グレゴリーの級数を導く

オイラーは「虚対数が円弧に帰着される様式」を導いた。
　　
ここで、真数部分をcos zで割ると、弧zを正接を用いて、表示できる。
　　　　　　(1)
ところで、「自然対数の値を効率よく求める」で見たように、
　　
だった。ここで、x＝itan z とおくと、
　　
したがって、(1)式は
　　
となる。ここでtan z＝tとおくと、z＝arc tan tとなる。
　　
これでグレゴリーの級数が導出できた。t＝1のとき、弧zはπ/4の弧に等しい。
　　
これがライプニッツの級数である。