「ｐなければｑなし」ってどういうこと？（３）

　既に述べたように、二人が致死量の毒を盛った場合は、「ｐ１がなければｑなし」にはならないし、「ｐ２がなければｑなし」ともならない。裏が成立しないのである。これは、私に言わせれば、数学論理的に、「命題」に対する「裏」が必ずしも真ではないことに由来するものと思っており、「裏」からの説明の限界（あるいは不十分さ）の現れなのである。

　ではどうするか。
　「ｐなければｑなし」という条件式を、次のような言葉に置き換えてみたらどうか。つまり、

　「ｑなしとするにはｐがあってはならない」
あるいは
　「現に生じたｑという人の死を避けるには、ｐという行為があってはならない」

という条件式に置き換えるのである。
　もっと簡単に言えば「ｑなければｐなし」ということであり、上記条件式は、これを因果関係的にわかりやすく表現したものである。実はこの表現は、「ｐなければｑなし」という表現に対して「逆」の関係にあり、もっと言えば、本来の命題たるべき「ｐあればｑあり」との関係で数学論理的に言えば、「対偶」という関係にある。「対偶」という言葉は聞き慣れないかもしれないが、「命題」に対する「裏の逆」または「逆の裏」の関係にあるのが「対偶」なのである。

　数学的証明方法に、対偶証明法という証明方法がある。これはどういうことかというと、「対偶」が真であれば必ず「命題」も真である、という一種の定理がある。「命題」と「対偶」は必ず一致するのである。その結果、命題を証明するために、その対偶関係が成立することを証明し、間接的に命題を証明することが可能なのである。
　前回のブログでも出した、
　　　ｘ＋ｙ＋ｚ≧０のとき、ｘ、ｙ、ｚのうち少なくとも一つは０以上である
という命題を証明する場合、対偶から証明でき、仮にｘ、ｙ、ｚすべてが０未満であれば（すなわち、ｑがなければ）、必ずｘ＋ｙ＋ｚ＜０となる（すなわち、かならずｐではない）。だから、ｘ＋ｙ＋ｚ≧０になるには必ずｘ、ｙ、ｚのうち少なくとも一つは０以上でなければならない（数学的には対偶が真であるから、元の命題も真である、という言い方をする）。
　これが対偶証明法の一つの典型的な例である。この証明方法を応用して因果関係の条件式を言い換えたのが、上記のように置き換えた言葉なのである。