投影図から本体の形状を推理する

　新聞記事で、錯視の研究をしている杉原厚吉さんの模型を見て、錯視について興味をもった。

　図に示すように、杉原さんの模型を前面から見ると、カマボコ形（ａ）に見える。また、この模型を後面から見ると、蛇腹状（ｂ）に見える。模型の本体はどのような形状をしているのか、謎であった。



　射影幾何学の知識をもって、まともに本体の形状を推定しようとすると、本体は存在しないという結論になる。

　（ａ），（ｂ）いずれも、３次元空間上の同一位置にある本体をある平面上に投影し、その平面上の線図形をある視点から見ているものと考えることができる。そうすると、（ａ）では、本体の前面の視点から見て、中央の稜線は、その両脇の２つの稜線がつくる平面より近くになければならない。また、（ｂ）では、本体の後面の視点から見て、中央の稜線は、その両脇の２つの稜線がつくる平面より遠くになければならない。（ａ）と（ｂ）両方の図から、この遠近関係が前面と後面で同一でなければならないことが読み取れるので、これは矛盾である。

　本体の形状が展開図で示す（ｃ）のようなものではないかと想定しながら試行錯誤を続け、（ａ），（ｂ）いずれかの中央稜線が実像であり、他方は錯視であることに気付くまでには相当の時間が必要であった。

　平面図が（ｃ）の形状の図形を描き、切り抜いて、３つの稜線を適当に山折りにして本体をつくる。この模型を一方の方向（前面）から見ると、（ａ）の形状に見える。また、この模型を他方の方向（後面）から見ると、（ｂ）の形状に見える。

　（ｂ）では、適当な視点から見ると、視覚が両脇の山を強調する形状にだまされて、中央稜線が谷のように見えるのである。

　新聞記事に出ていた別の角度から見た本体の形状を示唆する写真から本体の寸法を採取させてもらうと、両端の長方形の短辺が７ｍｍ、長辺が１３ｍｍ、中央稜線の両脇の平行四辺形の高さが７ｍｍ、両端の長方形から中央稜線に達する斜線が１２ｍｍと計測できるので、ほぼこの寸法の比率で本体をつくればよいことが分かる。

　この錯視に類似した現象として、「お化け坂」の名で知られる錯視がある。急な下り坂の途中からゆるやかな下り坂が続くような道では、ゆるやかな下り坂が上り坂に見える現象である。車を運転する人の中には、この錯視を経験した人がいるのではなかろうか。

　参考文献
　杉原厚吉著「形と動きの数理」（東京大学出版会）

折り紙で卵形モデルをつくる

　折り紙で卵形の曲面をつくろうとして、インターネットで卵形曲線の方程式を探していたら、山本信雄氏の記事に出会ったので、氏が紹介する方程式を使わせてもらうことにした。

　ｘ軸上に置いた点をＱ（ｃ，０）とし（ｃはほぼ任意の定数であろう）、曲線上の点をＰ（ｘ，ｙ）とするとき、ＰＱとｘ軸とがつくる角度をシータｔとするとき、ｔを媒介変数とする卵形曲線の方程式は、次のように提示される。
　　　　ｘ＝｛ａ／２－ｂ（１－ｃｏｓｔ）／４｝（１＋ｃｏｓｔ）
　　　　ｙ＝｛ａ／２－ｂ（１－ｃｏｓｔ）／４｝ｓｉｎｔ

　ｂ＝０．７ａの場合が実際の卵とそっくりという。

　Ｅｘｃｅｌで、変数ｔ，ｘ，ｙの列を設定する。ｔの列に連続データの作成手順に従って０から２パイ（約６．２８）までの間の角度の刻みデータを作成する。ｘとｙの列の各々に上記の式を設定して計算させると、容易に（ｘ，ｙ）のリストを作成できる。

　図は、ａ＝４としたときの卵形曲線のグラフである。



　図でｘ＝２の近くに卵形曲線が極大および極小になる点が存在する。この点を含み、曲線を水平な線分で近似できそうな領域を中央分離帯とすると、これより左側の領域は、とがった凸領域のカーブを除いて曲線を斜め方向の線分で近似すると、少なくとも４つのレーンの帯で構成できるだろう。また、分離帯の右側の領域は、丸い凸領域のカーブを除いて曲線を斜め方向の線分で近似すると、少なくとも５つのレーンの帯で構成できるだろう。

　左右の凸領域は、各短冊の寸法だけを確保しておいて、フリーハンドで曲面を形成できればよい。

　中央分離帯をはじめとする各レーンのリングは、少なくとも１８角形で近似する必要があるだろう。そうすると、各レーンの形を形成するためには、１８個所の扇形の切り込みが必要である。各切り込み個所の切り込み幅は、各レーン境界の円周サイズから計算できる。

　このようにして、一枚の紙で卵形曲面の展開図を作成できるので、展開図を切り抜き、レーン境界と１８角形の頂点線分を山折りにし、切り込み部分を貼り合わせ、凸領域を丸めると、卵形曲面のモデルができる。

　でき上がった卵形モデルを見ると、卵形というより手榴弾のように見える。できることが分かったので、より卵形らしい丸みをつけるには、各レーンを構成するリングの近似精度を上げればよい。

　しかし、１８角形の山折りを３６角形の近似にするのはより難度が高くなる。１８角形の頂点線分の山折りをやめて、中央分離帯をはじめ各レーンが丸みをもつように癖をつけると、より丸みを帯びた卵形モデルができるだろう。