対数の無限級数表示に向けて

オイラーの次の目標は、指数関数を「逆転」することにより、「きわめて自然で、しかも豊饒な対数の観念」を把握することである。導くのはニュートン・メルカトルの公式（注）
　　
である。


注　　『数の大航海』（志賀浩二著）6章参照

幾何数列と算術数列との対応から生まれてきた人工的な数、対数は不思議なことに双曲線の面積と関連してくる。数から幾何への転換である。これはヴィンセントの発見（1630年頃）によっている。

「直角双曲線の横座標が幾何数列的に増加するならば、その座標によって裁断された表面の面積は算術数列的に増加する。」 （直角双曲線の面積は横座標の対数となっている）

対数と双曲線の面積との関係はニュートンによって1660年代の半ば（1667年頃）に明確になった。ニュートンは双曲線y＝1/1＋x (x＞－1）の0からxまでの面積を無限級数と積分を使って次のように求めた。

１を1＋xで割り算して、
　　
積分して、
　　

同じ式をメルカトルが区分求積法の考えから導いている（1668年）。