ロボット工学・・・。

講義のことを考えると気が重くてこの時期はいつも憂鬱なのだが，そろそろ曲線のことを話さなければならない時期が来た。

空間曲線の接線，主法線，従法線（陪法線）の単位ベクトル同士の間に成り立つ Frenet-Serret の公式というやつが頭痛の種である。

これはベクトル解析の主題から見れば深入りしすぎであろう。また，曲線の曲率を扱うならば，曲面の曲率も取り上げるべきだが，それはさすがに時間が無さすぎて割愛せねばならない。

そんな中途半端な取り扱いに辟易しているのだが，ぶらーんと宙に浮いた Frenet-Serret の公式の位置づけはどうすればよいだろうか。ずっとこのことに頭を悩ませてきた。曲線の曲率と捩率をあらかじめ指定すれば，自動的に曲線が定まる，つまり，何らかの目的に沿った望ましい性質をもった曲線のデザインの仕方を与えてくれるのが Frenet-Serret の公式の意義であろうとは思っていたが，そういったニーズがどこにあるのかがわからずじまいだった。

かろうじて道路のカーブの設計に利用できそうだとは思っていたものの，詳しい利用方法はわからなかった。

しかし，やはり今はインターネット全盛の時代である。Wikipedia などでいくつかの利用方法を知った。

まず，やはり道路のカーブの設計に曲率が応用されているとのことである。曲率 0 の直線から，急に曲率が 0 でない一定値の円孤になると，カーブに入ったところでハンドルを急に回さなければならず，危険である。したがって，曲率が 0 からジワリと増えていくような，つまり，ハンドルを少しずつ回していけば済むようなカーブの曲線を設計しなければならない。曲率が進んだ距離に比例するというのが最も単純な増え方だが，そういった性質を持つ曲線をクロソイドと呼ぶんだそうな。

ところが，電車の線路はクロソイドでは保守のための計算が複雑すぎて実用的ではないので，もっと単純な仕組みを利用しているんだそうな。

この他，ロボット工学でも Frenet-Serret の公式に基づいた曲線の設計を利用しているとのことで，それは初めて知った。ちなみに，その手の robotics のテキストをちらっと覗いたら，しょっぱなから Lie 群だの Lie 代数だのという，「ど数学」の専門用語のオンパレードだったので，腰を抜かさんばかりに驚いた。機械工学系の学生がその手の講義を聞いたらチンプンカンプンだろうなあ・・・。心の底より同情を申し上げます。

今年初。

今日の日中は30℃近くまで気温が上がったらしい。

帰りに今年初のアイスを買い，家で食べているときに今年初の蚊に食われた。

蚊を叩き潰したのももちろん今年初のことである。

台風。

一ヵ月前は雪が降る寒さだったのに，今日は台風6号の進攻に怯える一日だった。日中は室内が蒸し暑かったり，日が暮れてからはかなり涼しかったりと気温の変化が堪える日々が続いている。

講義の調子はよくなかったものの，昼間は平穏に時間が過ぎて行った。夜は雨がもっともひどい時間帯に歩いて帰るという不運に見舞われたが，風が恐れていたほど吹き荒れなかったのは不幸中の幸いであった。

ところが，帰りに近所のラーメン屋に寄るつもりだったのに，ちょうど昨日から研修とのことで開いていなかった。仕方なく一番近くのコンビニに食料を仕入れに向かった。普段はもっと近いスーパーで買い物をするので，一番近いと言っても歩いて5～6分かかるそのコンビニにはしばらく立ち寄っていなかった。道すがら，こういう時に限ってコンビニが無くなってたりして，不幸は重なるものだよな，などとネガティヴなことを考えていたが，本当になくなっていた。

近場の店がじわりと減っていくばかりなのは悲しいことである。そういえば，とある回転寿司屋にGW中に行こうとして念のため店舗を検索して調べたところ，潰れてたっけなぁ。

店へのアクセスの良さに関しては改善されないどころか悪化する一方であるのは困ったことである。

Riccati の方程式に関する d'Alembert の解説。

18世紀に Riccati によって研究が始められて以来，現在もなお盛んに研究されている Riccati の方程式に関する Diderot と d'Alembert の有名な百科全書の補遺 (Supplement) に，d'Alembert が求積法によって解くことができる指数の条件に関する証明を述べていると，Riccati の方程式の歴史に詳しい Bittanti 氏の論説に書かれていたので探してみた。

件の記事はgallica のサイトで閲覧できるが，より判読しやすいきれいな画像データが阪南大学の貴重書アーカイブにあった。

探すのにそこそこ手間取ったので，忘れないようにここに記録した次第である。Bittanti 氏は参考文献として詳しく書誌情報を記載していないが，出版年と，見出しが "Ricati" になっている（本文中でも Ricati のままである）と述べているので，それを頼りに見出すことができた。Supplement の第4巻，648ページであった。

ちなみに，この百科全書ではロピタルの綴りが l'Hopital であり，ライプニッツは Leibnitz と記載されている。ロピタルは現在多くの書物で使われているのと同じ綴りであるが，当の本人が著した微分積分学のテキストには l'Hospital と綴られている。Leibnitz は今日では Leibniz が普通であるが，ドイツ語版の Leibniz に関する Wikipedia の記事から察するに，かつては Leibnitz とも綴ったらしい。

この他，d'Alembert が de la Grange（Lagrange のことと思われる）に宛てた書簡の内容と比較してみたいところであるが，そういったことはまたいずれ試みるつもりである。

スカラー三重積とベクトル三重積。III

ベクトル三重積の公式が成り立つことを成分によらずに示そうと考えていたが，どうも成分を考えた方が素直であると思えてきた。

まず，b と c は互いに垂直であると仮定しても一般性を失わない。実際，任意のスカラー k に対して

b×(c+kb)=b×c

であるから，k を b・(c+kb)=0 となるように -(b・c) と選べばよい。

同じように，任意のスカラー k に対して

{a+k(b×c)}×(b×c)=a×(b×c)

であるから，a と b×c とが互いに垂直であると仮定しても一般性を失わない。

空間の次元は3であるから，b と c とが垂直であれば b, c, b×c は空間の直交基底をなす。その結果，a が b×c に直交するならば a は b と c の1次結合で表せることになる。すなわち，

a=xb+yc

と表せる。そうすると，

a×(b×c)=xb×(b×c)+yc×(b×c)

となるが，すでにこの右辺の展開式はわかっているから，

a×(b×c)=x(b・c)b-x|b|²c+y|c|²b-y(c・b)c
=y|c|²b-x|b|²c

となる。ところで，

a・b=x|b|²,
a・c=y|c|²

であるから，示すべき公式

a×(b×c)=(a・c)b-(a・b)c

が導かれる。


こうしてみると，b と c とが張る平面内に初めから a が横たわっている場合を詳しく考察すればよかったと改めて気づく。

ちなみに，b と c とが互いに直交する単位ベクトルであれば，b と c とが張る平面内の任意のベクトル a は

a=(b・a)b+(c・a)c

と表せる。a×(b×c) はこのベクトルに垂直なので，

a×(b×c)=u{(c・a)b-(b・a)c}

と表せることが直ちにわかる。あとは大きさの比較であるが，やはりそれがネックなようだ。

a は b×c に垂直であり，b と c とは互いに直交する単位ベクトルであるから

|a×(b×c)|=|a||b×c|=|a||b||c|=|a|

である。一方，右辺の二乗は

u²|a|²

に等しい（(c・a)²+(b・a)²=|a|² であることに注意）。

したがって u=±1 であることまでは突き止められるが，どちらの符号を採用すべきかははっきりしない。

アルフケンとウェーバーの本でも同じ問題が生じているが，a と b を x 軸の正の向きの単位ベクトル，c を y 軸の正の向きの単位ベクトルにとった特別な場合の展開式から u=1 を結論している。しかしその論法は不十分であるように思える。u の絶対値は a，b，c によらずに 1 であるのは確かだが，符号は a，b，c い依存するかもしれないという可能性を排除していないからである。

ここまで考えて，ようやく証明の筋道がはっきりした。しかし，エレガントとは言い難いのが残念である。

スカラー三重積とベクトル三重積。II

2年前にある程度まとめたのだが，ベクトル三重積について補足しておく。


【スカラー三重積がベクトルのサイクリックな置き換えに関して不変であること】

まず，2つのベクトル a と b の外積について，

a・(a×b)=0

であることを認めると，

(a+b)・((a+b)×c)=0

である。ところが，左辺を展開すると

(a+b)・(a×c+b×c)
=a・(a×c)+a・(b×c)+b・(a×c)+b・(b×c)
=a・(b×c)+b・(a×c)

となるので，b・(a×c)=-b・(c×a) であることに注意して，

a・(b×c)=b・(c×a)

という，スカラー三重積の重要な性質が導かれる。


この議論は，以前にまとめたときに参照した B. Walsh の論文の他，僕が学部生時代に出会った思い出深いテキスト

P. チャドウィック (Chadwick)，連続体力学，ブレイン図書出版株式会社

の p.3 にも見られる。


【ベクトル三重積の展開公式について】

2つのベクトル a と b とが1次独立であることの必要十分条件は a×b≠0 であることは認めるものとする。

(i) b と c とが1次従属であれば，b×c=0 であり，さらにあるベクトル d とスカラー s, t を用いて b=sd, c=td と表せるから，

a×(b×c)=0,
(a・c)b-(a・b)c=ts(a・d)-st(a・d)=0

となる。したがって，この場合には

a×(b×c)=(a・c)b-(a・b)c

が成り立っている。

(ii) b と c とが1次独立であるとき，b, c, b×c は1次独立である。なぜならば，

sb+tc+rb×c=0

を満たすスカラー s, t, r について，まず両辺と b×c との内積を考えれば

0+0+r|b×c|²=0

となるが，b と c とは1次独立であるため b×c≠0 であり，したがって r=0 でなければならない。その結果，s と t は

sb+tc=0

を満たすスカラーであることになるが，再び b と c とが1次独立であるという仮定により s=t=0 を得るからである。

このように，b, c, b×c は3次元のベクトル空間における基底になっているので，

a×(b×c)=xb+yc+zb×c

と表せる。

この両辺に b×c を内積すると，先ほどと同様に z=0 であることがわかる。

さらに両辺と a との内積をとることにより，

x(a・b)+y(a・c)=0

が得られる。したがって，ある実数 w を用いて

x=u(a・c),
y=-u(a・b)

と表すことができる。

ここまでの議論は

アルフケン，ウェーバー，ベクトル・テンソルと行列（基礎物理数学第4巻），講談社

の1.5節にも見られる。同書では u=1 であることを示すのに

a×(b×c)=u{(a・c)b-(a・b)c}

の両辺の大きさを比較している。

僕が以前考えたのは，左辺と右辺の第1成分を比較して u=1 を示すという中途半端なものだったように思う。

それらに比べて簡明というわけではないが，次のような議論を新たに考案した。それを述べるにはさらなる準備が必要となる。

2つのベクトル a と b について，a×(a×b) の展開公式をまず用意する。これはベクトル三重積の特別なケースである。

a と b とが1次従属ならばこれは 0 である。

a と b とが1次独立であるとき，a, b, a×b は1次独立であって，

a×(a×b)=sa+tb+ra×b

となる。この両辺と a との内積をとれば

s|a|²+t(a・b)=0

となる。また，

b との内積により，スカラー三重積の性質を用いて左辺を

b・{a×(a×b)}=(a×b)・(b×a)=-|a×b|²

と変形すれば

s(a・b)+t|b|²=-|a×b|²,

を得る。最後にa×b との内積により r=0 がわかる。

これらのうち第1式により，ある実数 p を用いて

s=p(a・b),
t=-p|a|²

と表せるから，これを第2式に代入して

p{(a・b)²-|a|²|b|²}=-|a×b|²

となる。ところが，ベクトルの内積と外積の大きさに関する三平方の関係により，かっこ { } の中身は -|a×b|² に等しく，仮定によりこれは 0 ではないから p=1 であることがわかる。

以上により，a と b とが1次独立であるとき，

a×(a×b)=(a・b)a-|a|²b

が成り立つことがわかった。この式は a と b とが1次従属であるときにも成り立つので，a と b とは任意のベクトルで構わない。


これで準備は整った。この等式の a を a+b，b を c と書換えた

(a+b)×{(a+b)×c}=((a+b)・c)(a+b)-|a+b|²c

の両辺を展開し，さらに a×(a×c) なども同じ公式で展開した上で整理すると，最終的に

a×(b×c)+b×(a×c)=(a・c)b+(b・c)a-2(a・b)c

という等式にたどり着く。

この両辺に b を内積すると

b・{a×(b×c)}=(a・c)|b|²-(a・b)(b・c)

となるが，左辺は

b・[u{(a・c)b-(a・b)c}]=u{(a・c)|b|²-(a・b)(b・c)}

であるから，u=1 であろうと予想される。

・・・と，ここまで書いてきて，最後の詰めが甘いことに気が付いた。

(a・c)|b|²-(a・b)(b・c)≠0

であれば u=1 であることが確定するが，これが 0 であると困ってしまう。

むむー，それはもう少し考えないとわからないなぁ。

というわけで，ぐだぐだになってしまったが，ここらでひとまず筆を擱くとしよう。

衝動買い。

昨日，とある本が置いてないか本屋に立ち寄ったところ，目当ての本が無かったにもかかわらず，文庫本と新書を合わせて8冊買ってしまった。

それにしても，文庫と新書しか買っていないのに，8冊で9千円もかかるとは，ずいぶんと本が高くなったものだとつくづく思う。もっとも，今では廉価な電子版もあるのだから，そういうサービスを利用すればもっと安上がりなのかもしれない。本を置くスペースも不要だし。ただ，読み心地は電子ブックよりも圧倒的に製本された本の方がよいので，悩むところである。

夏を予感する一句。

顔洗い口に沁み込む汗の味


日中，ずいぶん汗をかくようになった。ほんの一月前は雪が降る寒さだったというのに。

夏を感じるとき。

自分の脇から夏のかほりが漂ってくる。

そんな季節になったものだなあ。

【高校数学のツボ】 内分と外分。

座標の単元で内分点や外分点の公式を取り扱う。平面または空間の2点AとBとを結ぶ直線上にある内分点や外分点の座標を考えるので，方程式で表された図形を調べる単元でこれらの公式が出てくるのは自然なことではあるが，どちらかというとベクトルの単元で取り上げるべき題材であろう。なぜならば，内分と外分は「向き」を考慮に入れなければならないからである。本稿では内分と外分のベクトル的な取り扱いを紹介する。

平面もしくは空間に異なる2点A，Bがあるとし，A を始点，B を終点とするベクトル（矢印）を AB と記すことにする。

＜内分＞

線分 AB を m：n に内分する点 P の位置は，点 A を原点とする位置ベクトルで考えると，全体は線分 AB で，その長さの m/(m+n) 倍が線分 AP の長さに等しく，ベクトル AB とベクトル AP とは同じ向きであるから

AP=(m/(m+n))AB

となる。

他の点 O を位置ベクトルの原点に選んだ場合，

OP=OA+AP=OA+(m/(m+n))AB=OA+(m/(m+n))(OB-OA)

であるから，最右辺の式を展開して整理すればお馴染みの内分点の公式が得られる。

電車通学している人に向けてたとえれば，「内分は途中下車の旅」なのである。

＜外分＞

点 P は線分 AB を m：n の比に外分するとしよう。

■ まず，m が n より大きい場合を考える。このときの点の位置関係は

A--B--P

であり，

A から P へ「大きく行き過ぎて」，
P から B へ「小さく戻る」

という状況となる。これは寝ていて降りる駅を通り過ぎ，慌てて逆向きの電車に乗って戻るという「寝過ごし」である。

AP の長さが m，PB の長さが n に相当するので，AB の長さは m-n に相当する。また，ベクトル AP とベクトル AB は同じ向きである。したがって，

AP=(m/(m-n))AB

となる。そして

OP=OA+AP=OA+(m/(m-n))AB=OA+(m/(m-n))(OB-OA)=-(n/(m-n))OA+(m/(m-n))OB

が得られる。

なお，P から B へは「戻る」ので，ベクトル PB の向きは AB とは逆向きである。したがって，この外分は

正の向きに m だけ進み，負の向きに n だけ戻る

というような動きに対応する。そこで，比に負の数も許すことにし，

「点 P は線分 AB を m：(-n) の比に内分する」

と言い表すことにする。

■■ 次に，m が n より小さい場合を考える。このときの3点の位置関係は

P--A--B

であり，

始点 A から小さく m だけ戻ってから終点 B まで n だけ大きく進む

という移動の仕方になる。間違えて反対向きの電車に乗り，途中で気が付いて正しい向きの電車に乗り換えるというおっちょこちょいのケースである。

この場合も「小さく n 戻る」というのは -m だけ移動するというようにとらえ，

AP=-(m/(-m+n))AB，

OP=OA+AP=OA-(m/(-m+n))AB=OA-(m/(-m+n))(OB-OA)=(n/(m-n))OA+(-m/(-m+n))OB

のようになる。点 P は線分 AB を -m：n の比に内分するというわけである。


このように，外分の場合は，比の大きい方の値の分だけ「進み」，小さい方の値の分だけ「戻る」のだから，大きい方の値はそのままで，小さい方の値は負号をつけて内分の公式にあてはめる，と覚えれば記憶しやすいだろう。

そして，ベクトルの内分の公式をしっかり覚えていれば，それを成分ごとに適用するだけで座標版の内分・外分の公式が得られる。こういった互いに関連の深い公式はしっかり結びつけて記憶するのが望ましい。