幻視のなかの橋4（改訂）

4　i²=j²=k²=ijk=-1

ij=-ji=kからどのようにして基本公式
i²=j²=k²=ijk=-1
が出現したのだろうか。
次の図を出発としよう。

ここは3次元で3つの軸(実軸1、虚軸i,j)が示されている。
1-i-i²は、垂直の平面を回転して-1に達する。
1-j-j²は、水平の平面を回転して-1に達する。
ここに虚軸k（第4の元k）が付け加わる。

ここでkはij=-jiによって生成すると仮定されたものである。図の青の矢印はij=k、赤の矢印はji=-kである。図は直交関係にある4つの軸（実軸1、虚軸i,j,k)を3次元で表示するため角度の関係は保存されていない。ハミルトンは、ここで1-k-k²の回転の終点を洞察したのである。

ij=-ji=kである。また、i²=-1,j²=-1である。
1　
ij=-ji=kよりijk=k²が導かれる。
ij･(-ji)
=ijk
=(ij)k
=k²
2
k²とi²=-1,j²=-1の関連が洞察される。
k²
=ij･(-ji)
=ijij
=-i(ij)j
=-iijj
=-i²j²
ここで、i²=-1,j²=-1より、
k²
=-(-1)(-1)
=-1
ijk=k²がi²とj²と同時に-1に達したとき、基本公式が誕生した。1-i-i²は垂直の平面を回転して、1-j-j²は水平の平面を回転して-1に達する。ijk=k²は斜面（垂直のようにもみえ、水平のようにもみえる平面）を回転して-1に達する。
3
すべての「虚」が「実」に変換される。
i²=j²=k²=ijk=-1

注

図はウィキペディアの記事（4元数）から拝借した。

は

と虚軸jの向きが違うが、同じ場面である。

は

と同じ場面である。見直せば、4分図（下）は8分図（上）の実軸と虚軸kが重なったものである。4分図では1-k-k²の回転は見えなかった。8分図では2つ軸が分離しているので、1-k-k²の回転をみることができる。これが改良点である。

ウィキペディアの図は矢野忠先生に教えていただいた。感謝いたします。