Σk(k+1)(k+2)…(k+m-1)を導こう。
まず、k+m-1Cm=(k+m-1)(k+m-2)…(k+2)(k+1)k/m!だから、
Σk(k+1)(k+2)…(k+m-1)=m!・k+m-1Cmである。
また、nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr だから、
n=k+m、r=m+1のときは、次のようになる。
k+mCm+1 = k+m-1Cm + k+m-1Cm+1
ここから、k+m-1Cm = k+mCm+1 - k+m-1Cm+1
差分を強調すれば、
k+m-1Cm = k+mCm+1 - (k-1)+mCm+1である。
k=1からk=nまでの和をとる。
Σk(k+1)(k+2)…(k+m-1)
=m!・Σ k+m-1Cm
=m!・Σ( k+mCm+1 - (k-1)+mCm+1 )
ここでΣ( )を書き下ろしてみると、
1+mCm+1 - mCm+1
2+mCm+1 - 1+mCm+1
3+mCm+1 - 2+mCm+1
…
(n-1)+mCm+1 - (n-2)+mCm+1
n+mCm+1 - (n-1)+mCm+1
左側の項は1行下の右側の項と相殺される。最終的に右上の項と左下の項だけが残る。しかも右上の項は0だから、結局Σ{ }の中は左下のn+mCm+1だけである。
したがって、
Σk(k+1)(k+2)…(k+m-1)
=m!・n+mCm+1
=m!・n(n+1)(n+2)…(n+m)/(m+1)!
=1/(m+1)・n(n+1)(n+2)…(n+m)
二項係数による導出の
=m!・Σ k+m-1Cm(=Σk(k+1)(k+2)…(k+m-1))
=m!・Σ( k+mCm+1 - (k-1)+mCm+1 )
=m!・n+mCm+1
は、
階乗関数による導出の
Σk(m)(=Σk(k+1)(k+2)…(k+m-1))
=1/(m+1)・Σ⊿k(m+1)
=1/(m+1)・n(m+1)
に対応する。
まず、k+m-1Cm=(k+m-1)(k+m-2)…(k+2)(k+1)k/m!だから、
Σk(k+1)(k+2)…(k+m-1)=m!・k+m-1Cmである。
また、nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr だから、
n=k+m、r=m+1のときは、次のようになる。
k+mCm+1 = k+m-1Cm + k+m-1Cm+1
ここから、k+m-1Cm = k+mCm+1 - k+m-1Cm+1
差分を強調すれば、
k+m-1Cm = k+mCm+1 - (k-1)+mCm+1である。
k=1からk=nまでの和をとる。
Σk(k+1)(k+2)…(k+m-1)
=m!・Σ k+m-1Cm
=m!・Σ( k+mCm+1 - (k-1)+mCm+1 )
ここでΣ( )を書き下ろしてみると、
1+mCm+1 - mCm+1
2+mCm+1 - 1+mCm+1
3+mCm+1 - 2+mCm+1
…
(n-1)+mCm+1 - (n-2)+mCm+1
n+mCm+1 - (n-1)+mCm+1
左側の項は1行下の右側の項と相殺される。最終的に右上の項と左下の項だけが残る。しかも右上の項は0だから、結局Σ{ }の中は左下のn+mCm+1だけである。
したがって、
Σk(k+1)(k+2)…(k+m-1)
=m!・n+mCm+1
=m!・n(n+1)(n+2)…(n+m)/(m+1)!
=1/(m+1)・n(n+1)(n+2)…(n+m)
二項係数による導出の
=m!・Σ k+m-1Cm(=Σk(k+1)(k+2)…(k+m-1))
=m!・Σ( k+mCm+1 - (k-1)+mCm+1 )
=m!・n+mCm+1
は、
階乗関数による導出の
Σk(m)(=Σk(k+1)(k+2)…(k+m-1))
=1/(m+1)・Σ⊿k(m+1)
=1/(m+1)・n(m+1)
に対応する。
※コメント投稿者のブログIDはブログ作成者のみに通知されます