2次方程式の解はαとβである。これをベキを使って解くとき、与えられた方程式を平方完成を使って解くのではなく、2つの解から作った単一の解α-βをもつ違った方程式を解くのである。これがラグランジュが踏みだした一歩である。等価な方程式だが、違った方程式に取りかえて解くのである。
いまα-βをV1としよう。これは解の1次結合で作られたものである。1・α+(-1)・βで、ラグランジュの分解式である。1と-1は1の2乗根である。(注)
等価な方程式はこれと共役な解から作る。V1の共役を求めると
V1^2=(α-β)^2
より、
V2=-(α-β)
である。
解く方程式は
(X-(α-β))(X+(α-β))=0
X^2-(α-β)^2=0
X^2=(α-β)^2(2項方程式)
となる。
(α-β)^2を具体的に求めると、(α-β)^2は対称式なので
元の2次方程式の解と係数の関係(x^2+ax+b=0)から
(α-β)^2
=(α+β)^2-4αβ
=a^2-4b
である。
α-β=±√(a^2-4b)
となる。
(注)
V1を使うと元の解αとβは次のようになる(x^2+ax+b=0)。
α-β=V1
α+β=-a
より、
α=(-a+V1)/2
β=(-a-V1)/2
いまα-βをV1としよう。これは解の1次結合で作られたものである。1・α+(-1)・βで、ラグランジュの分解式である。1と-1は1の2乗根である。(注)
等価な方程式はこれと共役な解から作る。V1の共役を求めると
V1^2=(α-β)^2
より、
V2=-(α-β)
である。
解く方程式は
(X-(α-β))(X+(α-β))=0
X^2-(α-β)^2=0
X^2=(α-β)^2(2項方程式)
となる。
(α-β)^2を具体的に求めると、(α-β)^2は対称式なので
元の2次方程式の解と係数の関係(x^2+ax+b=0)から
(α-β)^2
=(α+β)^2-4αβ
=a^2-4b
である。
α-β=±√(a^2-4b)
となる。
(注)
V1を使うと元の解αとβは次のようになる(x^2+ax+b=0)。
α-β=V1
α+β=-a
より、
α=(-a+V1)/2
β=(-a-V1)/2
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