楕円軌道の証明4

離心円上の任意の点Kから長軸HIに垂線KLを下ろすとき、この垂線は点Mにおいて同じ比1:√(1－e²)に分割される。これはアポロニウスの楕円に対応させた楕円軌道の証明である。これは『新天文学』（1609年）の証明で、「楕円軌道の証明1」で示した。ケプラーはその後、太陽を楕円の焦点に位置づけた。そして楕円の性質「2つの焦点から楕円上の任意の点に引かれた線分の和は、つねに長径に等しい」に対応させる証明も可能になった。こちらは「楕円軌道の証明3」でみている。
下図（「ケプラーの第1法則（楕円軌道）の証明」、山本義隆『世界の見方の転換』3）で離心円の直径をKK'（長径）とする。K、K'から長軸線に下した垂線が楕円と交わる点をM、M'とすると、

NM＋N'M=NM＋NM'=KT＋TK'=KK'

であることをみた。これは『新天文学』にはなかった証明である。しかし、これぱ幾何学的なものだったので、ここでは代数的にみておこう。
離心円の半径を1、離心率をeとする。また、NとN'は焦点である。NM＋N'M＝2を証明する。

△MNLに着目して、
NM²＝NL²＋ML²
ここで
NL＝e＋cosβ
ML＝√(1－e²)･sinβ　　（注）
より、
NM²
＝(e＋cosβ) ²＋(1－e²)sin²β
＝e²＋2ecosβ＋cos²β＋sin²β－e²sin²β
ここでcos²β＋sin²β＝1だから、
＝1＋2ecosβ＋e²(1－sin²β)
＝1＋2ecosβ＋e²cos²β
＝(1＋ecosβ)²
したがって、
NM＝1＋ecosβ

同じように、△MN'Lに着目して、
N'M²＝N'L²＋ML²
ここで
N'L＝e－cosβ
ML＝√(1－e²)･sinβ
より、
N'M²
＝(e－cosβ) ²＋(1－e²)sin²β
＝e²＋2ecosβ＋cos²β＋sin²β－e²sin²β
＝1－2ecosβ＋e²(1－sin²β)
＝1－2ecosβ＋e²cos²β
＝(1－ecosβ)²
したがって、
N'M＝1－ecosβ

したがって、
NM＋N'M＝(1＋ecosβ)＋(1－ecosβ)＝2
点Mは2点NとN'を焦点とする楕円上の点である。

図の長径HI＝KK'と対応させておこう。

NM＝1＋ecosβ
＝KB＋BT＝KT
また、N'M＝1－ecosβ
＝K'B－ecosβ
＝K'B－BT＝K'T
したがって、
NM＋N'M＝KT＋TK'=KK'

（注）「楕円軌道の証明1」参照