幻視のなかの橋2（改訂）

４元数の考察を始めたが、途中から「幻視のなかの橋」というイメージが出てきた。幻視のなかの橋2は、すでに書いていた記事（2つの原則、2元数と3元数、3元数の積）を前提にしていたので、「幻視のなかの橋」の2としては不十分なものになっているように思えた。幻視のなかの橋2を以下のように改訂する。

幻視のなかの橋2

2.1　i²=j²=-1　
複素数の二つの元1とiは次のように表示される。元1を原点Oを中心にしてπ/2=90°回転した位置に元iがある。このiをπ/2=90°回転すると-1が得られる。複素数（2元数）a+biは実軸Re(x軸)、虚軸Im(y軸)の平面上の点(a,b)を表わす。

ハミルトンは複素数の二つの元1とiに対して垂直な第3の元jに気づいた。iがxy平面を回転するのに対して、jはxz平面を回転して－1になる。j²=-1である。j²=i²だが、jはiではない。3元数a+bi+cjは実軸Re(x軸)、虚軸Im(y軸)、虚軸I'm(z軸)の空間の点(a,b,c)と対応するのではないか。これがハミルトンの出発点だった。

図は矢野忠「四元数の発見へ」（『数学・物理通信』1巻11号）より

2.2　２つの原則
ハミルトンが複素数から類推して3元数を構想したとき、端的にいえば、2つの原則があった。
1　体の原則　加減乗除について閉じていること
2　絶対値の原則　絶対値の乗積は、乗積の絶対値に等しいこと
　 |p||q|=|pq|
複素数で2つの原則を確認しておこう。
1　かけ算（だけ）で確認する。複素数同士のかけ算の結果は複素数になる。閉じている。
(a+bi)(x+yi)=(ax-by)+(ay+bx)i
2 |p|²|q|² =|pq|²で確認する。
p=a+bi , q=x+yi,pq=(ax-by)+(ay+bx)i
(a²+b²)(x²+y²)=(ax-by) ²+(ay+bx) ²　成り立っている（ラグランジュの恒等式）。
２つの原則は複素数において成立している。
3元数a+bi+cjとx+yi+zjはどうだろうか。
注
(ax-by) ²+(ay+bx) ²
=a²x²-2abxy+b²y²+a²y²+2abxy+b²x²
=a²x²+b²y²+a²y²+b²x²
=a²(x²+y²)+b²(x²+y²)
=(a²+b²)(x²+y²)

2.3　ij=-ji=kの可能性
3元数a+bi+cjとx+yi+zjの積をみる。
(a+bi+cj)(x+yi+zj)
=(ax-by-cz)+(ay+bx)i+(az+cx)j+bzij+cyji
下線部の項によって3元数の積は3元数にはならない。ij=X+Yi+Zjと変形できるとも思えない。閉じていない。3元数は体の原則を満たしていないのである。
下線部を0とみなして、絶対値の原則と照らし合わせてみる。
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)=(ax-by-cz)²+(ay+bx) ²+(az+cx)²
この式は成り立っていない。左辺は右辺より(bz-cy)²だけ大きい。
すなわち、
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)=(ax-by-cz)²+(ay+bx) ²+(az+cx)²+(bz-cy)²
なら成り立つのである。
このbz-cyは下線部bzij+cyjiと密接に関係している。すなわち、ij=-jiと想定するとbzij+cyji=(bz-cy)ijである。
いま、3元1,i,jに加えて第4の元が見え隠れしている。ij=-ji=kとおこう。

2.4　k²=-1
i²=-1,j²=-1を基礎にk²の値を調べてみよう。
k²=(ij)²=ijij=-i(ij)j=-iijj=-i²j²=-1
i²=j²=k²=-1である。虚数単位として整合的ではないか。単独で図示すれば次のようである。

これは２元の図でiにkを重ねた図である。こちらは問題はない。
だが、1,i,jの関係と連立させて図示するとどのようになるのだろうか。

これは3元の図で1にkを重ねた図である。実軸は虚軸に隠れている。1とkは下の図では重なって見えるが、角度を変えて見ると上のように1とkは垂直である。