子供の頃、折り紙を折ったことがあったが、老年になって折り紙をしてみようとしても、折り方を忘れてしまった。そこで、子供向けの折り紙の本を参考に、風船や鶴を折ってみた。折り紙の本には、基本の折り方として、三角おり、たたみおり、ざぶとんおり、ふくろおり、とりおり、さかなおり、あやめおり、いえおり、つるおり、などが紹介されている。そうか、何かの形を真似た折り紙は、これら基本の折り方の組合せで構成されているということか。
そこで、折り紙の基本形を幾何学的に表現するとどうなるのか、追求することにした。折り紙用紙の形である正方形は、ｘｙ平面上で座標（０，０）－（１，０），（１，０）－（１，１），（１，１）－（０，１），（０，１）－（０，０）の４つの線分で囲まれた領域で表現できる。
まず、三角おりは、関数ｙ＝ｘを境界として、ｙ＜ｘの領域に含まれるすべての点（ｘ，ｙ）をｙ＞ｘの領域に含まれる対応する点（ｘ’，ｙ’）に移したものであることが分かる。この変換によって、点（１，０）が点（０，１）に移る。式で書くと、
ｘ’＝ａ１１ｘ＋ａ１２ｙ （１－１）
ｙ’＝ａ２１ｘ＋ａ２２ｙ （１－２）
であり、ａ１１＝０，ａ１２＝１，ａ２１＝１，ａ２２＝０は、行列を構成する。
次に、たたみおりの最初のステップは、関数ｙ＝０．５を境界として、ｙ＜０．５の領域に含まれるすべての点（ｘ，ｙ）をｙ＞０．５の領域に含まれる対応する点（ｘ’，ｙ’）に移したものであることが分かる。この変換によって、点（０，０）は点（０，１）に、点（１，０）は点（１，１）に移る。式で書くと、
ｘ’＝ａ１１ｘ＋ａ１２ｙ＋ｘ０ （２－１）
ｙ’＝ａ２１ｘ＋ａ２２ｙ＋ｙ０ （２－２）
であり、ａ１１＝１，ａ１２＝０，ａ２１＝０，ａ２２＝－１は、行列を構成する。（ｘ０，ｙ０）＝（０，１）である。たたみおりの最初のステップとして、関数ｘ＝０．５を境界として、ｘ＜０．５の領域に含まれるすべての点（ｘ，ｙ）をｘ＞０．５の領域に含まれる対応する点（ｘ’，ｙ’）に移したものである、としても同様の式となる。
たたみおりの第２、第３のステップは、関数ｙ＝０．７５を境界として折り返し、関数ｙ＝０．２５を境界として折り返すものである。いずれも、（２－１）（２－２）式で表現できる。
ざぶとんおりは、たたみおりと、正方形の１／４領域を使った三角おりから構成されるから、それぞれのステップは、（２－１）（２－２）式で表現できる。
ふくろおりも同様であり、斜めの直線を境界として２つの領域を折り重ねるものであるから、座標軸の回転と原点の平行移動を行っているのであり、（２－１）（２－２）式で表現できる。
残りの、とりおり、さかなおり、あやめおり、いえおり、つるおりなどすべての基本形は、直線を境界として２つの領域を重ねているだけであり、（２－１）（２－２）式で表現できる線形変換に他ならない。
折り紙の世界は、ユークリッド幾何学が適用される世界である。ユークリッド空間における線形変換は、領域（ｘ，ｙ）上の２点（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２）間の距離を不変とするような変換である。
（２－１）（２－２）式を用いて、２点（ｘ１’，ｙ１’），（ｘ２’，ｙ２’）間の距離の２乗：（ｘ２’－ｘ１’）２＋（ｙ２’－ｙ１’）２を（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２）で書き下す式をつくると、任意の（ｘ，ｙ）について恒等的に距離を不変とするためには、行列ａ１１～ａ２２に、
ａ１１２＋ａ２１２＝１；ａ１１ａ１２＝０；ａ２１ａ２２＝０；ａ１２２＋ａ２２２＝１ （３）
の条件がつくことが分かる。領域（ｘ，ｙ）上の三角形を距離不変の下で線形変換すると、領域（ｘ’，ｙ’）上の合同な三角形に移るので、この種の線形変換のことを合同変換ということもある。
（２－１）（２－２）式で表現される一般的な線形変換は、ユークリッド空間の線形変換を含むより広い範囲の変換を示すものであるので、距離が不変とならないような変換も含まれる。
２次元空間上の線形変換を抽象的に表現するならば、領域（ｘ，ｙ）上の任意の点を領域（ｘ’，ｙ’）に射影する（あるいは移す）変換であって、ユークリッド幾何学では任意の２点間の距離を不変とするような変換、と言うことができる。そこで、２次元空間上の線形変換を３次元空間上の変換に拡張することを考える。３次元空間についても、上記の抽象的な表現がそのまま３次元に移行できて、領域（ｘ，ｙ，ｚ）上の任意の点を領域（ｘ’，ｙ’，ｚ’）に射影する変換であって、ユークリッド空間では、任意の２点間の距離を不変とするような変換、ということになる。
そこで、折り紙を折りたたむ途中の折り紙の３次元表現を考える。例として三角おりの場合を考え、ｘ－ｙ平面上にある折り紙用紙を関数ｙ＝ｘを境界として徐々に谷おりしていく場合を考える。元のｘ－ｙ平面と折り曲げ途中のｘ’－ｙ’平面との角度をｔとする。簡単のために、関数ｙ＝ｘを新たなｙ軸とし、最初のｘ－ｙ平面上の点（ｘ，ｙ）を（ｘ，ｙ，ｚ）で表して（０，－ｒ，０）とする。そうすると、ｘ－ｙ平面が角度ｔだけ折り曲がったときの（ｘ’，ｙ’，ｚ’）座標は、（０，－ｒｃｏｓｔ，ｒｓｉｎｔ）となる。
これから、一般に座標点（ｘ，ｙ，ｚ）を（ｘ’，ｙ’，ｚ’）に移す変換は、
ｘ’＝ｘ （４－１）
ｙ’＝ｙｃｏｓｔ＋ｚｓｉｎｔ （４－２）
ｚ’＝－ｙｓｉｎｔ＋ｚｃｏｓｔ （４－３）
で表現できる。
座標点（ｘ，ｙ，ｚ），（ｘ’，ｙ’，ｚ’）を各々、ベクトルｒ，ｒ’で表現する。ベクトルｒに行列Ａを作用させると（掛けると）、ベクトルｒ’が得られる。行列Ａは、ａ１１＝１，ａ１２＝ａ１３＝ａ２１＝ａ３１＝０，ａ２２＝ｃｏｓｔ，ａ２３＝ｓｉｎｔ，ａ３２＝－ｓｉｎｔ，ａ３３＝ｃｏｓｔを要素とする行列である。言い換えれば、行列Ａは、ベクトルｒを角度ｔだけ回転させてベクトルｒ’にする作用をする。
ベクトルｒ０（０，－ｒ，０）を角度ｔ１だけ折り曲げたベクトルをｒ１（０，－ｒｃｏｓｔ１，ｒｓｉｎｔ１）とし、そこから、さらにｔ２だけ折り曲げたベクトルをｒ２とすると、ベクトルｒ２は、ベクトルｒ０に角度ｔ１の行列Ａ１を作用させてベクトルｒ１を得、さらにベクトルｒ１に角度ｔ２の行列Ａ２を作用させてベクトルｒ２（０，－ｒｃｏｓ（ｔ１＋ｔ２），ｒｓｉｎ（ｔ１＋ｔ２））を得られることが確認できる。このことを式で表現すると、
ｒ２＝Ａ２Ａ１ｒ０＝Ａ２ｒ１
となる。すなわち、ベクトルｒに行列Ａを作用させる変換は、何度も反復できる。
行列Ａの変数ｔを－ｔに置き換えてみると、Ａの逆行列Ａ－１：ａ１１＝１，ａ１２＝ａ１３＝ａ２１＝ａ３１＝０，ａ２２＝ｃｏｓｔ，ａ２３＝－ｓｉｎｔ，ａ３２＝ｓｉｎｔ，ａ３３＝ｃｏｓｔを得る。Ａ－１Ａ＝ＡＡ－１は単位行列となり、恒等変換を意味する。すなわち、ベクトルｒに行列Ａを作用させた後にＡ－１を作用させると、元のベクトルｒに戻る。
このようにして、直線を境界として折り紙を徐々に折り曲げていくと、最後にはｙ＝ｘを境界として、ｙ＜ｘの領域に含まれるすべての点（ｘ，ｙ）は、ｙ＞ｘ領域に含まれる対応する点（ｘ’，ｙ’）に移る。ここで、座標変換後の座標点は、（ｘ’，ｙ’，ｚ’）＝（０，ｒ，０）である。つまり、元の座標系では、（１－１）（１－２）式で表される変換点に帰着する。
（２－１）（２－２）式で表される折り方をしても、同様である。折り目となる境界は直線であるから、すべて座標系の回転と平行移動により、境界をｙ軸とし、最初のｘ－ｙ平面上の点（ｘ，ｙ）を（ｘ，ｙ，ｚ）座標系で表した（０，－ｒ，０）とすることができる。つまり、（４－１）（４－２）（４－３）で表現される変換に帰着させることができる。