ラグランジュ分解式の端緒

2次方程式（x^2+ax+b=0）の解の公式x=(-a±√(a^2-4b))/2に、解と係数の関係を入れると次のようになる。

x=(α+β±√((α+β)^2-4αβ))/2

解の置換α⇔βに対して不変な形になる。

ここで

√((α+β)^2-4αβ)=√((α-β)^2)

だから、

x=((α+β)±(α-β))/2=α,β

である。α-βをα+βとαβから作られる式のベキ根を用いることによって2つの解α,βを得ている。
「根を用いて根を表示しているのであるが、これが新しい考え方であった。ただし、2次方程式では、簡単すぎてその意味はよくわからない。」（『群の発見』原田耕一郎）

3次や4次方程式ならその意味は分かりやすいということである。しかし、こちらとしては3次や4次は難解で複雑すぎて意味を見失ってしまう。それで簡単な2次方程式でその意味をたしかめるところから始めようと思う。