腫れぼったい。

本籍地の役所でなければ戸籍謄本や戸籍抄本を発行してもらえないという一般常識をうっかり忘れて，住民登録してあるところの役所に行ってしまった。

そういうわけでパスポート申請用の大事な書類がまだ手に入っていないが，写真だけは近所の証明写真の自販機（？）で準備した。

良くも悪くも僕はたいていそんな顔だなということで，写真写りに不満は特にないのだが，泣き腫らしたかのように目が腫れぼったいのはちょっと気になるところである。

この先何がどうなるか見当もつかないので，とりあえず10年用のパスポートを申請する予定なのだが，これからの10年間，「ああ，この写真を撮ったときは花粉で辛かったなぁ」といちいち思い出すのかと思うと，あまり愉快な心地はしない。


げえっ。明日戸籍抄本をゲットしてパスポートを申請しに行こうと思っていたのだが，また大荒れの天気になるらしい。行くの止めようかなぁ・・・。

字面だけでなく，機能面においても。

「パスモ」という，東京近郊の私鉄用の電子マネーがある。
切符の代わりに使用して駅の改札を通って駅の構内に入ることができる。

「タスポ」という，タバコの自販機を使用するためのカードがある。
喫煙は成年に限るので，年齢確認等のちゃんとした審査を経て発行されるものらしい。
顔写真も記載されているようだ。


海外に渡航する際に必要な「パスポート」の愛称として，「パスポ」はどうだろうか。


先に紹介した「パスモ」と「タスポ」が合体したような名前だが，実は機能面でも両者の特徴を兼ね備えているのである。


パスポを手に入れるには，それなりの申請が必要である。そして顔写真も載る。
その点はタスポと似ている。

一方，パスポを使って空港の搭乗口まで行き，国外に脱出することができる。
その点はパスポと似た機能である。


実際には，パスモもタスポも「パスポート」をもとに作られた言葉だろうから，話は逆なんだろうけどね。

非常識。

パスポートの期限が切れているので再申請しようと思っているのだが，その手続きを調べていてアホなことを思ってしまった。

パスポート用の写真の規定はなかなかうるさい。
しっかり調べてから写真を撮りに行こうと思ったのだが，調べたサイトの『不備』に気付いた。

不適当な写真の例として，以下のものも付け加えるべきではないか？

• フラッシュがまぶしくて目を閉じてしまっているもの
  
• 白目をむいているもの
  
• カラーコンタクトで目の色が変わっているもの
  
• 顔の大部分がヒゲで覆われてしまっているもの
  
• 顔の大部分がタトゥーで覆われてしまっているもの
  
• 逆立ちして撮影したもの等，上下が逆になっているもの
  
• 鏡に映った顔を撮影したもの
  
• 凸レンズなどを通して像を歪めているもの
  
• 整形前のもの
  
• そのときだけ眉毛をそり落とすなど，普段とは著しく雰囲気の違うもの
  
• ライブ用，コスプレ，戦闘用，女装・男装・仮装など，特別仕様のメイクを施してあるもの
  
• 年齢不詳になったり，ペリペリとはがれそうなほどの厚化粧がされているもの
  
• 寝起きで昨夜のパックをしたままのもの
  
• お祭りで買ったお面を被っているもの
  
• 被り物の仕事の後に脱ぎ忘れてしまっているもの
  

考えてみると，目を閉じてしまったり白目をむいているものは「平常の表情と著しく異なる」という分類に入ってしまうな。

ヒゲで顔が毛むくじゃらの場合については，実際には特に問題とはされないだろう。

ところで，カツラの着用についてはどうなのだろうか。
「装飾品等で頭の輪郭が隠れて」しまってはいけないそうだから，やはり外した状態でなければならないのだろうか。
すごく気になる。

「上下が逆になっているもの」というのは，実際に撮影したときに逆立ちをしていれば，主に髪の毛の状態などが普通とは異なったものとなっているだろうが，申請用紙に写真を貼り付ける際に上下を間違えなければなんの問題もない。

「鏡に映った自分」というのは本人と言ってよいのかいけないのか。
それはやっぱり本人ではないかな。

歯を見せて笑っている写真は実際に不適当な例に入れられているのだが，セクシーさをアピールするグラビア写真のように，ちょっと口を開き気味にしたポーズはどうだろうか。
普段から口が開けっ放しの人にとってはいつも通りなわけだから，おそらく問題はあるまい。


まあ，僕が挙げた追加例の半分くらいは，常識で考えればダメだとすぐにわかる非常識なものばかりである。


昨日は花粉のダメージをあまり受けておらず，そろそろ花粉は終わりだろうかなどと考えてしまった。

甘かった。

今朝起きたときに左目が尋常じゃないほどかゆく，無意識にかいていたようで，腫れぼったくなっていた。
そのため，左目の開き具合が通常の半分程度になってしまった。

今日は写真の撮影日にしようと思っていたので困ってしまった。

できれば花粉の季節ではなく，そういう問題が起きない時期に撮影したいものだが，急ぎのためそうもいかない。

今回，写真が不適当かどうかを考えたのは，そういう切実な問題を抱えていたからである。

深淵を垣間見た。

10年くらい前に3年間ほど Navier-Stokes 方程式の初期値境界値問題に関する数学的な理論の古典的な結果について勉強したことがある。

勉強したといっても，その分野の基礎的な結果が書かれた文献を集め，証明は当時の（今も・・・）僕の学力では理解できなかったので，どういう定理が成り立つのかだけを確認したに過ぎない。

ここ二週間ほど，当時研究していたのとほぼ同じテーマについていろいろ考えているうちに，当時仕入れた知識や，疑問に思ったことなどが記憶の淵からよみがえってきた。

当時僕は Navier-Stokes 方程式に毛が二三本生えた方程式を扱っていたのだが，ごく身近に同じ方程式を少し違ったアプローチで研究している若手がいた。

その方の論文を今になってようやく手に入れて目を通し始めたのだが，いろいろと学ばせていただいている。

僕は L² 空間をベースとした理論しか知らないのだが，その方は L^p 理論を研究されていた。
その主要な結果は，3次元の有界領域において，初期値の L³ ノルムが十分に小さければ，時間大域的な一意解が存在するというものである。
そういう枠組みにおける Navier-Stokes 方程式の研究は，Weissler (1980) あたりが始まりらしい。

Fujita-Kato (1964) では，初期値の D(A^1/4) ノルムが十分に小さいときの時間大域解の存在が示されているが，A は Stokes 作用素と呼ばれる微分作用素であり，その 1/4 乗の定義域に属するということは，初期値にある程度の微分可能性を仮定することになる。

それが気に喰わないということで，微分可能性を初期値に仮定しない理論が模索されたようであるが，その代わり，3次元の理論では L² 可積分性よりも強い可積分性を課さなければならないこととなった。
つまり，初期値を L² から取ってくるのはやはり難しいというわけである。

結局，微分可能性の代償として積分可能性を強くするわけだから，両理論の差というのは思ったほど大きくはないのかもしれない。

今回，ふとそんなことを思いついた。

例えばこんな比較ができる。

D(A^1/4) ノルムは作用素の分数ベキに関する補間不等式を利用すると，L² ノルムの 1/2 乗と H¹ ノルムの 1/2 乗の積で抑えられる。

一方，L³ ノルムはどうかというと，3次元においては Gagliardo-Nirenberg 型の不等式により，やはり L² ノルムの 1/2 乗と H¹ ノルムの 1/2 乗の積で抑えられることがわかる。

したがって，D(A^1/4) ノルムと L³ ノルムは L² ノルムと H¹ ノルムを基準に測ると，ほぼ同じくらいの大きさ（ちょうど中点あたり）であるとみてよいだろう。

もっとはっきりと，例えば D(A^1/4) が L³ に連続的に埋め込まれているというようなことは言えないだろうか？

そうすれば，D(A^1/4) ノルムを絞ると，その結果として L³ ノルムを絞ることになるので，「D(A^1/4) ノルムが小さければ時間大域解がある」という定理は，「L³ ノルムが小さければ時間大域解がある」という定理の系として得られることになる。

このような観点は当然 L^p 理論の研究者の間では常識だろうと思い，確認のため古典的な文献である Kato (1984) や Giga-Miyakawa (1985) といった論文をざっと見てみたのだが，このような問題意識が読み取れるような記述は特に見出せなかった。
これらの先人達の動機は違ったところにあるようだ。

さて，D(A^1/4) が具体的にどういう関数空間なのかという特徴付けがないと僕の疑問はこれ以上追及するのが難しいが，幸いなことに，既存の理論を組み合わせることでおおよその見通しが立った。

まず，Fujiwara (1969) の斉次 Dirichlet 境界条件付き Laplace 作用素の分数ベキの定義域の特徴づけの結果を Stokes 作用素に応用した Fujita and Morimoto (1970) の結果によると，荒っぽく言うと D(A^1/4) は分数ベキ Sobolev 空間 H^1/2 に連続的に埋め込まれるらしい。

そしてもし 分数ベキ Sobolev 空間 H^1/2 が L³ に連続的に埋め込まれるのであれば，僕の疑問はすっきり解決することとなる。

ところが，分数ベキ Sobolev 空間についての知識は僕にはほとんどない。そこで，Sobolev 空間の理論を詳しく述べた本を調べてみると，Maz'ya の "Sobolev Spaces" p.521 の Theorem がまさに僕が所望する Sobolev 型の不等式のようであった。

不等式 (10.2.2) は，n 次元空間における関数の L^q ノルムが，分数ベキ Sobolev 空間 W^s,p のノルムで上から押さえられるというものであるが，ここで，n, q, s, p の間には釣り合いの等式

q=pn(n-sp)

という条件が付いている。

ドキドキしながら今考えているケースである

n=q=3，s=1/2，p=2 を代入してみると・・・，

おお！ぴったんこじゃん！

3次元 Navier-Stokes 方程式の初期値を取ってくる関数空間として，L³ というのはある意味かなり臨界だということが今回の考察でよくわかった。

このような関数空間の包含関係がはっきりすると，単に微分可能性を仮定しなくてよい，というだけでなく，L³ 理論が D(A^1/4) 理論を真に内包しているので，前者は後者の真の拡張だとみなせることがわかる。

D(A^1/4) 理論も十分に深い理論であるが，L³ 理論はより一層深い階層に到達した理論なのだと，改めて思い知った次第である。

いや～，ホント，深いなぁ～。

最近の NS 方程式の数学的な理論では，初期値を L³ 空間よりもより「悪い」ところから取ってくるという方向により掘り下げたものがあるのだと思うが，僕はここで述べたような問題意識を得たことにより，それらの結果を自分なりに楽しめるのではないかという気がしてきた。

その道の専門家は，例えば Serrin の criterion をどのくらい弱められるか，というもっと遠大な問題意識を持っているようなのだが，独自の観点を設定して勉強するというのは，とっかかりとしては悪くはあるまい。

自分なりの問題意識を持っていないと，そもそも興味が湧かない。
また，他の人とは違う目を持っていることにより，他の人とは違う問題を見出せる可能性も出てくる。
そうした問題と運よく出会えて何らかの結果が出せれば，それはそれなりに独創的な研究だということになるだろう。

みんなと同じことをやっていてもつまらない。というか，正直なところ，競争に勝てる自信がない。
だから，そういうゲリラ的な戦法を取ろうかな，と考えている。

もっとも，主流から外れると誰も興味を持ってくれないかもしれないという危険性と隣りあわせだということは，あらかじめ覚悟の上である。