数学的思考と物理的思考

　「数学セミナー２０１７年７月号」（日本評論社）の中で、数学者の時枝正さんの記事を読んでいたら、次の問題が載っていた。

　「題：正３角形の１辺を６００度Ｃに熱し、残り２辺を０度Ｃに冷やすと、中心は何度Ｃになるでしょう？」

　この問題は、「群：対称性をみぬき、作用してほぐす」と題する記事の例題として挙げられているので、数学で言う「群」の対称性を利用して問題を解くように努めなさい、というアドバイスのようだ。

　この問題に対する時枝さんの解答は、次のようなものである。

　「解：３枚コピーを用意し、０度，１２０度，２４０度ひねってかさねあわせる。できる物体は境界ぐるりを６００度Ｃに熱せられた正３角形、当然中心も６００度Ｃになるが、３枚がさねだったから、１枚分の中心は２００度Ｃ。」

　この解答を読んだとき、いかにも数学者らしい答だなと思った。物理屋としては、この解答に満足できない。何故なら、この答のどこにも熱の伝導という概念が示唆されていない。従って、温度という概念はその意味を失っているから、何を意図しようとする問題か明らかでない。

　そこで、物理屋ならばどう解答するのか、考えてみた。

　温度がその長さに沿って一様に変わっているような棒状の物体について、棒に垂直な切口（断面積Ｓ）を通って流れる熱流を考える。棒の長さを２ｌとし、高温の端および低温の端の温度をそれぞれｔ，ｔ’とすれば、面積Ｓを通って単位時間に流れる熱量Ｑは次の式で与えられる。
　　　　Ｑ＝ｋＳ（ｔ－ｔ’）／２ｌ　　　　　（１）
ここでｋは、物体の熱伝導率である。

　６００度Ｃの１辺をＳに対応させれば、正３角形の中心を通って流れる熱量Ｑは次の式となる。
　　　　Ｑ＝ｋＳ（６００－ｔ）／ｌ　　　　（２）
ここでｔは中心の温度である。

　０度Ｃの２辺を２Ｓに対応させれば、この２辺を通過して流れる熱量Ｑは次の式となる。
　　　　Ｑ＝２ｋＳｔ／ｌ　　　　　　　　　（３）

　流れる熱量が保存されるとすれば、（２），（３）式のＱは等しいと置けるから、中心の温度ｔは２００度Ｃとなる。

　面積Ｓの代わりに、中心を含む微小面積ｄｓに対応する１辺のｄｓと２辺の２ｄｓを考えても同じ結果となる。

　この話には、まだ続きがある。

　「数学セミナー２０１７年９月号」を読んでいたら、作家の円城塔さんが言及する「フラットランド」の話が載っていた。

　「フラットランド」とは、二次元平面の中に住む生き物たちの暮らしを描くお話のようだ。

　この話を聞いたある人は、「二次元世界の中の生き物に色がついているというのが許容できない」と評したそうだ。その理由は、「色というのは物理的なもので、抽象的な二次元の世界に持ち込むのは不適当である」ということらしい。

　なるほど。色というものは、原子や分子で構成される物理的な層があって初めて実現できるものであって、二次元の世界では無理ということになる。

　同様に、時枝さんの問題も「フラットランド」の話であるから、熱伝導を生じさせる原子や分子の層がなければ実現できず、仮に三角形の辺を熱したり冷やしたりすることが可能であるとしても、三角形の内部に熱の伝導が生じることはない。

ダークマターの分布図を眺める

　ＤＥＳ（Dark Energy Survey）のグループが、その観測結果に基づいて、ダークマターの分布図を発表した。以下にこれを転載させていただきます。



　このダークマター・マップは、８０億光年より近いところにある２６００万銀河の重力レンズ効果を測定することにより作成されたものである。マップは、全天の１／３０をカバーしているという。

　この測定結果から得られたダークマターの密度分布を示すマップは、宇宙背景放射の観測から得られた理論（宇宙の２６％がダークマター、７０％がダークエネルギー、４％が通常物質であるというもの）をほぼ支持するものであるという。

　こうなると、ＷＭＡＰの観測結果である宇宙背景放射のマップ（以下ＷＭＡＰという）の上にこのダークマター・マップを重ねると何が分かるのかということになる。

　ＷＭＡＰは、高温のため光の伝達もままならなかった宇宙が冷めてきて原子が形成された結果、一挙に光が放射されるようになったという黒体放射の痕跡を今に伝えるもの、言われている。ＷＭＡＰに見られる物質密度のわずかなゆらぎである「むら」がその後の宇宙の大構造形成に反映されているという。

　ダークマター・マップ上のダークマターの分布を見ると、ダークマター密度の高いところと低いところの区別がはっきりし過ぎていて、ダークマター分布の「むら」のようなものがあるとも見えない。

　しかし、ＷＭＡＰとダークマター・マップとの間には根本的な相違があることを考慮しなければならない。

　第１に、ＷＭＡＰは全天からやってくるマイクロ波の強度分布を測定したものであるのに対し、ダークマター・マップは、８０億光年先にある銀河光がより近くにある多数銀河によってどの程度曲げられるかを測定し、ダークマターの分布状況を計算したものであり、測定方法が異なる。

　そのため、ダークマターの分布に「むら」があるとしても、それがダークマター・マップに反映されているとは限らない。

　第２に、ＷＭＡＰが１３７億年前の物質密度の分布を今に伝えるものであるのに対し、ダークマター・マップは、地球の近くにある２６００万銀河領域の中にあるダークマターの密度分布を示すものであり、対象の測定年代が異なる。

　両者の間にこれほどの違いがあるにもかかわらず、ダークエネルギー／ダークマター／通常物質の質量比率がよく一致するということは、ＤＥＳの観測結果の精度の高さを物語るものでしょう。

　ＷＭＡＰで物質密度の高い場所とダークマターの密度の高い場所とは、よく一致するという。ダークマターがなかったとしたら、銀河が形成されなかったであろうと言われている。

　そもそも宇宙背景放射があるということは、物質の世界には電子と光子があり、電子間の相互作用に光子が介入する結果、光を含む電磁波が生成されて伝達されるという原則があるためである。

　重力レンズ効果に見るように、ダークマターが物質の世界に重力を及ぼすことは明らかであるが、重力以外の力が通常物質に影響を及ぼすか否か明らかでない。

　また、ダークマターの中にも電子と光子に相当する素粒子があって、ダークマター間の相互作用が生じるのか否か、議論されているところであろう。

　そう言えば、リサ・ランドールは、著書「ダークマターと恐竜絶滅」の中で、ダークマターの中には、電磁力に似た力を通じて相互作用するものが存在することを前提にしていた。