グラフの移動。

y=f(x) のグラフを平行移動したり，拡大縮小したり，軸や点に関する対称移動をすると，そのグラフに対応する関数はどのような式で表されるだろうか。

これらの操作の大きな特徴は，逆の操作がきちんと定まっていることである。
たとえば，x 軸方向に p だけ平行移動する，という操作の逆は，x 軸方向に -p だけ行う平行移動になっている。

さて，数 x を平行移動したり拡大縮小したりした結果を σx と書くことにし，数 y についてもある操作を行った結果を τy と書くことにしよう。

すると，このような変換を行った後のグラフ上の点 (x,y) に対し，(σ^-1x,τy^-1) はもとの y=f(x) という曲線上にあるわけだから，
τ^-1y=f(σ^-1x)
が成り立つ。
そこで左辺に y だけ残すと，
y=τf(σ^-1x)
となり，一見，σ^-1とτがずれているような感覚に襲われるが，それは y について解いたからそうなっただけのことである。