上がったり下がったり。

一昨日は，昼ごろ室温が20℃まで上がった。20℃以上になったのは今年初めてだったかもしれない。

ところが，今日の昼は雨があられに変わり，さらにはみぞれっぽくもなった。
とにかく水が凍ったものが空から降ってきたわけだが，外の気温は2℃，室温は8℃くらいだった。

花粉でくしゃみを連発するとのどがやられる。
鼻が詰まって口を開けて寝てしまうと，乾燥した空気でのどがやられる。
さらには激しい気温のアップダウンに揺さぶられるため，僕は例年，3月末に一週間ほど体調を崩す。
季節の変化が応える年頃になってしまったということである。
あと30年は生きるかもしれないので，その間ずっと季節の変化に苦しめられると考えると，「お先真っ暗」に思えてしまう。

カレンダーの問題。

【問題】

ある年の7月の金曜日は5日ある。
このとき，同じ年の8月で必ず5日あるといえる曜日は何か。


これは実際にカレンダーを書いて考えれば結構簡単に解決するのではないだろうか。


解答

31日ある月で5日ある曜日の日付は，
1日，8日，15日，22日，29日のグループIと，
2日，9日，16日，23日，30日のグループII，そして
3日，10日，17日，24日，31日のグループIIIの三種類に大別される。

7月1日が金曜日だと，7月29日も金曜日であるから，8月1日は月曜日である。
7月2日が金曜日だと，8月2日も月曜日であり，7月3日が金曜日だと，8月3日も月曜日である。

すなわち，7月の金曜日が属するグループと8月の月曜日が属するグループは同じである。

したがって，答えは月曜日である。

ちょっと気になる不等式。

x≧a，y≧a で，x+y=a+b ならば，xy≧ab が成り立つという。

なんだかちょっと不思議な気がする不等式だが，「和が一定な2つの数の積が最小となるのは，最小の数と最大の数をかけたときである」というようなニュアンス（不正確な表現ではあるが）を含んだ不等式である。

証明自体は簡単なのでぜひ試みられたい。

一応，僕が考えた証明を見えない文字で書き記しておく。

なお，同じ仮定のもとで，xy≦{(a+b)/2}² が成り立つことにも注意しておこう。


【証明】

xy-ab=xy-ay+ay-ab=(x-a)y+a(y-b)
であるが，x+y=a+b なので x-a=b-y である。
よって
(x-a)y+a(y-b)=(x-a)y-a(b-y)=(x-a)y-(x-a)a=(x-a)(y-a).
仮定より x-a≧0 かつ y-a≧0 なので xy-ab≧0 であることが示された。

なお，x と y の仮定のうち x≧a，y≧a および x+y=a+b であることしか用いなかった。
実は x≧a かつ x+y=a+b ならば 0≦x-a=b-y であることがわかる。
同様にして y≧a から x≦b であることも言える。

xy≦{(a+b)/2}² の方は次のように示せる。
c=(a+b)/2 とおくと，x+y-2c=0 だから x-c=c-y.
よって
0≦(x-c)(c-y)=-c²+(x+y)c-xy=-c²+2c²-xy=c²-xy.

なんとなく解けるものの。

x の方程式

x(x+1)=20

の解はなんだろうか？

20=4×5=4×(4+1) だから，方程式の両辺を見比べると，x=4 でいいような気がしてくる。

もちろん2次方程式だからこれ以外にも解がありそうである。

ちょっと一般化して考えてみよう。

x(x+1)=n(n+1)

のとき，これは

x²+x-n(n+1)=0

と書き換えられるが，左辺は因数分解できて

(x-n)(x+n+1)=0

となる。よって解は x=n だけでなくて x=-n-1 もある。
x=-n-1 のとき，ちょうど x+1=-n で，
x(x+1)=(-n-1)×(-n)=n(n+1)
になるというカラクリである。


では，調子に乗って3次方程式にしたらどうなるだろう？

(x-1)x(x+1)=(n-1)n(n+1)

という3次方程式の解の一つは x=n であることはすぐにわかる。

なんとなく x=-n も解になりそうな気がしないでもないが，このとき
x-1=-(n+1)，x+1=-(n-1) なので，
(x-1)x(x+1)=-(n-1)n(n+1)
となり，右辺の符号がずれてしまう。

また，例えば n が整数のとき，n=0 または n=±1 のとき以外は (x-1)x(x+1)=(n-1)n(n+1) の実数解は x=n しかないことがすぐにわかる。

4次方程式以上に拡張してもなかなか面白そうである。

x(x+1)(x+2)(x+3)=n(n+1)(n+2)(n+3)

の解はどんなものがあるだろうか？
x=n は当然のこととして，x=-n-3 も解である。
他にあるだろうか？

ちょっと不思議な対数の公式。

対数はあまり慣れていないせいか，ちょっと不思議な感じがする公式をたくさん作ることができる。

例えば次のような公式がある。

a，b を1と異なる正の数とし，ab=1 であるとする。
このとき，任意の正の数 M に対して
log_aM+log_bM=0
が成り立つ。

証明自体は簡単であるが，「え，どういうこと？」「なんで？」と狐につままれたような感じがする。
つまり，僕にとってこの公式は「冷たく」て「血が通っていない」と感じられるのである。
だからとても覚えられないし，使える場面に遭遇したとしても，そのことに気づくことすらなさそうな気がする。

ただし，そうはいっても見かけのシンプルさとインパクトによってちょっと印象に残っているのは確かである。

ちなみに，ab=1 の両辺において，M を底とする対数をとると（M≠1 という条件を追加した上で，であるが）
log_Ma+log_Mb=0
という，似て（全く）非なる公式が得られる。


真数が逆数になると対数が反数になること，つまり
log_x(1/y)=-log_xy
という公式は有名だが，底が逆数になっても対数が反数になること，つまり
log_1/xy=-log_xy
はあまり知られていないような気がする。

少なくとも僕はこの記事を書いていて初めて気がついた気がする。

結果として log_1/xy=log_x(1/y) が成り立つわけであるが，そういわれると，馴染みが薄いせいか奇妙な感じがする。

実はこの公式は
log_x^αy=log_xy^1/α
という，より一般的な公式の α=-1 という特別な場合なのであるが，このとき α=1/α が成り立っているという特殊な事情が，奇妙な感覚の源かもしれない。


なお，対数の有用性は，底を固定した上で，真数の積を対数の和に変換するという計算の簡略化であって，底を変換するという話は対数の理論の中ではどちらかというと邪道なのではないか，という気もしないではない。
もちろん，10進法で n 桁の整数が2進法で何桁（何ビット）になるか，という問題意識は，対数の底の変換そのものであるから，邪道であったとしても不要だというわけではない。

何の日だったか，という話。

2月22日は，我が家の猫，「わに」の日である。

「わに」ちゃんのあだ名が「にーにに」だからである。

もう日付が変わってしまったので昨日になるが，毎月23日は「兄さん」の日である。
残念なことに僕には兄さんがいないので，僕にとってはなんら特別な日ではない。

あっ・・・。

義兄（「ぎけい」と書いて「にい」と読む）さんが僕には一人いるんだった。

とはいえ，日ごろ特に世話になっているわけでもない義兄（「ぎけい」と書いて「あに」と読む）に何をすればよいのだろうか。

急に「姉と甥がいつも大変お世話になっております」と改めて義弟に言われても，気味悪がられるか，困惑されるだけだろう。

そうか。23日を「兄・姉」の日にすればいいだけの話だ。
いわば母の日と父の日をドッキングさせて「親の日」にしてしまうような，そんな斬新なアイデアに我ながら満足である。

よし。今後はそういうことにしよう。

もぐちゃん。

3年前には生後10ヵ月ほどで体重が2.4kgだったそうだ。
それから3年経っても体格は全く変わらず，非常に小柄である。
場合によっては生後半年くらいの子猫だと思われかねない。

先週，動物病院で見てもらったときには，体重が1.8kgだった。
つまり，以前の75％の体重になってしまったのである。

体重が50kgくらいの人だったら，その75％ということは37.5kgまでやせてしまったわけで，なんらかの治療が必要そうな感じがする。

今のところ，補液で体力が回復しつつあるのか，水も自力で飲めるようになり，えさもこれまで食べていたドライフードはまだ食べられないようだが，子猫用のキャットフードを与えるとがっつくようになった。
活性炭を食べさせ，活性炭に血中のアンモニアを吸着させて体外に排出するという食事療法（？）をすることにしたのだが，えさの表面が振りかけられた活性炭で真っ黒なのに，なんら意に介することなく，ジャリジャリ（？）と元気にえさをほおばっている。

ただ，一回の食事で食べる量は多くないので，こまめにえさを少量ずつ与えなければならないようだ。

願わくば，短くともあと10年は生きてほしいものだ。

それは早すぎる。

昨年の10月下旬に亡くなったれおての兄弟，もぐは昨年の夏から劇やせしていたので，あまり長くは生きられないかもしれないと思っていた。

けれども，やせていながらも食事はきちんと摂っているようだし，ここのところ毎日，家に帰ると，いの一番に出迎えてくれるし，僕が部屋にこもっていると不満そうに廊下で鳴くし，夜は必ず布団に入りに来ていた。

ところが，先週の木曜日の夜に僕の寝床に来なかったと思うと，翌日の金曜日に見かけたときには高い台に飛び乗れないほど衰弱していた。
そして水のみ場で水を飲みたそうにしているのに，なぜか水が飲めずにじっと佇んでいる姿は，れおての最期の姿とそっくりで，非常に心配になった。

その日の夜は布団の中でもぐを抱えて，ほとんど眠れなかった。

土曜日の午前中に近所の獣医で血液検査してもらったところ，どうも腎臓の具合が悪いらしいことがわかった。懸念していたようなれおてと同じ疾患ではなさそうであり，回復の見込みもありそうだったので一安心である。
そのときと夕方の二回，補液をしてもらった。
夜は自力で少し水が飲めるほどに回復した。

また，今朝には爪とぎをしている姿も見られ，まだまだ元気なころに比べると本調子ではないものの，回復しつつあることがわかった。
今日は一回だけ補液をしてもらい，キャットフードを与えたところ，固体はあまり食べられないようだったが，汁は舐め取っていたので，猫用のミルクやスープ状の食べ物ならば口から摂取できそうな見込みが得られた。

まだ三歳と九ヵ月くらいの若い猫なのだから，死ぬにはやはりまだ若すぎる。
それに，急すぎてとても最期の時を看取る覚悟はできそうになかったので，本当にほっとしている。

悪くなってしまった腎臓を治すことはできないそうなので，治療といっても，腎臓の負担を軽減する食事療法になる。
とりあえずガリガリの状態でなくて，もう少し肉がついてほしいものである。
高カロリー，低タンパクの食事を与えるように心がけなければならない。

マスク始めました。

鼻水が出るのは寒いせいではない。

おそらく花粉のせいである。

さっそくマスク生活を始めることにした。

マスクのへりを鼻の形に合わせられるタイプのものを使用しているが，それでもどうしても鼻息で眼鏡が曇ってしまう。
眼鏡のくもり止めを使えばいいのだろうが，これまで使用したことはない。
というか，くもり止めをどこで手に入れればいいのかよくわからないのである。
眼鏡屋に売っているのだろうが，眼鏡屋をみかけてもくもり止めを買うことはすっかり忘れているので，買えないのである。

できることならゴーグルにして花粉の眼への進入も阻止したいところだが，なかなか勇気が出せないでいる。

解決した。

最近，Wind○ws Vist○ の漢字変換機能がバカになってしまって困っていたのだが，ようやく Micr○soft IME の「プロパティ」メニューの「辞書／学習」タブにある「ユーザー辞書」の項目で辞書ツールを修復する決心がつき，実行したところ，「白い」や「等しい」がちゃんとでてくるまともな動作に戻ってくれた。

一段落である。

ユーザー辞書に自分で何かを登録していたわけではないので，修復しても失うものは何もない。
にもかかわらず，なんとなく躊躇していたが，決断して良かった。