（2次方程式でのガロアのアイデア）
本は半分ほど進んだがまた逆戻りである。
2次方程式x^2+ax+b=0の解の公式は、ふつうには平方完成をして導くが、ガロアの発想では次のようになる。
有理数体Qに2次方程式の解αを付け加えた拡大体K（2次体）を基礎とする。
1 αの自己同型f(α)が
α（恒等写像）かβ（共役写像）であること、
2 2次方程式の判別式(α－β)^2の自己同型f((α－β)^2)が
f(α－β)^2)＝(α－β)^2 より
(α－β)^2が有理数であることを導く。
そして、
3 α－β＝±√(α－β)^2 と α＋β＝－a（解と係数の関係）
を連立させて導く。
こうして αが有理数の平方根と有理数の四則演算から求められる。
4 K=Q(α)=Q(√有理数)という流れ