城ヶ崎海岸には、２つのウォーキング・コースがある。ピクニカルコース（約３ｋｍ・９０分）と自然研究路（約６ｋｍ・３時間）である。
若い頃は、自然研究路を歩くか、あるいはピクニカルコースを歩いたその足で大室山まで歩き、リフトで頂上に上がったものであるが、年をとると、ピクニカルコースだけで充分という状態である。
遊歩道に沿って点在する黒松の巨木が見事である。また、黒松を近景として眼下の岩に衝突して砕け飛ぶ波の景観とその響きも豪快である。
流れ出た溶岩が海と出あってそのまま固まったと思われる場所がある一方、柱状に切り立った岩で構成される崖は溶岩をベースとする変成岩か。
城ヶ崎海岸は、大室山の噴火の際の溶岩が流出してできた典型的なリアス式海岸と言われるが、そのような単純な説明では納得できないような歴史を秘めているようだ。
海を隔てて伊豆の大島の島影がごく近くに見える。
多くの人々の興味は揺れる吊り橋から数十メートル下の岩礁と海を見下ろすスリルにあるようで、その近辺に人が集まる。
地図で自然研究路の海岸線をながめていて、フラクタルの数理を用いてこの海岸線のことを語れるのではないか、と考えた。
このような不規則に出入りする海岸線は、自己相似性をもつフラクタル図形の例として挙げられる。自己相似性とは、地図の縮尺を変えても同じように複雑な変化をする性質のことを言う。
この自己相似性を特徴量として表現するものがフラクタル次元である。一次元や二次元の通常の図形とフラクタル図形を含めて、図形の次元は、次のように定義される。
「全体をａ分の１に縮小したとき、全体は縮小された図形ｂ個からなるならば、ｂ＝ａ＾ｄ（＾はべき乗を表す）を満たすｄが、その図形の次元である。」
人工的につくられたフラクタル図形として、コッホ曲線やカントル集合が知られている。これらの図形は、目で見て自己相似性を確認できるし、フラクタル次元を計算することもできる。因みに、コッホ曲線のフラクタル次元ｄは１．２６程度、カントル集合のｄは０．６３程度である。これらの図形は、数学的な規則によってつくられたものであり、幾何的な自己相似性をもつフラクタル図形とよばれる。
自然の風景として見られる海岸線のような図形は、統計的な自己相似性をもつフラクタル図形とよばれるが、図形の何分の１かを取り出しても全体と相似になっているかどうか明らかではない。そこで、上記定義に従ってフラクタル次元を求めてみることにした。
手持ちの自然研究路の地図は、縮尺２万分の１である。まず、その海岸線の地図上に、長さ４ｍｍの単体の線分の始点と終点が海岸線に乗るようにつないだ折れ線を書き込み、海岸線の第１近似とした。このコース全体の単体線分の数を計数すると、４５個であった。
次に、地図上の海岸線に沿って、長さ２ｍｍの線分が海岸線に乗るような折れ線を書き込み、海岸線の第２近似とした。このコース全体の単体線分の数を計数すると、１０１個であった。
そうすると、定義に従ってこの海岸線のフラクタル次元を計算できる。海岸線の測定結果は、全体を２分の１に縮小したとき、全体は縮小された図形１０１／４５＝２．２４個からなることになるので、フラクタル次元ｄを計算すると、１．１７程度となる。
海岸線のフラクタル次元は１．１～１．４と報告されているので、計算した数値は予想される範囲に入っている。
しかし、第２近似の計数をやり直してみると、１３０個とでた。累積誤差が６０ｍｍにも及ぶとは信じられない。いかに測定結果に信頼性をおけないかに愕然とする。
そこで、きわめてシンプルなモデルによって、フラクタル次元が自己相似性を反映しているのか否か、調べてみることにした。このモデルは、単純図形を自己相似になるように増殖した幾何的なフラクタル次元ではなく、海岸線を単純化したものであるから、統計的な自己相似性に分類されるものである（統計的と言っても、統計的な処理を何もしていないが）。
一辺の長さを１とする正方形を内接する円を考える。この正方形の４つの辺は、この円の円周に乗るような折れ線の第１近似と考えることができる。この円に内接する正８角形の８つの辺は、この円周に乗る折れ線の第２近似である。
この正８角形の各辺の長さを計算し、正方形の辺の長さ１との比は線分の縮尺比率ａに相当する。縮小された図形は８／４＝２個からなるので、フラクタル次元ｄを計算すると、１．１２５程度となる。円周の全体ではなく、半円あるいは１／４円の円弧についても同じ値である。
次に、この円に内接する正１６角形の１６個の辺は、この円周に乗る折れ線の第３近似である。
この正１６角形の各辺の長さを計算し、正８角形の各辺の長さとの縮小比率ａを計算し、フラクタル次元ｄを計算すると、１．０３３程度となる。
さらに、この円に内接する正３２角形の３２個の辺は、この円周に乗る折れ線の第４近似である。
この正３２角形の各辺の長さを計算し、正１６角形の各辺の長さとの縮小比率ａを計算し、フラクタル次元ｄを計算すると、１．００９程度となる。
ここで、以上の結果が、参考文献にある記述「代表点の数を２倍にするごとに、全体の長さはほぼ一定の倍率で増大する」に合っているのか否か確認する。
第１近似を第２近似、第２近似を第３近似、第３近似を第４近似に拡大するときのフラクタル次元は、各々１．１２５，１．０３３，１．００９であった。第１近似の全長と第２近似の全長の倍率を計算すると、１．０８となる。第２近似と第３近似、第３近似と第４近似についても同じ計算をすると、各々１．０２と１．００７となる。
したがって、計算結果は参考文献の記述とほぼ合っていることがわかる。しかし、この結果は「一定の倍率で増大する」と言えるのだろうかという疑問が生じる。
フラクタル図形で言う相似性は、相似な図形として小学校などで習う線形な相似とは異なり、べき乗則にしたがった非線形の相似である。従って、これをより正確に表現すれば、「代表点の数を２倍にするごとに、全体の長さはべき乗則にしたがって長くなる」ということになる。
上記フラクタル次元の計算例では３つのフラクタル次元が現れた。べき乗則のパラメータとして、１つの代表的なフラクタル次元に集約できないのだろうか。
第１近似、第２近似、第３近似、第４近似の単体線分の長さを各々Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４とし、上記近似間のフラクタル次元を順にｄ１，ｄ２，ｄ３とすると、
２＝（Ｓ１／Ｓ２）＾ｄ１＝（Ｓ２／Ｓ３）＾ｄ２＝（Ｓ３／Ｓ４）＾ｄ３
が成り立つ。従って、理論的にはｄ１さえ計算できれば、ｄ２，ｄ３を従属変数として計算できる。
そこで、この例では、フラクタル図形の特徴量として、ｄ＝１．１２５程度と考えてよいだろう。ただし、海岸線の単体線分とは同じ基準ではないので、海岸線のフラクタル次元との比較に意味はない。
ｎを無限大にもっていく操作をｌｉｍで表現すると、
ｌｉｍ（Ｓｎ－１／Ｓｎ）＝２
であるから、
ｌｉｍｄｎ＝ｌｉｍ（２Ｓｎ／Ｓｎ－１）＝１
となる。ｄｎが１に近くなれば、これを２Ｓｎ／Ｓｎ－１で近似できることが分かる。
そうすると、海岸線のような任意の曲線についても、より小さい単体線分よりなる折れ線で近似していくと、そのフラクタル次元は直線の次元である１に収束していくことに他ならない。
海岸線のフラクタル次元を同じ基準で測定し、同じ基準で計算しても、１．１～１．４と幅があり、一意に定まらないということは、各海岸線に個性があるということである。そして、近似の精度を上げていくにつれて、この個性が消失していき、最終的にはすべて同じ１に収束していくのだろう。
参考文献
杉原厚吉著「形と動きの数理」（東京大学出版会）
蔵本由紀著「非線形科学」（集英社新書）
若い頃は、自然研究路を歩くか、あるいはピクニカルコースを歩いたその足で大室山まで歩き、リフトで頂上に上がったものであるが、年をとると、ピクニカルコースだけで充分という状態である。
遊歩道に沿って点在する黒松の巨木が見事である。また、黒松を近景として眼下の岩に衝突して砕け飛ぶ波の景観とその響きも豪快である。
流れ出た溶岩が海と出あってそのまま固まったと思われる場所がある一方、柱状に切り立った岩で構成される崖は溶岩をベースとする変成岩か。
城ヶ崎海岸は、大室山の噴火の際の溶岩が流出してできた典型的なリアス式海岸と言われるが、そのような単純な説明では納得できないような歴史を秘めているようだ。
海を隔てて伊豆の大島の島影がごく近くに見える。
多くの人々の興味は揺れる吊り橋から数十メートル下の岩礁と海を見下ろすスリルにあるようで、その近辺に人が集まる。
地図で自然研究路の海岸線をながめていて、フラクタルの数理を用いてこの海岸線のことを語れるのではないか、と考えた。
このような不規則に出入りする海岸線は、自己相似性をもつフラクタル図形の例として挙げられる。自己相似性とは、地図の縮尺を変えても同じように複雑な変化をする性質のことを言う。
この自己相似性を特徴量として表現するものがフラクタル次元である。一次元や二次元の通常の図形とフラクタル図形を含めて、図形の次元は、次のように定義される。
「全体をａ分の１に縮小したとき、全体は縮小された図形ｂ個からなるならば、ｂ＝ａ＾ｄ（＾はべき乗を表す）を満たすｄが、その図形の次元である。」
人工的につくられたフラクタル図形として、コッホ曲線やカントル集合が知られている。これらの図形は、目で見て自己相似性を確認できるし、フラクタル次元を計算することもできる。因みに、コッホ曲線のフラクタル次元ｄは１．２６程度、カントル集合のｄは０．６３程度である。これらの図形は、数学的な規則によってつくられたものであり、幾何的な自己相似性をもつフラクタル図形とよばれる。
自然の風景として見られる海岸線のような図形は、統計的な自己相似性をもつフラクタル図形とよばれるが、図形の何分の１かを取り出しても全体と相似になっているかどうか明らかではない。そこで、上記定義に従ってフラクタル次元を求めてみることにした。
手持ちの自然研究路の地図は、縮尺２万分の１である。まず、その海岸線の地図上に、長さ４ｍｍの単体の線分の始点と終点が海岸線に乗るようにつないだ折れ線を書き込み、海岸線の第１近似とした。このコース全体の単体線分の数を計数すると、４５個であった。
次に、地図上の海岸線に沿って、長さ２ｍｍの線分が海岸線に乗るような折れ線を書き込み、海岸線の第２近似とした。このコース全体の単体線分の数を計数すると、１０１個であった。
そうすると、定義に従ってこの海岸線のフラクタル次元を計算できる。海岸線の測定結果は、全体を２分の１に縮小したとき、全体は縮小された図形１０１／４５＝２．２４個からなることになるので、フラクタル次元ｄを計算すると、１．１７程度となる。
海岸線のフラクタル次元は１．１～１．４と報告されているので、計算した数値は予想される範囲に入っている。
しかし、第２近似の計数をやり直してみると、１３０個とでた。累積誤差が６０ｍｍにも及ぶとは信じられない。いかに測定結果に信頼性をおけないかに愕然とする。
そこで、きわめてシンプルなモデルによって、フラクタル次元が自己相似性を反映しているのか否か、調べてみることにした。このモデルは、単純図形を自己相似になるように増殖した幾何的なフラクタル次元ではなく、海岸線を単純化したものであるから、統計的な自己相似性に分類されるものである（統計的と言っても、統計的な処理を何もしていないが）。
一辺の長さを１とする正方形を内接する円を考える。この正方形の４つの辺は、この円の円周に乗るような折れ線の第１近似と考えることができる。この円に内接する正８角形の８つの辺は、この円周に乗る折れ線の第２近似である。
この正８角形の各辺の長さを計算し、正方形の辺の長さ１との比は線分の縮尺比率ａに相当する。縮小された図形は８／４＝２個からなるので、フラクタル次元ｄを計算すると、１．１２５程度となる。円周の全体ではなく、半円あるいは１／４円の円弧についても同じ値である。
次に、この円に内接する正１６角形の１６個の辺は、この円周に乗る折れ線の第３近似である。
この正１６角形の各辺の長さを計算し、正８角形の各辺の長さとの縮小比率ａを計算し、フラクタル次元ｄを計算すると、１．０３３程度となる。
さらに、この円に内接する正３２角形の３２個の辺は、この円周に乗る折れ線の第４近似である。
この正３２角形の各辺の長さを計算し、正１６角形の各辺の長さとの縮小比率ａを計算し、フラクタル次元ｄを計算すると、１．００９程度となる。
ここで、以上の結果が、参考文献にある記述「代表点の数を２倍にするごとに、全体の長さはほぼ一定の倍率で増大する」に合っているのか否か確認する。
第１近似を第２近似、第２近似を第３近似、第３近似を第４近似に拡大するときのフラクタル次元は、各々１．１２５，１．０３３，１．００９であった。第１近似の全長と第２近似の全長の倍率を計算すると、１．０８となる。第２近似と第３近似、第３近似と第４近似についても同じ計算をすると、各々１．０２と１．００７となる。
したがって、計算結果は参考文献の記述とほぼ合っていることがわかる。しかし、この結果は「一定の倍率で増大する」と言えるのだろうかという疑問が生じる。
フラクタル図形で言う相似性は、相似な図形として小学校などで習う線形な相似とは異なり、べき乗則にしたがった非線形の相似である。従って、これをより正確に表現すれば、「代表点の数を２倍にするごとに、全体の長さはべき乗則にしたがって長くなる」ということになる。
上記フラクタル次元の計算例では３つのフラクタル次元が現れた。べき乗則のパラメータとして、１つの代表的なフラクタル次元に集約できないのだろうか。
第１近似、第２近似、第３近似、第４近似の単体線分の長さを各々Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４とし、上記近似間のフラクタル次元を順にｄ１，ｄ２，ｄ３とすると、
２＝（Ｓ１／Ｓ２）＾ｄ１＝（Ｓ２／Ｓ３）＾ｄ２＝（Ｓ３／Ｓ４）＾ｄ３
が成り立つ。従って、理論的にはｄ１さえ計算できれば、ｄ２，ｄ３を従属変数として計算できる。
そこで、この例では、フラクタル図形の特徴量として、ｄ＝１．１２５程度と考えてよいだろう。ただし、海岸線の単体線分とは同じ基準ではないので、海岸線のフラクタル次元との比較に意味はない。
ｎを無限大にもっていく操作をｌｉｍで表現すると、
ｌｉｍ（Ｓｎ－１／Ｓｎ）＝２
であるから、
ｌｉｍｄｎ＝ｌｉｍ（２Ｓｎ／Ｓｎ－１）＝１
となる。ｄｎが１に近くなれば、これを２Ｓｎ／Ｓｎ－１で近似できることが分かる。
そうすると、海岸線のような任意の曲線についても、より小さい単体線分よりなる折れ線で近似していくと、そのフラクタル次元は直線の次元である１に収束していくことに他ならない。
海岸線のフラクタル次元を同じ基準で測定し、同じ基準で計算しても、１．１～１．４と幅があり、一意に定まらないということは、各海岸線に個性があるということである。そして、近似の精度を上げていくにつれて、この個性が消失していき、最終的にはすべて同じ１に収束していくのだろう。
参考文献
杉原厚吉著「形と動きの数理」（東京大学出版会）
蔵本由紀著「非線形科学」（集英社新書）