Kepler の第三法則。

ここ数日，わーい連休だーと思ってマンガを読む以外に全く何もしなかったことを反省し，Kepler の第三法則をグラフで検証してみた。

初めは OpenOffice の表計算ソフト OpenOffice.org Calc を使って両対数グラフを描こうと思ったのだが，描き方がわからなかったのでやめた。

こういうときこそ gnuplot ではないかと思い出し，久々に使ってみた。
ちなみに，今僕が使っている gnuplot のバージョンは 4.4.3 だが，本家のサイトを見てみたら 4.6.1 がリリースされているらしい。1年半もの間ほったらかしてきたことになる。いい加減アップグレードしないとなぁ。

gnuplot では関数のグラフを描いた経験しかほとんどなく、実験や観測で得られたデータをプロットしたことはたぶん一度もなかったので，いろいろなサイトを参考にやってみた。

x 軸と y 軸の両方を対数目盛にするには

set logscale xy

というおまじないを書くだけで済むらしい。それで惑星データ一覧表を探し出し，水星から地球までの公転周期を365.26で割った年に換算して両対数グラフとしてプロットしてみた。

横軸が公転周期，縦軸が太陽からの距離である。水星から海王星までは実にきれいに一直線に並んでいる。Kepler はよくこんなことに気づいたものだと思う。ただし，発見には第一・第二法則の発見からさらに12年以上もの歳月を要したそうだが・・・。

公転周期を T，太陽からの距離（公転軌道は楕円なので長軸半径なのか平均半径なのかが気になるが，「太陽からの距離」がどう定義されているのか調べていない）を d とおく。なんらかの定数 k(＞0) と r があって

d=kT^r

という関係があるとすれば，両辺の対数をとると

log(d)=rlog(T)+log(k)

となり，log(T) を x，log(d) を y，log(k) を c とおけば，y は

y=rx+c

という x の1次関数になる。したがってグラフは直線になるわけで，その直線の傾きが指数 r に他ならない。

できれば最小二乗法でこの直線の傾きを求めたいところだが，学部生の時に MS Excel でその辺の処理の仕方を授業で習ったはずなのに，全然覚えていないので，すぐにはできそうもない。まあ，また気が向いたら試みてみよう。

ちなみに，使用したデータには冥王星も含まれているが，グラフを見ると一番最後の冥王星は他の惑星が載っている直線からやや外れている。

そういえば冥王星は2006年に惑星から外されてしまったんだっけ。

もしかして，これが原因だったりして・・・。

なんてね。