解の公式の見直し

2次方程式の解はαとβである。これをベキを使って解くとき、与えられた方程式を平方完成を使って解くのではなく、2つの解から作った単一の解α-βをもつ違った方程式を解くのである。これがラグランジュが踏みだした一歩である。等価な方程式だが、違った方程式に取りかえて解くのである。

いまα-βをV₁としよう。これは解の1次結合で作られたものである。１･α+(-1)･βで、ラグランジュの分解式である。１と-１は1の2乗根である。（注）

等価な方程式はこれと共役な解から作る。V₁の共役を求めると

V₁^2=(α-β)^2
より、
V₂=-(α-β)
である。

解く方程式は
(X-(α-β))(X+(α-β))=0
X^2-(α-β)^2=0
X^2=(α-β)^2（2項方程式）
となる。

(α-β)^2を具体的に求めると、(α-β)^2は対称式なので
元の2次方程式の解と係数の関係（x^2+ax+b=0）から
(α-β)^2
=(α+β)^2-4αβ
=a^2-4b
である。
α-β=±√(a^2-4b)
となる。

（注）
V₁を使うと元の解αとβは次のようになる（x^2+ax+b=0）。
α-β=V₁
α+β=-a
より、
α=(-a+V₁)/2
β=(-a-V₁)/2