数学の不定方程式と相転移

　2011年7月17日に投稿したブログ「数学の組合せ論に現れる相転移」が、いまだに自身の人気ブログ・ランキングに入るのを見て、数学問題と物理学の相転移とを関連付けることに興味をもつ人が少なくないことを知った。

　NHKテレビの数学教室で、解が不定の方程式を扱うというテーマの下に、いくつかの問題が紹介されたが、その中の一つ「フロベニウスの式」を知り、相転移と関連付けて語りたくなった。

　4円玉と7円玉の硬貨の組合せのように、x円貨幣とy円貨幣を各々0,1,2…枚組み合わせて任意の金額をつくるとき、組合せできない金額と組合せできる金額とが存在する。フロベニウスの式とは、組合せ不可となる金額の最大数をMとするとき、xy-x-y=Mの式で表現できるというものである。たとえば、x=4,y=7の場合には、M=17となる。

　x=2, y=3の場合には、M=1となるので、2以上の金額数の場合には、すべての金額が組合せ可能となる。多くの整数は2または3で割り切れるし、任意の素数はより小さい素数と偶数の和で表せると予想できるので、ありうることである。

　x=13, y＝17の場合はどうか。M=191となるので、191が組合せ不可となる金額の最大数である。つまり、13円貨幣がm枚、17円貨幣がn枚とするとき、不定方程式13m+17n=191に整数解がないことを表明している。192以上の金額数のいくつかについてこの方程式の整数解が存在することを確認できる。

　x,yがより大きな素数の場合にも、Mは大きくなるが、Mを越える数値について、mx+nyが整数解をもつことが予想できる。すなわち、M未満の数値については、x,yの組合せの可否が不揃いであるが、Mを越える数値については、一転してすべて組合せ可能となる。強磁性を示す物質を加熱していくと、臨界温度を越えた温度でその磁性が失われる相転移の現象に類似している。

周期的なリズムをもつ歯の痛み

　84歳になったとき、全部揃っていた歯の一部のすり減りが目立つようになり、虫歯のような状態になって、歯髄に達するまで歯の浸蝕が進んだのだろうか、あるいは歯周病が進行しているのだろうか、かなり強い痛みを感じるようになった。

　そこで、2023年11月から毎日、痛みが発生した大体の時刻と、痛みの強さの区分(中か大か)とについてデータをとって、痛みが集中する時間帯と痛みの進行状況について観察することにした。

　そのデータによると、痛みの時間帯は殆どPM0:00~PM12:00といった午後の部に限られ、午前の部に痛みが発生することは稀である。また午後の部で発生する強い痛みの回数は、3~7回とバラつき、特に就寝時のPM10:30ごろの痛みが強い。

　参考文献1によると、神経系を構成する神経膜では、振動現象と興奮現象がみられ、そのような神経の動静は、活性化因子と抑制因子とから成る二因子系の振動によってほぼ理解できる旨の説明がある。この説に基づくと、一日24時間のうち、午後の部では活性化因子が優勢となり、午前の部では抑制因子が優勢となるという説明になる。

　そこで、チャット検索を利用し、「歯の痛みはかなり苦痛である。痛みは、午後の12時間中に数回起こり、午前の12時間中はほぼ休止期となっている。人間の神経系は、神経膜の振動と興奮に基づく活性化因子と抑制因子とから成る二因子系の振動で説明できるのか?」と質問してみた。

　その回答は、二因子系の振動による説明を肯定した後、「しかし、歯の痛みについては、このような振動についての研究は限られており、歯の痛みに関する研究はまだ進行中であるため、より詳細な情報を提供することはできません。」とのことであった。

　活性化因子の駆動よる痛みの活動期の振動は、概日リズムと呼ばれ、体内時計に同期した生物学的リズムであるようだ。痛みの休止期が生じる要因として、規則正しい生活習慣を前提とした睡眠の効用があるのではないか、と考える。充分な睡眠をとることによって、痛みの活動期に生じた神経系の有害物質が排除され、神経系が初期状態にリセットされるのではなかろうか。

　参考文献2によると、体内の末梢の組織(臓器や筋肉)で炎症が生じたときに細胞からサイトカインと呼ばれるタンパク質が分泌され、それが脳に働きかけることによって、一種の生理的疲労が生じるとのことである。そうすると、歯茎などの痛みによって繰り返しサイトカインが脳に作用すると、生理的疲労が慢性疲労症候群に移行して病的疲労となり、「思考力・集中力の低下」、「のどの痛み」、「首のリンパ節の腫れ」などの症状を起こすおそれがあるようだ。脳に対して長期間ストレスを与え続けることは避けるべきなのである。

　2024年3月になり、歯の痛みは強烈となり、もはや我慢の限界を感じるようになったので、歯科医の診察を受けることにした。歯はすり減っているが、虫歯ではなく、歯周病が進行しているので痛むとのことである。2回の治療を受けたが強烈な痛みが収まることはなかった。

　2024年4月になり、この先、歯の痛みを抱えたまま生きる覚悟をしようと考えていた。ただ、今かかっている歯科医には治せなくても、治せるような歯科医を紹介してもらえないかとも考えた。

　3回目の治療を受けに行ったとき、歯の痛みを治せるのか治せないのか最後の通告を聞くつもりで歯科医と対面した。医者は、歯周病を治すことはできないと言った。しかし、治療薬としてどんな「奥の手」を使ったのか知る由もないが、その日の治療後、歯の痛みはなくなり、痛みなしの状態が1ヶ月以上続いており、この先の生活に希望がもてるようになった。

　今後、歯のケアのために定期的に通院するつもりでいる。

　参考文献
1. 蔵本由紀著「非線形科学」(集英社新書)
2. 近藤一博著「疲労とはなにか」(ブルーバックス)

米国の13年ゼミと17年ゼミ

　タイム誌の記事を読んでいて、2024年は米国の13年ゼミと17年ゼミが一緒に地上に現れるので、セミの大発生の年になることを知った。

　前回の両セミの大発生の年は1803年であったので、実に221年ぶりの出来事ということになる。

　m,nを0,1,2,…の整数とすると、両セミが共に地上に出る年数は13m=17nの式で求められる。1803年でm=n=0とすると、m=17; n=13のとき、すなわち13×17=221年で同じ現象が生じることになり、ピタリ2024年が大発生の年になる。

　それにしても、セミはなぜ北米大陸だけで13年ゼミと17年ゼミに進化したのだろうか。素数ゼミということなら、7年ゼミと11年ゼミのような組合せもありそうである。環境とセミの生育年数から最適化された年数ということだろうか。日本では、素数ゼミが見られないというのも、セミの進化の不思議である。

相互作用と相関関係との違いについての訂正

　量子力学において、量子の振る舞いを説明する事例として、よく挙げられるのが二重スリット実験である。この実験では、二重スリットを通過した1個の量子が波動の重ね合わせにより干渉を起こすことが知られている。自然科学カフェのスタッフさんと話をしていて、不用意にも波動の間の「相互作用」により干渉を起こす旨の説明をしてしまい、スタッフさんから、それは「相互作用ではない」とのご注意をいただいた。そこで、再び同じ過ちをくりかえさないために、相互作用と、量子波動がもつ「相関関係」との違いを明確に説明することにした。

　「作用」という用語を使う場合には、量子または質点に外力が働くことが前提となっている。たとえば、量子間で電磁気力を伝える粒子は光子なので、量子間に光子が介在せず、他の外力も媒介しなければ、両者には相互作用がないことになる。質点系の場合も同様であり、遠く離れた星の光を地球上の人間が観測できるのは、星から到来する光子群が人間の目や観測機器に作用するからに他ならない。

　一方、二重スリット実験において、二重スリットを通過した波動の間には1個の量子が元々もっていた相関関係が保存されると考えるので、波動の重ね合わせにより干渉を起こすことになる。これは、外力による相互作用ではない。

　二つの量子が相関関係をもつ「量子もつれ」という現象がある。たとえば、量子のスピンの方向がそれぞれ重ね合わさった状態にあるときには、両方の量子は強い相関関係をもつので、その観測結果は理論的に予想できて、一方の量子のスピンの方向が「上向き」であれば、他方の量子のスピンの方向は「下向き」に決まる。しかし、一方の量子のスピンの方向が「上向き」なのか「下向き」なのかは、観測されるまで不確定である。つまり、二個の量子A,Bが「量子もつれ」の関係にあるとき、AとBとが十分遠く離れていても、Aの物理量の測定を行ってその値が確定すれば、Bの物理量の値が瞬時に確定する。Aの情報が光の速度を越える速さでBに伝わることになるので、非局所的長距離相関という。ただし、二つの量子には電磁気力のような外力が働かないものとする。二つの量子間には、理論的には重力が働くが、微弱なので無視できる。こうしてみると、二つの量子の間の相互作用は無視できるが、相関関係があれば情報の伝達には時間がかからないことになる。

　量子もつれの特徴である非局所的長距離相関を知ると、宇宙には「時間は存在しない」という説が現実味を帯びたものに感じられる。物理学者の松浦荘氏は、「私たちが思い込んでいる「時間」という存在は、物体の運動が持つ性質を説明するために導入された仮説だった、というのが事の真相です。」と述べている。

　2022年6月12日付のブログ「量子論についての雑感」中の「相互作用がなくなる」の記述は、「相関関係がなくなる」に訂正します。また、2019年6月16日付のブログ「常温でコヒーレント状態を維持する量子現象」中の「(二重)スリットを通過した電子は二つの球面波に分離し、」の記述は、「二つの球面波となり、」に訂正します。

自然数全体の和をとる無限級数

　11月のNHKテレビの番組「笑わない数学」で、自然数全体の和の公式
　　　1+2+3+…=-1/12　　　(1)
が正しいか否かをめぐって展開された歴史的経緯といくつかの総和法についての説明があった。左辺の無限級数はどう見ても無限大になるとしか考えられないのに、右辺が-1/12に収束することを示しているから、この式は間違いであるで終わってしまいそうである。

　50年ほど前に習った無限級数についての定理:
「正項級数a1+a2+a3+…は、その部分和Snが有界なるとき、すなわち
　　　Sn=a1+a2+…+an<=K (an>0; n=1,2,3,…)
なるnに無関係な定数Kが存在するとき収束し、有界でないとき+無限大に発散する。」に照らすと、(1)式の左辺は無限大に発散するはずである。

　しかし、(1)式のように発散してしまう無限級数も、ゼータ関数表示にして繰り込み操作をすると収束することが知られている。ゼータ関数とは、
　　　Z(s)=1^(-s)+2^(-s)+3^(-s)+4^(-s)+… (2)
で表現できるsの関数である。(1)式はZ(-1)の場合に相当し、その計算結果はZ(-1)=-1/12となって、(1)式右辺に一致する。また、Z(-2)=0, Z(-3)=1/120の結果が得られる。

　物理学の場の理論によると、真空も電磁場として取り扱われる。真空は、エネルギー的には基底状態にあり、零点エネルギーをもって零点振動を行っている状態とされる。真空中に、薄い金属膜を2面、接近するように向かい合わせておく。2つの膜の間には電気的クローン力が存在しないにもかかわらず、膜の間には弱い引力が働き、膜が互いに引き合うことが確かめられる(カシミール効果と呼ばれている)。

　金属膜の間の狭い空間に閉じ込められている電磁場の零点エネルギーと、金属膜がないときの同一空間内の零点エネルギーとの間には差分が生じるので、その差分を計算することによって、膜の間に生じる引力の大きさを算出することができる。その計算式に基づいて計算するプロセスの途中に、次の無限級数:
　　　1^3+2^3+3^3+4^3+…
を計算する場面が出てくる。この無限級数をゼータ関数とみなせば、Z(-3)=1/120に相当する。この数値を用いた理論値は、実測値と一致することが確かめられている。そうすると、ゼータ関数の少なくともZ(-3)が、間接的に確認されたことになる。

　無限級数を扱う「笑わない数学」では、「カシミール効果」のほかに、超弦理論の10次元時空についても言及していた。この理論では、(1)式を用いることにより、10次元時空が予言できるとのことである。

　そこで、「無限大に発散する無限級数の計算において、繰り込み操作をすると収束する例について教えてほしい。」とネット検索すると、リーマンのゼータ関数として(2)式を挙げ、「実数sに対してs>1のとき収束し、s<=1のとき発散する。s<=1のとき、繰り込み操作により収束することが知られている。」との回答を得た。

　無限集合に関する「部分無限集合の濃度は全体集合の濃度に等しい」という命題は、直感に反する。上記の定理に反し、直感にも反する(1)式を前にして、まだ無限大というものを理解するに至っていないのではないかと思う。

　数学好きの知人にこの問題を投げると、「「無限大の不思議」というよりは「解析接続の不思議」というものでしょう」というコメントが返ってきた。(2)式は、実はオイラーのゼータ関数であり、sは実数である。これを複素数の世界にまで拡張したものが、リーマンのゼータ関数である。リーマンのゼータ関数は、(2)式を包含していることと、解析接続は、複素関数に対しても矛盾なく成立することを確認したい。

　参考文献
　中村亨著「リーマン予想とはなにか」(ブルーバックス)