逆を考える。

しまった。書くことがない。

はっ，そう言えば，次の問題の逆を考えたのだった。

元の問題

四面体OABCにおいて，OB=OC，AB=AC ならば OA と BC とが垂直であることを示せ。

要するに，三角形OABと三角形OACとが合同ならば OA と BC が垂直になることを示せということである。

逆の問題

四面体OABCにおいて，OA と BC とが垂直であるとき，三角形OACと三角形OBCとは合同であると言えるか？

初め，これは言えなさそうだけど，けれども，合同になりそうな気もしていた。

少し考えてみたら，三角形OACと三角形OBCとが合同ではないが，OA と BC が垂直になるような例を思いついた。
念のため計算したら，確かにそうだった。

どういう反例だったかを書いてしまうと，OB=AB かつ OC=AC なんていうのがある。
つまり，三角形 OAB と三角形 OAC とが，それぞれ角B，Cを頂角とするような二等辺三角形であればよい。
そして OB と OC が等しくなければ三角形 OAB と三角形 OAC は合同ではないので，反例を作るという目的は達成された。

ベクトルで考えればすぐにわかることであるが，OA と BC が垂直になるための必要十分条件は，点Bと点C の，直線OAへの正射影が一致することである。
つまり，OBcos∠AOB=OCcos∠AOC が成り立つことが条件である。
このとき，点Bから直線OAに下ろした垂線の足をHとおくと，B, H, C は同一平面上にあることになり，BHとCHは共にOAに垂直であることから，OAはこの平面の法線であることになり，この平面上にある直線BCは当然法線である直線OAと垂直に交わる，というのが事の真相である。


こういうのも面白いと思ったのでベクトル解析の問題として出したかったが，よく考えてみるとあまりベクトル解析の内容ではないような気もするので，自粛した。
この問題の他に，ベクトルの扱いに慣れるのにもっとよい問題があるだろうし。
その一つは四面体の重心の話である。これは位置ベクトルのよい練習になるし，四面体の外接球は必ず存在すること（京大の入試問題？）をベクトルを利用して示してみるというのも勉強になりそうである。

面積の問題がからまないと外積の出番はないが，内積止まりの内容でよければ，大学入試問題で「四面体の問題狩り」をやるのも面白そうである。四面体関連の問題は多くないので，そこそこやる気も出るしね。