整数や１／３（３分の１を示す）などの分数は有理数と呼ばれる。また、一辺が１の正方形の対角線の長さ「ルート２」などは無理数と呼ばれる。
分数１／３を小数表示すると、
１／３＝０．３３３．．． （１）
である。この例では、一つの数字３が循環している（ついでに言えば、同一数字または同一数字列が循環するという有理数の特徴は、小数表示が１０進法表示か否かにはよらない）。
（１）式の両辺に２を掛けると、
２／３＝２×（０．３３３．．．）＝０．６６６．．． （２）
となる。
（１）式の両辺に３を掛けると、
３／３＝３×（０．３３３．．．）＝０．９９９．．． （３）
となる。
（３）式の左辺と右辺は異なるように見える。しかし、右辺は数字９が循環しているから有理数としか考えられない。また、右辺は次のように書ける。
０．９９９．．．＝９×（０．１１１．．．）＝９×（１／９）＝１ （４）
従って、（３）式の右辺は、収束する無限の１０進数という有理数を小数表示すると、異なるものであるかのように見えるというに過ぎない。
無理数は、単一の分数の形で表すことが不可能である。この事実は、すでにギリシャ時代に証明されていた。このことは、無理数は任意の精度で有理数によって近似できるが、次第にある無理数に接近するような有理数の数列がその無理数に収束することはあり得ないことを意味する。逆に、ある有理数に接近するような無理数の数列がその有理数に収束することはあり得ない。
有理数とは、その分子／分母が有限の整数という限定された範囲（有界）にしか存在し得ない数である。
一方、無理数は、小数表示では、無限の１０進数であって循環するパターンをもたない数ということができる。ということは、１より小さく１に最も接近するいかなる無理数もその小数表示は（３）で示す１という有理数のパターンとは異なるから、後者とは明確に区別できることが分かる。
ここで、参考文献に出ていた次の命題について証明を試みることにした。
「ｍ，ｎを自然数の係数とするｘの関数（ｐは円周率パイを表し、＊＊はべき乗を表す）、
ｆ（ｍ，ｎ；ｘ）＝｛ｃｏｓ（ｍ！ｐｘ）｝＊＊２ｎ
について、
ｍを無限大、ｎを無限大にまでもっていくことを各々ｌｉｍ（ｍ），ｌｉｍ（ｎ）と書くと、
ｘが有理数のときｌｉｍ（ｍ）ｌｉｍ（ｎ）ｆ（ｍ，ｎ；ｘ）＝１
ｘが無理数のときｌｉｍ（ｍ）ｌｉｍ（ｎ）ｆ（ｍ，ｎ；ｘ）＝０
が成立する。」
ｘが有理数の場合には、容易に証明できる。ｘ＝ｌ／ｋ（ｌ，ｋは自然数）と置く。ｍを無限大にもっていく操作の途中で、ｍ！の中にｋが生じることがあり得るから、ｍ！ｐｘは、（ｋを除くｍ！）ｐｌとなる。ｒ＝ｃｏｓ（ｍ！ｐｘ）と置くと、ｒは－１又は１となるから、ｒ＊＊２は１となり、ｎに関わらずｒ＊＊２ｎ＝ｆ（ｍ，ｎ；ｘ）は１となり、証明される。
ｘが無理数の場合には、ｘは有理数とは異なる数であるから、ｒ＝ｃｏｓ（ｍ！ｐｘ）と置くと、ｒは－１，０，１のいずれでもあり得ない。何故なら、ｒはｘの単調関数であるから、ｘの値が有理数と異なればｒの値もこれらの値と異なるからである（ｒが０になるのはｘが有理数の場合に限られる）。そこで、ｒ＊＊２は０＜ｒ＊＊２＜１の範囲の数でなければならない。数学の教科書にある通り、この範囲の数ｒ＊＊２について、数列｛ｒ＊＊２ｎ｝のｎを無限大にもっていくと０に収束するから、ｆ（ｍ，ｎ；ｘ）は０となり、証明される。
ところで、無理数には、代数方程式の解となるような代数的数と、円周率パイのように代数的でない超越数との二つの種類がある。両者の違いは何か。数を連分数表示すると、両者を明確に区別できるようである。さらに、両者を分別するような式が望まれる。
参考文献
砂田利一著「現代幾何学への道」（岩波書店）
分数１／３を小数表示すると、
１／３＝０．３３３．．． （１）
である。この例では、一つの数字３が循環している（ついでに言えば、同一数字または同一数字列が循環するという有理数の特徴は、小数表示が１０進法表示か否かにはよらない）。
（１）式の両辺に２を掛けると、
２／３＝２×（０．３３３．．．）＝０．６６６．．． （２）
となる。
（１）式の両辺に３を掛けると、
３／３＝３×（０．３３３．．．）＝０．９９９．．． （３）
となる。
（３）式の左辺と右辺は異なるように見える。しかし、右辺は数字９が循環しているから有理数としか考えられない。また、右辺は次のように書ける。
０．９９９．．．＝９×（０．１１１．．．）＝９×（１／９）＝１ （４）
従って、（３）式の右辺は、収束する無限の１０進数という有理数を小数表示すると、異なるものであるかのように見えるというに過ぎない。
無理数は、単一の分数の形で表すことが不可能である。この事実は、すでにギリシャ時代に証明されていた。このことは、無理数は任意の精度で有理数によって近似できるが、次第にある無理数に接近するような有理数の数列がその無理数に収束することはあり得ないことを意味する。逆に、ある有理数に接近するような無理数の数列がその有理数に収束することはあり得ない。
有理数とは、その分子／分母が有限の整数という限定された範囲（有界）にしか存在し得ない数である。
一方、無理数は、小数表示では、無限の１０進数であって循環するパターンをもたない数ということができる。ということは、１より小さく１に最も接近するいかなる無理数もその小数表示は（３）で示す１という有理数のパターンとは異なるから、後者とは明確に区別できることが分かる。
ここで、参考文献に出ていた次の命題について証明を試みることにした。
「ｍ，ｎを自然数の係数とするｘの関数（ｐは円周率パイを表し、＊＊はべき乗を表す）、
ｆ（ｍ，ｎ；ｘ）＝｛ｃｏｓ（ｍ！ｐｘ）｝＊＊２ｎ
について、
ｍを無限大、ｎを無限大にまでもっていくことを各々ｌｉｍ（ｍ），ｌｉｍ（ｎ）と書くと、
ｘが有理数のときｌｉｍ（ｍ）ｌｉｍ（ｎ）ｆ（ｍ，ｎ；ｘ）＝１
ｘが無理数のときｌｉｍ（ｍ）ｌｉｍ（ｎ）ｆ（ｍ，ｎ；ｘ）＝０
が成立する。」
ｘが有理数の場合には、容易に証明できる。ｘ＝ｌ／ｋ（ｌ，ｋは自然数）と置く。ｍを無限大にもっていく操作の途中で、ｍ！の中にｋが生じることがあり得るから、ｍ！ｐｘは、（ｋを除くｍ！）ｐｌとなる。ｒ＝ｃｏｓ（ｍ！ｐｘ）と置くと、ｒは－１又は１となるから、ｒ＊＊２は１となり、ｎに関わらずｒ＊＊２ｎ＝ｆ（ｍ，ｎ；ｘ）は１となり、証明される。
ｘが無理数の場合には、ｘは有理数とは異なる数であるから、ｒ＝ｃｏｓ（ｍ！ｐｘ）と置くと、ｒは－１，０，１のいずれでもあり得ない。何故なら、ｒはｘの単調関数であるから、ｘの値が有理数と異なればｒの値もこれらの値と異なるからである（ｒが０になるのはｘが有理数の場合に限られる）。そこで、ｒ＊＊２は０＜ｒ＊＊２＜１の範囲の数でなければならない。数学の教科書にある通り、この範囲の数ｒ＊＊２について、数列｛ｒ＊＊２ｎ｝のｎを無限大にもっていくと０に収束するから、ｆ（ｍ，ｎ；ｘ）は０となり、証明される。
ところで、無理数には、代数方程式の解となるような代数的数と、円周率パイのように代数的でない超越数との二つの種類がある。両者の違いは何か。数を連分数表示すると、両者を明確に区別できるようである。さらに、両者を分別するような式が望まれる。
参考文献
砂田利一著「現代幾何学への道」（岩波書店）