森毅(つよし),指数・対数のはなし 異世界数学への旅案内 [新装版],東京図書,2007(第2版).
昔から僕は森毅さんのファンなのだが,著書を読んで書かれていることをきっちり理解出来たと思ったことはほとんどない。
そんなきっちり理解しようとせんで,エエカゲンでいい,と言われてしまいそうだが,肩の凝らない独特の「森毅節」で書かれた文章には,とても深遠な真理が潜んでいそうで,それが僕には量りかねて困惑しているのである。文章は決して難解ではないようなのだが,どうもわかった気がしない。
けれども,そんな気持ち悪さを解消すべく,しばらく経つと,また同じ本を読み返したりして,読むたびにどうやら少しずつでも内容の理解が深まっているように感じている。
森毅さんの著作からはたくさんのことを学びとっているつもりで,名詞としての「微分」を強調したりと,授業で扱う題材の多くは,それらの著作に負っている。
ただし,僕自身,重要なアイデアを消化し切れていないために,説明の仕方が不適切なのではないかといつも不安に感じている。
それでも,それらの著作で学んだ面白い視点をできるかぎり皆さんに伝えたいのである。
さて,今回読んだこの本は,本屋で見つけた時に迷わず買った。
授業で指数関数や対数関数について,少しでもわかりやすく教えるためのヒントが含まれているに違いないからである。
副題の通り,まさしく指数国,対数国とでも呼ぶべき異世界への旅の案内書である。
指数国や対数国の人々(?)の持っている「指数感覚」,「対数感覚」のイメージを描くのに筆が費やされている。
そこでは,普通のガイドブックである微積分の教科書では取り上げられていないような,「微分公式の裏街道」などという,ちょっとイカガワシイ臭いが漂うスポットも紹介されている。
「近似の概念は小数を扱うことで身に付く」,「小数のすぐ隣に対数の世界が広がっている」といった類の主張は,まさに目からウロコであった。
「手作り対数表」という章は,おおざっぱに2や3の常用対数(10を底とする対数)のあたりをつけようという話である。これは以前に森さんの別の著書で学んだような気がする。1 から 9 までの整数の常用対数の値の大雑把な見当をつけるという話は,例えば昨年度の数学I演習の問題として取り上げたこともある。
しかし今回しっかりと理解した(つもりの)話題は,円を用いた対数の捉え方である。おそらくこれは後半の複素関数としての指数関数の話にもどことなく通ずる考え方として導入されているのだと思うが,実は以前に『微積分の意味』という別の著書でも出会ったはずの考え方であった。今その本をパラパラとめくってみると,今回読んだ内容のダイジェストが『微積分の意味』に含まれている。どうやら忘れてしまっているが,それはその本を読んだ時に内容があまりよく分からなかったために印象に残らなかったからだろう。
その昔,電卓が普及するまでは,計算尺と呼ばれる器具が技術者の大事な計算ツールだった。
「手作り対数表」の章には,円を用いた計算尺のアイデアが記されており,脚注に実際に円形計算尺が商品化されていると書かれており,販売会社のURLまで紹介されていた。
そのサイトを見る前に,自分なりに円形計算尺を考案してみたのだが,さっきその
サイトを見てみたら,写真を見る限り,ほぼ想像通りの機構のようだった。もちろん,僕が考えていたのよりももっと高性能そうなカッコいいもので,値段が千円(と税)だというのがお手ごろでよい。
ちなみに,脚注やコラムなどは東京図書編集部(のどなたか)が作成されたものだそうで,本文を補足する人物紹介やサイトの紹介,グラフなどがあり,本書をいっそう楽しいものにするための工夫が凝らされていて好感が持てる。
ただ,ちょくちょく誤植があるのが気になるが,誤植探しも読書の醍醐味かな,と気付いたので,よしとしよう。
いろいろと発想の転換を楽しめる本である。
特に印象に残ったのは,「頭からかける筆算」。
僕が今までに知っていたのは,1の位を右端にそろえて,1の位から順に数字を掛けていく筆算の仕方だったし,無限に続く小数同士の掛け算をどう計算するのかはやったこともなかった。だが,霞の向こうに消えてしまう小数の尻尾は気にしないで,はっきり見えている先頭の数字から掛け算をしていくというのは新鮮だった。
これと同様に,野崎昭弘氏の『πの話』でついこの間知った,「昇べきの順に並べた割り算の筆算の仕方」も新鮮だったが,これもさりげなく紹介されている。
同じ計算が,並行して読み進めている結城浩氏の『数学ガール』にも出てくるので,ここ数週間の間に出会った三冊の本で三回も学んだことになる。
実は,普通の数の割り算で小数点以下の計算を続けるのと同じことを整式の割り算でやってみたら,その結果は一体何を意味するのだろうかとここ数年疑問に思っていたところだった。
そういう風に関心のある話題なので,強く印象に残るわけである。
他には,100 や 1000 の 0 の個数を「ケタ」ならぬ「ゲタ」と呼ぼう,という提案には脱帽した。
後半は複素数を導入して,指数関数と三角関数の間に密接な関連があることがわかりやすく解説されている。ここらの内容は,現行のカリキュラムでは皆さんは「解析学II」(2年後期選択)できちんと教わることになる。
後は,印象に残った文章をいくつか引用しておこう。いずれも味わい深いものばかりである。
・「指数と対数で,国際化を学ぼう。」(p.74) 国際レートは自然対数の底だそうだ。
・「歴史年表というのは,現代に影響する事件の量ではかるので,現代に近いほど,10年の寸法が長くなる。こうした意味では歴史の時間は均質に流れていない。まして,共通の尺度である人間の生のない時代を考えるとなると,これは対数直線が自然なのである。」(p.80) これは特に感銘を受けた歴史観である。
・「オモリムシ」というアイデア。(p.156) これはなかなかかわいい。これも僕にとっては発想の転換だった。
・発振回路(LCR回路)のカラクリのイメージ。(p.161) インダクタンスが慣性,抵抗が粘性抵抗,キャパシタンスがばねの伸びに対応するのは知っていたが,コンデンサが弾性を担う,という表現はなんだか新鮮に響いた。
・「学校で教わるときの悪いことのひとつは目の前に仕事がありすぎて,すぎゆく風景に目をとめるゆとりの持ちにくいことだ。」 (p.165) 最終章の言葉のひとつ。最終章には他にも,僕も教師の端くれとして真剣に考えなければならない課題がいろいろ挙げられている。
付録に銀林浩氏による,小数を世に広めたシモン・ステヴィンの著作の邦訳があるが,これも非常に興味深い読み物である。
そのまえがきの翻訳で気に入った一文がこれ。
天文学者,測量家,織物計量士,検量官,造幣官,重量測定官,およびすべての商人に,シモン・ステヴィンは挨拶を送る。
想定した読者対象に向けた著者の挨拶である。「誰々は挨拶を送る。」なんと格好いい響き!
僕もいつか,前書きにそんな文句を載せた本を書いてみたいものである。