算数パズルから神秘の数に至る

　参考文献でカプレカの演算と呼ばれる計算プロセスを知り興味をもった。3桁の数で同じ数字だけでは表されない任意の数を選ぶ。この数に一定のルールに従った演算を施し、得られた数にその演算を施すというようにこの演算を繰り返していくと、一定数に到達し、得られた一定数が最終到達点となる。すなわち、この一連の計算プロセスの結果は一定数に収束する。

　そこで、この計算プロセスを用いて算数パズルを作ってみることにした。

　一連の計算プロセスのうち最後の2つの演算ステップを次のように設定する。
　　　*63-36*=59@
　 *#@-@5*=@*#

　10進3桁の数の数字の並びのうち少なくとも1つの数字を空欄とし、この空欄を識別する数字を*,#,@の記号で表現する。同じ記号は同じ数字を表す。

　3桁の数で上記条件を満たす任意の数を選ぶ(例えば201や211は可であるが、222は不可)。その数の数字を並べ直してできる最大の数と最小の数を作る。それから、最大の数から最小の数を引くと新しい数が得られる。新しい数が得られるたびにこの演算を繰り返す。この演算は最後には495という数に到達する。その後この演算を繰り返してもこの数は変化しない。3桁の数では495が唯一の到達点である。

　4桁の数でも同様の演算によって最終到達点となる数が得られる。まず同様の算数パズルを作ってみる。
　　　**20-02**=853@
　 *5#@-@#5*=617$
*,#,@,$は数字を識別するための記号である。

　4桁の数に対してカプレカの演算を行うと、最終的に6174という数に到達する。これが唯一の到達点である。

　495や6174は神秘の数とも言われる。カプレカの演算は、数秘術の一種なのかも知れない。この演算は、1949年にインドのD.R.カプレカという数学者が発見したものという。

　参考文献
　サム・パーク編「数学、それは宇宙の言葉」(岩波書店)