出来ているのか。

ひいきにしている弁当屋さんのお気に入りのメニューはツナサンドである。

ある日，いつものように店の前を通りがかり，何気なくショーケースに目をやると

ツメサンド

の文字が。

えっ？！

二度見，いや五度見くらいしてしまった。

カタカナの「ナ」が「メ」に見えてしまっただけかもしれないが，もし本気で「ツメサンド」だったら・・・。

「ツメ」は「詰め」の意で，何らかの具がたくさん詰め込まれている，ボリューム感たっぷりのサンドイッチなのか。

それとも・・・。

「ツメ」は何かの動物の「爪」なのか・・・？



なんてことを妄想してしまった。


他に可能な見間違いとしては

シナサンド

がある。ツがシに見えちゃった，というやつである。

中華風のサンドイッチ，なのか。それはそれでかなり興味があるが。
マーボーサンドとか。肉まんの具をはさんだ肉まんサンドとか。
ありそうでないな，中華サンドイッチ。いけるな，この企画。

シメサンド

しめ鯖みたいなののサンドイッチ版。保存食としてどうぞ。
あるいは，宴会とかの締めのときにお茶と一緒に召し上がれ。