８月１８日付のブログで記載したように、３ＤＣＧに入門したので、スプライン曲面の技法を使って「だるま」のようなオブジェクトの３ＤＣＧモデルを作ってみたくなった。
そのための準備として、まず（ｘ，ｙ）平面上に点列Ｑ0，Ｑ1，．．．，Ｑnが与えられたときに、この点列を通過するスプライン曲線を求めることによってスプライン補間をする技法を学ぶことにした。
（ｘ，ｙ）平面上にデータ（Ｘi，Ｙj）が与えられたときに、このデータをスプラインで補間する技法については、２０１９年１月２７日付ブログ「スプライン曲線は面白い」で記載している。この技法は、ｘ軸方向に単調な曲線しか表現できないので、ｘ軸に対して単調でない曲線も表現できるようにより自由度の大きいスプライン技法の習得に挑戦することにした。
具体的には、パラメータｔを使って
ｘ＝（ｔ），ｙ＝ｇ（ｔ），０＝＜ｔ＝＜Ｔ
とおくことによって曲線を表現する。この方法は、曲線のパラメトリック表現とよばれる。
ｑ次のＢスプライン関数は、パラメータｔの関数であり、ここではＮq（ｔ）と表記することにする。
例えば、３次のＢスプライン関数Ｎ3（ｔ）は、－２＜ｔ＜２の区間に存在し、次の４つの３次曲線を連結したものである。
０＝＜ｔ＝＜１：（３ｔ＾３－６ｔ＾２＋４）／６
－１＝＜ｔ＝＜０：（－３ｔ＾３－６ｔ＾２＋４）／６
１＝＜ｔ＝＜２：－（ｔ－２）＾３／６
－２＝＜ｔ＝＜１：（ｔ＋２）＾３／６
２＝＜ｔおよび－２＝＞ｔ：０
関数Ｎ3（ｔ）は、ｔ＝－１，ｔ＝０およびｔ＝１において間数値と一次微分係数が連続な曲線になることが確かめられる。
Ｎ3（ｔ－ｊ）は、ｔ＝ｊのときＮ3（０）となる関数である。Ｎ3（ｔ－（ｊ－１））は、Ｎ3（ｔ－ｊ）を左方向に１だけシフトした関数、Ｎ3（ｔ－（ｊ＋１））は、Ｎ3（ｔ－ｊ）を右方向に１だけシフトした関数である。
（ｘ，ｙ）平面上に与えられた任意の点列Ｑ0，Ｑ1，．．．，Ｑnの各々に対応する制御点の点列Ｐ0，Ｐ1，．．．，Ｐnを考える。Ｑi，Ｐiは、原点Ｏからの位置ベクトルとみなしてよい。
Ｎ3（ｔ－ｊ）を係数とするベクトルＰjの次の線形結合をＰ（ｔ）とおくと、
Ｐ（ｔ）＝Ｎ3（ｔ＋２）Ｐ-2＋Ｎ3（ｔ＋１）Ｐ-1＋Ｎ3（ｔ－０）Ｐ0＋Ｎ3（ｔ－１）Ｐ1＋．．．＋Ｎ3（ｔ－ｊ）Ｐj＋．．．＋Ｎ3（ｔ－ｎ）Ｐn＋Ｎ3（ｔ－（ｎ＋１））Ｐn+1＋Ｎ（ｔ－（ｎ＋２））Ｐn+2 （１）
は、Ｐ0，Ｐ1，．．．，Ｐnを制御点とする３次のＢスプライン曲線を表す。ただし、Ｐ-2＝Ｐ-1＝Ｐ0，Ｐn＝Ｐn+1＝Ｐn+2とする。
ｉ＝０，１，．．．，ｎを各々ｉ＝ｎ，ｎ－１，．．．，０に変更してもＰ（ｔ）が不変でなければならないので、Ｐ（ｔ）の左端の項とＰ（ｔ）の右端の項は対称となる。
例えばｊ＝＜ｔ＝＜ｊ＋１の範囲の任意のｔについて、ゼロでない係数Ｎ3（ｔ－（ｊ－１）），Ｎ3（ｔ－ｊ），Ｎ3（ｔ－（ｊ＋１））およびＮ3（ｔ－（ｊ＋２））を重ね合わせた（加算した）ものは１になる。特にｔ＝ｊのとき、Ｎ3（ｔ－（ｊ＋２））は０であるので、前の３つの係数を加えたものが１になる。
一般には、曲線Ｐ（ｔ）：（０＝＜ｔ＝＜ｎ）のすべての係数を加えたものが１になる。ベクトルの線形結合は、係数の和が１のとき、アフィン結合とよばれる。位置ベクトルの一般の線形結合は、原点の選び方に依存する。しかし、アフィン結合は原点の選び方に依存しない。曲線Ｐ（ｔ）は、アフィン結合であるから、その回転や平行移動ばかりでなく、拡大縮小などの変形も容易に行える。言い換えれば、曲線の操作をしやすい表現形式になっているということである。
そうは言っても、与えられた点列Ｑ0，Ｑ1，．．．，Ｑnに対して制御点の点列Ｐ0，Ｐ1，．．．，Ｐnがどのような意味をもつのか理解するのはかなり難しい。簡単に言えば、与えられた点列を通過する曲線として曲線Ｐ（ｔ）を用いればよいということになる。
そこで、点列Ｑ0，Ｑ1，．．．，Ｑnが曲線Ｐ（ｔ）を通過するような制御点の点列Ｐ0，Ｐ1，．．．，Ｐnを求めればよい。この計算をＢスプライン補間とよんでいる。
この計算は、（１）式のＰ（ｔ）がｔ＝ｉのときの
Ｐ（ｉ）＝Ｑi （ｉ＝０，１，．．．，ｎ） （２）
を満たす制御点Ｐ0，Ｐ1，．．．，Ｐnを求めることになる。
３次のＢスプライン曲線の場合、Ｎ3（０）＝４／６，Ｎ3（１）＝１／６，Ｎ3（ｉ）＝０（ｉ＝＜２）である。したがって、（２）式は、１＝＜ｉ＝＜ｎ－１に対しては
（Ｐi-1＋４Ｐi＋Ｐi+1）／６＝Ｑi （３）
となり、ｉ＝０，ｎに対してはＰ-1＝Ｐ0，Ｐn＝Ｐn+1であるから
（５Ｐ0＋Ｐ1）／６＝Ｑ0 （４）
（Ｐn-1＋５Ｐn）／６＝Ｑn （５）
となる。
（３）～（５）式は、Ｐ0，Ｐ1，．．．，Ｐnのｘ座標を変数とする連立方程式、ｙ座標を変数とする連立方程式からなる。したがって、それぞれ解けば、Ｐ0，Ｐ1，．．．，Ｐnを求めることができる。
次に、（１）式を（ｉ；０＝＜ｔ＜１）の区間ごとに切り分けることにし、必要に応じて関数Ｎ3（ｔ）を各区間に適用できるような形式に変形する。
ｆ1＝（３ｔ＾３－６ｔ＾２＋４）／６
ｆ2＝｛－３（ｔ－１）＾３－６（ｔ－１）＾２＋４｝／６
ｆ3＝－（ｔ－１）＾３／６
ｆ4＝ｔ＾３／６
そうすると、各区間のＰ（ｔ）は、次に示す４つの項の重ね合わせとして表記できる。
Ｐ（ｔ）＝ｆ3Ｐ-1＋ｆ1Ｐ0＋ｆ2Ｐ1＋ｆ4Ｐ2 （ｉ＝０；０＝＜ｔ＜１）
Ｐ（ｔ）＝ｆ3Ｐ0＋ｆ1Ｐ1＋ｆ2Ｐ2＋ｆ4Ｐ3 （ｉ＝１；０＝＜ｔ＜１）
．．．
Ｐ（ｔ）＝ｆ3Ｐn-2＋ｆ1Ｐn-1＋ｆ2Ｐn＋ｆ4Ｐn+1 （ｉ＝ｎ－１；０＝＜ｔ＜１）
ここでは、Ｑ0とＱnで生じる可能性のあるオーバーシュートを避けるために、Ｐ-2とＰn+2の項をもつ（ｉ＝－１；０＝＜ｔ＜１）と（ｉ＝ｎ；０＜ｔ＜１）の区間のＰ（ｔ）を計算しないことにした。
Ｅｘｃｅｌを用いてスプライン曲線でだるまを描くことにした。
だるまの中心線に沿ってｙ軸をとる。だるま全体の輪郭はこの中心線に関して左右対称とする。だるまの台の最下端を原点にとる。全体像の右輪郭線をＰ0，Ｐ1，．．．，Ｐ5の６点で表現する。ここでＱ0とＱ5はｙ軸上に設定する。左輪郭線のＰ0，Ｐ1，．．．，Ｐ5は、右輪郭線の対応するＰiのｘ座標値を反転したものになるはずである。対応するＰiのｙ座標値は変わらない。問題は、点Ｑ0とＱ5において左右の輪郭線がなめらかに連結するか否かということになる。
だるまの顔の輪郭線についても、同様に左右対称とし、右輪郭線を６点で表現し、左輪郭線はその左対称線とした。だるまが乗る台の輪郭線も、同様に左右対称とし、３点で表現した。だるまの口も３点で表現できる。
だるまの全体像の最下部は直線状をしているので、曲線で表現できない。直線で表現して上部の曲線に接続することにした。だるまが乗る台も同様に直線部分は直線とし、下部の曲線に接続した。
だるまの目玉は、円で表現することにした。目玉の色を黒色にするために、グラフの系列を変える。
Ｅｘｃｅｌの表で必要な列は、ｔの刻みをつくる列、ｘの列、系列１のｙ列、系列２のｙ列の４列だけである。
下図は、出来上がっただるまのイラストである。
スプライン曲線でイラストのような図形を描くとき、その計算の準備や計算結果をグラフ表示して意図するような図形に修正する作業の手間ひまは大きい。今回作業の目的は、スプライン曲線を使ってこのような図形を描けることを確認することにあった。
ただ、一つの図形を描くための作業量は大きいが、図形が一つできれば、それを別の場所に移動することは比較的容易にできる。したがって、同じ図形の繰り返しパターンをもつ模様などには有効に利用できるのではなかろうか。
参考文献
杉原厚吉著「形と動きの数理」（東京大学出版会）
杉原厚吉著「インターネット時代の数学―グラフィックスのための幾何学」（共立出版）
そのための準備として、まず（ｘ，ｙ）平面上に点列Ｑ0，Ｑ1，．．．，Ｑnが与えられたときに、この点列を通過するスプライン曲線を求めることによってスプライン補間をする技法を学ぶことにした。
（ｘ，ｙ）平面上にデータ（Ｘi，Ｙj）が与えられたときに、このデータをスプラインで補間する技法については、２０１９年１月２７日付ブログ「スプライン曲線は面白い」で記載している。この技法は、ｘ軸方向に単調な曲線しか表現できないので、ｘ軸に対して単調でない曲線も表現できるようにより自由度の大きいスプライン技法の習得に挑戦することにした。
具体的には、パラメータｔを使って
ｘ＝（ｔ），ｙ＝ｇ（ｔ），０＝＜ｔ＝＜Ｔ
とおくことによって曲線を表現する。この方法は、曲線のパラメトリック表現とよばれる。
ｑ次のＢスプライン関数は、パラメータｔの関数であり、ここではＮq（ｔ）と表記することにする。
例えば、３次のＢスプライン関数Ｎ3（ｔ）は、－２＜ｔ＜２の区間に存在し、次の４つの３次曲線を連結したものである。
０＝＜ｔ＝＜１：（３ｔ＾３－６ｔ＾２＋４）／６
－１＝＜ｔ＝＜０：（－３ｔ＾３－６ｔ＾２＋４）／６
１＝＜ｔ＝＜２：－（ｔ－２）＾３／６
－２＝＜ｔ＝＜１：（ｔ＋２）＾３／６
２＝＜ｔおよび－２＝＞ｔ：０
関数Ｎ3（ｔ）は、ｔ＝－１，ｔ＝０およびｔ＝１において間数値と一次微分係数が連続な曲線になることが確かめられる。
Ｎ3（ｔ－ｊ）は、ｔ＝ｊのときＮ3（０）となる関数である。Ｎ3（ｔ－（ｊ－１））は、Ｎ3（ｔ－ｊ）を左方向に１だけシフトした関数、Ｎ3（ｔ－（ｊ＋１））は、Ｎ3（ｔ－ｊ）を右方向に１だけシフトした関数である。
（ｘ，ｙ）平面上に与えられた任意の点列Ｑ0，Ｑ1，．．．，Ｑnの各々に対応する制御点の点列Ｐ0，Ｐ1，．．．，Ｐnを考える。Ｑi，Ｐiは、原点Ｏからの位置ベクトルとみなしてよい。
Ｎ3（ｔ－ｊ）を係数とするベクトルＰjの次の線形結合をＰ（ｔ）とおくと、
Ｐ（ｔ）＝Ｎ3（ｔ＋２）Ｐ-2＋Ｎ3（ｔ＋１）Ｐ-1＋Ｎ3（ｔ－０）Ｐ0＋Ｎ3（ｔ－１）Ｐ1＋．．．＋Ｎ3（ｔ－ｊ）Ｐj＋．．．＋Ｎ3（ｔ－ｎ）Ｐn＋Ｎ3（ｔ－（ｎ＋１））Ｐn+1＋Ｎ（ｔ－（ｎ＋２））Ｐn+2 （１）
は、Ｐ0，Ｐ1，．．．，Ｐnを制御点とする３次のＢスプライン曲線を表す。ただし、Ｐ-2＝Ｐ-1＝Ｐ0，Ｐn＝Ｐn+1＝Ｐn+2とする。
ｉ＝０，１，．．．，ｎを各々ｉ＝ｎ，ｎ－１，．．．，０に変更してもＰ（ｔ）が不変でなければならないので、Ｐ（ｔ）の左端の項とＰ（ｔ）の右端の項は対称となる。
例えばｊ＝＜ｔ＝＜ｊ＋１の範囲の任意のｔについて、ゼロでない係数Ｎ3（ｔ－（ｊ－１）），Ｎ3（ｔ－ｊ），Ｎ3（ｔ－（ｊ＋１））およびＮ3（ｔ－（ｊ＋２））を重ね合わせた（加算した）ものは１になる。特にｔ＝ｊのとき、Ｎ3（ｔ－（ｊ＋２））は０であるので、前の３つの係数を加えたものが１になる。
一般には、曲線Ｐ（ｔ）：（０＝＜ｔ＝＜ｎ）のすべての係数を加えたものが１になる。ベクトルの線形結合は、係数の和が１のとき、アフィン結合とよばれる。位置ベクトルの一般の線形結合は、原点の選び方に依存する。しかし、アフィン結合は原点の選び方に依存しない。曲線Ｐ（ｔ）は、アフィン結合であるから、その回転や平行移動ばかりでなく、拡大縮小などの変形も容易に行える。言い換えれば、曲線の操作をしやすい表現形式になっているということである。
そうは言っても、与えられた点列Ｑ0，Ｑ1，．．．，Ｑnに対して制御点の点列Ｐ0，Ｐ1，．．．，Ｐnがどのような意味をもつのか理解するのはかなり難しい。簡単に言えば、与えられた点列を通過する曲線として曲線Ｐ（ｔ）を用いればよいということになる。
そこで、点列Ｑ0，Ｑ1，．．．，Ｑnが曲線Ｐ（ｔ）を通過するような制御点の点列Ｐ0，Ｐ1，．．．，Ｐnを求めればよい。この計算をＢスプライン補間とよんでいる。
この計算は、（１）式のＰ（ｔ）がｔ＝ｉのときの
Ｐ（ｉ）＝Ｑi （ｉ＝０，１，．．．，ｎ） （２）
を満たす制御点Ｐ0，Ｐ1，．．．，Ｐnを求めることになる。
３次のＢスプライン曲線の場合、Ｎ3（０）＝４／６，Ｎ3（１）＝１／６，Ｎ3（ｉ）＝０（ｉ＝＜２）である。したがって、（２）式は、１＝＜ｉ＝＜ｎ－１に対しては
（Ｐi-1＋４Ｐi＋Ｐi+1）／６＝Ｑi （３）
となり、ｉ＝０，ｎに対してはＰ-1＝Ｐ0，Ｐn＝Ｐn+1であるから
（５Ｐ0＋Ｐ1）／６＝Ｑ0 （４）
（Ｐn-1＋５Ｐn）／６＝Ｑn （５）
となる。
（３）～（５）式は、Ｐ0，Ｐ1，．．．，Ｐnのｘ座標を変数とする連立方程式、ｙ座標を変数とする連立方程式からなる。したがって、それぞれ解けば、Ｐ0，Ｐ1，．．．，Ｐnを求めることができる。
次に、（１）式を（ｉ；０＝＜ｔ＜１）の区間ごとに切り分けることにし、必要に応じて関数Ｎ3（ｔ）を各区間に適用できるような形式に変形する。
ｆ1＝（３ｔ＾３－６ｔ＾２＋４）／６
ｆ2＝｛－３（ｔ－１）＾３－６（ｔ－１）＾２＋４｝／６
ｆ3＝－（ｔ－１）＾３／６
ｆ4＝ｔ＾３／６
そうすると、各区間のＰ（ｔ）は、次に示す４つの項の重ね合わせとして表記できる。
Ｐ（ｔ）＝ｆ3Ｐ-1＋ｆ1Ｐ0＋ｆ2Ｐ1＋ｆ4Ｐ2 （ｉ＝０；０＝＜ｔ＜１）
Ｐ（ｔ）＝ｆ3Ｐ0＋ｆ1Ｐ1＋ｆ2Ｐ2＋ｆ4Ｐ3 （ｉ＝１；０＝＜ｔ＜１）
．．．
Ｐ（ｔ）＝ｆ3Ｐn-2＋ｆ1Ｐn-1＋ｆ2Ｐn＋ｆ4Ｐn+1 （ｉ＝ｎ－１；０＝＜ｔ＜１）
ここでは、Ｑ0とＱnで生じる可能性のあるオーバーシュートを避けるために、Ｐ-2とＰn+2の項をもつ（ｉ＝－１；０＝＜ｔ＜１）と（ｉ＝ｎ；０＜ｔ＜１）の区間のＰ（ｔ）を計算しないことにした。
Ｅｘｃｅｌを用いてスプライン曲線でだるまを描くことにした。
だるまの中心線に沿ってｙ軸をとる。だるま全体の輪郭はこの中心線に関して左右対称とする。だるまの台の最下端を原点にとる。全体像の右輪郭線をＰ0，Ｐ1，．．．，Ｐ5の６点で表現する。ここでＱ0とＱ5はｙ軸上に設定する。左輪郭線のＰ0，Ｐ1，．．．，Ｐ5は、右輪郭線の対応するＰiのｘ座標値を反転したものになるはずである。対応するＰiのｙ座標値は変わらない。問題は、点Ｑ0とＱ5において左右の輪郭線がなめらかに連結するか否かということになる。
だるまの顔の輪郭線についても、同様に左右対称とし、右輪郭線を６点で表現し、左輪郭線はその左対称線とした。だるまが乗る台の輪郭線も、同様に左右対称とし、３点で表現した。だるまの口も３点で表現できる。
だるまの全体像の最下部は直線状をしているので、曲線で表現できない。直線で表現して上部の曲線に接続することにした。だるまが乗る台も同様に直線部分は直線とし、下部の曲線に接続した。
だるまの目玉は、円で表現することにした。目玉の色を黒色にするために、グラフの系列を変える。
Ｅｘｃｅｌの表で必要な列は、ｔの刻みをつくる列、ｘの列、系列１のｙ列、系列２のｙ列の４列だけである。
下図は、出来上がっただるまのイラストである。
スプライン曲線でイラストのような図形を描くとき、その計算の準備や計算結果をグラフ表示して意図するような図形に修正する作業の手間ひまは大きい。今回作業の目的は、スプライン曲線を使ってこのような図形を描けることを確認することにあった。
ただ、一つの図形を描くための作業量は大きいが、図形が一つできれば、それを別の場所に移動することは比較的容易にできる。したがって、同じ図形の繰り返しパターンをもつ模様などには有効に利用できるのではなかろうか。
参考文献
杉原厚吉著「形と動きの数理」（東京大学出版会）
杉原厚吉著「インターネット時代の数学―グラフィックスのための幾何学」（共立出版）
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