先週は大型の台風26号が接近し，思わぬ大きな被害を出したが，続けてやはり非常に強い台風27号が迫っているという。
台風26号が過ぎ去った直後から風は冷たく，秋が深まった感を強めていたのだが，まだ台風シーズンが続くとは。
被災地に無慈悲な追い打ちとならないことをただただ祈るばかりである。
台風26号が過ぎ去った直後から風は冷たく，秋が深まった感を強めていたのだが，まだ台風シーズンが続くとは。
被災地に無慈悲な追い打ちとならないことをただただ祈るばかりである。
10月3日の木曜日，ある人から金木犀が咲き始めていると聞いた。
そろそろそんな時期だろうとは思っていたが，道端で金木犀の香りを嗅いだおぼえがなかったので，本当かどうかわかりかねた。
ところが翌日，近所のあちこちで金木犀の香りを確認し，前日の話は真であったと悟った。
しばし秋の香りを堪能しよう。
そろそろそんな時期だろうとは思っていたが，道端で金木犀の香りを嗅いだおぼえがなかったので，本当かどうかわかりかねた。
ところが翌日，近所のあちこちで金木犀の香りを確認し，前日の話は真であったと悟った。
しばし秋の香りを堪能しよう。
時機を逃したネタをもう一つ。
9月末に高視聴率の最終回を終えたドラマ『半沢直樹』では，次の決め台詞が用いられていた。
「やられたらやり返す。倍返しだ！」
単にやり返すだけでいいのではと思うが，わざわざ倍にして返すというのは主人公の世の中に対する憎悪の深さを感じずにはいられない。まあ，そういう批評はともかくとして，ドラマでは時々次のようなセリフも聞かれた。
「やられたらやり返す。十倍返しだ！」
ドラマがオンエアされていた時期には結構流行ったフレーズのようだが，次のようなミスをした人が果たしていなかったかどうか，気にかかって仕方がない。
「やられたらやり返す。二倍返しだ！」
わざわざそう言わんでも「倍返し」でええやん。
ところで，著名人などがこのセリフを真似したとしたらどうなるだろうか。
佐々木小次郎ならこう言っただろう。
「武蔵，受けてみよ！我が秘剣，燕返し！」
日本むかしばなしの主題歌に取り入れるなら，こうなるだろう。
「いいないいな。ニンゲンっていいな。でん，でん，でんぐり返し！」
どちらも元ネタを少しもかすっていないな。でへべろ～。
9月末に高視聴率の最終回を終えたドラマ『半沢直樹』では，次の決め台詞が用いられていた。
「やられたらやり返す。倍返しだ！」
単にやり返すだけでいいのではと思うが，わざわざ倍にして返すというのは主人公の世の中に対する憎悪の深さを感じずにはいられない。まあ，そういう批評はともかくとして，ドラマでは時々次のようなセリフも聞かれた。
「やられたらやり返す。十倍返しだ！」
ドラマがオンエアされていた時期には結構流行ったフレーズのようだが，次のようなミスをした人が果たしていなかったかどうか，気にかかって仕方がない。
「やられたらやり返す。二倍返しだ！」
わざわざそう言わんでも「倍返し」でええやん。
ところで，著名人などがこのセリフを真似したとしたらどうなるだろうか。
佐々木小次郎ならこう言っただろう。
「武蔵，受けてみよ！我が秘剣，燕返し！」
日本むかしばなしの主題歌に取り入れるなら，こうなるだろう。
「いいないいな。ニンゲンっていいな。でん，でん，でんぐり返し！」
どちらも元ネタを少しもかすっていないな。でへべろ～。
Twitter などで頻繁に使われ，一世を風靡した「～なう」はもう死語だというネット記事を見かけた。
今年の上半期に大流行した「今でしょ！」もすっかり下火だろうか。
そんな死語たちを組み合わせて，強力な流行語候補を作ってみた。
「いつやるか？なうでしょ！」
流行りそうにない。
今年の上半期に大流行した「今でしょ！」もすっかり下火だろうか。
そんな死語たちを組み合わせて，強力な流行語候補を作ってみた。
「いつやるか？なうでしょ！」
流行りそうにない。
最高気温が20℃を超えない，肌寒い一日だった。
体感温度というのはヒステリシス特性を持っているように思う。
例えば，25℃くらいの日が続いた後に20℃に落ち込むと肌寒く感じるが，15℃くらいの日々の後の20℃ならばポカポカ陽気でちょっと汗ばむくらいではないだろうか。人体が気候になじむには時間がかかる，いわば慣性を持っているからである。
今日は，もう秋冬モードだな，としみじみ思う一日だった。
トイレが近いのである。
それはもう病気かと思えるほどに頻繁にトイレに行く。一時間に一回くらいのペースである。
この気候でこのペースだとすると，本格的に寒くなったらどうなってしまうのだろうか。
そんな残念な未来のことは考えたくもない。
体感温度というのはヒステリシス特性を持っているように思う。
例えば，25℃くらいの日が続いた後に20℃に落ち込むと肌寒く感じるが，15℃くらいの日々の後の20℃ならばポカポカ陽気でちょっと汗ばむくらいではないだろうか。人体が気候になじむには時間がかかる，いわば慣性を持っているからである。
今日は，もう秋冬モードだな，としみじみ思う一日だった。
トイレが近いのである。
それはもう病気かと思えるほどに頻繁にトイレに行く。一時間に一回くらいのペースである。
この気候でこのペースだとすると，本格的に寒くなったらどうなってしまうのだろうか。
そんな残念な未来のことは考えたくもない。
数学に関する記事を最近全然書いてないので，久々に書くことにしよう。もっとも，そもそもブログの更新自体，サボり気味なのだが。
数十年前の記事だが，Davis という人の一般向けの数学雑誌 The Mathematical Gazette の記事に次のような内容のものがあった。
空間ベクトル x, y, z で作ったスカラー三重積を [x y z] と書くことにする。成分で考えると，サイクリックな置き換えに関する不変性
[x y z]=[y z x]=[z x y]
が成り立つことが容易に確かめられる。（確か，この性質はスカラー三重積の他の性質を公理に据え，それらから導くこともできたはず。）
スカラー三重積は内積や外積をもとに定義されるので，次のような性質があることもすぐに確かめられる。
(i) x, y, z のうちどれか二つを入れ替えると符号が変わるという反対称性：[x y z]=-[y x z].
(ii) x, y, z の3つの変数全てに関する線形性，つまり三重線形性：[ax+by+cz u v]=a[x u v]+b[y u v]+c[z u v], ただし，a, b, c はスカラー。
これらを用いて展開すると，3つの線型結合 a[1]x+b[1]y+c[1]z, a[2]x+b[2]y+c[2]z, a[3]x+b[3]y+c[3]z のスカラー三重積が，3次正方行列
a[1] b[1] c[1]
a[2] b[2] c[2]
a[3] b[3] c[3]
の行列式と，スカラー三重積 [x y z] の積になるということを指摘したのが，Davis 氏の記事の内容である。そのような話は，知っていそうで今まで目にしたことがなかったように思う。
計算規則に従って素直に展開すれば確かにそうなるわけだが，[x y z] も x, y, z の成分を用いて表せば，それらの成分を並べてできる行列の行列式になるわけだから，この結果を直接計算によらずにもっと別の視点から説明できないものかと考えた。そもそも，スカラー三重積の値が成分を並べた行列の行列式に一致するということ自体，当然の結果だと思えるようなとらえ方はないだろうか。
考え始めて，すぐに謎は解明された。実に簡単な話である。スカラー三重積の性質 (i)，(ii) は，行列を形作る行ベクトルたち（または列ベクトルたち）に関する行列式の性質と全く同じなのである。行列式は，行ベクトル（列ベクトル）に関して線形性と反対称性をもった関数である。したがって，スカラー三重積が行列式に一致するのは不思議でもなんでもない。むしろ必然なのである。ただし，基本ベクトルの組のスカラー三重積 [i j k] の値だけは個別に計算する必要があるが，j×k=i であることを用いれば
[i j k]=i・(j×k)=i・i=1
のように簡単に求められる。これはちょうど，単位行列の行列式の値が 1 であることに対応する。
これで話は済んだが，ここまで書いて，ふと次のことが気になった。スカラー三重積と内積をあらかじめ与えておいて，それらから外積を構成することができるだろうか。
それはそんなに難しいことではないだろう。まず，y と z を固定した時，x に [x y z] を対応させる写像は線形形式になるので，あるベクトル w を用いて
[x y z]=x・w
と表すことができる。この w は y と z を与えるごとにただ一つだけ決まるので，それを w=y×z と書くことにするのである。そうすると，この y×z という写像がベクトルの外積の性質（双線形性と反対称性）をすべて満たすことが容易に示せるだろう。そしてもちろん，スカラー三重積の版対称性から
[y y z]=-[y y z]
となるので [y y z]=0 であることが言え，y と y×z が垂直である，なんていうこともわかる。
あとは内積と合わせた三平方の定理が成り立つかどうかだが，それもなんとかなるんじゃなかろうか。
最後の吟味が不十分だが，この話はここまでとしよう。
数十年前の記事だが，Davis という人の一般向けの数学雑誌 The Mathematical Gazette の記事に次のような内容のものがあった。
空間ベクトル x, y, z で作ったスカラー三重積を [x y z] と書くことにする。成分で考えると，サイクリックな置き換えに関する不変性
[x y z]=[y z x]=[z x y]
が成り立つことが容易に確かめられる。（確か，この性質はスカラー三重積の他の性質を公理に据え，それらから導くこともできたはず。）
スカラー三重積は内積や外積をもとに定義されるので，次のような性質があることもすぐに確かめられる。
(i) x, y, z のうちどれか二つを入れ替えると符号が変わるという反対称性：[x y z]=-[y x z].
(ii) x, y, z の3つの変数全てに関する線形性，つまり三重線形性：[ax+by+cz u v]=a[x u v]+b[y u v]+c[z u v], ただし，a, b, c はスカラー。
これらを用いて展開すると，3つの線型結合 a[1]x+b[1]y+c[1]z, a[2]x+b[2]y+c[2]z, a[3]x+b[3]y+c[3]z のスカラー三重積が，3次正方行列
a[1] b[1] c[1]
a[2] b[2] c[2]
a[3] b[3] c[3]
の行列式と，スカラー三重積 [x y z] の積になるということを指摘したのが，Davis 氏の記事の内容である。そのような話は，知っていそうで今まで目にしたことがなかったように思う。
計算規則に従って素直に展開すれば確かにそうなるわけだが，[x y z] も x, y, z の成分を用いて表せば，それらの成分を並べてできる行列の行列式になるわけだから，この結果を直接計算によらずにもっと別の視点から説明できないものかと考えた。そもそも，スカラー三重積の値が成分を並べた行列の行列式に一致するということ自体，当然の結果だと思えるようなとらえ方はないだろうか。
考え始めて，すぐに謎は解明された。実に簡単な話である。スカラー三重積の性質 (i)，(ii) は，行列を形作る行ベクトルたち（または列ベクトルたち）に関する行列式の性質と全く同じなのである。行列式は，行ベクトル（列ベクトル）に関して線形性と反対称性をもった関数である。したがって，スカラー三重積が行列式に一致するのは不思議でもなんでもない。むしろ必然なのである。ただし，基本ベクトルの組のスカラー三重積 [i j k] の値だけは個別に計算する必要があるが，j×k=i であることを用いれば
[i j k]=i・(j×k)=i・i=1
のように簡単に求められる。これはちょうど，単位行列の行列式の値が 1 であることに対応する。
これで話は済んだが，ここまで書いて，ふと次のことが気になった。スカラー三重積と内積をあらかじめ与えておいて，それらから外積を構成することができるだろうか。
それはそんなに難しいことではないだろう。まず，y と z を固定した時，x に [x y z] を対応させる写像は線形形式になるので，あるベクトル w を用いて
[x y z]=x・w
と表すことができる。この w は y と z を与えるごとにただ一つだけ決まるので，それを w=y×z と書くことにするのである。そうすると，この y×z という写像がベクトルの外積の性質（双線形性と反対称性）をすべて満たすことが容易に示せるだろう。そしてもちろん，スカラー三重積の版対称性から
[y y z]=-[y y z]
となるので [y y z]=0 であることが言え，y と y×z が垂直である，なんていうこともわかる。
あとは内積と合わせた三平方の定理が成り立つかどうかだが，それもなんとかなるんじゃなかろうか。
最後の吟味が不十分だが，この話はここまでとしよう。
今日は日中は晴れ間が広がったが，台風が近づいているせいか，湿度が高く蒸し暑く感じる一日だった。
日が暮れた今は雨雲が空に広がっている。
このところ，ツクツクボウシの鳴き声は耳にするが，ミンミンゼミやアブラゼミの声をほとんど聞かない気がする。
午前中，今日あたりは鳴きだすのではないかと予想していたが，案の定昼過ぎにはアブラゼミの鳴き声が聞こえてきた。
やはり10月に入ってもまだセミは鳴いているようだ。だが，セミファイナルは，近い。
日が暮れた今は雨雲が空に広がっている。
このところ，ツクツクボウシの鳴き声は耳にするが，ミンミンゼミやアブラゼミの声をほとんど聞かない気がする。
午前中，今日あたりは鳴きだすのではないかと予想していたが，案の定昼過ぎにはアブラゼミの鳴き声が聞こえてきた。
やはり10月に入ってもまだセミは鳴いているようだ。だが，セミファイナルは，近い。
