剰余類を群化できるか

YouTubeに数学の動画を配信している「式変形チャンネル」がある。かなり前に見ていたことはあるが、最近はまったく見ていなかった。たまたま「群論」の講義があり、途中の「群論08 剰余類の演算定義の問題点 〜正規部分群の導入〜」を見はじめたら、興味深かった。「剰余類を群化できるか」という問題意識でS₃を例にして進められていた。ガロアの正規部分群の発見（導入）を思い出しながら見ていた。

A₃（交代群）で2つのグループ（位数3）に分けると2つの群に群化できる。それは平方根の添加と対応して、まず二次方程式が解ける。そしてその立方根（位数3）を取ることによって、3次方程式の解の公式と結びつく。しかし、3つのグループ（位数2）に分けると群にはならない。次に進むことはできない。これを区別するのはaH＝Haである、等々。aH＝Ha以前に、群が可能な演算の定義があることを知った。

群論09 正規部分群 〜安心して剰余類の演算定義
群論10 剰余群
群論11 準同型写像の定義と性質
群論12 カーネル(核)の定義と性質 群論
群論13 準同型定理

を見続けた。