何か全体集合 X が与えられており,その要素 x に関する,真か偽かを判定できる条件(述語函数)p(x) を考える。
この述語 p(x) を真にするような X の要素をすべて集めた,X の部分集合を P とおく。
このような集合は,確か高校数学では述語 p(x) の真理集合とか読んでいたような記憶がある。
この状況を内容的な記法で
P={x | p(x)}
のように書き表すが,よくよく考えてみると,x∈X ごとに p(x) が真であるか,あるいは偽であるかが定まるわけであるから,各 x に対する p(x) の真偽値を返す函数(写像)を value(p(x)) などと書き,真であることを簡単に value(p(x))=1;偽であることを value(p(x))=0 などと書くことにすると,
P=[x | value(p(x))=1}
と書くのがより正確なのではないかという気がする。
ちなみに,x が集合 P に属しているならば 1 を,そうでないならば 0 を返す函数は集合 P の特性函数(指示函数ともいうかもしれない)といって,通常ギリシャ文字の χ を用いて χP(x) などと書いたりするが,これはちょうど上で定めた value(p(x)) に他ならない。
そしてこのような集合 P の定め方を顧みると
P={x | x∈P}
と言っているようにも見え,これではどこぞの国の政治家の答弁の受け答えのような,実質的な内容が全くない無意味な等式に行き着く。
記者「集合 P の定義は何ですか?」
政治家「性質 p(x) を満たすものの集まりです。」
記者「では,性質 p(x) を満たしているかどうかはどうやって判断するんですか?」
政治家「それは x が集合 P に属しているかどうかで判定できます。」
記者「????」
これは完全に詭弁の類であって,対話をしている相手,ひいては国民全体を愚弄しているとしか思えない所業である。
脱線はこのくらいにして,集合 X の要素 x に関する 2 つの性質 p(x), q(x) と,各々の真理集合 P,Q が定まっているものとして話を進めよう
P に属する任意の x について q(x) も成り立つ,といった主張は数学において極めて基本的なもののひとつであるといってよいであろう。
このことは
∀x∈P q(x)
のように書かれるのが普通であるが,ここで使われている
∀x∈P
という記法は曲者である。
これは,元来 2 つの数の間の関係として定められているはずの不等号 ≦ をダラダラと続けて
1≦2≦3
と書くのと似たようなものであって,何の説明も無しにいきなり持ち出してはならない代物である。
不等式の場合は,1≦2 かつ 2≦3 と切り離して書いたものが正式な言明であって,これらの不等式をちょうど 2 のところで重ねて繋いでしまったものが 1≦2≦3 である。
ちなみに,x≦y=z のような書き方も見かけることはあると思うし,私は使っているようにも思うが,
1≦3≧2
のような書き方はちょっと見たことがない。実は意外と便利かもしれない記法であるが,常識的な感覚からするとやり過ぎだと判断されるのであろう。
また脱線が長引いてしまうが,2 次不等式 x2<1 の解は x>-1 かつ x<1 を満たす実数 x すべてであって,これら 2 つの不等式を真ん中の x で重ねて繋いだ
-1<x<1
という書き方は標準的であろうが,2 次不等式 x2>1 の解は x<-1 または 1<x であって,これら 2 つを x のところで重ねて 1<x<-1 と書いてしまっては大間違いである。
この後者は 2 つの過ちを犯している。まず一つは「または」で結ばれている 2 つの不等式を結合してしまったことである。例えば -1<x または x<1 という 2 つの不等式を結合したものは -1<x<1 となってしまうが,これは先に述べた通り,世間的には -1<x かつ x<1 のことだと受け取られ,-1<x または x<1 という条件とは異なるものである。
なお,-1<x または x<1 であるような実数 x はどんなものかというと,それはどんな実数でもよい。
こういったことを高校で 2 次不等式の単元できちんと教わる高校生はどれくらいいるかわからないし,x<-1 または 1<x をなんでまとめて 1<x<-1 と書いてはいけないか,その理由を説明できる高校生(以上の人々)がどれくらいいるかもわからないが,おそらくほぼ皆無であろう。
もう一つの過ちというのは,1<x<-1 というのは常識的には 1<x かつ x<-1 のことであると了解され,そしてこれは実数 x に関する非常識な主張になっている点である。
大小関係の推移律により,1<x かつ x<-1 ならば 1<-1 でなければならないが,これは不合理である。したがって,このような実数 x は存在し得ない。
それでは ∀x∈P という書き方の解きほぐしに入ろう。
条件への書き換えと真理集合への統一の二つの方向性のどちらも可能であるが,ここでは真理集合への書き換えを行うことにする。
∀x∈P q(x)
は,集合 P のどの要素 x も性質 q(x) を満たしている,という主張であるが,x が性質 q(x) を満たしているということは,x が述語 q(x) の真理集合 Q に属していると言い換えることができる。
したがって,お題の論理式は,集合 P のどの要素も集合 Q に属する,と言い換えることができるが,それはつまり集合 P は集合 Q の部分集合であるということに他ならない。
そしてその P⊂Q ということの定義を論理式で表したものは,通常
∀x (x∈P ⇒ x∈Q)
であろう。
ここで着目していただきたいのは,∀x と x∈P という文字列がちょうど隣接しているところである。先ほどの 1≦2 かつ 2≦3 を縮めて 1≦2≦3 としてしまったように,
∀x (x∈P
を ∀x∈P のように縮めてしまったというわけである。
ところが,ここでは意味上の区切りを明確にするために必要な ( の存在を無視している。また,⇒ の記号もなぜだか勝手に消されている。
そういえば,1≦2 かつ 2≦3 というのも,不等式の間に書かれた論理結合子「かつ」もどこかへ消え去っており,こちらもなかなかに乱暴な省略が行われていたわけである。
それでは,
∀x (x∈P ⇒ x∈Q)
を集合記述ではなく述語記述に改めよう。それは容易で,
∀x (p(x) ⇒ q(x))
となる。ところがこれだと ∀x と隣り合っているのが p(x) であって,これらを「x を重ねて繋ぐ」わけにはいかなくなる。
もっとも,これは述語を p(x) のように,述語名 p を対象 x の左側に置く左置き記法,あるいは前置記法を採用したから生じただけの形式上の問題点に過ぎず,これを (x)p あるいは xp のように後置記法にしてしまえば,ちょうど x∈P のときと事情が同じになって,
∀xp xq
のように略記が可能になるといえば,まあ,ならなくもない。
こうして,
∀x∈P q(x)
は,「正しくは」
∀x(x∈P ⇒ x∈Q)
もしくは
∀x(p(x) ⇒ q(x))
のことであったと自覚的に認識するに至った。
ここで重要なのは,重ねて繋げた略記法ではどこかに消えてしまっていた論理結合子 ⇒ が潜んでいたことである。
このことをきちんと認識していないと否定命題を作る際におかしなことをしてしまいかねない。
というか,実際におかしなことをしてしまっている学生をこれまでに何人も見てきたことが,このような問題を考えるきっかけであった。
それでは,∀x∈P q(x) の否定命題を作ってみよう。2 つの命題 s と t が論理的に同値であることを s≡t と記すことにする。
∀x∈P q(x) は ∀x(p(x) ⇒ q(x)) のことである,という述語記法の方が式変形が見やすいので,そちらでいく。
¬(∀x(p(x) ⇒ q(x)))
{全称記号と存在記号に関する de Morgan の法則}
≡ ∃x¬(p(x) ⇒ q(x))
{ ⇒ の書き換え}
≡ ∃x¬(¬p(x)∨q(x))
{de Morgan の法則}
≡ ∃x ¬¬p(x)∧¬q(x)
{二重否定の法則}
≡ ∃x p(x)∧¬q(x).
さて,p(x)∧¬q(x) というのは,x が集合 P の要素であるが,集合 Q には属さない,ということなので,いわゆる差集合 P\Q のことであるが,Q の補集合を Qc と表すとして,
∃x p(x)∧¬q(x)
を
∃x (x∈P ∧ x∈Qc)
とみれば,これは要するに積集合 P∩Qc が空集合でないことに他ならない。というわけで,
¬(∀x∈P q(x))
とは,
p(x) は充たすが q(x) ではないような x が存在する
ということであって,集合だけで記述すれば
P∩Qc=Ø
に相当する。
こうして,
P⊂Q
の否定が
P∩Qc≠Ø
であることがついでに分かったが,否定がこうなる理由は,P の要素のうちで,Q には属さないものがあること,いわば「反例」が存在すればよいわけであるから,わざわざ論理式を論理法則に従って同値変形せずとも直ちに了承されるはずの常識的な事柄であった。
なお,結果として得られた
∃x (x∈P ∧¬q(x))
を x を重ねて繋げる記法で書くと
∃x∈P ¬q(x)
となり,
∀x∈P q(x)
の否定は,∀を∃に書き換え,q(x) のところをその否定である ¬q(x) に書き換えればよい,という処方が得られる。
良く見受けられた間違いは,∀x∈P の書き換えのところを ∃∉P としてしまうものであるが,これは私の率直な感想としては致し方ない気がするのである。
実際,¬∀ は ∃¬ に書き換え,何がしかの論理式 s については,¬s は論理結合子の部分は de Morgan の法則で適切に書き換え,論理結合子で結ばれた,それ以上分解できない単項は各々その否定で置き換える,といった否定命題への書き換え規則を当てはめた場合,
¬∀x∈P q(x) を ∃x∉P ¬q(x)
と書き換えるのがむしろ規則に忠実な姿勢というべきではないだろうか。
こういった否定命題への書き換え規則まで含めて数理論理の初歩の初歩を学んだ経験を持つ大学初年級の学部学生あたりを対象に指導するとしたら,私はここで述べたような解説が妥当ではないかと考えている。
なお,このような極めて基本的かつ教育的な記法の解説が記された日本語の書籍としては,とりあえず
竹内外史:数理論理学―語の問題―(数理科学シリーズ 7),培風館 (1973)
の pp.1-2 を挙げておく。確か,これよりもっと後,つまりもっと最近書かれたもので一言注意を述べているものがあったようにも思うが,いま思い出せない。
竹内氏の本にも書かれていることであるが,私の解説を補足しておくと,
∃x∈P q(x)
というのは,
∃x (x∈P ∧ x∈Q)
もしくは
∃x (p(x) ∧ q(x))
の意味であり,p(x) であるような x の中に,さらに q(x) をも充たすものがある,といったニュアンスであって,真理集合のみで記せば
P∩Q≠Ø
ということである。先ほどは ∀x∈P q(x) の否定を考察したため,q(x) のところが ¬q(x) になったり,真理集合 Q のところがその補集合になってしまっていたわけである。
ついでに否定についても述べておくと,
∃x∈P q(x)
の否定は
∀x∈P ¬q(x)
であって,「p(x) を充たす x のうちに q(x) をも充たすものがある」ことの否定は「p(x) を充たす x のうちには,q(x) をも充たすようなものは一つもない」であることから,容易に了承されるであろう。
最後に練習問題を挙げておこう。
問題
∀x≦0 x≧-1 の否定命題を作れ。
解答
∃x≦0 x<-1
否定を作る前の命題の方は偽であり,否定命題の方は真である。
どちらにしても鍵を握っているのは -1 よりも小さい数の存在であって,そのような数の一つ,例えば -2 は否定前の命題の方が偽であることを論証する際の反例の役割を果たし,逆に否定語の命題が真であることを裏付ける物的証拠である。
この述語 p(x) を真にするような X の要素をすべて集めた,X の部分集合を P とおく。
このような集合は,確か高校数学では述語 p(x) の真理集合とか読んでいたような記憶がある。
この状況を内容的な記法で
P={x | p(x)}
のように書き表すが,よくよく考えてみると,x∈X ごとに p(x) が真であるか,あるいは偽であるかが定まるわけであるから,各 x に対する p(x) の真偽値を返す函数(写像)を value(p(x)) などと書き,真であることを簡単に value(p(x))=1;偽であることを value(p(x))=0 などと書くことにすると,
P=[x | value(p(x))=1}
と書くのがより正確なのではないかという気がする。
ちなみに,x が集合 P に属しているならば 1 を,そうでないならば 0 を返す函数は集合 P の特性函数(指示函数ともいうかもしれない)といって,通常ギリシャ文字の χ を用いて χP(x) などと書いたりするが,これはちょうど上で定めた value(p(x)) に他ならない。
そしてこのような集合 P の定め方を顧みると
P={x | x∈P}
と言っているようにも見え,これではどこぞの国の政治家の答弁の受け答えのような,実質的な内容が全くない無意味な等式に行き着く。
記者「集合 P の定義は何ですか?」
政治家「性質 p(x) を満たすものの集まりです。」
記者「では,性質 p(x) を満たしているかどうかはどうやって判断するんですか?」
政治家「それは x が集合 P に属しているかどうかで判定できます。」
記者「????」
これは完全に詭弁の類であって,対話をしている相手,ひいては国民全体を愚弄しているとしか思えない所業である。
脱線はこのくらいにして,集合 X の要素 x に関する 2 つの性質 p(x), q(x) と,各々の真理集合 P,Q が定まっているものとして話を進めよう
P に属する任意の x について q(x) も成り立つ,といった主張は数学において極めて基本的なもののひとつであるといってよいであろう。
このことは
∀x∈P q(x)
のように書かれるのが普通であるが,ここで使われている
∀x∈P
という記法は曲者である。
これは,元来 2 つの数の間の関係として定められているはずの不等号 ≦ をダラダラと続けて
1≦2≦3
と書くのと似たようなものであって,何の説明も無しにいきなり持ち出してはならない代物である。
不等式の場合は,1≦2 かつ 2≦3 と切り離して書いたものが正式な言明であって,これらの不等式をちょうど 2 のところで重ねて繋いでしまったものが 1≦2≦3 である。
ちなみに,x≦y=z のような書き方も見かけることはあると思うし,私は使っているようにも思うが,
1≦3≧2
のような書き方はちょっと見たことがない。実は意外と便利かもしれない記法であるが,常識的な感覚からするとやり過ぎだと判断されるのであろう。
また脱線が長引いてしまうが,2 次不等式 x2<1 の解は x>-1 かつ x<1 を満たす実数 x すべてであって,これら 2 つの不等式を真ん中の x で重ねて繋いだ
-1<x<1
という書き方は標準的であろうが,2 次不等式 x2>1 の解は x<-1 または 1<x であって,これら 2 つを x のところで重ねて 1<x<-1 と書いてしまっては大間違いである。
この後者は 2 つの過ちを犯している。まず一つは「または」で結ばれている 2 つの不等式を結合してしまったことである。例えば -1<x または x<1 という 2 つの不等式を結合したものは -1<x<1 となってしまうが,これは先に述べた通り,世間的には -1<x かつ x<1 のことだと受け取られ,-1<x または x<1 という条件とは異なるものである。
なお,-1<x または x<1 であるような実数 x はどんなものかというと,それはどんな実数でもよい。
こういったことを高校で 2 次不等式の単元できちんと教わる高校生はどれくらいいるかわからないし,x<-1 または 1<x をなんでまとめて 1<x<-1 と書いてはいけないか,その理由を説明できる高校生(以上の人々)がどれくらいいるかもわからないが,おそらくほぼ皆無であろう。
もう一つの過ちというのは,1<x<-1 というのは常識的には 1<x かつ x<-1 のことであると了解され,そしてこれは実数 x に関する非常識な主張になっている点である。
大小関係の推移律により,1<x かつ x<-1 ならば 1<-1 でなければならないが,これは不合理である。したがって,このような実数 x は存在し得ない。
それでは ∀x∈P という書き方の解きほぐしに入ろう。
条件への書き換えと真理集合への統一の二つの方向性のどちらも可能であるが,ここでは真理集合への書き換えを行うことにする。
∀x∈P q(x)
は,集合 P のどの要素 x も性質 q(x) を満たしている,という主張であるが,x が性質 q(x) を満たしているということは,x が述語 q(x) の真理集合 Q に属していると言い換えることができる。
したがって,お題の論理式は,集合 P のどの要素も集合 Q に属する,と言い換えることができるが,それはつまり集合 P は集合 Q の部分集合であるということに他ならない。
そしてその P⊂Q ということの定義を論理式で表したものは,通常
∀x (x∈P ⇒ x∈Q)
であろう。
ここで着目していただきたいのは,∀x と x∈P という文字列がちょうど隣接しているところである。先ほどの 1≦2 かつ 2≦3 を縮めて 1≦2≦3 としてしまったように,
∀x (x∈P
を ∀x∈P のように縮めてしまったというわけである。
ところが,ここでは意味上の区切りを明確にするために必要な ( の存在を無視している。また,⇒ の記号もなぜだか勝手に消されている。
そういえば,1≦2 かつ 2≦3 というのも,不等式の間に書かれた論理結合子「かつ」もどこかへ消え去っており,こちらもなかなかに乱暴な省略が行われていたわけである。
それでは,
∀x (x∈P ⇒ x∈Q)
を集合記述ではなく述語記述に改めよう。それは容易で,
∀x (p(x) ⇒ q(x))
となる。ところがこれだと ∀x と隣り合っているのが p(x) であって,これらを「x を重ねて繋ぐ」わけにはいかなくなる。
もっとも,これは述語を p(x) のように,述語名 p を対象 x の左側に置く左置き記法,あるいは前置記法を採用したから生じただけの形式上の問題点に過ぎず,これを (x)p あるいは xp のように後置記法にしてしまえば,ちょうど x∈P のときと事情が同じになって,
∀xp xq
のように略記が可能になるといえば,まあ,ならなくもない。
こうして,
∀x∈P q(x)
は,「正しくは」
∀x(x∈P ⇒ x∈Q)
もしくは
∀x(p(x) ⇒ q(x))
のことであったと自覚的に認識するに至った。
ここで重要なのは,重ねて繋げた略記法ではどこかに消えてしまっていた論理結合子 ⇒ が潜んでいたことである。
このことをきちんと認識していないと否定命題を作る際におかしなことをしてしまいかねない。
というか,実際におかしなことをしてしまっている学生をこれまでに何人も見てきたことが,このような問題を考えるきっかけであった。
それでは,∀x∈P q(x) の否定命題を作ってみよう。2 つの命題 s と t が論理的に同値であることを s≡t と記すことにする。
∀x∈P q(x) は ∀x(p(x) ⇒ q(x)) のことである,という述語記法の方が式変形が見やすいので,そちらでいく。
¬(∀x(p(x) ⇒ q(x)))
{全称記号と存在記号に関する de Morgan の法則}
≡ ∃x¬(p(x) ⇒ q(x))
{ ⇒ の書き換え}
≡ ∃x¬(¬p(x)∨q(x))
{de Morgan の法則}
≡ ∃x ¬¬p(x)∧¬q(x)
{二重否定の法則}
≡ ∃x p(x)∧¬q(x).
さて,p(x)∧¬q(x) というのは,x が集合 P の要素であるが,集合 Q には属さない,ということなので,いわゆる差集合 P\Q のことであるが,Q の補集合を Qc と表すとして,
∃x p(x)∧¬q(x)
を
∃x (x∈P ∧ x∈Qc)
とみれば,これは要するに積集合 P∩Qc が空集合でないことに他ならない。というわけで,
¬(∀x∈P q(x))
とは,
p(x) は充たすが q(x) ではないような x が存在する
ということであって,集合だけで記述すれば
P∩Qc=Ø
に相当する。
こうして,
P⊂Q
の否定が
P∩Qc≠Ø
であることがついでに分かったが,否定がこうなる理由は,P の要素のうちで,Q には属さないものがあること,いわば「反例」が存在すればよいわけであるから,わざわざ論理式を論理法則に従って同値変形せずとも直ちに了承されるはずの常識的な事柄であった。
なお,結果として得られた
∃x (x∈P ∧¬q(x))
を x を重ねて繋げる記法で書くと
∃x∈P ¬q(x)
となり,
∀x∈P q(x)
の否定は,∀を∃に書き換え,q(x) のところをその否定である ¬q(x) に書き換えればよい,という処方が得られる。
良く見受けられた間違いは,∀x∈P の書き換えのところを ∃∉P としてしまうものであるが,これは私の率直な感想としては致し方ない気がするのである。
実際,¬∀ は ∃¬ に書き換え,何がしかの論理式 s については,¬s は論理結合子の部分は de Morgan の法則で適切に書き換え,論理結合子で結ばれた,それ以上分解できない単項は各々その否定で置き換える,といった否定命題への書き換え規則を当てはめた場合,
¬∀x∈P q(x) を ∃x∉P ¬q(x)
と書き換えるのがむしろ規則に忠実な姿勢というべきではないだろうか。
こういった否定命題への書き換え規則まで含めて数理論理の初歩の初歩を学んだ経験を持つ大学初年級の学部学生あたりを対象に指導するとしたら,私はここで述べたような解説が妥当ではないかと考えている。
なお,このような極めて基本的かつ教育的な記法の解説が記された日本語の書籍としては,とりあえず
竹内外史:数理論理学―語の問題―(数理科学シリーズ 7),培風館 (1973)
の pp.1-2 を挙げておく。確か,これよりもっと後,つまりもっと最近書かれたもので一言注意を述べているものがあったようにも思うが,いま思い出せない。
竹内氏の本にも書かれていることであるが,私の解説を補足しておくと,
∃x∈P q(x)
というのは,
∃x (x∈P ∧ x∈Q)
もしくは
∃x (p(x) ∧ q(x))
の意味であり,p(x) であるような x の中に,さらに q(x) をも充たすものがある,といったニュアンスであって,真理集合のみで記せば
P∩Q≠Ø
ということである。先ほどは ∀x∈P q(x) の否定を考察したため,q(x) のところが ¬q(x) になったり,真理集合 Q のところがその補集合になってしまっていたわけである。
ついでに否定についても述べておくと,
∃x∈P q(x)
の否定は
∀x∈P ¬q(x)
であって,「p(x) を充たす x のうちに q(x) をも充たすものがある」ことの否定は「p(x) を充たす x のうちには,q(x) をも充たすようなものは一つもない」であることから,容易に了承されるであろう。
最後に練習問題を挙げておこう。
問題
∀x≦0 x≧-1 の否定命題を作れ。
解答
∃x≦0 x<-1
否定を作る前の命題の方は偽であり,否定命題の方は真である。
どちらにしても鍵を握っているのは -1 よりも小さい数の存在であって,そのような数の一つ,例えば -2 は否定前の命題の方が偽であることを論証する際の反例の役割を果たし,逆に否定語の命題が真であることを裏付ける物的証拠である。