算数問題の発展形を考える

　先月のブログで記した小学校の算数問題に関して、その中の難問の一つを解くことに集中し、何らかの展開があったと思われるので、ここに紹介します。

　問題は、参考文献のＱ４２として提示されているもので、ここに転載させてもらうと、次のようなものである。

　「次の数字を使って下の式を完成させてください。
　　　　１　２　３　４　５　６　７　８
　　　［（　）／（　）］÷［９／（　）］＝（　）／（　）　」

　提示されている式中の未知数をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅで表現すると、
　　　（Ａ／Ｂ）÷（９／Ｃ）＝Ｄ／Ｅ
となる。Ａ／Ｂは、分子がＡ、分母がＢ、すなわちＢ分のＡという分数、９／Ｃ，Ｄ／Ｅも同様である。

　この問題の答として紹介されているものは、
　　　（４／８）÷（９／６）＝１／３，（２／４）÷（９／３）＝１／６など
というものである。

　しかし、いずれの答も、数字５，７を使っていないし、最初の回答例では数字２、次の回答例では数字８も使っていない。従って、紹介されている答は、問題の適切な回答となっていないと考えられ、不満である。

　そこで、未知数として２桁の数字も許すことにし、１～８のすべての数字を使うような解が存在するのか否か、探求することにした。

　まず、未知数の中に２桁の数字と１桁の数字が含まれるとすると、２桁の数字は３個、１桁の数字は２個でなければならないことは、すぐ分かる。

　次に、未知数として５を含む５の倍数が使えないことも理解できる。もし５の倍数を未知数に使うと、数字５のダブル使用になるためである。そこで、未知数の１つは、５Ｘの形のものに限られることになる。

　５Ｘの候補として、５１（３×１７），５２（４×１３），５４（６×９）および５６（７×８）が考えられる。５１，５２の素因数には１７，１３のような素数が含まれるので、式の中に配置しにくそうである。そうすると、残る候補は、５４と５６ということになる。

　次に、左辺または右辺に１桁の７が現れ、その反対辺に２桁の７の倍数が現れるのではないかという予想の下に、２桁の７の倍数、１４，２１，２８，４２，５６，６３，８４を考える。

　これら７の倍数のうち、５４と組合わせられるものは、２１，２８，６３だけである。また、７の倍数と５６の組合せは、素数７が消去されて答の式の中に残らないだろう。

　そこで、２１，２８，６３と５４との組合せについて式を満たすか否か試してみる。ここで、１桁の７を式の中に残すように、ＡまたはＤが７と仮定してみる。

　未知数Ａ～Ｅの間の関係を式に書くと、
　　　９ＢＤ＝ＡＣＥ
となる。

　ＡまたはＤの一方を７とし、他方を７の倍数２１，２８，６３とし、Ｅを５４と仮定すると、ＢとＣの間の関係式ができるから、残った数字を使ってこの関係式を満足するＢとＣを探せばよい。

　このような試行をした結果、次の式が条件を満足することが分かった。
　　　（７／８）÷（９／１２）＝６３／５４

　つまり、Ａ＝７，Ｂ＝８，Ｃ＝１２，Ｄ＝６３，Ｅ＝５４である。

　そうすると、この式の両辺に８／６３を掛けた
　　　（７／６３）÷（９／１２）＝８／５４
もまた答となる。

　大人の数学を用いてこのような問題を解こうとしても難しい。一応組合せ論の分野に入る問題と思われるが、一般に組合せ問題は、解決のための適切なアルゴリズムがないことで知られる。この問題の場合も、ただ１回だけ用いる数字の配列と素因数分解のような整数の特性との間には何の関連もないので、未知数の候補を絞り込んだ上で、複数の候補の組合せの良し悪しを試行錯誤してみるしか方法がない。

　小学校の算数は、大人の数学へと進むための基礎的な入門コースであるとともに、数学とは一線を画し、パズルに見られるようなトリックに満ちた独自の分野でもあることを知る。

　参考文献：
　大人脳力開発倶楽部編著「お父さん、できる？小学校の算数」（バジリコ）