不合理な校則。

オレは，社会の矛盾を是正する世直しの最初の一歩として，不条理な校則で全国的に有名な富士応理高校に入学した。もちろん，校内の不条理を一掃するのが目的である。

入学手続き後，生徒手帳を手に入れたので，さっそく噂の不条理な校則にチェックを入れることにした。

校則は，『校則違反をしたものは厳罰に処す。』という一文から始まっている。

それを目にしたとたん，ヤツら，本気だな，と武者震いを覚えた。

それに続く第一条にはこう書かれていた。

『第一条　校則に従ってはならない。』

・・・？

読んですぐには意味がつかめなかった。何を言っているんだ，コレは？

第一条に従って他の校則を破ったとしても，第一条に従ってしまった時点で第一条を破ったことになってしまう。

第一条に従わなかったとすると，第一条に書かれた内容を守ったことになってしまい，結果として第一条を破ったことになる。

いきなり第一条からとてつもないのが出てきた。ぐるぐる考えているうちに，オレの頭はピーとホイッスルを鳴らし，湯気を立て始めた。

こうなると，もう，チェックを入れるどころではない。

むしろ，入れるべきはツッコミであろう。

「不条理っていうより不合理じゃん！」

そう叫んでオレは生徒手帳を床にたたきつけた。

簡単にへこたれはしない。望むところだ。敵が強大であることを確認できて，「オラ，ワクワクしてきた」といったところである。

高校に入学したら，さっそく生徒会長になってやる。そして全校生徒と結託して，まずは校則をすべてまっとうなものに改正してやる！

オレは，らんらんと目を輝かせながら，来るべき高校ライフの計画を練り始めた。

（完）

※　実は，この第一条があることで困るのは生徒だけではなく，校則に違反したかどうかを判定して処罰する側の教師も困るのである。第一条のせいで，ある生徒が校則を全て守れているのかどうか，逆に言えば，どれか一つでも破っているかどうかが誰にも判定できないからである。
これは Smullyan 氏の著書などで知った「サンチョ・パンサのパラドックス」と呼ばれるものと同種のパラドックスであろう。Wikipedia に「ワニのパラドックス」という名で同種のパラドックスが紹介されている。

多項式の係数の和を知りたいなぁ。そんなとき。

二値論理の二項演算の種類の個数について考えようとしたとき，ふと入力 x，y を入れ替えても値が変わらないような場合は1通りと数えようか，などとぼんやり考えていた。実際には x□y というに二項演算について，x と y は合わせて4通り，□は全部で16通りの種類があるから，全部で何通りだろうか，などと，何の個数を実際に数えたかったのか，我ながらよくわからないことをもやもやと考えていた。

そのとき，真面目に全部書き出してカウントするのは大変だから，もっと手っ取り早く求められないかな，と考えがわき道に逸れ始めた。

例えば二項係数 nCk の k=0 から n までの和は，(x+y)ⁿ の展開式において x=y=1 を代入すれば x や y が「消え」て係数の和だけが残るから，和は 2ⁿ だとわかる。このような考え方は，高校で習った二項分布の記憶が元である。

さて，(x+y+z)² は x，y，z の二乗は1つずつしか出て来ないものの，xy などは xy と yx を合わせて係数が 2 になる。

このことを踏まえた上で，文字 x，y，z から2つ選んで掛け合わせてできる項のうち，同類項は1種類とカウントすることにすると，全部で何通りの項が出てくるか，という問題を考えよう。

実際に数え上げればすぐに答えはわかる。1文字の二乗が全部で3種類，2文字を用いるものが全部で3種類，合計 6 種類である。

しかし，これは順列あるいは組合せの考え方で直ちにわかるというものではないように思われる。何かうまい数え方はないだろうか。

そう考えているうちに思いついたのが，次の恒等式である：

{(x+y)²+(y+z)²+(z+x)²}/2=x²+y²+z²+xy+yz+zx.

そもそもこの等式の左辺を展開したら，3つの文字から2つだけを選んで掛け合わせてできる項が全種類登場し，しかもどの項の係数も1であるということは，実際に左辺を展開してみないと確かめようがないであろう。ということは，作られる項の全部を書き出して，それらの間に "+" を書いただけに過ぎず，結局のところ直接的な数え上げと同じ作業を必要とするわけだから，数え上げよりも簡便な方法とは全く言えない代物である。そういうわけで無用の長物なのであるが，せっかくなので x=y=z=1 を代入してみると，左辺もちゃんと 6 になり，項が全部で 6 種類だということが再確認できる。

しかも，文字が 3 つだからこの恒等式が成り立つのであって，文字が4つになると，このような恒等式を探すのが難しくなってくる。というか，僕にはちょっと思いつかない。

場合分けをして，それぞれの場合について組合せの考え方を利用するのが妥当であるような気がしてきた。

そういう意味ではいまいちなアイデアであったのだが，展開公式を利用すると，係数の和の集計が楽になる別の場合も思いついたので，それを記しておく。

例えば (x+y+z)ⁿ の展開式において，z を含まない項の係数の和が知りたいとしよう。そのようなときは，x=y=1，z=0 を代入すればよい。そうすると z を含む項は 0 になって消え去り，x と y だけが出てくる項の係数の和が 2ⁿ になることがわかる。もっとも，そんなことくらいは，x+y+z を，(x+y)+z と区切って，x+y と z の二項展開を行ったものと思えば，z を含まない項は (x+y)ⁿ に他ならないこととなり，それから結局二項係数の総和になることがすぐにわかる。

ただ，この2項展開の式の x や y に具体的な数値を代入するという操作を利用すると，一見，どうやって和を求めたらよいかわからないような級数の和を一瞬で求めることができるという，面白い問題と解法が作れる。

今回はいまいち不発だったが，またいつかこの手法を応用できないか考える機会が訪れるかもしれない。

Deutsch の問題。

量子計算の分野で知らぬ人はいないであろう，世界的に有名な David Deutsch（ドイッチュ）という人がいる。

この人が（たぶん1985年に書いた論文で）述べた問題およびその解法は Deutsch の問題だとか，Deutsch のアルゴリズムという言葉で呼ばれている。

その問題は "Deutsch's algorithm" と題するサイトによると，次のようなものである。

0 または 1 を入力すると，0 か 1 のいずれかを出力する関数 f がある（そのような関数は，2通りの入力 0，1 のそれぞれに 0 か 1 かを対応させるので，2²=4 通りある）。この関数 f が定数関数（0 と 1 のどちらの入力に対しても 0 しか出力しないか，あるいは 1 しか出力しない）か，そうでないかを決定せよ。

Deutsch 氏によると，このような関数の性能を一回の測定で調べるだけで，定数関数かそうでないかを決定できるということである。

実のところきちんとした状況設定と Deutsch の解法（アルゴリズム）を理解していないので，これ以上きちんと説明はできないが，正直者か嘘つきであるかのどちらかはわからないが，いずれかである人に一つの質問をするだけで進むべき正しい道を知るという論理パズルについて話しているときに，gk 氏が教えてくれた問題である。

ちなみに，今読んでいる Smullyan 氏の本にはこの手の問題がたくさん載っているので，この類の問題を "One-question problem" （略して OQP）と呼ぶことにする。（誤解のないように断っておくと，この呼称は僕が今ここで勝手に名づけただけで，Smullyan 氏がそう呼んでいるわけではない。）

ちょうど二週間前にそこそこ使える統一的な解法を一つ見出したが，それはまた機会があれば述べることにする。

Deutsch 氏の問題と OQP が関連あるかどうかは今のところよくわからないが，Deutsch 氏の問題の答えの結論そのものは，最初聞いたときには驚いたが，今では驚きはそれほどでもない。

ポイントは，この関数の 0 に対する出力と 1 に対する出力の排他的論理和 (EXOR) の値を何らかの方法で知ることにあるようだ。けれども，問題の設定として，問題の関数 f に「訊ける」のは一回だけであって，素朴に考えると 0 か 1 かのいずれかを入力することくらいしか思いつかない。しかし，それだと，例えば 0 に対して 0 が返ってきたとしても，1 を入力したら 0 なのか 1 なのかはそれだけの情報からは全くわからない。

そこで Deutsch 氏は量子状態に特有の entanglement（エンタングルメント，「もつれ」などと訳される）という状態をうまく利用すれば，ある意味，0 と 1 を同時に関数 f に入力し，その結果の排他的論理和を観測値として手に入れることができることを示したらしい。この場合，「観測値」というのはもはや f の出力そのものではないので，別にこしらえた何らかの装置が必要なはずであるが，それがおそらく entanglment している量子状態なのだろう。

詳細は，がんばってサイト "Deutsch's algorithm" を解読して勉強することとして，なぜ驚きが薄れたかを最後に述べて締めくくることにしよう。

「古典的」には 0，1 の二種類の入力を個別に与えることしかできず，それらに対する出力だけでは f が定数関数かそうでないかの特定までには至らない。けれども，f の特性のうち，「半分」だけはわかる。
つまり，0 を入力したら 0 を出すのか，1 を出すのか，という結果により，4通りある f の可能性のうち，2通りにまで減らすことができる。

一方，「量子的」な方法によると，f が2通りある定数関数タイプのいずれかか，そうでない残りの2通りのいずれかであることがわかるという意味では，やはり4通りの可能性を半分の2通りに減らすことができるわけであるが，しかし，0 を入力したら f が 0 と 1 のいずれを出力するのか，1 に対して何を返すのかは全くわからないのである。

つまり，「はい」か「いいえ」の一つの答えでもって4通りの可能性を2通りの可能性までにしか絞れない，という点では，常識的な範疇の話であるな，という気がする。そのような捉え方をすると，それほど逆説的な結果であるようには思えないのである。

ただ，0 に対して x，1 に対して y を返す関数を [x,y] という記号で表すことにすると，普通に考えただけでは，一回の測定の結果からは

[0,0] と [0,1] のいずれかであるか，あるいは [1,0] と [1,1] のいずれかであるか

というグループ分けしかできないのに対し，Deutsch 氏の方法では

[0,0] と [1,1] のいずれかであるか，あるいは [0,1] と [1,0] のいずれかであるか

という，全く異なる組み分けを可能にするわけだから，よくそんな方法を思いついたものだなぁ，という点については，驚嘆の念が強まりこそすれ，薄まることはない。

ちなみに，旅人が道を訊くタイプの OQP では，

「村人が正直者で右の道が正しい」か「村人が嘘つきで左の道が正しい」かの，どちらであるかを知りたければ，「右の道は正しいですか」と尋ねればよい。

答えが「はい」なら，右の道が正しくて村人が正直に答えたか，あるいは右の道は間違いで，村人が嘘をついたかのいずれかだからである。こう訊けばよいことは，僕が考えた OQP の解法を利用すれば直ちにわかる。

と，思わせぶりなことを言ってみたり。

【高校数学のツボ】 商の微分公式。

2つの微分可能な関数の商として定義される関数の微分可能性と導関数は，微分可能性の定義にしたがって平均変化率の極限を考えれば同時に得られる。

ここでは，そうした真正面からの議論を展開ではなく，商の微分公式以外の強力な知識を前提としてからめ手で商の微分公式を導いてみる。（ここに述べることの一部は4ヵ月前に書いたことがある。）


1. 1/x の導関数＋積の微分公式＋合成関数の微分公式

まず，1/x の導関数が -1/x² であることと合成関数の微分公式を組み合わせて 1/g(x) の導関数が -g ' (x)/g(x)² であることを導く。

その後，f(x)/g(x) を f(x) と 1/g(x) の積とみなして積の微分公式を適用する。


2. 積の微分公式＋商が微分可能であると仮定する

h(x)=f(x)/g(x) とおく。h(x) が微分可能であることはなんらかの方法で示す必要があるが，もしそれがわかっていたとすると，分母を払って

f(x)=h(x)g(x)

とし，この両辺を微分すれば，右辺は積の微分公式により

f ' (x)=h ' (x)g(x)+h(x)g ' (x)

となるので，この式を h ' (x) について解けば

h ' (x)g(x)=f ' (x)-h(x)g ' (x)={f ' (x)g(x)-f(x)g ' (x)}/g(x)

を経て

h ' (x)={f ' (x)g(x)-f(x)g ' (x)}/g(x)²

に到達する。


3. 差の微分公式＋合成関数の微分公式＋指数関数と対数関数の導関数

h(x) は正の値のみを取る関数とする。

h(x)=e^{log h(x)} なので，

log h(x) が微分可能ならば

合成関数 e^{log h(x)} も微分可能であり，

したがって h(x) も微分可能であることになる。

f(x)，g(x) は共に正の値のみを取る関数として，h(x)=f(x)/g(x) とおくと，

log h(x)=log f(x)-log g(x)

であるが，f(x) と g(x) が微分可能であれば，

合成関数 log f(x) と log g(x) は微分可能であり，

これらの差 log f(x)-log g(x) も微分可能である。

よって h(x) も微分可能であり，

(log h(x)) ' =f ' (x)/f(x)-g ' (x)/g(x)

であって，左辺は h ' (x)/h(x) に等しいから，最終的に両辺に h(x) をかけることにより商の微分公式が得られる。

半影月食。

地球の影は本影と，そのまわりの半影からなるそうな。

本影に月が隠れてくっきり月が暗くなるのが月食で，半影に隠れるのは半影月食と言うそうな。

ピークだという午後11時半ごろに外に出て寒空を見上げたが，月のウサギさんが濃くなっているような気がする程度で，薄暗いとも思わなかった。

っていうか，「半影」という言葉に引きずられて「半分だけ影に隠れる月食」だと思ってしまったが，そういうわけではないらしい。

ちょうど空が晴れ渡って絶好の観測チャンスではあったが，まあ一応，見た，ということで満足しよう。

ほんのもじり。

Raymond Smullyan の著書 "To Mock a Mocking Bird" の第5章の最後の問題をもじってみた。
下に述べるのは，本質的にオリジナルの問題と全く同じものであって，ひねりはない。

正しいことしか言わない騎士 (knights) と，嘘しか言わない悪漢 (knaves) たちの住む島に旅行に行った。そこで出会ったある人物が，

『私が今述べていることを話すのは，これが初めてです。』

と言った。この発言から，この人物が騎士なのか悪漢なのか判別することができるだろうか？

この本からはたくさんの刺激を受けているが，問題を解くので精一杯で，自分で問題を作るには至らない。

なんとか最後まで読みきろうとは願っているのだが，第3章の床屋 (barbers) の問題にわからない問題もあるし，第4章はまだ読んでいないし・・・。

第6章に進もうとしたけど，今度は「正しいことを嘘だと思い，嘘を真だと思い込んでいる嘘つき」という新手が登場して，かなり頭が混乱してきた。

実に面白い本だが，楽しむのも一苦労である。

第5章に「Stanislaw Ulam から聞いた話」が紹介されているのだが，こんなところで Ulam の名に出くわすとは思わなかった。

Ulam は20世紀の数学界のスーパースターの一人であるが，彼の初期の頃の仕事の一つである Mazur-Ulam の定理以来，Cauchy の函数方程式関連の Hyres-Ulam の近似問題だとか，代数学では Everett との共著で "On ordered groups" という論文を書いていたりと，僕が最近興味を抱き始めた分野にことごとく顔を出すので，僕にとっては馴染みの（？）数学者の一人になりつつある。

月虹。

今日の日中は雨だったが，夜は晴れ間が広がった。

満月に近い，明るい月の光（月光）が，小さな雲にときどき遮られていた。

それを眺めているとき，月の回りに虹の輪ができているように見えた。

その現象を月虹（ゲッコウ）ということ，およびその原理を，つい最近 gk 氏から教わったばかりであった。

月のまわりにできる虹は，三角柱の形の氷の粒がちょうどプリズムの働きをして作るものらしい。

確かに上空に寒気が流れ込んでいるのかもしれない。

だからきっと，月虹や日虹は秋から冬にかけての風物詩に違いない。


※　月虹と呼ばれる光学的な現象は，大きく分けて２タイプあるようだ。ひとつは月のまわりに白い輪っかができる「白虹」で，もうひとつは，本当に月の光で空にかかって見える，太陽が作るのと同じような虹である。僕がこの記事で話題にしたのは，光源の周りにできるタイプの虹であって，光源に背を向けた状態で見える通常の虹ではない。

ひとつのアイデア。

正直なところ，僕はガ○ダムやらウェヴァンゲリウォンなどの「人型ロボットに乗って何かと戦う」といった類のアニメとは縁が薄いのだが，全く無知というわけでもない。

そこで，そういう知識を数学の授業でも生かせないかと思いついたのが，極座標の説明の仕方である。

「敵機，□時の方向に出現！距離，250！」とかいう，司令室で誰かが叫ぶ，アレはまさに極座標そのものである。

自分が極（原点）で，そこからどれだけの距離，また進路からどの方向に敵の機体だか機雷だかがあるのかを表現するというのは，まさに自己中な極座標の考え方そのものの応用である。

したがって，もし学生に「極座標って何の役に立つんですか？」と聞かれたら，上に述べたような場面で必須だと答えるつもりである。

なお，この状況では自機の移動に伴い，極と進路が時々刻々と変わる。そういう場合は数学においては moving frame，つまり動径座標と呼ばれるものに相当する。


この例えについてはたぶん過去にブログに書いたこともある。

他にもこの類の，学生に身近な（？）たとえはないかと考え続けているのだが，その一つを開発中である。

それは，行列式の Laplace 展開などと呼ばれる，あの「第○行で展開する」といった話についてのものである。

よく，敵からの攻撃に備えて，「何とかシールドを展開します。」とか，技を繰り出すためだか何かで「何々フィールド，展開！」とか司令室や操縦席で誰かが唱えるシーンがある。


斥候か何かから通信が入る。

「敵，出現！サイズは 4，名前，A と判明！全成分，分析完了！データ，転送します！」

司令長官が叫ぶ。

「4次の行列式 |A| を算出！」

で，パネルの前に張り付いている何人かのうち，先輩らしき人物が後輩らしいのに言う。

「よし，新入り，お前がやってみろ！手順は頭に入っているな？」

新入り呼ばわりされた人物は，初々しく，「ハイ！」と威勢よく返事をしたのち，作業にとりかかる。

まず，「掃出し法，始動！」と叫び，第何行に第何行の何倍を加えるだとか，汗だくになりながら掃出し計算を何度か行う。

その結果，「第2列，掃出し完了！」とコールされる。もちろんどっかの誰かが復唱する。

先輩が「これから，第2列に関して Laplace 展開！」と叫ぶ。実際の作業は新人君の仕事である。

「符号確認！」

行列の左上の (1,1) 成分から「符号変化なし」でスタートする。そうすると，右隣の (1,2) 成分は「符号変化あり」になる。その下に行くと，交互に「符号変化なし」と「符号変化あり」が割り振られる。

新入りは，パネルのスイッチをバチンバチンと音をさせながら上に入れたり下に入れたりして，符号変化を指定していく。

ときどき先輩に

「おバカッ。お前，訓練所で何を習ってきたッ。+ や - は，符号をそう置くって意味じゃなくて，『符号変化なし』，『符号変化あり』のサインだっただろうがァッ。もっぺん訓練所に入り直してこいッ。」

とか怒鳴られつつも，新人君は歯を食いしばって必死に作業をこなしていく。

で，3次の行列式の値を求めなければならない。

先輩「さあ，これからどうする？お手並み拝見と行こうか。」

新人君の回想シーン挿入：

いかつい教官：いいかぁ，お前ら，サルスで立ち向かう相手は，2次か3次だけにしておけ。4次以上のときはなぁ，サルスの方法じゃあ歯が立たねぇんだよ。間違ってサルスっちまうと，命を落とす羽目になるぞ。しっかり肝に銘じておくんだな！

回想シーン終了。

新人君の心の声：よし，相手は3次に落ちた。今ならサルスでとどめを刺せる！

新人「サルス（Sarrus. サラスともいう。）の方法で行きます！
1×(-4)×2 たす・・・。」

こうして無事に4次の行列式の値が求まる，というわけである。

吹かせたいもの。

「せ，先輩，やめてくださいッ。」

「いーじゃん。やらせてくれよ。だってオレ，先輩だよ？」

「だ，だからって，必ずしもやらなきゃいけないってことでもないと思いますッ。」

「やだよー。せっかくオレ先輩になったんだし。一度くらいはやらせてくれよ～。ってか，これって，もう実際にやっちゃってね？」

「あッ・・・，いえ，たぶん世間的に見たらまだセーフかと・・・。」

「ちぇーっ，こんなんじゃダメかぁ。なあ，いいだろ～？吹かせてみたいんだよ，先輩風ってヤツをよぉ～！」

「だ，ダメです！やめてください・・・！けど，顔だけはすっかり『先輩面』してますよっ。」

「そ，そう？エヘヘ，そっかぁ～。よーし，じゃあ，記念に今日のところはおごっちゃおっかな～。」

「えええっっっ！こ，後輩におごるだなんて，そんな，ダメですよ！それじゃあまさに先輩風を吹かせるってことじゃないですかぁ～！」


・・・何が言いたいかわからない文章だが，まあ，楽しそうにじゃれあう先輩後輩ってとこ。


先週あたりに木枯らし一号が吹いたというニュースを目にした。

くだけた感じのニュース番組だったら，「お，スタジオでは○○アナの先輩風一号が吹きましたよ。」とか，アホなキャスターがオヤジギャグを飛ばすんだろうか。
そして，その結果スタジオ内だけでなくお茶の間にも，何回目かもうわからないさぶい風が吹くのだろう。

何の略かな？

AKB は何の略？

そう，アクビ (AKuBi) ですね。


じゃあ，IBK は何でしょう？

わかりますね。イビキ (IBiKi) です。
「逢引き」じゃないですよ。間違えないように！


これはちょっと難しいかな。DBK はわかりますか？

あ，わかっちゃいましたか。そう，ドン引き (DonBiKi) ですね！


それじゃ，これは簡単かな～？KAKI はどうでしょう？

そうですね。「君，明日から来なくていいから。」(Kimi, AshitaKara Konakute Iikara) ですね。要するにクビってことです。