正多面体の双対

5つの正多面体の頂点、辺、面の数をまとめると次のようになる。
　　　　　 　 頂点数　　　辺数　　面数
正八面体　　　　6　　　　12　　　　8
正六面体　　　　8　　　　12　　　　6
正二十面体　　 12　　　　30　 　　 20
正十二面体　 　20　　　　30　 　　 12
正四面体　　　　4　　　　 6　　　　 4　　

正八面体と正六面体（立方体）は辺の数は共通で、頂点と面の数が入れ替わっている。正二十面体と正十二面体も同じ関係にある。正四面体は頂点と面の数が等しく、内部で入れ替われる。
このような関係（双対）があることは知っていたが、この関係を最初に発見したのはケプラーとは知らなかった。（『世界で二番目に美しい数式』参照。）
『宇宙の調和』（岸本良彦訳）でケプラーは次のように述べていた。
（引用はじめ）
これらの図形の中では、相異なる部類で結びついた、いわば2組の夫婦が目に付く〔つまり双対的である〕。男性は基本図形に入る立方体と正12面体、女性は副次的な図形の正8面体と正20面体である。それにいわばひとりの独身者ないし男女である正四面体が加わる。
（引用おわり）
基本図形とは1つの頂点に3つの面が集まるもの、副次的な図形とは面の数が4または5のものをいう。また、頂点（立体角）が男性の、面が女性の象徴で、面の数より頂点（立体角）の数の多い正多面体は男性、頂点（立体角）より面の数の多い正多面体は女性である。

これはケプラーが正多面体の双対性を示すために描いた図である。
立方体の面と正八面体の頂点が対応していることがわかる。また、正八面体の辺と立方体の辺が直交関係にあり、1対1に対応していて、同じ数であることもわかる。同じことが、正二十面体と正十二面体の双対にも正四面体の双対にもみることができる。

付録
（まちがい発見）
『世界で二番目に美しい数式』第6章ケプラーの多面体宇宙、78ページに次のようにある。
「ケプラーはこの裏返しの関係が図形的に解釈できることに気づいた。たとえば、正多面体の1つとして立方体を考えよう。その各面の中心に新しい頂点を置くと、その8個の点は1つの正八面体の頂点の配置になっている。この新しい多面体はもとの多面体の双対（そうつい）とよばれる。」
「8個の点」は「6個の点」の間違いである。訳者？　原典『Euler’s Gem』？