調べもの。

いまだに年賀状を書いていない。なかなか書けないのである。
とにかく明日には投函しようと思っているが，実現のめどは立っていない。

年賀状は多くの人に出すわけではなく，あて先は十に満たない。そしてほとんどが身内である。
ただ，そうは言ってもお世話になった方々も数名含まれている。一言二言メッセージを入れようと思っているのだが，そのために今年一年，どんな風にお世話になったかを思い返している。

年賀状は世間体的には挨拶の手段として重要な役割を持っているのだろうが，僕のように枚数が少ないと，じっくり考えることになり，その結果，ちょうど一年を振り返り，そして今度はどう世話になろうかと，新年へも思いをはせることへとつながるのだと，いまさらながらに気がついた。

今年一年の総括は（年賀状を済ませてから！）また改めて書くこととしたいが，つい，Wikipedia の記事を書くという，結局まだ果たしていない野望を思い出してしまった。

Frenet-Serret の公式の項目を狙っているのだが，歴史的なことも少し述べたいので，いろいろ調べてみようと思い立った。

その際，半年ほど前に見つけてダウンロードしていた Richard S. Palais 氏の講義資料を思い出したので，ちらっとのぞいてみた。

※ R. S. Palais 氏は1931年生まれとのことで，やはり Nirenberg，Browder，J.-L. Lions らとほぼ同時期に活躍を開始した方である。（Wikipedia の記事は，なぜか英語のはなく，ドイツのものしかない。）
そういえば，まったく関係ないが，ふと John Milnor 氏のことも思い出したが，奇しくも Milnor 氏は Palais 氏と生年が同じであった。一応両氏はまったくの無関係というわけではなく，「モース (Morse) 理論」という両者に共通の研究背景がある。
近いうち，Palais 氏と Smale 氏の共著の "A Generalized Morse Theory" という，変分法の分野における基礎文献の一つを読む（というより，眺める）予定である（ここ数日，机の上に置いてある）。
P氏とM氏はどちらもご健在である。
あと，どうでもよいことだが，Palais 氏の奥さんは教え子らしい。
そして何より驚いたのは，最近，まったく異なる興味から調べていた Gleason 氏と Mackey 氏が Palais 氏の学位論文の advisor に名を連ねていることである。どうやら，

George D. Birkhoff
↓
M. H. Stone
↓
G. Mackey
↓
A. M. Gleason
↓
R. S. Palais

という系譜のようだ。
M. H. Stone のある論文についてもいずれ話題にする機会が来るだろう。
Mackey，Gleason についても読みたい論文が一本ずつある。
なお，別の線で追っている角谷静夫と Mackey には内積空間の特徴づけに関する共著の論文がある。
こうした研究者同士のつながりが見えてくると，その分野に関する見通しもよくなるような気がしてならない。


Palais 氏の講義資料は以前もざっと眺めたが，今回改めて見てみると，最初の部分，特に Euclid 群の話が目に飛び込んでくる。
距離保存の写像は内積保存でもあるというような演習問題などが目を引く。
設定が内積空間だというのも，僕にとっては実にタイムリーである。
そして，微分幾何の専門家は，もはや Serret の名を落として，Frenet の名のみを諸公式に冠するということも窺われた。
ただし，歴史的なことに関する記述は特に見当たらない。

※※ つまらないことだが，Palais 氏の講義ノートにおいて，内積に関するコーシー＝シュワルツの不等式のシュワルツのつづりが間違っている。これは有名な話で，Schwartz ではなくて Schwarz が正しい。なお，史実をふまえる限りでは，有限次元のベクトルに関する不等式の場合は Cauchy の不等式と呼び習わすのがよいと思う。
それに，Frenet-Serret の公式の名称に Serret の名を入れないという精神に基づけば，Schwarz の名を入れずに Bunyakovski（ブニャコフスキー）の不等式と呼ぶべきであろう。これは旧ソ連で書かれた関数解析の教科書に実際に見受けられる流儀である。

僕が最近夢中になっていた「内積空間の等距離写像」というのは，おそらく，非常に有名な Klein のエルランゲン・プログラムに端を発する，140年間もの伝統を持つ現代幾何学の基礎的な対象であって，有限次元実内積空間においては「Euclid の運動」と呼ばれるものであるということが，このところの調査でわかってきた。そして例えば2次元平面内の等距離写像の分類などはもっとも古い伝統を持つものだろうと思われる。おそらくエルランゲン・プログラムの発表前後にすでに基本的な結果が発表されていたに違いない。そしてそれを複素平面で考察するということも同時期に解決していると期待される。このあたりのことは，19世紀の半ばから後半にかけて書かれたしかるべき教科書などを調査すれば解決するだろうという見込みがある。Alhors の『複素解析』の参考文献から調べてみるというのは有益なアイデアかもしれない。

歴史的なことに関しては，Struik 氏の "Lectures on classical differential geometry" という本に簡単に触れられている。この本は微分幾何の入門書としてとてもよさそうである。

あと，そういえば，今年度のベクトル解析の講義を準備する際の参考書として手に取った松本幸夫氏と川崎徹郎氏の共著の教科書『空間とベクトル』の前半部分で，3次元空間における Euclid 群関連の話題が扱われていたようなことが思い出されてきた。その頃はほとんど関心がなかったが，今は俄然興味がある。
年が明けて図書館が開いたらさっそく見てみようと思う。


この記事は，今年一年の調査活動の一側面の振り返りにちょうどなったので，結構満足である。
（編集中に二回ほどPCがブラックアウトしたのだが，寒いせいだろうか・・・？）