関数ａ＾ｘは周期関数か？

　２つの素数ｐ，ｑを掛け算した数ｎ＝ｐｑは、ｎが大きな数になるとｎを素因数分解してｐ，ｑを求めるのが容易ではない。そこで、素数のもつこの性質がＲＡＳ暗号に利用されている。

　しかし、ｎ未満でｎと互いに素な数ａを選び、ａをｘ乗したａ＾ｘ（ｘ＝０，１，２，．．．）をつくり、各数をｎで割って余りを並べてみると、不思議な周期性が現れる。

　例えば、ｎ＝１５の場合には、ｎ＝ｐｑ＝３×５とすぐに計算できるが、この周期性が出現することを確かめてみる。

　ａ＝１１を選び、１１＾０，１１＾１，１１＾２，１１＾３を計算すると、１，１１，１２１，１３３１となるので、各々を１５で割って余りを求めると、１，１１，　１，１１が得られ、１または１１が周期的に繰り返されることが分かる。

　そうすると、
　　　１１＾２＝１５×８＋１
であるから、１１＾２－１を因数分解すると、
　　　１１＾２－１＝（１１－１）×（１１＋１）＝１５×８
と書ける。

　ここで得られた１０と１２について、１５と１０、または、１５と１２の最大公約数を求めると、５または３が得られるから、これらがｐ，ｑに相当することが分かる。

　ａ＝４を選び、同様の計算をしても、やはり４＾ｘをｎで割った余りには周期２の周期性がみられ、同様にｐ，ｑとして３または５が得られる。ａ＝７の場合には、周期４の周期性が現れる。

　一般に、ｎ－１を２乗すると、（ｎ－１）＾２＝ｎ＾２－２ｎ＋１であるから、この数をｎで割ると、余りが１となることがすぐ分かる。そうすると、（ｎ－１）＾ｘ（ｘ＝０，１，２，．．．）をｎで割って余りを求めると、１，ｎ－１，１，ｎ－１，．．．の周期性が現れる。ｎ＋１をｘ乗した数についても同様である。

　しかし、ａ＝ｎ－１やｎ＋１の場合には、ｐやｑが現れない。そこで、これらの数を除き、周期性をもつなるべく小さいａを探す計算が必要となるが、ｎが大きな数になると、計算は容易ではない。

ａ＾ｘをｎで割った余りが１になることを、
　　　ａ＾ｘ（ｍｏｄ　ｎ）＝１
と表現する（ｘ＝０，１，２，．．．）。これは、ｎを法とするａ＾ｘの剰余が１である、と言い換えてもよい。

　ａ＾ｘ（ｍｏｄ　ｎ）が周期性をもつとする。ａ＾２（ｍｏｄ　ｎ）＝１ならば、ａ＾２ｍ（ｍｏｄ　ｎ）＝１である（ｍ＝０，１，２，．．．）。何故なら、ａ＾２＝ｋｎ＋１（ｋ＝１，２，．．．）と書けるから、
　　　ａ＾２ｍ＝（ｋｎ＋１）＾ｍ＝（ｋ＾ｍ）（ｎ＾ｍ）＋．．．＋ｍｋｎ＋１
と展開できる。従って、ａ＾２ｍ（ｍｏｄ　ｎ）＝１となる。

　さらに、ａ（ｍｏｄ　ｎ）＝ａならば、ａ＾（２ｍ＋１）（ｍｏｄ　ｎ）＝ａである。何故なら、
　　　ａ＾（２ｍ＋１）（ｍｏｄ　ｎ）＝ａ＾２ｍ（ｍｏｄ　ｎ）ａ（ｍｏｄ　ｎ）
と展開できる。ａ＾２ｍ（ｍｏｄ　ｎ）＝１であるから、ａ＾（２ｍ＋１）（ｍｏｄ　ｎ）＝ａとなる。

　関数ａ＾ｘ（ｍｏｄ　ｎ）が周期性をもつならば、この関数をフーリエ級数に展開できる。

　ａ＾ｘ（ｍｏｄ　ｎ）が周期２の関数ならば、１，ａ，１，ａ，．．．の繰り返しとなる。ａは１でさえなければ任意であるから、簡単のために－１と置き換える。そうすると、ａ＾ｘ（ｍｏｄ　ｎ）は関数ｃｏｓｘと表すことができる。ここで、
　　　ｘ＝２ｍのとき：ｘ＝２ｍｐと置き換えると、ｃｏｓｘ＝１
　　　ｘ＝２ｍ＋１のとき：ｘ＝（２ｍ＋１）ｐと置いて、ｃｏｓｘ＝－１
である。円周率パイをｐで表している。

　ａ＾ｘ（ｍｏｄ　ｎ）が周期４の関数ならば、１，ａ，ｂ，ｃ，１，ａ，．．．の繰り返しとなる。ａ，ｂ，ｃは１でさえなければ任意であるから、それぞれ０，－１，０と置き換える。そうすると、ａ＾ｘ（ｍｏｄ　ｎ）は関数ｃｏｓ（ｘ／２）と表すことができる。ここで、
　　　ｘ＝４ｍのとき：ｘ＝４ｍｐと置いて、ｃｏｓ（ｘ／２）＝１
　　　ｘ＝４ｍ＋１のとき：ｘ＝（４ｍ＋１）ｐと置いて、ｃｏｓ（ｘ／２）＝０
　　　ｘ＝４ｍ＋２のとき：ｘ＝（４ｍ＋２）ｐと置いて、ｃｏｓ（ｘ／２）＝－１
　　　ｘ＝４ｍ＋３のとき：ｘ＝（４ｍ＋３）ｐと置いて、ｃｏｓ（ｘ／２）＝０

　関数ｆ（ｘ）が、周期２のｃｏｓ関数の項、周期４のｃｏｓ関数の項など、いろいろの周期のｃｏｓ関数の項の足し合わせで構成されているとする。例えば、ｆ（ｘ）の中から周期２の関数ｃｏｓｘだけを抽出するには、フーリエ級数の公式を使えばよい。すなわち、ｆ（ｘ）ｃｏｓｘを積分すれば、ｃｏｓｘに掛けられる係数（振幅に相当する）が求められる。周期２の関数が１つだけなら、結果は１となる。

　ｆ（ｘ）とｃｏｓｘの積の積分（内積とも言う）をとると、ｆ（ｘ）中のｃｏｓｘの項だけが残り、ｃｏｓ（ｘ／２），ｃｏｓ（ｘ／４）など他の項とｃｏｓｘとの積の項は０になる。ｃｏｓｘ，ｃｏｓ（ｘ／２）など各周期をもつ関数は互いに直交しているので、その内積をとると、ｃｏｓｘと平行なそれ自身だけが残ることになる。

　参考文献
　竹内薫著「量子コンピュータが本当にすごい」（ＰＨＰ新書）

オリンピックについて思うこと

　またオリンピックの季節がやって来た。今回も、サッカーなど興味ある種目について、テレビを介して日本選手の活躍ぶりを観戦することになるだろう。野球やソフトボールの試合がないのは残念だが。

　それにしても、過去の２回のオリンピックにおいて、ロシアが組織的なドーピングをやっていたという反ドーピングの国際機関の発表は、それまでのいくつかのドーピング事件に加えて、汚れたオリンピックという印象を一層強めるものであった。

　これほど世界的にドーピングが蔓延しているのなら、いっそドーピングを解禁にして、ドーピング検査の負担をなくしたら、とも思う。しかし、その考えは、近代オリンピックが理想とするアマチュアリズムの理念に反するのであろう。メダルをとるためならドーピングでも何でも手段を選ばないという態度は、どうみてもアマチュアリズムの喪失と言わざるを得ない。

　そこで、汚れたオリンピック・アスリートと対照的に目に浮かぶのが、野球の練習に打ち込む子供たちである。彼らの姿を見るたびに、「彼らこそアマチュアリズムの具現者以外の何者でもない」と、無性に感激してしまうのである。

　そうは言っても、過去のオリンピックを思い起こすと、感動的な場面が思い浮かぶ。マラソンの有森裕子さんは、我々に２回も感動の機会を与えてくれた。また、１４歳の中学生であった岩崎恭子さんは、大方の予想を裏切り、みごと金メダルを獲得した。岩崎さんがあげた成果をみて、多くの人々は、普通の女の子でも不断の努力の上に良い体調のような好運が重なると、思いがけない結果を残せることを実感したに違いない。岩崎さんは、今でも、アマチュアにとって希望の星のような存在であると思う。

　ここで話が変わるが、シリアや南スーダンの内戦は、多くの難民を生み出してきた。難民の多くは、今日の生活の心配をしなければならない身であるが、スポーツをやりたいという若者もいるにはいるようだ。ＩＯＣは、有望な難民アスリートを集めて難民オリンピック・チームをつくり、オリンピックへの参加を支援している。一見すると、美談のようにみえるが、彼らが難民の星のような存在になるとは到底思えない。ドーピング問題などに悩むＩＯＣが、格好いい話題づくりを狙っているだけ、という批判もあるだろう。

　そこで思い浮かぶのがインドである。インドは、大国でありながら、オリンピックにはわずかな選手しか派遣していない。インドは、中央集権の中国とは違い、極端なほどの地方分権制らしく、全国的な組織でオリンピック選手を養成するということをやっていないのである。それは、発展途上国らしく、オリンピックよりも生活レベルの向上が優先することをよく知っているからである。インドがオリンピック狂騒曲に踊らされることなく、身の程を守っていることに敬意を表したい。