二項係数による導出2

Σk(k+1)(k+2)…(k+m－1)を導こう。
まず、_k+m-1C_m=(k+m－1)(k+m-2)…(k+2)(k+1)k/m!だから、
Σk(k+1)(k+2)…(k+m－1)=m!・_k+m-1C_mである。
また、_nC_r = _n-1C_r-1 + _n-1C_r だから、
n=k+m、r=m+1のときは、次のようになる。
_k+mC_m+1 = _k+m-1C_m + _k+m-1C_m+1
ここから、_k+m-1C_m = _k+mC_m+1 － _k+m-1C_m+1
差分を強調すれば、
_k+m-1C_m = _k+mC_m+1 － _(k-1)+mC_m+1である。

k=1からk=nまでの和をとる。
Σk(k+1)(k+2)…(k+m－1)
=m!・Σ _k+m-1C_m
=m!・Σ( _k+mC_m+1 － _(k-1)+mC_m+1 )
ここでΣ(　　)を書き下ろしてみると、
_1+mC_m+1 　 － _mC_m+1
2+mC_m+1 　 － _1+mC_m+1
3+mC_m+1 　 － _2+mC_m+1
　…
_(n-1)+mC_m+1 － _(n-2)+mC_m+1
n+mC_m+1 　 － _(n-1)+mC_m+1

左側の項は１行下の右側の項と相殺される。最終的に右上の項と左下の項だけが残る。しかも右上の項は0だから、結局Σ{　}の中は左下の_n+mC_m+1だけである。
したがって、
Σk(k+1)(k+2)…(k+m－1)
=m!・_n+mC_m+1
=m!・n(n+1)(n+2)…(n+m)/(m+1)!
=1/(m+1)・n(n+1)(n+2)…(n+m)

二項係数による導出の
=m!・Σ _k+m-1C_m(=Σk(k+1)(k+2)…(k+m－1))
=m!・Σ( _k+mC_m+1 － _(k-1)+mC_m+1 )
=m!・_n+mC_m+1
は、
階乗関数による導出の
Σk^(m)(=Σk(k+1)(k+2)…(k+m－1))
=1/(m+1)・Σ⊿k^(m+1)
=1/(m+1)・n^(m+1)
に対応する。