Ｗｅｂｂ宇宙望遠鏡による原始銀河の観測

　タイム誌に、２０１８年１０月に打ち上げ予定のＷｅｂｂ宇宙望遠鏡に関する記事が載っていたので、Ｗｅｂｂの運動について力学的な計算をしてみたくなった。

　Ｗｅｂｂの主鏡は、直径６．３ｍほどあり、各々が６角形をした鏡のセグメント１８個より構成される。Ｗｅｂｂは、ハッブル宇宙望遠鏡の７倍の受光スペースをもつ。

　Ｗｅｂｂは、主として１３８億年前のビッグバンから２億年しか経過していない１３６億年前の天体を観測するため、赤外線域の信号を受光する。この年代の宇宙では、原始銀河とも呼べる初期の銀河を観測でき、星に光がともる様子を観測できるだろう。

　Ｗｅｂｂは、太陽を中心とする地球の公転軌道より外側であって、地球から１Ｍマイル（１．６Ｍｋｍ）離れた地点に設置される。月は地球から０．３８Ｍｋｍ離れているので、月よりも遠い場所である。この地点は、ラグランジュ点の１つとして知られ、後述するように、太陽と地球からの引力が消去されて、Ｗｅｂｂに及ぶ外力が０になる。

　Ｗｅｂｂは、太陽、地球、月から放射される可視光や赤外線を防ぐために、そのバックに直径２１ｍの太陽光シールドを備える。このシールドは、各々が真空ギャップをもつ５つのフォイル層から成る。最も太陽側に近いフォイル層の表面は８５度ｃにもなるが、Ｗｅｂｂ側の層の表面は－２２３度ｃにも下がる。赤外線域の信号にノイズが重畳しないためには、Ｗｅｂｂに伝わる外部からの輻射熱をここまで遮断しなければならないようだ。

　こうしてみると、Ｗｅｂｂを地球の公転軌道より内側ではなく外側にあるラグランジュ点に設置する意味が理解できる。Ｗｅｂｂは、太陽、地球、月に背を向け、ひたすら外の宇宙の果てにだけ目を向けるのである。

　Ｗｅｂｂの鏡面は外に対してむきだしになっており、ハッブルのように囲いの中に収容しない。そのため、多くのマイクロ隕石が鏡面に衝突して小孔をつくる。もしセグメントが変形したら、その背後のアクチュエータが稼働してセグメントの位置を調整する。ここでは、ハッブルの経験が生かされているのだろう。

　以下、ラグランジュ点に関する力学的な計算をして、その正当性を確認する。

　太陽と地球を連星とみるなら、この連星系には５つのラグランジュ点があることが知られている。これらの地点では物体に働く外力は０になる。これらのうち３つは、地球の公転面上であって太陽と地球とを結ぶ直線上にある。

　地球の公転軌道より内側には、物体に働く太陽による引力と地球による引力とが釣り合って０になる地点がありそうな気がする。しかし、なぜ地球の公転軌道より外側にラグランジュ点があるのか。

　太陽を中心軸として地球の公転運動に従って回転する運動座標系を考える。そうすると、この運動座標系に乗っている物体には、太陽と地球による引力のほかに物体の回転に伴う外向きの遠心力が働く。

　そこで、地球の公転軌道より外側にあって地球から１．６Ｍｋｍ離れたラグランジュ点では、物体に働く外力が０になることを確かめる。

　Ｗｅｂｂ施設の質量を５００ｋｇとしてみる（実は計算結果から、それが何ｋｇであっても結果は同じであることが分かる）。太陽から地球までの平均距離は１４９．６Ｍｋｍであるから、太陽からこの施設までの距離は、それに１．６Ｍｋｍを足して１５１．２Ｍｋｍとなる。そうすると、Ｗｅｂｂ施設が太陽から受ける引力は２．９ニュートンと計算できる。

　地球からＷｅｂｂ施設までの距離は１．６Ｍｋｍであるから、施設が地球から受ける引力は０．０８ニュートンと計算される。

　月からＷｅｂｂ施設までの平均距離は１．６Ｍｋｍとみなしてよいから、施設が月から受ける平均引力は０．００１ニュートンとなり、無視できる値である。従って、施設が太陽・地球・月から受ける内向きの引力の総量は２．９８ニュートンとなる。

　一方、公転するＷｅｂｂ施設にかかる外向きの遠心力は、５００ｋｇ×１５１．２Ｍｋｍ×（公転の角速度）＾２の式に基づいて計算できる。公転周期を３６５日とすると、遠心力の大きさは２．９９ニュートンとなる。

　このようにして、Ｗｅｂｂ施設が受ける引力と遠心力とが釣り合い、受ける外力はほぼ０になることが確かめられる。両者にわずかの差があるのは、地球と施設との距離１Ｍマイルが概略値のためだろう。

　Ｗｅｂｂ施設が位置するラグランジュ点は、Ｌ２と名付けられ、物体に働く外力が釣り合う点の１つであるが、地球の公転面上にある他のラグランジュ点Ｌ１，Ｌ３とともに不安定な地点とされる（地球の公転面から離れたラグランジュ点Ｌ４，Ｌ５は安定な地点とされる）。

　運動座標系に乗っている太陽と地球は、ほぼ静止に近い状態とみなせる。月は、地球のまわりを周回しているが、その角運動量は一定と考えてよいであろう。

　そうすると、最初にＬ２のまわりを周回するように小さな角運動量を与えられたＷｅｂｂ施設は、それが保存するようにＬ２のまわりを安定して周回すると考えてよい。地球や月の角運動量が保存されるのであれば、同様にＷｅｂｂ施設の角運動量も保存されるためである。

　参考文献
　鈴木敬信著「天文学通論」（地人書館）

おもちゃの電動マウスから学ぶこと

　猫用のおもちゃとして、ワイルドマウスとかクレイジーマウスと呼ばれている電動のデバイスがある。

　入手したおもちゃは、左右に６本ずつのプラスチックの足を備え、バイブレータの振動のエネルギーが両足に伝わって、床の上をマウスのように走り回る。

　このマウスがひっくり返っても起き上がる様子を見て、ポテンシャル関数の壁を乗り越えて起き上がるためのエネルギーは振動エネルギーそのものか、エネルギーのゆらぎによるものなのかに興味をもった。

　そこで、ポテンシャル関数の安定点がいくつあって、各々の安定点の安定性はどのように異なるのかについて調べてみることにした。

　安定点が３つあることはすぐ分かる。最も安定性が高いと思われる状態は、正規に直立した状態Ｆである。次に、マウスがひっくり返った状態Ｂがある。マウスの背中は突起状になっているので、この状態は完全にひっくり返った状態（直立から１８０度の変異）よりも約２０度傾いた状態となる。３番目は、横倒しの状態（直立から９０度の変異）Ｓである。

　まず、畳の上でＢ状態から出発してどうなるかを１０回観測した。１０回のうち５回は０～４５秒でＳ状態となった。残りの５回は１分を過ぎてもＢ状態のままであった。畳の上は、起き上がりに不向きなことが分かる。

　次に、板の床上でＢ状態から出発してどうなるかを観測した。１０回のうち６回は３～１０秒後には直接Ｆ状態に遷移し、走り出した。残りの４回はＢからＳ状態になり、１分を過ぎてもＳかＢ状態のままであった。Ｂ状態のまま１分経過のケースはなかった。

　この結果から見て、Ｂ状態のマウスは振動によって床から飛び上がり、床との反発作用によってＳ状態を経ずに直立するか、反発力不足のためにＳ状態に移るかのいずれかとなることが分かる。これは振動エネルギーのゆらぎとは考えられない。

　次に、板の床上でＳ状態から出発してどうなるか観測した。１０回のうち６回はＳ状態からＢ状態になったので、そこでマウスの振動を止めた。残りの４回はＳ状態から直接Ｆ状態になったので、マウスの走行を停止させた。

　最後に、板の床上でＦ状態から出発してマウスを自由に走行させてみた。各々１分間の試行を１０回繰り返したが、マウスは走行を続け、転倒するようなことはなかった。特に、マウスが何回壁に衝突しても反発作用によって向きを変えるだけで、転倒することはない。

　以上の観測結果から言えることは、Ｆ状態が最も安定性が高いこと、Ｂ状態が最も不安定であること、Ｓ状態が両者の中間程度の安定性をもつということである。ポテンシャル関数は３つの谷をもち、各々の極小点の高さはＢ－Ｓ－Ｆの順に低くなる。

　特に、Ｂ状態は２０度の傾きをつけてＦかＳ状態に遷移しやすい不安定な構造になっていることが読み取れる。

　以上の現象は、マウスのおもちゃに特有のものではなく、広く自然界に見られる抽象的モデルの一つの事例を示していることに注意したい。

　例えば、金属加工技術で知られているアニーリング（焼きなまし法）の事例がある。金属分子の中に余分な力（応力）が溜まっていると、金属は硬くなるが、脆く壊れやすくなる。この余計な力が溜まっている状態は、金属を構成する原子や分子のエネルギーが高くて不安定な状態でもある。そこにアニーリングにより軽く熱を加えると、歪んだ状態が解消される。この方法によって、金属はエネルギーの高い（不安定な）状態からエネルギーの低い（安定な）状態へ移行して落ち着くことになる。