【問題】
任意の実数 x，y に対し，
cos(x+y)+cos(x-y)≦cos2(x)+cos2(y)
が成り立つことを示せ。
この問題は，Viete が1580年代に導いたという公式
cos(x)cos(y)=(cos(x+y)+cos(x-y))/2
から思いついた問題である。
僕が考えた解法は2通りである。
一つ目は次の通りである。
cos の加法定理を利用して Viete の公式が成り立つことを示す（積を和に直す公式を適用したとみてもよい）。そして相加平均・相乗平均の不等式（以下，AM-GM 不等式と呼ぶことにする）により
cos(x)cos(y)≦(cos2(x)+cos2(y))/2
が成り立つことを用いればよい。
Viete の等式を眺めていて，AM-GM 不等式をこのように使うことを思いついた。それが冒頭の問題に至った経緯である。もしかしたらこの不等式はよく知られているのかもしれない。
この問題を思いついた後で，逆にこの不等式から AM-GM 不等式を導けないかと考えた。そのためには，AM-GM 不等式を用いない解答を見出さなければならない。それが二つ目の解答である。
cos2(x)=(1+cos(2x))/2，cos2(y)=(1+cos(2y))/2 であるから，a=x+y，b=x-y とおけば 2x=a+b，2y=a-b なので
cos2(x)+cos2(y)=1+(cos(a+b)+cos(a-b))/2
となる。この右辺を加法定理で展開すれば
cos2(x)+cos2(y)=1+cos(a)cos(b)
となる。したがって，
cos2(x)+cos2(y)-(cos(x+y)+cos(x-y))=1-cos(a)-cos(b)+cos(a)cos(b)=(1-cos(a))(1-cos(b))
となるが，cos(a)，cos(b) は共に 1 以下の実数であるから，(1-cos(a))(1-cos(b))≧0 である。これで証明は完結した。
この不等式と AM-GM 不等式とをどのように結びつけるかは次のようにする。
AM-GM 不等式と実質的に等価な，任意の実数 p，q に対して成り立つ不等式
pq≦(p2+q2)/2
と関連付けることを考える。p=q=0 という場合も含めて取り扱いたい。また，p と q の対称性も保ちたい。そのため，この不等式の両辺を r:=(|p|+|q|+1)2 で割る。その結果，u:=p/r，v:=q/r とおくと，この不等式は
uv≦(u2+v2)/2
となるが，|u|＜1 かつ |v|＜1 なので，cos(x)=u かつ cos(y)=v を満たす実数 x，y が必ず存在する。ゆえに，すでに示したことからこの不等式は確かに成り立つことがわかる。
このようにして，冒頭に挙げた不等式から2変数版の AM-GM 不等式が得られた。
なお，pq≦(p2+q2)/2 という不等式を示すのはもっとずっと簡単にできるので，ここで紹介した証明は大げさすぎる。そういう意味でただの戯れの域を超えない。
冒頭の問題は，初めて見たらどう証明したらよいかとまどいそうな，もう少し込み入った見かけに書き換えることもできる。
【問題・改】
0以上 π/2 以下の2つの実数 x，y および 1/m+1/n=1 を満たす2つの正の数 m，n に対し
cos(x+y)+cos(x-y)≦(2/m)cosm(x)+(2/n)cosn(y)
が成り立つことを示せ。
これは Viete の公式と Young の不等式 pq≦pm/m+qn)/n から直ちに導かれる。
また，不等式から離れて，Viete の公式を満たす関数は cos 以外にあるのかという問題も気になっている。すなわち，
函数方程式 2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) の解は f=cos 以外にあるだろうか（ただし自明な解 f=0 は除く）。
この函数方程式について少し考えてみたが，まだ次の事実しか導けていない。
・f(0)=0 であると，y=0 とおいた式から f=0 となり仮定に反するので f(0) は 0 でなく，このことと x=y=0 とおいた式から f(0)=1 が出る；
・x=0 とおくと f が偶関数であることがわかる；
・x=y とおけば f(x)2=(1+f(2x))/2 が得られる。
なお，f が微分可能であるという仮定も付け加えると，f ' (0)=0 であることくらいはわかる。また，f が偶関数であることから当然 f ' は奇関数となる。
f ' は sin に相当すると期待されるので，g:=f ' とおき，f2+g2=1 くらいまで示そうと頑張ってみてもよいかもしれない。
おそらくこの函数方程式も有名であろう。桑垣先生，Aczel，Kuczma 氏らの函数方程式のテキストを見れば載っていそうに思われる。
任意の実数 x，y に対し，
cos(x+y)+cos(x-y)≦cos2(x)+cos2(y)
が成り立つことを示せ。
この問題は，Viete が1580年代に導いたという公式
cos(x)cos(y)=(cos(x+y)+cos(x-y))/2
から思いついた問題である。
僕が考えた解法は2通りである。
一つ目は次の通りである。
cos の加法定理を利用して Viete の公式が成り立つことを示す（積を和に直す公式を適用したとみてもよい）。そして相加平均・相乗平均の不等式（以下，AM-GM 不等式と呼ぶことにする）により
cos(x)cos(y)≦(cos2(x)+cos2(y))/2
が成り立つことを用いればよい。
Viete の等式を眺めていて，AM-GM 不等式をこのように使うことを思いついた。それが冒頭の問題に至った経緯である。もしかしたらこの不等式はよく知られているのかもしれない。
この問題を思いついた後で，逆にこの不等式から AM-GM 不等式を導けないかと考えた。そのためには，AM-GM 不等式を用いない解答を見出さなければならない。それが二つ目の解答である。
cos2(x)=(1+cos(2x))/2，cos2(y)=(1+cos(2y))/2 であるから，a=x+y，b=x-y とおけば 2x=a+b，2y=a-b なので
cos2(x)+cos2(y)=1+(cos(a+b)+cos(a-b))/2
となる。この右辺を加法定理で展開すれば
cos2(x)+cos2(y)=1+cos(a)cos(b)
となる。したがって，
cos2(x)+cos2(y)-(cos(x+y)+cos(x-y))=1-cos(a)-cos(b)+cos(a)cos(b)=(1-cos(a))(1-cos(b))
となるが，cos(a)，cos(b) は共に 1 以下の実数であるから，(1-cos(a))(1-cos(b))≧0 である。これで証明は完結した。
この不等式と AM-GM 不等式とをどのように結びつけるかは次のようにする。
AM-GM 不等式と実質的に等価な，任意の実数 p，q に対して成り立つ不等式
pq≦(p2+q2)/2
と関連付けることを考える。p=q=0 という場合も含めて取り扱いたい。また，p と q の対称性も保ちたい。そのため，この不等式の両辺を r:=(|p|+|q|+1)2 で割る。その結果，u:=p/r，v:=q/r とおくと，この不等式は
uv≦(u2+v2)/2
となるが，|u|＜1 かつ |v|＜1 なので，cos(x)=u かつ cos(y)=v を満たす実数 x，y が必ず存在する。ゆえに，すでに示したことからこの不等式は確かに成り立つことがわかる。
このようにして，冒頭に挙げた不等式から2変数版の AM-GM 不等式が得られた。
なお，pq≦(p2+q2)/2 という不等式を示すのはもっとずっと簡単にできるので，ここで紹介した証明は大げさすぎる。そういう意味でただの戯れの域を超えない。
冒頭の問題は，初めて見たらどう証明したらよいかとまどいそうな，もう少し込み入った見かけに書き換えることもできる。
【問題・改】
0以上 π/2 以下の2つの実数 x，y および 1/m+1/n=1 を満たす2つの正の数 m，n に対し
cos(x+y)+cos(x-y)≦(2/m)cosm(x)+(2/n)cosn(y)
が成り立つことを示せ。
これは Viete の公式と Young の不等式 pq≦pm/m+qn)/n から直ちに導かれる。
また，不等式から離れて，Viete の公式を満たす関数は cos 以外にあるのかという問題も気になっている。すなわち，
函数方程式 2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) の解は f=cos 以外にあるだろうか（ただし自明な解 f=0 は除く）。
この函数方程式について少し考えてみたが，まだ次の事実しか導けていない。
・f(0)=0 であると，y=0 とおいた式から f=0 となり仮定に反するので f(0) は 0 でなく，このことと x=y=0 とおいた式から f(0)=1 が出る；
・x=0 とおくと f が偶関数であることがわかる；
・x=y とおけば f(x)2=(1+f(2x))/2 が得られる。
なお，f が微分可能であるという仮定も付け加えると，f ' (0)=0 であることくらいはわかる。また，f が偶関数であることから当然 f ' は奇関数となる。
f ' は sin に相当すると期待されるので，g:=f ' とおき，f2+g2=1 くらいまで示そうと頑張ってみてもよいかもしれない。
おそらくこの函数方程式も有名であろう。桑垣先生，Aczel，Kuczma 氏らの函数方程式のテキストを見れば載っていそうに思われる。
