とりあえず TeX まで。

新しいPCにとりあえず TeX まで導入することができた。

エディタは使いなれた Emacs 系のエディタにした。
ただ，最新の Emacs の Windows 用バイナリをダウンロードし，解凍してそのまま使おうと思ったのだが，どうも立ち上がらない。

というわけで，仕方がないので，数年前に開発をやめてしまったらしい Meadow にした。
要は YaTeX を使いたいだけなので，これが使える（移植されている）別のエディタがあれば，それで構わないんだけどね。
むしろ，Emacs の膨大な機能のごく一部しか使わないので，YaTeX だけが使えるような軽快なエディタがあればありがたいところである。

ああ，英文の誤字を見つけるときに使う i-spell なんかも使えた方がいいか。
そういうことをあれこれ考えると，やっぱり Emacs なのかなぁ。

Meadow 起動時のデフォルトの作業ディレクトリを僕のホームディレクトリに変更すれば，設定はほぼ完了である。
といっても，まったくといっていいほど自分では何もしていない。
.emacs だって，どっかのサイトから設定をコピペしただけである。

ともかく YaTeX は使えたし，DVIをPDFに変換できたし，使える状態にちゃんとなっている。

あと大きな課題は Metapost か Asymptote で日本語入りの図を作成したり，TeX に取り込んだりという作業の確認が残っている。
これは苦戦しそうなので，思い切り躊躇しているところである。
どうにもうまくいかなければ，日本語環境がとてもよく整備されている Vine を仮想マシンでエミュレートするという最後の手段に訴えなければならなくなる。

しかし，Vine は僕のお気に入りのグラフ描画ソフト GNUPLOT がデフォルトで搭載されておらず，パッケージャで簡単にインストールできるはずが，自分でソースを取ってきてコンパイルしてインストールしたりと，変なことをしてしまったので変なことになったままという，苦い経験があるので，やはり気が向かない。


ところで，実は本当はTeX環境をまっさきに構築すべきだったのだろうが，ついついブラウザをIE9にアップグレードし，Google Chrome と Firefox をインストールするという余計なことを先にやってしまった。

それら3つのブラウザを立ち上げた状態で，無線LANを通じて旧PCからファイルを転送していたら，メモリが足りないというエラーメッセージが出て，ほったらかしていたらブラックアウトして強制終了させる羽目になった。

しょっぱなから大丈夫なのか，このD○LLマシンは・・・？

Adobe Reader X はもともと入っていたし，DJVUビューアも導入した。
解凍圧縮ソフトも適当にゲットした。
あとは
・（仮称）十進BASIC，
・gnuplot,
・Maxima,
・OpenOffice,
・フリーのデフラグソフト
を入れるくらいかなぁ。

Cygwin は TeX 環境構築のために前PCと前々PCに導入していたが，前PCでは結局一切使っていないので，もう導入しないつもりである。

どうせネットサーフしたり，動画をみたり，TeX で文書を作成するくらいのことしかしないので，Cygwin なんていうのは宝の持ち腐れで終わっちゃうんだよねぇ。

カード並べ。

新しいPCでついソリティアを一ゲームやってしまったのが影響を与えたのか，カード並べの夢を見た。

それは，ランダムに並んだトランプの数字を，ある規則にならって並べるのに必要なタイムを競うゲームであった。

カードをあらかじめソート（並び替え）してから規則通りに並べればよいのでは，というアイデアを秘めてゲームに再チャレンジする，というようなところで目が覚めた。

起きてから，その戦略が妥当かどうかを漠然と検討してみたが，そもそもこれはゲームとして成立していないのではないかという気がしてきた。

カードを並べるときのルールは次のようなものである。

・最初の札の数字はなんでもよい。
・カードは左から順に並べていくものとする。
・すでに並んでいるカードの次にカードを並べるときには，2枚のカードの数字が連続するように並べなければならない。
ただし，1 と連続しているのは 2 のみであり，13 と連続しているのは 12 のみである。
・与えられたカードはすべて並べなければならない。

なお，カードは必ずしも完全に一直線に並んでいなくてもよいものとする。V や M，C のように並んでいても構わない。
あるカードの「両隣のカード」が何であるか，はっきりと読み取ることが出来さえすれば実際の配置についてはどうでもよい。

トランプは13枚のスートが4組もあって大変なので，例えば 1 と 2 が書かれたカードが2組ある場合にこのルールに従ってカードを並べ尽くせるかどうか試してみるとよい。

僕はそれは不可能であるという確信があるのだが，どうだろうか？

僕はこの確信を証明してはいないのだが，ルールに従ってカードを並べ尽くすことが不可能であるという予想が真であったとすると，それをどうやって証明したらよいだろうか？


夢の中で普段以上に物事をイイカゲンに考えるせいで妙な問題を考え付いてしまった。
今晩あたりの夢でスパッと解決できればきれいにオチがついてよいのだけれど。

グラフの変換のまとめ。

関数 y=f(x) のグラフ G は，x と y に関する方程式 f(x)-y=0 を満たす点 (x,y) の集合とみなせる。
そこで，一般に2変数関数 F(x,y) の零点，すなわち F(x,y)=0 を満たす点の集合を G とおき，いくつかの重要な変換について，G を変換した後のグラフに対応する方程式を書いておく。


1. 軸対称移動（直線に関する折り返し）

1.1. x 軸対称移動：F(x,-y)=0，y=-f(x).

x 軸対称移動は (x,y)|→(x,-y) という変換だから，移動後の点 (x,y) は，移動前に (x,-y) にあり，これは F(x,y)=0 のグラフ上にあるので，F(x,-y)=0 が求める方程式である。
F(x,y)=f(x)-y の場合は，F(x,-y)=f(x)+y なので，F(x,-y)=0 は y=-f(x) と同じことである。

1.2. y 軸対称移動：F(-x,y)=0, y=f(-x).

点 (x,y) と y 軸に関して対称な点の座標は (-x,y) である。

1.3. 一般の直線 ax+by=c に関して対称なグラフがどうなるか，考えてみるとよいだろう。
一例として，直線 y=x に関して対称なグラフの方程式は
F(y,x)=0, x=f(y)
である。
これは逆関数との関わりで重要である。


2. 点対称移動（定点を中心とする回転）

2.1. 原点対称移動：F(-x,-y)=0, y=-f(-x).

これは点 (x,y) を (-x,-y) に移す変換である。

2.2. 回転の中心を原点にとどめずに (a,b) と一般にし，しかも点の周りにπ回転するだけでなく，一般角θだけ回転することも含めるとどうなるであろうか。
これは線形代数の対象のひとつである回転変換（厳密にはこれと平行移動の合成であるが）のテーマである。


3. 平行移動

x 軸方向に p，y 軸方向に q だけ平行移動したグラフの方程式は
F(x-p,y-q)=0, y=f(x-p)+q
である。


4. 拡大縮小

p と q は正の数とする。

妙な言い回しだが，仮に，点 (x,y) をx 軸方向に p 倍，y 軸方向に q 倍だけ拡大縮小した点は (px,qy) であるということにすると，x 軸方向に p 倍，y 軸方向に q 倍だけ拡大縮小したグラフの方程式は
F(x/p,y/q)=0, y=qf(x/p)
となる。

なぜこの言い回しが妙かというと，この変換で点そのものの大きさが変わるわけではなく，その点の x 軸や y 軸までの距離が伸び縮みするのに，点そのものの大きさが縦横にそれぞれ p 倍，q 倍されるという意味にとるのが普通の表現を使っているからである。

なお，p＜0 のときは y 軸対称移動と |p| 倍の拡大縮小の合成と捉えることができる。


※ x 軸対称移動を行った結果がもとのグラフと一致するとき，すなわち
{(x,y)|F(x,y)=0}={(x,y)|F(x,-y)=0}
が成り立つとき，グラフ {(x,y)|F(x,y)=0}は x 軸対称であるという。
このとき，グラフ上の任意の点 (x,y) について，y 座標の符号を変えた点 (x,-y) も必ずそのグラフ上にある。
グラフが y 軸対称である，原点対称であるということもこれと同じように定義される。

グラフの移動。

y=f(x) のグラフを平行移動したり，拡大縮小したり，軸や点に関する対称移動をすると，そのグラフに対応する関数はどのような式で表されるだろうか。

これらの操作の大きな特徴は，逆の操作がきちんと定まっていることである。
たとえば，x 軸方向に p だけ平行移動する，という操作の逆は，x 軸方向に -p だけ行う平行移動になっている。

さて，数 x を平行移動したり拡大縮小したりした結果を σx と書くことにし，数 y についてもある操作を行った結果を τy と書くことにしよう。

すると，このような変換を行った後のグラフ上の点 (x,y) に対し，(σ^-1x,τy^-1) はもとの y=f(x) という曲線上にあるわけだから，
τ^-1y=f(σ^-1x)
が成り立つ。
そこで左辺に y だけ残すと，
y=τf(σ^-1x)
となり，一見，σ^-1とτがずれているような感覚に襲われるが，それは y について解いたからそうなっただけのことである。