日本語の「は」と「が」について。

象は鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
とりあえず「三上文法」を「批判」します。

(242)「二項述語における量記号の変換の規則」の説明(Ⅲ)。

2019-05-30 11:44:04 | 論理

(01)
(ⅰ)
1   (1) ~P∨~Q  A
 2  (2)  P& Q  A
  3 (3) ~P     A
 2  (4)  P     2&E
 23 (5) ~P&P   34&I
  3 (6)~(P&Q)  25RAA
   7(7)    ~Q  A
 2  (8)     Q  2&E
 2 7(9) ~Q&Q   78&I
   7(ア)~(P&Q)  29RAA
1   (イ)~(P&Q)  1367ア∨E
(ⅱ)
1   (1) ~( P& Q)  A
 2  (2) ~(~P∨~Q)  A
  3 (3)   ~P      A
  3 (4)   ~P∨~Q   3∨I
 23 (5) ~(~P∨~Q)&
         (~P∨~Q)  24&I
 2  (6)  ~~P      35RAA
 2  (7)    P      6DN
   8(8)      ~Q   A
   8(9)   ~P∨~Q   8∨I
 2 8(ア) ~(~P∨~Q)&
         (~P∨~Q)  29&I
 2  (イ)     ~~Q   8アRAA
 2  (ウ)       Q   イDN
 2  (エ)    P& Q   7ウ&I
12  (オ) ~( P& Q)&
         ( P& Q)  1エ&イ
1   (カ)~~(~P∨~Q)  2オRAA
1   (キ)   ~P∨~Q   カDN
(01)により、
(02)
①(~P∨~Q)⇔ ~(P&Q)
であるところの、「ド・モルガンの法則」は、「ベン図」を用ひなくとも、「命題論理」として「正しい」。
(03)
(ⅰ)
1   (1)∀x(~Fx∨~Gx) A
1   (2)   ~Fa∨~Ga  1UE
 3  (3)    Fa& Ga  A
  4 (4)   ~Fa      A 
 3  (5)    Fa      3&E
 34 (6)   ~Fa&Fa   45&I
  4 (7)  ~(Fa& Ga) 36RAA
   8(8)       ~Ga  A
 3  (9)        Ga  3&E
 3 8(ア)    ~Ga&Ga  89&I
   8(イ)  ~(Fa& Ga) 3アRAA
1   (ウ)  ~(Fa& Ga) 2478イ∨E
1   (エ)∀x~(Fx& Gx) ウUI
(ⅱ)
1   (1)∀x~( Fx& Gx)  A  
 2  (2)  ~(~Fa∨~Ga)  A
  3 (3)    ~Fa       A
  3 (4)    ~Fa∨~Ga   3∨I
 23 (5)  ~(~Fa∨~Ga)&
          (~Fa∨~Ga)  24&I
 2  (6)  ~~Fa        35RAA
 2  (7)    Fa        6DN
   8(8)        ~Ga   A
   8(9)    ~Fa∨~Ga   8∨I
 2 8(ア)  ~(~Fa∨~Ga)&       
          (~Fa∨~Ga)  29&I
 2  (イ)       ~~Ga   8アRAA
 2  (ウ)         Ga   イDN
 2  (エ)     Fa& Ga   7ウ&I
1   (オ)  ~( Fa& Ga)  1UE
12  (カ)   ( Fa& Ga)&
         ~( Fa& Ga)  エオ&I
1   (キ) ~~(~Fa∨~Ga)  2カRAA
1   (ク)   (~Fa∨~Ga)  キDN
1   (ケ) ∀x(~Fx∨~Gx)  クUI
従って、
(03)により、
(04)
② ∀x(~Fx∨~Gx)⇔ ∀x(~Fx∨~Gx)
であるところの、「ド・モルガンの法則」は、「ベン図」を用ひなくとも、「述語論理」として「正しい」。
従って、
(02)(04)により、
(05)
①         (~P∨~Q)⇔ ~(P&Q)
② ∀x(~Fx∨~Gx)⇔ ∀x(~Fx∨~Gx)
であるところの、「ド・モルガンの法則」は、「ベン図」を用ひなくとも、「命題論理」としても、「述語論理」としても「正しい」。
然るに、
(01)(03)により、
(06)
(ⅱ)
  3 (3)~P      A
  3 (4)~P∨~Q   3∨I(選言導入の規則
(ⅱ)
  3 (3)~Fa     A
  3 (4)~Fa∨~Ga 3∨I(選言導入の規則
従って、
(05)(06)により、
(07)
「∨I(選言導入の規則)」を用ひなければ、
①     (~P∨~Q)⇔ ~(P&Q)
② ∀x(~Fx∨~Gx)⇔ ∀x(~Fx∨~Gx)
であるところの、「ド・モルガンの法則」は、「命題論理」としても、「述語論理」としても「証明できない」が故に、「他の規則」と同様に、「∨I(選言導入の規則)」は、「重要」である。
然るに、
(08)
この規則は、推論の中で意識されることがおおよそないといえます。「彼女は背が高い」という主張をPとしましょう。すると、このPから「彼女は背が高い または 彼女は美人だ」が導けます。この場合、主張Qは「彼女は美人だ」に対応しています。しかし、「彼女は背が高い」がわかっているのに、わざわざ、「彼女は背が高い または 彼女は美人だ」とつなげる場面は普通の会話ではあまりないでしょう。数学の証明でも、これが使われる場面はほとんど見かけないような気がします(小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、156頁)。
従って、
(07)(08)により、
(09)
「∨I(選言導入の規則)」は、「重要」であるが、「分りにくい」。
然るに、
(10)
1(1)~P   A
1(2)~P∨Q 1∨I(選言導入の規則)
1(3) P→Q 2含意の定義
1(4)  ~Q 13前件否定の誤謬。
従って、
(10)により、
(11)
「Pでない。PならばQである。故に。Qでない。」
とするならば、「前件否定の誤謬」といふ、「マチガイ」になる。
然るに、
(12)
「Pでない。PならばQである。故に。Qである。」
とするならば、もちろん、「マチガイ」である。
従って、
(10)(11)(12)により、
(13)
1(1)~P   A
1(2)~P∨Q 1∨I(選言導入の規則)
1(〃)Pでないか、または、Qである。 1∨I(選言導入の規則)
としても、
1(〃)Qであるのか、Qでないのか。 は、「全くの、不明」である。
然るに、
(14)
1(1)~P   A
1(2)~P∨Q 1∨I(選言導入の規則)
に於いて、
 (2)の左には、
 があり、このことは、
(〃)Pでないか、または、Qである。 1∨I(選言導入の規則)
に於いて、「Pでない」といふことの、「保証(証拠)」になってゐる。
従って、
(13)(14)により、
(15)
1(1)~P   A
1(2)~P∨Q 1∨I(選言導入の規則)
1(〃)Pでないか、または、Qである。 1∨I(選言導入の規則)
といふのは、実際には、
1(〃)Pではないが、「Qであるか、Qでないか」は「不明」である。
といふ、「意味」である。
従って、
(15)により、
(16)
1(1)P   A
1(2)P∨Q 1∨I(選言導入の規則)
1(〃)Pであるか、または、Qである。 1∨I(選言導入の規則)
といふのは、実際には、
1(〃)Pではあるが、「Qであるか、Qでないか」は「不明」である。
といふ、「意味」である。
然るに、
(17)
1(1)Pである。 ただし、
1(2)Pではあるが、「Qであるか、Qでないか」は「不明」である。
といふ「日本語」に、「不自然な所」は、「全く、無い」。
従って、
(18)
1(1)P     A
1(2)P∨Q   1∨I(選言導入の規則)
1(〃)Pではあるが、「Qであるか、Qでないか」は「不明」である。 1∨I(選言導入の規則)
といふ「推論」は、「日本語」としても、「完全に、正しい」。
従って、
(18)により、
(19)
1(1)P     A
1(2)P∨Q   1∨I(選言導入の規則)
1(3)P∨Q∨R 1∨I(選言導入の規則)
1(〃)Pではあるが、「Qであるか、Qでないか」は「不明」であるし、「Rあるか、Rでないか」も「不明」である。
といふ「推論」には、「何らの問題」も無い。
従って、
(20)
1(1)    R  A
1(2)  Q∨R    1∨I(選言導入の規則)
1(3)P∨Q∨R 1∨I(選言導入の規則)
1(〃)Rではあるが、「Qであるか、Qでないか」は「不明」であるし、「Pあるか、Pでないか」も「不明」である。
といふ「推論」には、「何らの問題」も無い。
従って、
(19)(20)により、
(21)
② P∨Q∨R=Pか、Qか、Rである。
といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、
② P Q R
といふ「3つ」内の。少なくとも、「1つ」は、「(本当)」である。
といふ、ことである。
従って、
(21)により、
(22)
②(愛da∨愛db∨愛dc)
といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、
②  愛da 愛db 愛dc
といふ「3つ」内の。少なくとも、「1つ」は、「真(本当)」である。
といふ、ことである。
同様に、
(23)
②(愛ea∨愛eb∨愛ec)
といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、
②  愛ea 愛eb 愛ec)
といふ「3つ」内の。少なくとも、「1つ」は、「真(本当)」である。
といふ、ことである。
同様に、
(24)
②(愛fa∨愛fb∨愛fc)
といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、
②  愛fa∨愛fb∨愛fc
といふ「3つ」内の。少なくとも、「1つ」は、「真(本当)」である。
といふ、ことである。
従って、
(01)~(24)により、
(25)
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、
①(愛da&愛ea&愛fa) (愛db&愛eb&愛fb) (愛dc&愛ec&愛fc)
といふ「3つ」内の。少なくとも、「1つ」は、「真(本当)」である。
といふ、ことである。
然るに、
(26)
例えば、
①(愛da&愛ea&愛fa)
が「真(本当)」である場合は、
①(愛da愛ea愛fa) は、「3つ」とも、「(本当)」である。
同様に、
(27)
①(愛db&愛eb&愛fb)
が「真(本当)」である場合も、
①(愛dc&愛ec&愛fc)
が「真(本当)」である場合も、それぞれ、「3つ」とも、「真(本当)」である。
従って、
(28)
①(愛da&愛ea&愛fa)
が「真(本当)」である場合は、
①  愛da
①  愛ea
①  愛fa
が「真(本当)」であるため、(21)により、
①  愛da∨愛db∨愛dc
①  愛ea∨愛eb∨愛ec
①  愛fa∨愛fb∨愛fc
といふ「3つ」が、「3つ」とも、「真(本当)」である。
従って、
(28)により、
(29)
①(愛da&愛ea&愛fa)
が「真(本当)」である場合は、
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
は「真(本当)」である。
従って、
(25)~(29)により、
(30)
同様に、
①(愛db&愛eb&愛fb)
が「真(本当)」である場合も、
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
は「真(本当)」であり、
①(愛dc&愛ec&愛fc)
が「真(本当)」である場合も、
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
は「真(本当)」である。
然るに、
(21)(29)(30)ににより、
(31)
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
に於いて、
① が「真(本当)」であるならば、
② も「真(本当)」である。
然るに、
(21)により、
(32)
例へば、
②(愛da        )&(    愛eb    )&(        愛fc)
が「真(本当)」である場合も、
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
は「真(本当)」である。
然るに、
(33)
②(愛da        )&(    愛eb    )&(        愛fc)
が、「真(本当)」であるとしても、
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
は、「真(本当)」には、ならない。
従って、
(31)(32)(33)により、
(34)
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
に於いて、
① が「真(本当)」であるならば、
② は「真(本当)」であるが、
② が「真(本当)」であるとしても、
① は「真(本当)」であるとは、限らない
従って、
(34)により、
(35)
{xの変域が、三人の少女}={a、b、c}
{yの変域が、三人の少年}={d、e、f}
であるとして、
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない
然るに、
(36)
{xの変域が、三人の少女}={a、b、c}
{yの変域が、三人の少年}={d、e、f}
であるとして、例へば
① 少年dは少女を愛し、少年eも少女を愛し、少年fも少女を愛す=(愛db&愛eb&愛fb)。
といふことは、
① すべての少年(dとeとf)は、共通の、ある一人の少女()を愛す。
といふことに、他ならない。
(37)
{xの変域が、三人の少女}={a、b、c}
{yの変域が、三人の少年}={d、e、f}
であるとして、
②「dはを愛するか、dはbを愛するか、dはcを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真(本当)」である。
②「eはaを愛するか、eはを愛するか、eはcを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真(本当)」である。
②「fはaを愛するか、fはbを愛するか、fはを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真(本当)」である。
といふことは、
① すべての少年(dとeとf)は、ある少女(aかbかc)を愛す。
といふことに、他ならない。
然るに、
(38)
(ⅰ)
1  (1)∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)} A
 2 (2)    少女a&∀y(少年y→愛ya)   A
 2 (3)    少女a               2&I
 2 (4)        ∀y(少年y→愛ya)   2&I
 2 (5)           少年b→愛ba    4UE
  6(6)           少年b        A
 26(7)               愛ba    56MPP
 26(8)           少女a&愛ba    37&I
 26(9)        ∃x(少女x&愛bx)   8EI
1 6(ア)        ∃x(少女x&愛bx)   129EE
1  (イ)   少年b→∃x(少女x&愛bx)  6アCP
1  (ウ)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} 1UI
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
(39)
(ⅱ)
1  (1)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} A
1  (2)   少年b→∃x(少女x&愛bx)  1UE
 3 (3)   少年b              A
13 (4)       ∃x(少女x&愛bx)  23MPP
  5(5)          少女a&愛ba   A
  5(6)          少女a       5&E
  5(7)              愛ba   5&E
の場合は、これ以上、「続けよう」が無い。
従って、
(38)(39)により、
(40)
① ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
② ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない
然るに、
(36)~(40)により、
(41)
① ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
② ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}
といふ「述語論理式」は、
{xの変域が、三人の少女}={a、b、c}
{yの変域が、三人の少年}={d、e、f}
である際の、
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
といふ「それ」に「等しい」。
然るに、
(01)~(04)により、
(42)
「述語論理」は、「命題論理」の「拡張」であって、それ故、「命題論理」は、「述語論理の基礎」である。
然るに、
(43)
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
といふ「それ」を、仮に『といふ書き方』とするならば、『といふ書き方』は、
① ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
② ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}
といふ「述語論理式」を、表すことは、出来たとしても、例へば、
1(1)~P       A
1(2)~P∨Q     1∨I(選言導入の規則)
1(3) P→Q     2含意の定義
 (4)~P→(P→Q) 1CP
 (〃)Pでないならば(PならばQである)。 1CP
といふ「命題論理」を、表すことが、出来ない。
従って、
(42)(43)により、
(44)
「命題論理」を「基礎」とし、その上に成立する「述語論理」を、『といふ書き方』に、「置き換へ」ることは、出来ない。
cf.
『といふ書き方』を書いたのは、おそらく、私が初めて(?)なので、『といふ書き方』には、「正式な名前」は無いものと、思はれます。
     


(241)「二項述語における量記号の変換の規則」の説明(Ⅱ)。

2019-05-29 16:53:25 | 論理

(01)
{xの変域が、三人の少女}={a、b、c}
{yの変域が、三人の少年}={d、e、f}
であるとして、
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
とする。
然るに、
(02)
真理表(Truth table)」により、
① P∨Q∨R
であるならば、
① P、Q、R
の内の、「少なくとも、一つ」が、「真(本当)」である。
従って、
(01)(02)により、
(03)
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
に於いて、例へば、
①               (愛db&愛eb&愛fb)
が「真(本当)」であるとする。
従って、
(01)(03)により、
(04)    
{xの変域が、三人の少女}={a、b、c}
{yの変域が、三人の少年}={d、e、f}
であるとして、
①(愛db&愛eb&愛fb)=少年dは少女bを愛し、少年eも少女bを愛し、少年fも少女bを愛す。
といふ、ことになる。
然るに、
(05)
{xの変域が、三人の少女}={a、b、c}
{yの変域が、三人の少年}={d、e、f}
であるとして、
① 少年dは少女bを愛し、少年eも少女bを愛し、少年fも少女bを愛す=(愛db&愛eb&愛fb)。
といふことは、
① すべての少年(dとeとf)は、共通の、ある一人の少女(b)を愛す。
といふことに、他ならない。
然るに、
(06)
真理表(Truth table)」により、
② P&Q&R
であるならば、
① P、Q、R
といふ「3つ」が、「真(本当)」である。
従って、
(01)(06)により、
(07)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
に於いて、
②(愛da∨愛db∨愛dc) は「真(本当)」であり、
②(愛ea∨愛eb∨愛ec) も「真(本当)」であり、
②(愛fa∨愛fb∨愛fc) も「真(本当)」である。
然るに、
(02)により、
(08)
例へば、
②(愛da∨愛db∨愛dc) が「真(本当)」であるならば、
②「dはaを愛するか、dはbを愛するか、dはcを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真(本当)」である。
同様に、
(09)
②(愛ea∨愛eb∨愛ec) が「真(本当)」であるならば、
②「eはaを愛するか、eはbを愛するか、eはcを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真(本当)」である。
同様に、
(10)
②(愛fa∨愛fb∨愛fc) が「真(本当)」であるならば、
②「fはaを愛するか、fはbを愛するか、fはcを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真(本当)」である。
従って、
(01)(07)~(10)により、
(11)
{xの変域が、三人の少女}={a、b、c}
{yの変域が、三人の少年}={d、e、f}
であるとして、
②「dはaを愛するか、dはbを愛するか、dはcを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真(本当)」である。
②「eはaを愛するか、eはbを愛するか、eはcを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真(本当)」である。
②「fはaを愛するか、fはbを愛するか、fはcを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真(本当)」である。
といふことは、
① すべての少年(dとeとf)は、ある少女(aかbかc)を愛す。
といふことに、他ならない。
従って、
(01)(05)(11)により、
(12)
{xの変域が、三人の少女}={a、b、c}
{yの変域が、三人の少年}={d、e、f}
であるとして、
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
といふことは、
① すべての少年(dとeとf)は、共通の、一人の少女(aかbかc)だけを愛す。
② すべての少年(dとeとf)は、共通とは限らない、ある少女(aかbかc)を愛す。
といふ、「意味」になる。
cf.
 All the nice girls love a sailor.
(すべてのすてきな女の子は、水夫を愛している)
という文を取り上げてみよう。この文は、「どのすてきな女の子も、水夫を誰か愛している。アリスはジョーを愛し、メアリーはバートを愛し、デスデモーナはビリーを愛している」という意味にもとれるし、また、「どのすてきな女の子も、一人の特定の水夫を愛している。その水夫の名前は、ジャック・タールである」という意味にもとれる。論理学では、この二つの異なる構造をはっきり示す、厳密な表記を提供してくれるのである。
(ジーン・エイチソン著、田中晴美 田中幸子訳、入門言語学、1980年、92頁)
然るに、
(02)(06)により、
(13)
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
の内の、例へば、
①(愛da&愛ea&愛fa)
が「真(本当)」であるならば、
① 愛da は「真(本当)」であり、
① 愛ea も「真(本当)」であり、
① 愛fa も「真(本当)」である。
然るに、
(02)により、
(14)
① 愛da は「真(本当)」であり、
① 愛ea も「真(本当)」であり、
① 愛fa も「真(本当)」であるならば、「∨I(選言導入)」により、
①(愛da∨愛ea∨愛fa) は「真(本当)」であり、
①(愛db&愛eb&愛fb) は「真(本当)」であり、
①(愛dc&愛ec&愛fc) は「真(本当)」であり、
そのため、「&I(連言導入)」により、
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
は「真(本当)」である。
然るに、
(13)(14)により、
(15)
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
の内の、
①(愛db&愛eb&愛fb)
が「真(本当)」である場合も、
①(愛dc&愛ec&愛fc)
が「真(本当)」である場合も、いづれにせよ、
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
は「真(本当)」である。
従って、
(13)(14)(15)により、
(16)
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
に於いて、
① が「真(本当)」であならば、
② も「真(本当)」である。
然るに、
(17)
① P&Q&R=PでQでRである。
であれば、「&E(連言除去)」と「∨I(選言導入)」により、
② P∨Q∨R=PかQかRである。
であるが、
② P∨Q∨R=PかQかRである。
であるとしても、
① P&Q&R=PでQでRである。
ではない。
従って、
(16)(17)により、
(18)
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
に於いて、
① が「真(本当)」であるならば、
② も「真(本当)」である。が、
② が「真(本当)」であるならば、
① も「真(本当)」である。ではない
然るに、
(01)(18)により、
(19)
{xの変域が、三人の少女}={a、b、c}
{yの変域が、三人の少年}={d、e、f}
であるとして、
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
は、それぞれ、
① ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}=あるxは少女であって、すべてyについて、yが少年であるならば、 yはxを愛す。
② ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}=すべてのyについて、yが少年であるならば、あるxは少女であって、yはxを愛す。
といふ「論理式」に、一応、「対応」する。
然るに、
(20)
(ⅰ)
1  (1)∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)} A
 2 (2)   少女a&∀y(少年y→愛ya)  A
 2 (3)   少女a              2&I
 2 (4)       ∀y(少年y→愛ya)  2&I
 2 (5)          少年b→愛ba   4UE
  6(6)          少年b       A
 26(7)              愛ba   56MPP
 26(8)          少女a&愛ba   37&I
 26(9)       ∃x(少女x&愛bx)  8EI
1 6(ア)        ∃x(少女x&愛bx)  129EE
1  (イ)   少年b→∃x(少女x&愛bx)  6アCP
1  (ウ)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} 1UI
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
(21)
(ⅱ)
1  (1)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} A
1  (2)   少年b→∃x(少女x&愛bx)  1UE
 3 (3)   少年b              A
13 (4)       ∃x(少女x&愛bx)  23MPP
  5(5)          少女a&愛ba   A
  5(6)          少女a       5&E
  5(7)              愛ba   5&E
の場合は、これ以上、「続けよう」が無い。
従って、
(19)(20)(21)により、
(22)
① ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
② ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}
の場合も、
① が「真(本当)」であるならば、
② も「真(本当)」である。が、
② が「真(本当)」であるならば、
① も「真(本当)」である。ではない
然るに、
(23)
① ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
② ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}
の場合は、「少年が一人もゐない」場合も、「真(本当)」である。
従って、
(24)
① ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
② ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}
といふ「二項述語論理式」と、
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
といふ「書き方」とは、「完全に、一致する」といふ、わけではない
然るに、
(25)
1  (1)∀x{鼻x&長x→ ∃y(象y& 鼻xy)}   A
1  (2)   鼻a&長a→ ∃y(象y& 鼻ay)    1UE
 3 (3)   鼻a&長a                 A
  4(4)          ∀y(象y→~鼻ay)    A
  4(5)             象b→~鼻ab     4UE
  4(6)            ~象b∨~鼻ab     5含意の定義
  4(7)                      ~(象b& 鼻ab)    6ド・モルガンの法則
  4(8)         ∀y~(象y& 鼻ay)    7UI
  4(9)         ~∃y(象y& 鼻ay)    8量化子の関係
13 (ア)          ∃y(象y& 鼻ay)    23MPP
134(イ)         ~∃y(象y& 鼻ay)&
                ∃y(象y& 鼻ay)    45&I
1 4(ウ) ~(鼻a& 長a)               3ウRAA
1 4(エ)  ~鼻a∨~長a                ウ、ド・モルガンの法則
1 4(オ)  (鼻a→~長a)               エ含意の定義
1  (エ)   ∀y(象y→~鼻ay)→(鼻a→~長a)  4オCP
1  (カ)∀x{∀y(象y→~鼻xy)→(鼻x→~長x)} エUI
1  (〃)すべてのxと、すべてのyについて、yが象ならば、 xがyの鼻でないならば、xが鼻ならば、xは長くない。 エUI
1  (〃)すべてのxと、すべてのyについて、yが象であって、xがyの鼻ではなく、  xが鼻ならば、xは長くない。 エUI
然るに、
(26)
{象、兎、キリン}が{yの変域(ドメイン)}であるとして、
③ すべてのxと、すべてのyについて、yが象であって、xがyの鼻ではなく、xが鼻ならば、xは長くない。
といふことは、
③ xが象の鼻ではない鼻(兎やキリンの鼻)であるならば、xは長くない。
といふ、ことである。
然るに、
(27)
③ xが象の鼻ではない鼻(兎やキリンの鼻)であるならば、xは長くない。
といふことは、
③ 鼻長い。
といふ、ことである。
従って、
然るに、
(28)
1     (1)象は鼻が長い。                        A
1     (〃)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
1     (〃)すべてのxについて、xが象であるならば、有るyはxの鼻であって長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。 A
 2    (2)兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。              A
 2    (〃)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)} A
 2    (〃)すべてのxについて、xが兎であるならば、有るyはxの耳であって長く、すべてのzについて、zがxの耳ならば、zはxの鼻ではない。 A
  3   (3)有る兎は象である。                      A
  3   (〃)∃x(兎x&象x)                      A
  3   (〃)あるxは兎であって象である。                 A
1     (4)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  1UE
 2    (5)   兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za)  1UE
   6  (6)   兎a&象a                       A
   6  (7)   兎a                          6&E
   6  (8)      象a                       6&E
1  6  (9)      ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  47MPP
 2 6  (ア)      ∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za)  58MPP
1  6  (イ)      ∃y(鼻ya&長y)               9&E
 2 6  (ウ)      ∃y(耳ya&長y)               ア&E
    エ (エ)         鼻ba&長b                A
     オ(オ)         耳ba&長b                A
1  6  (カ)                 ∀z(~鼻za→~長z)  9&E
1  6  (キ)                    ~鼻ba→~長b   カUE
 2 6  (ク)                 ∀z(耳za→~鼻za)  ア&E
 2 6  (ケ)                    耳ba→~鼻ba   クUE
     オ(コ)                    耳ba        オ&E
 2 6 オ(サ)                        ~鼻ba   ケコMPP
12 6 オ(シ)                         ~長b   キサコMPP
     オ(ス)             長b                オ&E
12 6 オ(セ)             長b&~長b            シス&I
12 6  (ソ)             長b&~長b            ウオセEE
123   (タ)             長b&~長b            36ソEE
12    (チ)~∃x(兎x&象x)                     3タRAA
12    (ツ)∀x~(兎x&象x)                     チ量化子の関係
12    (テ)  ~(兎a&象a)                     ツUE
12    (ト)  ~兎a∨~象a                      テ、ド・モルガンの法則
12    (ナ)   兎a→~象a                      ト含意の定義
12    (ニ)∀x(兎x→~象x)                     ナUI
12    (〃)すべてのxについて、xが兎であるならば、xは象ではない。   ナUI
12    (〃)兎は象ではない。
従って、
(25)~(28)により、
(29)  
③ 鼻長い=∀x{鼻x&長x→∃y(象y&鼻xy)}
④ 象長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
である。
然るに、
(30)
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
といふ「書き方」を、仮に、『といふ書き方』とする。
従って、
(24)(29)(30)により、
(31)
① ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
② ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}
といふ「論理式」に相当する、『といふ書き方』が、
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
である。といふことからすれば、
③ ∀x{鼻x&長x→∃y(象y&鼻xy)}
④ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
といふ「論理式」に相当する、『といふ書き方』も、あるに、違ひない。
然るに、
(32)
「慣れれば」どうかは、分からないものの、「慣れたこと」がないため、
③ ∀x{鼻x&長x→∃y(象y&鼻xy)}
④ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
といふ「論理式」に相当する、『といふ書き方』は、直ぐには、「思ひ浮かばない」。
加へて、
(33)
① 少女為全少年為所愛=∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
② 少年皆有其所愛少女=∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}
③ 鼻は象が長い   =∀x{鼻x&長x→∃y(象y&鼻xy)}
④ 象は鼻が長い   =∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
は、「左辺」は「言語」で、「右辺」は、「人工言語」であるが、
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
は、「言語」といふ「感じ」が、しない
加へて、
(34)
① ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
② ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}
③ ∀x{鼻x&長x→∃y(象y&鼻xy)}
④ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
といふ「述語論理式(自然演繹)」は、「我々が、日常的に用ひる、推論の規則」に従ふ「形」で、作られてゐる。
然るに、
(35)
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
のやうな『といふ書き方』は、「真理表(Truth table)」によって、
① が「真(本当)」であるならば、
② も「真(本当)」である。が、
② が「真(本当)」であるならば、
① も「真(本当)」である。ではない
といふことを、示してゐるものの、このやうな「機械的な方法」は、「我々が、日常的に用ひる、推論の規則」に従ってゐるとは、言ひ難い。
然るに、
(36)
「我々が、日常的に用ひる、推論の規則」に従ふ「論理学」と、「さうではない論理学」を「比較」すれば、
「我々にとって、望ましい論理学」は、「前者」の方であるに、違ひない。
従って、
(30)(33)~(36)により、
(37)
① ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
② ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}
③ ∀x{鼻x&長x→∃y(象y&鼻xy)}
④ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
のやうな「述語論理式」を、
①(愛da&愛ea&愛fa)∨(愛db&愛eb&愛fb)∨(愛dc&愛ec&愛fc)
②(愛da∨愛db∨愛dc)&(愛ea∨愛eb∨愛ec)&(愛fa∨愛fb∨愛fc)
のやうな『といふ書き方』に、全面的に「置き換へる」ことは、たとへ、それが可能()であったとしても、「好ましいやり方」であるとは、言へない。


(240)「二項述語における量記号の交換の規則」の説明。

2019-05-28 18:56:48 | 論理

(01)
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)
② ∃y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc)
③ ∀x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb)
④ ∃x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
に於いて、何故
① は、② を「含意」し、
② は、③ を「含意」し、
③ は、④ を「含意」する。
のか、その「理由」を説明します。
(02)
1(01)(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc) A
1(02)(Faa&Fba&Fca)                             1&E
1(03)(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)               2∨I
1(04)(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc) 3∨I
従って、
(01)(02)により。
(03)
① ∀y∀x(Fxy)
② ∃y∀x(Fxy)
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
(04)
① P&Q&R=PでQでRである。
であれば、
② P∨Q∨R=PかQかRである。
であるが、
② P∨Q∨R=PかQかRである。
であるとしても、
① P&Q&R=PでQでRである。
ではない
従って、
(03)(04)により、
(05)
① ∀y∀x(Fxy)
② ∃y∀x(Fxy)
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
(06)
1   (1)(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc) A
 2  (2)(Faa&Fba&Fca)                             A
 2  (3) Faa                                      2&E
 2  (4) Faa∨Fab                                  3∨I
 2  (5)(Faa∨Fab∨Fac)                             4∨I
 2  (6)     Fba                                  2&E
 2  (7) Fbb∨Fba                                  6∨I
 2  (8)(Fbb∨Fba∨Fbc)                             7∨I
 2  (9)         Fca                              2&E
 2  (ア)     Fcc∨Fca                              9∨I
 2  (イ)(Fcc∨Fca∨Fcb)                             ア∨I
 2  (ウ)(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)               58&I
 2  (エ)(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb) イウ&I
  オ (オ)(Fbb&Fab&Fcb)を「仮定(A)しても、「同様のやり方」で、
  オ (カ)(Faa∨Fba∨Fca)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb) ##&I 
   キ(キ)(Fcc&Fac&Fbc)を「仮定(A)しても、「同様のやり方」で、               
   キ(ク)(Faa∨Fba∨Fca)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb) ##&I 
 ― 従って、「同じこと」なので、途中を省略すると、―
1      (ケ)(Faa∨Fba∨Fca)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb) 12エオカキクEE
従って、
(01)(06)により、
(07)
② ∃y∀x(Fxy)
③ ∀x∃y(Fxy)
に於いて、
② ならば、③ である。
従って、
(04)(07)により、
(08)
② ∃y∀x(Fxy)
③ ∀x∃y(Fxy)
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない。
(09)
1(1)(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb) A
1(2)(Faa∨Fab∨Fac)                             1&E
1(3)(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)               2∨I
1(4)(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb) 3∨I  
従って、
(01)(09)により、
(10)                      
③ ∀x∃y(Fxy)
④ ∃x∃y(Fxy)
に於いて、
③ ならば、④ である。
従って、
(04)(10)により、
(11)
③ ∀x∃y(Fxy)
④ ∃x∃y(Fxy)
に於いて、
③ ならば、④ であるが、
④ ならば、③ ではない。
従って、
(01)~(11)により、
(12)
① P&Q&R=PでQでRである。
であれば、
② P∨Q∨R=PかQかRである。
であるが、
② P∨Q∨R=PかQかRである。
であるとしても、
① P&Q&R=PでQでRである。
ではない
といふことが、あるからこそ、
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)
② ∃y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc)
③ ∀x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb)
④ ∃x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
に於いて、
(Ⅰ)① ならば、② であるが、② ならば、① ではない
(Ⅱ)② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない
(Ⅲ)③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない
といふ、ことになる。
かくして、
(01)~(12)により、
(13)
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)

② ∃y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc)

③ ∀x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb)

④ ∃x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
といふ風に、自分で、書いてみて、初めて、『第11図、二項述語における量記号の交換の規則(沢田允茂、現代論理学入門、1962年、146頁)』が「正しい」といふことを、「文字通り、完全に、理解出来ました」。
といふ、ことになる。
従って、
(14)
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)
② ∃y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc)
③ ∀x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb)
④ ∃x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
といふ風に、自分で、書いてみるまでは、
『第11図、二項述語における量記号の交換の規則(沢田允茂、現代論理学入門、1962年、146頁)』を、
完全には、理解してゐなかった。」といふ、ことになる。


(239)「二項述語における量記号の変換の規則(Ⅲ)」

2019-05-28 09:46:55 | 論理

(01)
「二項述語における量記号の変換の規則」により、
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)
② ∃y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc)
③ ∀x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb)
④ ∃x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
に於いて、
① は、② を「含意」し、
② は、③ を「含意」し、
③ は、④ を「含意」する。
従って、
(01)により、
(02)
少なくとも、
(Ⅰ)① ならば、② であるが、② ならば、① ではない。
(Ⅱ)② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない。
(Ⅲ)③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない。
然るに、
(03)
分かる人には、分かる通り、
① (Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)
② (Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc)
③ (Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb)
④ (Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
であるならば、たしかに、
(Ⅰ)① ならば、② であるが、② ならば、① ではない。
(Ⅱ)② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない。
(Ⅲ)③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない。
等が、「正しい」といふことは、「明々白々」である。
然るに、
(04)
① ∀y∀x(Fxy)
② ∃y∀x(Fxy)
③ ∀x∃y(Fxy)
④ ∃x∃y(Fxy)
に於いて、
(Ⅰ)① ならば、② であるが、② ならば、① ではない。
(Ⅱ)② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない。
(Ⅲ)③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない。
であることを、敢へて「計算」で示すと、次のやうになる。
(05)
(Ⅰ)
1(1)∀y∀x(Fxy) A
1(2)  ∀x(Fxb) 1UE
1(3)∃y∀x(Fxy) 2EI
(Ⅱ)
1 (1)∃y∀x(Fxy) A
 2(2)  ∀x(Fxb) A
 2(3)∀y∀x(Fxy) 2UI
1 (4)∀y∀x(Fxy) 123EE
然るに、
(06)
(Ⅱ)
 )  ∀x(Fx) A
 2(3)∀y∀x(Fx) UI
は、「UI(普遍量記号導入の規則)」に対する「違反」であるため、「マチガイ」ある。
cf.
「すべてのxがFならば、あるxはFである。」が、
「あるxがFならば、すべてのxはFである。」といふことには、ならない。
従って、
(04)(05)(06)により、
(07)
① ∀y∀x(Fxy)
② ∃y∀x(Fxy)
に於いて、
(Ⅰ)① ならば、② であるが、② ならば、① ではない
(08)
(Ⅱ)
1 (1)∃y∀x(Fxy) A
 2(2)  ∀x(Fxb) A
 2(3)     Fab  2UE
 2(4)  ∃y(Fay) 2EI
 2(5)∀x∃y(Fxy) 4UI
1 (6)∀x∃y(Fxy) 125EE
(Ⅲ)
1 (1)∀x∃y(Fxy) A
1 (2)  ∃y(Fay) 1UE
 3(3)     Fab  2
 3(4)  ∀x(Fxb) 3UI
 3(5)∃y∀x(Fxb) 4EI
1 (6)∃y∀x(Fxb) 235EE
然るに、
(09)
(Ⅲ)
 3()     Fb  2
 3()  ∀x(Fb) UI
は、「UI(普遍量記号導入の規則)」に対する「違反」であるため、「マチガイ」ある。
cf.
ただひとつの誤った段階は()のそれである。―()は「」を含み、その結果、UI制限が破られる点に誤りがある。この「ニア・ミス」は、制限順守の実行を大切と考えるべきこをよく教えてくれるものでなければならない(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、166頁)。
従って、
(04)(08)(09)により、
(10)
② ∃y∀x(Fxy)
③ ∀x∃y(Fxy)
に於いて、
(Ⅱ)② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない
(11)
(Ⅲ)
1(1)∀x∃y(Fxy) A
1(2)  ∃y(Fay) 1UE
1(3)∃x∃y(Fxy) 2EI
(Ⅳ)
1 (1)∃x∃y(Fxy) A
 2(2)  ∃y(Fay) A
 2(3)∀x∃y(Fxy) 2UI
1 (4)∀x∃y(Fxy) 123EE
然るに、
(12)
(Ⅳ)
 )  ∃y(Fy) A
 2(3)∀x∃y(Fy) UI
は、「UI(普遍量記号導入の規則)」に対する「違反」であるため、「マチガイ」ある。
従って、
(04)(11)(12)により、
(13)
③ ∀x∃y(Fxy)
④ ∃x∃y(Fxy)
に於いて、
(Ⅲ)③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない
従って、
(07)(10)(13)により、
(14)
「計算の結果」としても、
① ∀y∀x(Fxy)
② ∃y∀x(Fxy)
③ ∀x∃y(Fxy)
④ ∃x∃y(Fxy)
に於いて、
(Ⅰ)① ならば、② であるが、② ならば、① ではない
(Ⅱ)② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない
(Ⅲ)③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない
従って、
(01)(03)(14)により、
(15)
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)
② ∃y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc)
③ ∀x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb)
④ ∃x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
に於いて、
(Ⅰ)① ならば、② であるが、② ならば、① ではない
(Ⅱ)② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない
(Ⅲ)③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない
従って、
(16)
{xの変域が、三人の人}={a、b、c}
であるとして、
① ∀y∀x(愛xy)=すべての人は、すべての人を愛してゐる。
② ∃y∀x(愛xy)=ある人は、すべての人に愛されてゐる。
③ ∀x∃y(愛xy)=すべての人はある人を愛してゐる。
④ ∃x∃y(愛xy)=ある人はある人を愛してゐる。
に於いて、
(Ⅰ)① ならば、② であるが、② ならば、① ではない
(Ⅱ)② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない
(Ⅲ)③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない
従って、
(16)により、
(17)
{xの変域}={世界中のすべての人}
であったとしても、
① ∀y∀x(愛xy)=すべての人は、すべての人を愛してゐる。
② ∃y∀x(愛xy)=ある人は、すべての人に愛されてゐる。
③ ∀x∃y(愛xy)=すべての人はある人を愛してゐる。
④ ∃x∃y(愛xy)=ある人はある人を愛してゐる。
に於いて、
(Ⅰ)① ならば、② であるが、② ならば、① ではない
(Ⅱ)② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない
(Ⅲ)③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない
然るに、
(18)
① すべての人が、すべての人を愛してゐる。とすると、
② 任意の人は、すべての人に愛されてゐる。
然るに、
(19)
② 任意の人が、すべての人に愛されてゐる。とすると、
② ある人は、すべての人に愛されてゐる。
然るに、
(20)
② ある人が、すべての人に愛されてゐる。としても、
① すべての人が、すべての人を愛してゐる。といふことには、ならない。
然るに、
(21)
② ある人bが、すべての人に愛されてゐる。とすると、
③ すべての人は、その、ある人bを愛してゐる。
然るに、
(22)
③ すべての人はある人を愛してゐる。としても、
②     すべての人の半分は、ある人bだけを愛し、
② すべての人の、残りの半分は、ある人cだけを愛してゐる。
のかも知れない。
従って、
(21)(22)により、
(23)
③ すべての人がある人を愛してゐる。としても、
② ある人bが、すべての人に愛されてゐる。とは、限らない。
(24)
③ すべての人はある人を愛してゐる。とすると、
④ 任意の人は、ある人を愛してゐる。
然るに、
(25)
④ 任意の人が、ある人を愛してゐる。とすると、
④  ある人は、ある人を愛してゐる。
然るに、
(26)
④ ある人が、ある人を愛してゐる。としても、
③ すべての人がある人を愛してゐる。といふことには、ならない。
従って、
(17)~(26)により、
(27)
{xの変域}={世界中のすべての人}
であったとしても、
① ∀y∀x(愛xy)=すべての人は、すべての人を愛してゐる。
② ∃y∀x(愛xy)=ある人は、すべての人に愛されてゐる。
③ ∀x∃y(愛xy)=すべての人はある人を愛してゐる。
④ ∃x∃y(愛xy)=ある人はある人を愛してゐる。
に於いて、
(Ⅰ)① ならば、② であるが、② ならば、① ではない
(Ⅱ)② ならば、③ であるが、③ ならば、② ではない
(Ⅲ)③ ならば、④ であるが、④ ならば、③ ではない
然るに、
(28)
{xの変域}={世界中のすべての人}
を「対象」として、
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)
② ∃y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc)
③ ∀x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb)
④ ∃x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
といふやうな「式」を、書くことは出来ない。
然るに、
(29)
「結合法則・交換法則」により、
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)
であれば、
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fab&Fac)&(Fbb&Fba&Fbc)&(Fcc&Fca&Fcb)
に「等しい」。
然るに、
(30)
① (Faa&Fab&Fac)&(Fbb&Fba&Fbc)&(Fcc&Fca&Fcb)=∀y∀x(Fxy)
であるならば、
① (aは、aとbとcを愛す)&(bは、bとaとcを愛す)&(cは、cとaとbを愛す)=∀y∀x(Fxy)
といふことに、他ならない。
然るに、
(31)
{xの変域が、三人の人}={a、b、c}
であるとして、
① (は、aとbとcを愛す)&(は、bとaとcを愛す)&(は、cとaとbを愛す)=∀y∀x(Fxy)
といふことは、
すべての人は、自分自身を含めて、すべての人を愛す=∀y∀x(Fxy)。
といふことに、他ならなない。
(32)
② ある人は、すべての人に愛されてゐる=∃y∀x(愛xy)。
③ すべての人はある人を愛してゐる  =∀x∃y(愛xy)。
に関しては、「昨日の記事(238)」で説明した通りである。
(32)
④ ∃x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
の場合は、例へば、
④ Fab=aはbを愛す。
が「真(本当)」であれば、それだけで、「真(本当)」である。
然るに、
(33)
④ Fab=aはbを愛す。
といふことは、{a、b、c}の中の、
ある人はある人を愛してゐる=∃x∃y(愛xy)。
といふことに、他ならなない。


(238)「二項述語における量記号の変換の規則(Ⅱ)」

2019-05-27 15:58:32 | 論理

(01)
「二項述語における量記号の変換の規則」により、
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)
② ∃y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc)
③ ∀x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb)
④ ∃x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
に於いて、
① は、② を「含意」し、
② は、③ を「含意」し、
③ は、④ を「含意」する。
従って、
(01)により、
(02)
② ∃y∀x(愛xy)=(愛aa&愛ba&愛ca)∨(愛bb&愛ab&愛cb)∨(愛cc&愛ac&愛bc)
③ ∀x∃y(愛xy)=(愛aa∨愛ab∨愛ac)&(愛bb∨愛ba∨愛bc)&(愛cc∨愛ca∨愛cb)
に於いて、
② は、③ を「含意」する。
従って、
(02)により、
(03)
すべての人によって愛される人がゐる。
すべての人はある人を愛してゐる。
に於いて、
② は、③ を「含意」する。
従って、
(03)により、
(04)
すべての少年によって、愛される少女がゐる(少女為全少年所愛)。
すべての少年には、愛する所の少女がゐる(少年皆有其所愛少女)。
に於いて、
② は、③ を「含意」するに、違ひない。
従って、
(04)により、
(05)
② ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
③ ∀x{少年x→∃y(少女y&愛yx)}
に於いて、
② は、③ を「含意」するに、違ひない。
従って、
(06)
② ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}
③ ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない
といふ風に、予想される。
然るに、
(07)
(ⅱ)
1  (1)∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)} A
 2 (2)   少女a&∀y(少年y→愛ya)  A
 2 (3)   少女a              2&I
 2 (4)       ∀y(少年y→愛ya)  2&I
 2 (5)          少年b→愛ba   4UE
  6(6)          少年b       A
 26(7)              愛ba   56MPP
 26(8)          少女a&愛ba   37&I
 26(9)       ∃x(少女x&愛bx)  8EI
1 6(ア)       ∃x(少女x&愛bx)  129EE
1  (イ)   少年b→∃x(少女x&愛bx)  6アCP
1  (ウ)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} 1UI
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
(08)
(ⅲ)
1  (1)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} A
1  (2)   少年b→∃x(少女x&愛bx)  1UE
 3 (3)   少年b              A
13 (4)       ∃x(少女x&愛bx)  23MPP
  5(5)          少女a&愛ba   A
  5(6)          少女a       5&E
  5(7)              愛ba   5&E
の場合は、これ以上、「続けよう」が無い。
従って、
(08)により、
(09)
以下では、敢へて、「ルールを無視した、デタラメな計算」をすると、
1  (1)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} A
1  (2)   少年b→∃x(少女x&愛bx)  1UE
 3 (3)   少年b              A
13 (4)       ∃x(少女x&愛bx)  23MPP
  5(5)          少女a&愛ba   A
  5(6)          少女a       5&E
  5(7)              愛ba   5&E
  5(8)          少年b→愛ba   37CP  は「マチガイ1」。
  5(9)       ∀y(少年y→愛ya)  8UI   は「マチガイ2」。
  5(ア)   少女a&∀y(少年y→愛ya)  69&I
  5(イ)∃x{少女x&∀y(少年y→愛yc)} アEI
1  (ウ)∃x{少女a&∀y(少年y→愛ya)} 45イEE は「マチガイ3」。
従って、
(09)により、
(10)
1  (1)∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)} A
1  (2)   少年b→∃x(少女x&愛bx)  1UE
 3 (3)   少年b              A
13 (4)       ∃x(少女x&愛bx)  23MPP
  5(5)          少女a&愛ba   A
  5(6)          少女a       5&E
  5(7)              愛ba   5&E
  5(8)          少年b→愛ba   37CP
  5(9)       ∀y(少年y→愛ya)  8UI
  5(ア)   少女a&∀y(少年y→愛ya)  69&I
  5(イ)∃x{少女a&∀y(少年y→愛ya)} アEI
1  (ウ)∃x{少女a&∀y(少年y→愛ya)} 45イEE
といふ「計算」は、「マチガイ」を「3つ」犯しているため、「マチガイ」である。
従って、
(04)(06)(07)(10)により、
(11)
果たして、
② ∃x(少女x&∀y(少年y→愛yx)}=少女為全少年所愛。
③ ∀y(少年y→∃x(少女x&愛yx)}=少年皆有其所愛少女。
に於いて、
② ならば、③ であるが、
③ ならば、② ではない
(12)
{xの変域が、三人の人}={a、b、c}
であるとして、
② ∃y∀x(愛xy)=(愛aa&愛ba&愛ca)∨(愛bb&愛ab&愛cb)∨(愛cc&愛ac&愛bc)
③ ∀x∃y(愛xy)=(愛aa∨愛ab∨愛ac)&(愛bb∨愛ba∨愛bc)&(愛cc∨愛ca∨愛cb)
に於いて、それぞれ、
すべての人によって愛される人がゐる。
すべての人はある人を愛してゐる。
といふ「意味」である「理由」は、以下の通りである。
(13)
② (愛aa&愛ba&愛ca)∨(愛bb&愛ab&愛cb)∨(愛cc&愛ac&愛bc)=∃y∀x(愛xy)
の場合は、例へば、
② (愛aa&愛ba&愛ca)
が「真(本当)」であれば、それだけで、「真(本当)」である。
然るに、
(14)
② (愛aa&愛ba&愛ca)
であるならば、
② 愛aa⇒ aは、a自身によって、愛されてゐる。
② 愛ba⇒ aは、bによって、愛されてゐる。
② 愛ca⇒ aは、cによって、愛されてゐる。
然るに、
(12)により、
(15)
{xの変域が、三人の人}={a、b、c}
である。といふことは、
{a、b、c}={すべての人
である。
従って、
(14)(15)により、
(16)
② aは、すべての人によって愛されてゐる。
のだから、
② すべての人によって愛される人がゐる。
といふ、ことになる。
従って、
(12)~(16)により、
(17)
② ∃y∀x(愛xy)=(愛aa&愛ba&愛ca)∨(愛bb&愛ab&愛cb)∨(愛cc&愛ac&愛bc)
③ ∀x∃y(愛xy)=(愛aa∨愛ab∨愛ac)&(愛bb∨愛ba∨愛bc)&(愛cc∨愛ca∨愛cb)
に於いて、
② すべての人によって愛される人がゐる。
である。
然るに、
(18)
③ (愛aa∨愛ab∨愛ac)&(愛bb∨愛ba∨愛bc)&(愛cc∨愛ca∨愛cb)=∀x∃y(愛xy)
の場合は、例へば、
③ (愛ab)&(愛ba)&(愛cb)
が「真(本当)」であれば、それだけで、「真(本当)」である。
然るに、
(19)
③ (愛ab)&(愛ba)&(愛cb)
であるならば、
③ 愛ab⇒ aは、bを愛してゐる。
③ 愛ba⇒ bは、aを愛してゐる。
③ 愛cb⇒ cは、bを愛してゐる。
従って、
(15)(19)により、
(20)
③ すべての人は、ある人を愛してゐる。
従って、
(17)(20)により、
(21)
② ∃y∀x(愛xy)=(愛aa&愛ba&愛ca)∨(愛bb&愛ab&愛cb)∨(愛cc&愛ac&愛bc)
③ ∀x∃y(愛xy)=(愛aa∨愛ab∨愛ac)&(愛bb∨愛ba∨愛bc)&(愛cc∨愛ca∨愛cb)
に於いて、
すべての人によって愛される人がゐる。
すべての人は、ある人を愛してゐる。
といふ、ことになる。


(237)二項述語における量記号の交換の規則。

2019-05-26 15:40:52 | 論理

(01)
① ∀y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)&(Fbb&Fab&Fcb)&(Fcc&Fac&Fbc)
 ↓
② ∃y∀x(Fxy)=(Faa&Fba&Fca)∨(Fbb&Fab&Fcb)∨(Fcc&Fac&Fbc)
 ↓
③ ∀x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)&(Fbb∨Fba∨Fbc)&(Fcc∨Fca∨Fcb)
 ↓
④ ∃x∃y(Fxy)=(Faa∨Fab∨Fac)∨(Fbb∨Fba∨Fbc)∨(Fcc∨Fca∨Fcb)
といふ風に書いてみて、初めて、『第11図、二項述語における量記号の交換の規則(沢田允茂、現代論理学入門、1962年、146頁)』が「正しい」といふことを、「文字通り、完全に、理解出来ました」。
(02)
{xの変域が、三人の人}={a、b、c}
であるとして、
① ∀y∀x(愛xy)=すべての人は、(自分自身を含めて)すべての人を愛してゐる。
 ↓
② ∃y∀x(愛xy)=ある人は、(自分自身を含めて)すべての人に愛されてゐる。
 ↓
③ ∀x∃y(愛xy)=すべての人はある人を愛してゐる(が自分自身は愛してゐないかも知れない)。
 ↓
④ ∃x∃y(愛xy)=ある人はある人を愛してゐる(が自分自身は愛してゐないかも知れない)。
といふ「順番」で、
① は、② を「含意」し、
② は、③ を「含意」し、
③ は、④ を「含意」する。
ただし、
(03)
「理由」に関しては、今回は、説明しません。「論理学の教科書」で、「&(and)」と「∨(or)」に関する「説明」をよく読めば、(01)を「理解」することは、「難しくはない」と、思はれます。


(236)「すべての(∀x)」と「存在(∃x)」について。

2019-05-25 19:48:50 | 論理
(01)
(ⅰ)
1 (1)∀x(Fx→ Gx)  A
1 (2)   Fa→ Ga   1UE
 3(3)   Fa&~Ga   A
 3(4)   Fa       3&E
 3(5)      ~Ga   3&E
13(6)       Ga   24MPP
13(7)   ~Ga&Ga   56&I
1 (8) ~(Fa&~Ga)  37RAA
1 (9) ~Fa∨~~Ga   8ド・モルガンの法則
1 (ア)   ~Fa∨Ga   9DN
1 (イ)∀x(~Fx∨Gx)  アUI
(ⅱ)
1     (1)∀x(~Fx∨ Gx)  A
1     (2)   ~Fa∨ Ga   1UE
 3    (3)    Fa&~Ga   A
  4   (4)   ~Fa       A
 3    (5)    Fa       3&E
 34   (6)   ~Fa&Fa    45&I
  4   (7)  ~(Fa&~Ga)  36RAA
   8  (8)        Ga   A
 3    (9)       ~Ga   &E
 3 8  (ア)    Ga&~Ga   89&I
   8  (イ)  ~(Fa&~Ga)  3アRAA
1     (ウ)  ~(Fa&~Ga)  2478イ∨E
    エ (エ)    Fa       A
     オ(オ)       ~Ga   A
    エオ(カ)    Fa&~Ga   エオ&I
1   エオ(キ)  ~(Fa&~Ga)&
            (Fa&~Ga)  イカ&I
1   エ (ク)      ~~Ga   オキRAA
1   エ (ケ)        Ga   クDN
1     (コ)    Fa→ Ga   エケCP
1     (サ) ∀x(Fx→ Gx)  コUI
従って、
(01)により、
(02)
① ∀x( Fx→Gx)=すべてのxについて、xがFであるならば、xはGである。
② ∀x(~Fx∨Gx)=すべてのxについて、xはFでないか、Gであるか、FでなくてGである。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
{xの変域(ドメイン)}が、{a、b、c}であるならば、そのときに限って、
② ∀x(~Fx∨Gx)=(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)
である。
従って、
(02)(03)により、
(04)
① ∀x( Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)
② ∀x(~Fx∨Gx)=(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(05)
「真理表(Truth table)」により、
①(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)=∀x( Fx→Gx)
②(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)=∀x(~Fx∨Gx)
の場合は、
① ~Fa=真(本当)
② ~Fb=真(本当)
③ ~Fc=真(本当)
であるならば、「真(本当)」である。
従って、
(05)により、
(06)
例へば、
① ~Fa=aはフランス人ではない=真(本当)
① ~Fb=bはフランス人ではない=真(本当)
① ~Fc=cはフランス人ではない=真(本当)
であるならば、
① ∀x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)
は、「真(本当)」である。
然るに、
(07)
① aはイギリス人である
① bはアメリカ人である
① cはイタリア人である
であるならば、
① ~Fa=aはフランス人ではない=真(本当)
① ~Fb=bはフランス人ではない=真(本当)
① ~Fc=cはフランス人ではない=真(本当)
であるため、
① ∀x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)
といふ「仮言命題」は、「真(本当)」である。
従って、
(03)~(07)により、
(08)
{xの変域(ドメイン)}が、{a、b、c}であるとして、
① aはイギリス人であって、フランス人ではない。
① bはアメリカ人であって、フランス人ではない。
① cはイタリア人であって、フランス人ではない。
といふことが、「(本当)」であるならば、
① ∀x(Fx→ Gx)=すべてのフランス人(French)は寛大(Generous)である。
といふ「仮言命題」は、「(本当)」である。
従って、
(08)により、
(09)
フランス人が、一人もゐない。
としても、
① ∀x(Fx→ Gx)=すべてのフランス人(French)は寛大(Generous)である。
といふ「仮言命題」は、「(本当)」である。
従って、
(09)により、
(10)
① 人間が、一人もゐない
としても、
① ∀x(人間x→正直x)=すべての人間は、正直である。
といふ「仮言命題」は、「(本当)」である。
従って、
(10)により、
(11)
要するに「すべて」という語も「人間」といふ語も、「存在する」ということとは無関係である。そこで「すべての人間は正直である」という文の論理的構造をしめす
 「すべてのxについて、もしxが人間ならばxは正直である」
は命題論理の法則の一つである
 (P→Q)=~(P&~Q)
をあてはめれば、
 「すべてのxについて、xが人間であってそして正直でないということではない」ということと等値である(沢田允茂、現代論理学入門、1962年、122頁)。
といふ、ことになる。
然るに、
(12)
(ⅲ)
1  (1)∃x(Fx→ Gx) A
 2 (2)   Fa→ Ga  A
  3(3)   Fa&~Ga  A
  3(4)   Fa      3&E
  3(5)      ~Ga  3&E
 23(6)       Ga  24MPP
 23(7)   ~Ga&Ga  56&I
 2 (8) ~(Fa&~Ga) 37RAA
 2 (9) ~Fa∨~~Ga  8ド・モルガンの法則
 2 (イ)   ~Fa∨Ga  9DN
 2 (ウ)∃x(~Fx∨Gx) イEI
1  (エ)∃x(~Fx∨Gx) 12ウEE
(ⅳ)
1      (1)∃x(~Fx∨ Gx)  A
 2     (2)   ~Fa∨ Ga   A
  3    (3)    Fa&~Ga   A
  3    (4)    Fa       3&E
  3    (5)       ~Ga   3&E
   6   (6)   ~Fa       A
  36   (7)    Fa&~Fa   46&I
   6   (8)  ~(Fa&~Ga)  37RAA
    9  (9)        Ga   A
  3 9  (ア)    ~Ga&Ga   59&I
    9  (イ)  ~(Fa&~Ga)  3アRAA
 2     (ウ)  ~(Fa&~Ga)  2689イ∨I
     エ (エ)    Fa       A
      オ(オ)       ~Ga   A
 2   エオ(カ)    Fa&~Ga   エオ&I
 2   エオ(キ)  ~(Fa&~Ga)&
             (Fa&~Ga)  ウカ&I
 2   エ (ク)      ~~Ga   オキRAA
 2   エ (ケ)        Ga   クDN
 2     (コ)    Fa→ Ga   エケCP
 2     (サ) ∃x(Fx→ Gx)  コEI
1      (シ) ∃x(Fx→ Gx)  12サEE
従って、
(02)(12)により、
(13)
① ∀x( Fx→Gx)=すべてのxについて、xがFであるならば、xはGである。
② ∀x(~Fx∨Gx)=すべてのxについて、xはFでないか、Gであるか、FでなくてGである。
に於いて、
①=② であったやうに。
③ ∃x( Fx→Gx)=あるxについて、xがFであるならば、xはGである。
④ ∃x(~Fx∨Gx)=あるxについて、xはFでないか、Gであるか、FでなくてGである。
に於いても、
③=④ である。
然るに、
(14)
{xの変域(ドメイン)}が、{a、b、c}であるならば、そのときに限って、
④ ∃x(~Fx∨Gx)=(~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)
である。
従って、
(13)(14)により、
(15)
③ ∃x( Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)
④ ∃x(~Fx∨Gx)=(~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(16)
「真理表(Truth table)」により、
③ (~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)=∃x( Fx→Gx)
④ (~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)=∃x(~Fx∨Gx)
の場合は、
③ ~Fa=真(本当)
であれば、それだけで、「真(本当)」であり、
③ ~Fb=真(本当)
であれば、それだけで、「真(本当)」であり、
③ ~Fc=真(本当)
であれば、それだけで、「真(本当)」である。
従って、
(07)(16)により、
(17)
③ ∃x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)
といふ「命題」は、
③ aがイギリス人である。ならば、「真(本当)」であり、
③ aがイギリス人で、bがアメリカ人である。ならば、「真(本当)」であり、
③ aがイギリス人で、bがアメリカ人で、cがイタリア人である。ならば、「真(本当)」である。
従って、
(09)(17)により、
(18)
① ∀x(Fx→Gx)=すべてのxについて、xがFであるならば、xはGである。
① ∀x(Fx→Gx)=すべてのフランス人(French)は寛大(Generous)である。
といふ「命題」だけでなく、
③ ∃x(Fx→Gx)=あるxについて、xがFであるならば、xはGである。
③ ∃x(Fx→Gx)=フランス人(French)ならば寛大(Generous)である。
といふ「命題」であっても、
③ フランス人が、一人もゐなくとも、「(本当)」である。
従って、
(18)により、
(19)
「すべてのフランス人は寛大である」は一種の条件文として適切に記号化されるので、これに同化(assimilate)してしまって、「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく「∃x(Fx&Gx)」と記号化するかわりに、むしろ「∃x(Fx→Gx)」とするのは、よくある間違い(common mistake)である。しかし、「∃x(Fx→Gx)」は、それがフランス人であるならば、寛大であるようなあるものが存在することを主張するのであって、これは、かりにフランス人存在しないとしても真であろう。しかし「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、123・4頁改)。
といふ、ことになる。
然るに、
(20)
① ∀x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)
③ ∃x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)
に於いて、
① の場合は、例へば
① ~Fa=真(本当) であって、尚且つ、
①  Gb=真(本当) であって、尚且つ、
①  Gc=真(本当) である「場合」等に於いて、「真(本当)」であって、
③ の場合は、
③{~Fa、Ga、~Fb、Gb、~Fc、Gb}の中の、
③{少なくとも、一つ}が「真(本当)」であるならば、それだけで、「真(本当)」である。
従って、
(20)により、
(21)
① ∀x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)
③ ∃x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)
に於いて、
① が「真(本当)」であるならば、
③ は、必ず「真(本当)」であるが、
③ が「真(本当)」であったとしても、
① が「真(本当)」であるとは、限らない。
従って、
(21)により、
(22)
① ∀x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)&(~Fb∨Gb)&(~Fc∨Gc)
③ ∃x(Fx→Gx)=(~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)
に於いては、
① ならば、③ であるが、
③ ならば、① ではない
然るに、
(23)
(ⅰ)
1(1)∀x(Fx→Gx) A
1(2)   Fa→Ga  1UE
1(3)∃x(Fx→Gx) 1EI
(ⅲ)
1 (1)∃x(Fx→Gx) A
 2(2)   F→G  A
 2(3)∀x(F→G) 2UI
は、「UI(普遍量記号導入の規則)」に対する、「違反」である。
従って、
(22)(23)により、
(24)
言ふまでもなく、「述語計算(Predicate calculation)」を行った「結果」も、
① ∀x(Fx→Gx)=すべてのフランス人(French)は、寛大(Generous)である。
③ ∃x(Fx→Gx)=フランス人(French)であるならば寛大(Generous)である。
に於いては、
① ならば、③ であるが、
③ ならば、① ではない

(235)∃x(Fx→Gx)は、よくある「マチガイ」である(Ⅲ)。

2019-05-24 11:57:32 | 論理

―「昨日の記事(234)」を「別の角度」から、説明します。―
(01)
(ⅰ)P→Q├ ~P∨Q
    1 (1)  P→ Q A
     2(2)  P&~Q A
     2(3)  P    2&E
     2(4)    ~Q 2&E
    12(5)     Q 13MPP
    12(6)  ~Q&Q 45&I
    1 (7)   ~~Q 46RAA
    1 (8)     Q 7DN
    1 (9)  ~P∨Q 8∨I
(ⅱ)~P∨Q├ P→Q
1     (1) ~P∨ Q   A
 2    (2)  P&~Q   A
  3   (3) ~P      A
 2    (4)  P      2&E
 23   (5) ~P& P   34&I
  3   (6)~(P&~Q)  25RAA
   7  (7)     Q   A
 2    (8)    ~Q   2&E
 2 7  (9)  Q&~Q   78&I
   7  (ア)~(P&~Q)  29RAA
1     (イ)~(P&~Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  P      A
     エ(エ)    ~Q   A
    ウエ(オ)  P&~Q   エオ&I
1   ウエ(カ)~(P&~Q)&
          (P&~Q)  イオ&I
1   ウ (キ)   ~~Q   エカRAA
1   ウ (ク)     Q   キDN
1     (ケ)  P→ Q   ウクCP
従って、
(01)により、
(02)
①  P→Q=PならばQである。
② ~P∨Q=Pでないか、Qである。
に於いて、
①=② である。
ものの、この「等式」を、「含意の定義(Ⅰ)」とにする。
然るに、
(03)
(ⅱ)~P∨Q├ ~(P&~Q)
1   (1) ~P∨ Q  A
 2  (2)  P&~Q  A
  3 (3) ~P     A
 2  (4)  P     2&E
 23 (5) ~P& P  34&I
  3 (6)~(P&~Q) 25RAA
   7(7)     Q  A
  2 (8)    ~Q  2&E
  27(9)  Q&~Q  78&I
   7(ア)~(P&~Q) 29RAA
1   (イ)~(P&~Q) 1367ア∨E
(ⅲ)~(P&~Q)├ ~P∨Q
1   (1) ~( P&~Q)  A
 2  (2) ~(~P∨ Q)  A
  3 (3)   ~P      A
  3 (4)   ~P∨ Q   3∨I
 23 (5) ~(~P∨ Q)&
         (~P∨ Q)  24&I
 2  (6)  ~~P      35RAA
 2  (7)    P      6DN
   8(8)       Q   A
   8(9)   ~P∨ Q   8∨I
 2 8(ア) ~(~P∨ Q)&
         (~P∨ Q)  29&I
 2  (イ)      ~Q   8アRAA
 2  (ウ)    P&~Q   7イ&I
12  (エ) ~( P&~Q)&
         ( P&~Q)  1ウ&I
1   (オ)~~(~P∨ Q)  2エRAA
1   (カ)   ~P∨ Q   オDN
cf.
ド・モルガンの法則。
従って、
(03)により、
(04)
②    ~P∨ Q =Pでないか、Qである。
③ ~(P&~Q)=Pであって、Qでない。といふことはない。
に於いて、
②=③ である。
従って、
(02)(04)により、
(05)
①   P→ Q =PならばQである。
②  ~P∨ Q =Pでないか、Qである。
③ ~(P&~Q)=Pであって、Qでない。といふことはない。
に於いて、
①=② であって、
②=③ である。
従って、
(05)により、
(06)
①   P→ Q =PならばQである。
③ ~(P&~Q)=Pであって、Qでない。といふことはない。
に於いて、
①=③ である。
ものの、この「等式」を、「含意の定義(Ⅱ)」とにする。
然るに、
(07)
(ⅰ)
1 (1) ∃x(Fx→Gx) A
 2(2)    Fa→Ga  A
 2(3)   ~Fa∨Ga  2含意の定義(Ⅰ)
 2(4)∃x(~Fa∨Ga) 3EI
1 (5)∃x(~Fx∨Gx) 124EE
(ⅱ)
1 (1)∃x(~Fx∨Gx) A
 2(2)   ~Fa∨Ga  A
 2(3)    Fa→Ga  2含意の定義(Ⅰ)
 2(4) ∃x(Fx→Gx) 2EI
1 (5) ∃x(Fx→Gx) 124EE
従って、
(07)により、
(08)
① ∃x( Fx→Gx)
② ∃x(~Fx∨Gx)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(09)
(ⅱ)
1 (1) ∃x(Fx→ Gx) A
 2(2)    Fa→ Ga  A
 2(3)  ~(Fa&~Ga) 2含意の定義(Ⅱ)
 2(4)∃x~(Fx&~Gx) 3EI
1 (5)∃x~(Fx&~Gx) 124EE
(ⅲ)
1 (1)∃x~(Fx&~Gx) A
 2(2)  ~(Fa&~Ga) A
 2(3)    Fa→Ga   2含意の定義(Ⅱ)
 2(4) ∃x(Fx→Gx)  2EI
1 (5) ∃x(Fx→Gx)  124EE
従って、
(09)により、
(10)
① ∃x (Fx→ Gx)
③ ∃x~(Fx&~Gx)
に於いて、
①=③ である。
従って、
(08)(10)により、
(11)
①  ∃x( Fx→Gx)
②  ∃x(~Fx∨Gx)
③ ∃x~(Fx&~Gx)
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(12)
{xの変域(ドメイン)}が、{a、b、c}であるならば、そのときに限って、
② ∃x(~Fx∨Gx)=(~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)={~Fa∨Ga∨~Fb∨Gb∨~Fc∨Gc}
である。
cf.
「結合法則」。
然るに、
(13)
「量化子の関係」により、
③ ∃x~(Fx&~Gx)
④ ~∀x(Fx&~Gx)
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(14)
{xの変域(ドメイン)}が、{a、b、c}であるならば、そのときに限って、
③ ∃x~(Fx&~Gx)=
④ ~∀x(Fx&~Gx)=
④ ~{(Fa&~Ga)&(Fb&~Gb)&(Fc&~Gc)}=
④ ~(Fa&~Ga)∨~(Fb&~Gb)∨~(Fc&~Gc)=
④ (~Fa∨~~Ga)∨(~Fb∨~~Gb)∨(~Fc∨~~Gc)=
④ (~Fa∨Ga)∨(~Fb∨Gb)∨(~Fc∨Gc)={~Fa∨Ga∨~Fb∨Gb∨~Fc∨Gc}
cf.
「ド・モルガンの法則、二重否定、結合法則」。
従って、
(11)~(14)により、
(15)
{xの変域(ドメイン)}が、{a、b、c}であるならば、そのときに限って、
①  ∃x( Fx→Gx)={~Fa∨Ga∨~Fb∨Gb∨~Fc∨Gc}
②  ∃x(~Fx∨Gx)={~Fa∨Ga∨~Fb∨Gb∨~Fc∨Gc}
③ ~∀x(Fx&~Gx)={~Fa∨Ga∨~Fb∨Gb∨~Fc∨Gc}
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(16)
①  ∃x( Fx→Gx)={~Fa∨Ga∨~Fb∨Gb∨~Fc∨Gc}
②  ∃x(~Fx∨Gx)={~Fa∨Ga∨~Fb∨Gb∨~Fc∨Gc}
③ ~∀x(Fx&~Gx)={~Fa∨Ga∨~Fb∨Gb∨~Fc∨Gc}
の「右辺」に於いて、
~Fx=xはフランス人ではない。
といふ「代入」を行ふと、
①  ∃x( Fx→Gx)={aはフランス人ではない。∨Ga∨bはフランス人ではない。∨Gb∨cはフランス人ではない。∨Gc}
②  ∃x(~Fx∨Gx)={aはフランス人ではない。∨Ga∨bはフランス人ではない。∨Gb∨cはフランス人ではない。∨Gc}
③ ~∀x(Fx&~Gx)={aはフランス人ではない。∨Ga∨bはフランス人ではない。∨Gb∨cはフランス人ではない。∨Gc}
然るに、
(17)
① aがイギリス人である。ならば、aはフランス人ではない
① bがアメリカ人である。ならば、bはフランス人ではない
① cがイタリア人である。ならば、cはフランス人ではない
従って、
(16)(17)により、
(18)
①  ∃x( Fx→Gx)={aはイギリス人である。∨Ga∨ bはアメリカ人である。∨Gb∨ cイタリア人である。∨Gc}
②  ∃x(~Fx∨Gx)={aはイギリス人である。∨Ga∨ bはアメリカ人である。∨Gb∨ cイタリア人である。∨Gc}
③ ~∀x(Fx&~Gx)={aはイギリス人である。∨Ga∨ bはアメリカ人である。∨Gb∨ cイタリア人である。∨Gc}
であったとしても、「真理値(本当かウソ)」は、「同じ」である。
然るに、
(19)
「交換法則」と「結合法則」により、
①  ∃x( Fx→Gx)=(aはイギリス人である。∨ bはアメリカ人である。∨ cイタリア人である。)∨(Ga∨Gb∨Gc)
②  ∃x(~Fx∨Gx)=(aはイギリス人である。∨ bはアメリカ人である。∨ cイタリア人である。)∨(Ga∨Gb∨Gc)
③ ~∀x(Fx&~Gx)=(aはイギリス人である。∨ bはアメリカ人である。∨ cイタリア人である。)∨(Ga∨Gb∨Gc)
然るに、
(20)
「∨」は、日本語で言へば、「」である。
従って、
(19)(20)により、
(21)
①  ∃x( Fx→Gx)=(aはイギリス人である。∨ bはアメリカ人である。∨ cイタリア人である。)∨(Ga∨Gb∨Gc)
②  ∃x(~Fx∨Gx)=(aはイギリス人である。∨ bはアメリカ人である。∨ cイタリア人である。)∨(Ga∨Gb∨Gc)
③ ~∀x(Fx&~Gx)=(aはイギリス人である。∨ bはアメリカ人である。∨ cイタリア人である。)∨(Ga∨Gb∨Gc)
といふ「命題」は、
①  ∃x( Fx→Gx)=(aはイギリス人である。か、bはアメリカ人である。か、cイタリア人である。)か、(Gaか、Gbか、Gc)
②  ∃x(~Fx∨Gx)=(aはイギリス人である。か、bはアメリカ人である。か、cイタリア人である。)か、(Gaか、Gbか、Gc)
③ ~∀x(Fx&~Gx)=(aはイギリス人である。か、bはアメリカ人である。か、cイタリア人である。)か、(Gaか、Gbか、Gc)
といふ「意味」である。
従って、
(21)により、
(22)
①  ∃x( Fx→Gx)=(aはイギリス人である。か、bはアメリカ人である。か、cイタリア人である。)か、(Gaか、Gbか、Gc)
②  ∃x(~Fx∨Gx)=(aはイギリス人である。か、bはアメリカ人である。か、cイタリア人である。)か、(Gaか、Gbか、Gc)
③ ~∀x(Fx&~Gx)=(aはイギリス人である。か、bはアメリカ人である。か、cイタリア人である。)か、(Gaか、Gbか、Gc)
といふ「命題」は、
① aがイギリス人である。ならば、「(本当)」であり、
① aがイギリス人で、bがアメリカ人である。ならば、「(本当)」であり、
① aがイギリス人で、bがアメリカ人で、cがイタリア人である。ならば、「(本当)」である。
従って、
(22)により、
(23)
① ∃x(Fx→Gx)=
① あるxが、フランス人であるならば、そのxはGである=
①(aはイギリス人である。か、bはアメリカ人である。か、cイタリア人である。)か、(Gaか、Gbか、Gc)。
といふ「仮言命題」は、
フランス人が、一人もゐない
としても、「本当(真)」である。
然るに、
(24)
④ ∃x(Fx&Gx)=あるxはフランス人であって、尚且つ、xは寛大である。
といふ「連言命題」は、
④ フランス人であって、寛大なxが、少なくとも、一人はゐる
といふ「意味」である。
従って、
(25)
④「フランス人が一人もゐない。」のであれば、
④ ∃x(Fx&Gx)=あるxはフランス人であって、尚且つ、xは寛大である。
といふ「論理式」は、「(ウソ)」である。
従って、
(26)
① ∃x(Fx→Gx)=あるxがフランス人であるならば、xは寛大である。
④ ∃x(Fx&Gx)=あるxはフランス人であって、尚且つ、xは寛大である。
に於いて。
① であれば、「フランス人が一人もゐない。」としても、「真(本当)」である。
④ であれば、「フランス人が一人もゐない。」としたら、「偽(ウソ)」である。
然るに、
(27)
④ 幾人かのフランス人は寛大である(Some French are generous)。
といふのであれば、「フランス人が一人もゐない。」としたら、「偽(ウソ)」である。
従って、
(26)(27)により、
(28)
④ Some French are generous(幾人かのフランス人は寛大である)。
といふ「英語(日本語)」を、
① ∃x(フランス人x→寛大x)=あるxがフランス人であるならば、そのxは寛大である。
といふ風に、「翻訳」することは、出来ない
従って、
(01)~(28)により、
(29)
「すべてのフランス人は寛大である」は一種の条件文として適切に記号化されるので、これに同化(assimilate)してしまって、「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく「∃x(Fx&Gx)」と記号化するかわりに、むしろ「∃x(Fx→Gx)」とするのは、よくある間違い(common mistake)である。しかし、「∃x(Fx→Gx)」は、それがフランス人であるならば、寛大であるようなあるものが存在することを主張するのであって、これは、かりにフランス人存在しないとしても真であろう。しかし「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、123・4頁改)。
といふ、ことになる。


(234)∃x(Fx→Gx)は、よくある「マチガイ」である(Ⅱ)。

2019-05-23 18:44:40 | 論理

―「昨日の記事(233)」を「正確」に、書き直します。―
(01)
(ⅰ)P→Q├ ~P∨Q
    1 (1)  P→ Q A
     2(2)  P&~Q A
     2(3)  P    2&E
     2(4)    ~Q 2&E
    12(5)     Q 13MPP
    12(6)  ~Q&Q 45&I
    1 (7)   ~~Q 46RAA
    1 (8)     Q 7DN
    1 (9)  ~P∨Q 8∨I
(ⅱ)~P∨Q├ P→Q
1     (1) ~P∨ Q   A
 2    (2)  P&~Q   A
  3   (3) ~P      A
 2    (4)  P      2&E
 23   (5) ~P& P   34&I
  3   (6)~(P&~Q)  25RAA
   7  (7)     Q   A
 2    (8)    ~Q   2&E
 2 7  (9)  Q&~Q   78&I
   7  (ア)~(P&~Q)  29RAA
1     (イ)~(P&~Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  P      A
     エ(エ)    ~Q   A
    ウエ(オ)  P&~Q   エオ&I
1   ウエ(カ)~(P&~Q)&
          (P&~Q)  イオ&I
1   ウ (キ)   ~~Q   エカRAA
1   ウ (ク)     Q   キDN
1     (ケ)  P→ Q   ウクCP
従って、
(01)により、
(02)
①  P→Q=PならばQである。
② ~P∨Q=Pでないか、Qである。
に於いて、
①=② である。
ものの、この「等式」を、「含意の定義」と、呼ぶことにする。
然るに、
(03)
(ⅰ)
1   (1) ∃x(Fx→Gx)     A
 2  (2)    Fa→Ga      A
 2  (3)   ~Fa∨Ga      2含意の定義
  4 (4)   ~Fa         A
  4 (5)∃x(~Fx)        4EI
  4 (6)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) 5∨I
   7(7)       Ga      A
   7(8)        ∃x(Gx) 7EI
   7(9)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) 8∨I
 2  (ア)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) 24679∨E
1   (イ)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) 12アEE
(ⅱ)
1    (1)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) A
 2   (2)∃x(~Fx)        A
  3  (3)   ~Fa         A
  3  (4)   ~Fa∨Ga      3∨I
  3  (5)    Fa→Ga      4含意の定義
  3  (6) ∃x(Fx→Gx)     5EI
 2   (7) ∃x(Fx→Gx)     236EE
   8 (8)        ∃x(Gx) A
    9(9)           Ga  A
    9(ア)   ~Fa∨Ga      9∨I
    9(イ)    Fa→Ga      ア含意の定義
    9(ウ) ∃x(Fx→Gx)     イEI
   8 (エ) ∃x(Fx→Gx)     89ウEE
1    (オ) ∃x(Fx→Gx)     1278エ∨E
従って、
(03)により、
(04)
① ∃x( Fx→Gx)    =あるxがFであるならば、 そのxはGである。
② ∃x(~Fx)∨∃x(Gx)=あるxはFでないか、その、あるxはGである。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(05)
② ∃x(~Fx)∨∃x(Gx)=あるxはFでないか、その、あるxはGである。
といふ「選言命題」に於いて、
② ∃x(~Fx)が「偽」であるならば、∃x( Gx)は「真」であり、
② ∃x( Gx)が「偽」であるならば、∃x(~Fx)は「真」であり、
② ∃x(~Fx)が「真」であるならば、∃x( Gx)の「真・偽」は「不明」であり、
② ∃x( Gx)が「真」であるならば、∃x(~Fx)の「真・偽」は「不明」である。
従って、
(04)(05)により、
(06)
① ∃x( Fx→Gx)=あるxがFであるならば、そのxはGである。
といふ「仮言命題」に於いても、
① ∃x(~Fx)が「偽」であるならば、∃x( Gx)は「真」であり、
① ∃x( Gx)が「偽」であるならば、∃x(~Fx)は「真」であり、
① ∃x(~Fx)が「真」であるならば、∃x( Gx)の「真・偽」は「不明」であり、
② ∃x( Gx)が「真」であるならば、∃x(~Fx)の「真・偽」は「不明」である。
従って、
(06)により、
(07)
① ∃x( Fx→Gx)=あるxがFであるならば、そのxはGである。
といふ「仮言命題」は、いづれにせよ、
① ∃x(~Fx)が「真」である。
といふことを、「否定」しない。
従って、
(08)
① ∃x(フランス人x→寛大x)=あるxがフランス人であるならば、そのxは寛大である。
といふ「仮言命題」は、
① ∃x(~フランス人x)=フランス人ではないxが存在する
としても、「(ウソ)」には、ならない
然るに、
(09)
① ∃x(~フランス人x)=あるxはフランス人はない。
といふ「命題」は、
① フランス人ではないxが、少なくとも、一人は存在する。
といふ「意味」である。
従って、
(09)により、
(10)
① ∃x(~フランス人x)=フランス人ではないxが存在する。
といふ「命題」は、
① 何人かのイギリス人がゐて、フランス人が一人もゐない
としても、「(本当)」である。
然るに、
(11)
③ ∃x(フランス人x&寛大x)=あるxはフランス人であって、尚且つ、xは寛大である。
といふ「連言命題」は、
フランス人であって、寛大なxが、少なくとも、一人はゐる
といふ「意味」である。
従って、
(08)~(11)により、
(12)
① ∃x(フランス人x→寛大x)=あるxがフランス人であるならば、そのxは寛大である。
③ ∃x(フランス人x&寛大x)=あるxはフランス人であって、尚且つ、xは寛大である。
に於いて、
① であれば、「イギリス人だけがゐて、フランス人がゐない」としても、「真(本当)」であって、
③ であれば、「イギリス人だけがゐて、フランス人がゐない」場合には、「偽(ウソ)」になる。
従って、
(12)により、
(13)
① 幾人かのフランス人は寛大である(Some French are generous)。
といふ「命題」を、
① ∃x(フランス人x→寛大x)=あるxがフランス人であるならば、そのxは寛大である。
といふ風に、「翻訳」することは、「マチガイ」である。
従って、
(12)(13)により、
(14)
「すべてのフランス人は寛大である」は一種の条件文として適切に記号化されるので、これに同化(assimilate)してしまって、「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく「∃x(Fx&Gx)」と記号化するかわりに、むしろ「∃x(Fx→Gx)」とするのは、よくある間違い(common mistake)である。しかし、「∃x(Fx→Gx)」は、それがフランス人であるならば、寛大であるようなあるものが存在することを主張するのであって、これは、かりにフランス人存在しないとしても真であろう。しかし「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、123・4頁改)。
といふ、ことになる。
然るに、
(03)(14)により、
(15)
しかし、「∃x(Fx→Gx)」は、それがフランス人であるならば、寛大であるようなあるものが存在することを主張するのであって、これは、かりにフランス人存在しないとしても真であろう
といふことを、「正確に、理解」するために、
(ⅰ)
1   (1) ∃x(Fx→Gx)     A
 2  (2)    Fa→Ga      A
 2  (3)   ~Fa∨Ga      2含意の定義
  4 (4)   ~Fa         A
  4 (5)∃x(~Fx)        4EI
  4 (6)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) 5∨I
   7(7)       Ga      A
   7(8)        ∃x(Gx) 7EI
   7(9)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) 8∨I
 2  (ア)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) 24679∨E
1   (イ)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) 12アEE
(ⅱ)
1    (1)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) A
 2   (2)∃x(~Fx)        A
  3  (3)   ~Fa         A
  3  (4)   ~Fa∨Ga      3∨I
  3  (5)    Fa→Ga      4含意の定義
  3  (6) ∃x(Fx→Gx)     5EI
 2   (7) ∃x(Fx→Gx)     236EE
   8 (8)        ∃x(Gx) A
    9(9)           Ga  A
    9(ア)   ~Fa∨Ga      9∨I
    9(イ)    Fa→Ga      ア含意の定義
    9(ウ) ∃x(Fx→Gx)     イEI
   8 (エ) ∃x(Fx→Gx)     89ウEE
1    (オ) ∃x(Fx→Gx)     1278エ∨E
といふ「述語計算(Predicate calculation)」が、「正しい」といふことを、「理解」する「必要」がある。
従って、
(15)により、
(16)
① ∃x( Fx→Gx)    =あるxがFであるならば、xはGである。
② ∃x(~Fx)∨∃x(Gx)=あるxはFでないか、  xはGである。
に於いて、
①=② である。
といふことを、「理解」出来ない「段階」で、
しかし、「∃x(Fx→Gx)」は、それがフランス人であるならば、寛大であるようなあるものが存在することを主張するのであって、これは、かりにフランス人存在しないとしても真であろう
といふことに「合点がいかない」としても、已も得ないと、言ふべきである。


(232)∃x(Fx→Gx)は、よくある「マチガイ」である。

2019-05-22 16:07:42 | 論理

(01)
(α)P→Q├ ~P∨Q
    1 (1)  P→ Q A
     2(2)  P&~Q A
     2(3)  P    2&E
     2(4)    ~Q 2&E
    12(5)     Q 13MPP
    12(6)  ~Q&Q 45&I
    1 (7)   ~~Q 46RAA
    1 (8)     Q 7DN
    1 (9)  ~P∨Q 8∨I

(β)~P∨Q├ P→Q
1     (1) ~P∨ Q   A
 2    (2)  P&~Q   A
  3   (3) ~P      A
 2    (4)  P      2&E
 23   (5) ~P& P   34&I
  3   (6)~(P&~Q)  25RAA
   7  (7)     Q   A
 2    (8)    ~Q   A
 2 7  (9)  Q&~Q   78&I
   7  (ア)~(P&~Q)  29RAA
1     (イ)~(P&~Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  P      A
     エ(エ)    ~Q   A
    ウエ(オ)  P&~Q   エオ&I
1   ウエ(カ)~(P&~Q)&
          (P&~Q)  イオ&I
1   ウ (キ)   ~~Q   7カRAA
1   ウ (ク)     Q   キDN
1     (ケ)  P→ Q   ウク
従って、
(01)により、
(02)
(α) P→Q
(β)~P∨Q
に於いて、
(α)=(β) である。
従って、
(02)により、
(03)
(α) Fx→Gx
(β)~Fx∨Gx
に於いて、
(α)=(β)である。
従って、
(03)により、
(04)
(α) Fx→Gx
(β)~Fx∨Gx
に於いて、
F=フランス人である。
G=寛大である。
とするならば、
(α)フランス人x→寛大x
(β)~フランスx∨寛大x
に於いて、
(α)=(β)である。
然るに、
(05)
(α)フランス人x→寛大x
(β)~フランスx∨寛大x
といふのは、
(α)「フランス人x→寛大x(xがフランス人であるならば、xは寛大である。)」
(β)「~フランスx∨寛大x(xはフランス人でないか、xは寛大である。)」
といふ、「意味」である。
従って、
(04)(05)により、
(06)
(α)「フランス人x→寛大x(xがフランス人でないか、xは寛大である。)」
(β)「~フランスx∨寛大x(xはフランス人でないか、xは寛大である。)」
といふ、「意味」である。
然るに、
(07)
(a)「xはイギリス人であって、フランス人ではない。」
とするならば、言ふまでもなく、
(α)「フランス人x→寛大x(xはフランス人でないか、xは寛大である。)」
といふ「命題関数」は、「真(本当)」である。
従って、
(06)(07)により、
(08)
(α)「フランス人x→寛大x(xはフランス人でないか、xは寛大である。)」
といふ「命題関数」が「真(本当)」であるためには、
(α)「xはイギリス人であって、フランス人ではない。」
といふ「命題関数」が「真(本当)」であれば、「十分」である。
従って、
(01)~(08)により、
(09)
(α)「xはフランス人である。」
といふ「命題関数」が「真(本当)」であることは、
(α)「∃x(フランス人x→寛大x)」=「あるxがフランス人であるならば、xは寛大である。)」
といふ「命題」が「真(本当)」であるため、「必要条件」ではない
然るに、
(10)
(γ)「∃x(フランス人x&寛大x)」=「あるxは、フランス人であって、尚且つ、xは寛大である。」
の場合は、
(γ)「寛大なフランス人が、少なくとも、一人は存在する。」
といふ「意味」である。
従って、
(10)により、
(11)
(α)「xはフランス人である。」
といふ「命題関数」が「真(本当)」であることは、
(γ)「∃x(フランス人x&寛大x)」=「あるxは、フランス人であって、尚且つ、xは寛大である。」
といふ「命題」が「真(本当)」であるため、「必要条件」である
従って、
(09)(10)(11)により、
(12)
「すべてのフランス人は寛大である」は一種の条件文として適切に記号化されるので、これに同化(assimilate)してしまって、「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく「∃x(Fx&Gx)」と記号化するかわりに、むしろ「∃x(Fx→Gx)」とするのは、よくある間違いである。しかし、「∃x(Fx→Gx)」は、それがフランス人であるならば、寛大であるようなあるものが存在することを主張するのであって、これは、かりにフランス人存在しないとしても真であろう。しかし「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、123・4頁改)。
といふ、ことになる。
然るに、
(13)
「先ほどの記事(231)」にも書いた通り、その一方で、
「∀x(フランス人x→寛大x)」=「すべてのフランス人は寛大である。」
であるの場合は、「フランス人の存在」を、「前提」には、してゐない。といふことも、忘れてはならない。


(231)「無不知劉老人者(助字弁略)」の述語論理。

2019-05-22 09:52:42 | 漢文・述語論理
(01)
① 士大夫不知劉老人者=
① 士大夫[不〔知(劉老人)〕者]⇒
① 士大夫[〔(劉老人)知〕不者]
① 士大夫にして[〔(劉老人を)知ら〕ざる者]無し
① 士大夫であれば、誰もが、劉老人を知ってゐる(助字弁略 改)。
(02)
(α)
1  (1)~∃x{士大夫x&~知(x、劉老人)} A
1  (2)∀x~{士大夫x&~知(x、劉老人)} 1量化子の関係
1  (3)  ~{士大夫a&~知(a、劉老人)} 1UE
 4 (4)    士大夫a            A
  5(5)         ~知(a、劉老人)  A
 45(6)    士大夫a&~知(a、劉老人)  45&I
145(7)~{士大夫a&~知(a、劉老人)}&
       {士大夫a&~知(a、劉老人)}   36&I
14 (8)        ~~知(a、劉老人)  57RAA
14 (9)          知(a、劉老人)  8DN
1  (ア)    士大夫a→ 知(a、劉老人)  49CP
1  (イ) ∀x{士大夫a→ 知(a、劉老人)} アUI
1  (〃)すべてのxについて、xが士大夫であるならば、xは劉老人を知ってゐる。 アUI
(β)
1  (1) ∀x{士大夫x→ 知(x、劉老人)} A
1  (2)    士大夫a→ 知(a、劉老人)  1UE
 3 (3) ∃x{士大夫x&~知(x、劉老人)} A
  4(4)    士大夫a&~知(a、劉老人)  A
  4(5)    士大夫a            4&E
  4(6)         ~知(a、劉老人)  4&E
1 4(7)          知(a、劉老人)  25MPP
1 4(8)~知(a、劉老人)&知(a、劉老人)  67
13 (9)~知(a、劉老人)&知(a、劉老人)  348EE
1  (ア)~∃x{士大夫x&~知(x、劉老人)} 39RAA
1  (〃)あるxが士大夫であって、そのxが劉老人を知らない。といふ、そのやうなxは存在しない。 39RAA
従って、
(02)により、
(03)
(α)~∃x{士大夫x&~知(x、劉老人)}
(β) ∀x{士大夫x→ 知(x、劉老人)}
に於いて、すなはち、
(α)あるxが士大夫であって、そのxが劉老人を知らない。といふ、そのやうなxは存在しない
(β)すべてのxについて、xが士大夫であるならば、xは劉老人を知ってゐる。
に於いて、
(α)ならば、(β)であって、
(β)ならば、(α)である。
従って、
(02)(03)により、
(04)
(α)~∃x{士大夫x&~知(x、劉老人)}=あるxが士大夫であって、そのxが劉老人を知らない。といふ、そのやうなxは存在しない
(β) ∀x{士大夫x→ 知(x、劉老人)}=すべてのxについて、xが士大夫であるならば、xは劉老人を知ってゐる。
に於いて、
(α)=(β) である。
従って、
(01)~(04)により
(05)
① 士大夫であれば、誰もが、劉老人を知ってゐる。
② 士大夫であって、劉老人を知らない者は存在しない
に於いて、
①=② である。
然るに、
(06)
② 士大夫であって、劉老人を知らない者は存在しない
といふ、のであれば、
② 士大夫が、存在する。
とは、言ってゐない
従って、
(05)(06)により、
(07)
① 士大夫であれば、誰もが、劉老人を知ってゐる。
といふ場合も、
① 士大夫が、存在する
とは、言っていない
従って、
(07)により、
(08)
③ 人間ならば正直である。⇔
③ ∀x(人間x→正直x)⇔
③ すべてのxについて、xが人間ならば、xは正直である。
といふ場合も、
③ 人間が存在する
とは、言ってゐない
従って、
(09)
要するに「すべて」という語も「人間」といふ語も、「存在する」ということとは無関係である。そこで「すべての人間は正直である」という文の論理的構造をしめす
 「すべてのxについて、もしxが人間ならばxは正直である」
は命題論理の法則の一つである
 (P→Q)=~(P&~Q)
をあてはめれば、
 「すべてのxについて、xが人間であってそして正直でないということではない」ということと等値である(沢田允茂、現代論理学入門、1962年、122頁)。
といふ、ことになる。
従って、
(10)
例へば、
1   (1)∀x{素敵x&少女x→∀y(水夫y→愛xy)} A
1   (〃)すべてのxについて、xが素敵な少女であるならば、すべてのyについて、yが水夫であるならば、xはyを愛す。 A
 2  (2)∃x(素敵x&少女x)&∃y(水夫y)     A
 2  (〃)素敵な少女であるxが存在し、水夫であるyが存在する。 A
 2  (3)∃x(素敵x&少女x)             2&E
  4 (4)   素敵a&少女a              A
 2  (5)            ∃y(水夫y)     2&E
   6(6)               水夫b      A
1   (7)   素敵a&少女a→∀y(水夫y→愛ay)  1UE
1 4 (8)           ∀y(水夫y→愛ay)  47MPP
1 4 (9)              水夫b→愛ab   8UE  
1 46(ア)                  愛ab   69MPP
1 46(イ)              水夫b&愛ab   6ア&I
1 46(ウ)           ∃y(水夫y&愛ay)  イEI
124 (エ)           ∃y(水夫y&愛ay)  56ウEE
12  (オ)   素敵a&少女a→∃y(水夫y&愛ay)  4エCP
12  (カ)∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)} オUI
12  (〃)すべてのxについて、xが素敵な少女であるならば、あるyは水夫であって、xはyを愛す。 オUI
といふ「推論」に於いて、
 2  (2)∃x(素敵x&少女x)&∃y(水夫y)     A
 2  (〃)素敵な少女であるxが存在し、水夫であるyが存在する。 A
といふ「仮定」を除いてしまへば、
1   (1)∀x{素敵x&少女x→∀y(水夫y→愛xy)} A
1   (〃)すべてのxについて、xが素敵な少女であるならば、すべてのyについて、yが水夫であるならば、xはyを愛す。 A
といふ「仮定」からは、
12  (カ)∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)} オUI
12  (〃)すべてのxについて、xが素敵な少女であるならば、あるyは水夫であって、xはyを愛す。 オUI
といふ『結論』を、得ることが、出来ない
然るに、
(11)
④ All the nice girls love all the sailors.
といふのであれば、
④ All the nice girls も、
④ all the sailors.  も、「存在」する。
といふ風に、考へられる。
従って、
(10)(11)により、
(12)
その「意味」では、
④ All the nice girls love all the sailors.
⑤ ∀x{素敵x&少女x→∀y(水夫y→愛xy)}
に於いて、
④=⑤ ではない。


(230)「All the nice girls love all the sailors.」の「述語論理」。

2019-05-21 14:36:31 | 英語、論理。
(01)
All the nice girls love a sailor.
(すべてのすてきな女の子は、水夫を愛している)
という文を取り上げてみよう。この文は、「どのすてきな女の子も、水夫を誰か愛している。アリスはジョーを愛し、メアリーはバートを愛し、デスデモーナはビリーを愛している」という意味にもとれるし、また、「どのすてきな女の子も、一人の特定の水夫を愛している。その水夫の名前は、ジャック・タールである」という意味にもとれる。論理学では、この二つの異なる構造をはっきり示す、厳密な表記を提供してくれるのである。
(ジーン・エイチソン著、田中晴美 田中幸子訳、入門言語学、1980年、92頁)
然るに、
(02)
②「ある水夫を愛してゐる。」と、言ふだけでは、「すべての水夫を愛してゐる。」といふことには、ならないものの、
③「すべての水夫を愛してゐる。」と、言ふのであれば、「ある水夫を愛してゐる。」といふ、ことになる。
cf.
「九九」が言へるのであれば、「2の段の九九」も言へることになるが、「2の段の九九」を言へるからと言って、「九九」が言へることには、ならない。
然るに、
(01)(02)により、
(03)
② All the nice girls love a sailor.
③ All the nice girls love all the sailors.
に於いて、
③ ならば、② であるが、
② ならば、③ ではない
然るに、
(04)
1   (1)∀x{素敵x&少女x→∀y(水夫y→愛xy)} A
 2  (2)∃x(素敵x&少女x)&∃y(水夫y)     A
 2  (3)∃x(素敵x&少女x)             2&E
  4 (4)   素敵a&少女a              A
 2  (5)            ∃y(水夫y)     2&E
   6(6)               水夫b      A
1   (7)   素敵a&少女a→∀y(水夫y→愛ay)  1UE
1 4 (8)           ∀y(水夫y→愛ay)  47MPP
1 4 (9)              水夫b→愛ab   8UE  
1 46(ア)                  愛ab   69MPP
1 46(イ)              水夫b&愛ab   6ア&I
1 46(ウ)           ∃y(水夫y&愛ay)  イEI
124 (エ)           ∃y(水夫y&愛ay)  56ウEE
12  (オ)   素敵a&少女a→∃y(水夫y&愛ay)  4エCP
12  (カ)∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)} オUI
12  (〃)すべてのxについて、xが素敵な少女であるならば、あるyは水夫であって、xはyを愛す。 オUI
従って、
(04)により、
(05)
1   (1)∀x{素敵x&少女x→∀y(水夫y→愛xy)} A
 2  (2)∃x(素敵x&少女x)&∃y(水夫y)     A
であるならば、
12  (カ)∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)} オUI
である。
然るに、
(06)
1    (1)∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)} A
 2   (2)∃x(素敵x&少女x)&∃y(水夫)      A           
 2   (3)∃x(素敵x&少女x)             2&E
  4  (4)   素敵a&少女a              A
 2   (5)            ∃y(水夫y)     A
   6 (6)               水夫b      A
1    (7)   素敵a&少女a→∃y(水夫y&愛ay)  1UE
1 4  (8)           ∃y(水夫y&愛ay)  47MPP
    9(9)              水夫b&愛ab   A
    9(ア)                  愛ab   9&E
    9(イ)             ~水夫b∨愛ab   9∨I
    9(ウ)              水夫b→愛ab   イ含意の定義
    9(エ)           ∀y(水夫y→愛ay)  9UI
1 4  (オ)           ∀y(水夫y→愛ay)  89エEE
1    (カ)   素敵a&少女a→∀y(水夫y→愛ay)  4オCP
1    (キ)∀x{素敵x&少女x→∀y(水夫y→愛xy)} カUI
1    (〃)すべてのxについて、xが素敵な少女であるならば、すべてのyについて、yが水夫であるならば、xはyを愛す。 カUI
然るに、
(07)
    9(9)              水夫&愛a   A
    9(エ)           ∀y(水夫→愛a)  9UI
は、「UI(普遍量記号導入の規則)」に対する「違反」である。
従って、
(06)(07)により、
(08)
1    (1)∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)} A
 2   (2)∃x(素敵x&少女x)&∃y(水夫)      A 
であったとしても、
1    (キ)∀x{素敵x&少女x→∀y(水夫y→愛xy)} カUI
ではない。
従って、
(04)~(08)により、
(09)
② ∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)}
③ ∀x{素敵x&少女x→∀y(水夫y→愛xy)}
に於いて、
③ ならば、② であるが、
② ならば、③ ではない
従って、
(03)(09)により、
(10)
② All the nice girls love a sailor.
③ All the nice girls love all the sailors.
といふ「英文」は、
② ∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)}
③ ∀x{素敵x&少女x→∀y(水夫y→愛xy)}
といふ「述語論理」に、対応する。
然るに、
(11)
「昨日の記事(229)」で説明した通り、
①「ジャック・タールだけを、愛してゐる。」といふ場合の、
① All the nice girls love a sailor.
に関しては、
① ∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)}
① あるyは水夫であって、すべてのxについて、xが素敵な少女であるならば、xはyを愛す。
といふ「述語論理」に、対応する。
然るに、
(12)
① すべての素敵な少女は、ジャック・タールだけを、愛してゐる。
③ すべての素敵な少女は、すべての水夫を愛してゐる。
に於いて、
① と ③ は、「矛盾」する。
然るに、
(13)
1  (1)∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)} A
 2 (2)   水夫b&∀x(素敵x&少女x→愛xb)  A
 2 (3)   水夫b                  2&E
 2 (4)       ∀x(素敵x&少女x→愛xb)  2&E
 2 (5)          素敵a&少女a→愛ab   4UE
  6(6)          素敵a&少女a       A
 26(7)                  愛ab   56MPP
 26(8)             ~水夫b∨愛ab   7∨I
 26(9)              水夫b→愛ab   8含意の定義
 26(ア)           ∀y(水夫y→愛ay)  9UI
 2 (イ)   素敵a&少女a→∀y(水夫y→愛ay)  6アCP
1  (ウ)   素敵a&少女a→∀y(水夫y→愛ay)  12イEE
1  (エ)∀x{素敵x&少女x→∀y(水夫y→愛xy)} ウUI
然るに、
(14)
 2 (2)   水夫&∀x(素敵x&少女x→愛x)  A
 26(9)              水夫→愛a   8含意の定義
 26(ア)           ∀y(水夫→愛a)  9UI
は、「UI(普遍量記号導入の規則)」に対する「違反」である。
然るに、
(15)
1  (1)    ∀x{素敵x&少女x→∀y(水夫y→愛xy)} A
1  (2)       素敵a&少女a→∀y(水夫y→愛ay)  1UE
 3 (3)       素敵a&少女a              A
13 (4)               ∀y(水夫y→愛ay)  23MPP
13 (5)                  水夫b→愛ab   4UI
  6(6)                  水夫b       A
136(7)                      愛ab   56MPP
1 6(8)              素敵a&少女a→愛ab   37CP
1 6(9)           ∀x(素敵x&少女x→愛xb)  8UI
1 6(ア)       水夫b&∀x(素敵x&少女x→愛xb)  69&I
1 6(イ)    ∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)} アEI
1  (ウ)水夫b→∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)} 6イCP
従って、
(15)により、
(16)
1  (1)    ∀x{素敵x&少女x→∀y(水夫y→愛xy)} A
ならば、
1  (ウ)水夫b→∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)} 6イCP
なのであって、
1  (1)    ∀x{素敵x&少女x→∀y(水夫y→愛xy)} A
ならば、
1  (ウ)    ∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)} 
ではない
従って、
(11)~(16)により、
(17)
① すべての素敵な少女は、ジャック・タールだけを、愛してゐる。
③ すべての素敵な少女は、すべての水夫を愛してゐる。
といふ「命題」は、
① ∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)}
③ ∀x{素敵x&少女x→∀y(水夫y→愛xy)}
といふ「述語論理」に、対応し、尚且つ、
① ならば、③ ではないし、
③ ならば、① ではない


(229)「All the nice girls love a sailor.」の述語論理。

2019-05-20 17:05:10 | 漢文・述語論理
(01)
All the nice girls love a sailor.
(すべてのすてきな女の子は、水夫を愛している)
という文を取り上げてみよう。この文は、「どのすてきな女の子も、水夫を誰か愛している。アリスはジョーを愛し、メアリーはバートを愛し、
デスデモーナはビリーを愛している」という意味にもとれるし、また、「どのすてきな女の子も、一人の特定の水夫を愛している。その水夫の名前は、ジャック・タールである」という意味にもとれる。論理学では、この二つの異なる構造をはっきり示す、厳密な表記を提供してくれるのである。
(ジーン・エイチソン著、田中晴美 田中幸子訳、入門言語学、1980年、92頁)
然るに、
(02)
① ジャック・タールが、水夫である以上、
① ジャック・タールだけを、愛してゐる。と、言ふのであれば、それだけで、「水夫を愛してゐる。」ことになる。
然るに、
(03)
② ジャック・タール以外にも、水夫はゐるため、
②「水夫を愛してゐる。」といふだけでは、ジャック・タールを、愛しているかどうかは、分からない。
従って、
(02)(03)により、
(04)
① ジャック・タールだけを、愛してゐる。と、言ふのであれば「水夫を愛してゐる。」ことになり、
②「水夫を愛してゐる。」といふだけでは、ジャック・タールを、愛しているかどうかは、分からない。
然るに、
(05)
① ジャック・タールだけを、愛してゐる。と、言ふのであれば「水夫を愛してゐる。」ことになり、
②「水夫を愛してゐる。」といふだけでは、ジャック・タールを、愛しているかどうかは、分からない。
といふことは、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。ではない
といふことに、他ならない。
然るに、
(01)(05)により、
(06)
① ジャック・タールだけを、愛してゐる。と、言ふのであれば「水夫を愛してゐる。」ことになり、
②「水夫を愛してゐる。」といふだけでは、ジャック・タールを、愛しているかどうかは、分からない。
に於いて、
① と、
② は、それぞれ、
① ∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)}
② ∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)}
といふ「述語論理」に、対応する。
従って、
(01)(05)(06)により、
(07)
① ∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)}=All the nice girls love a sailor.
② ∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)}=All the nice girls love a sailor.
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。ではない
然るに、
(08)
1  (1)∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)} A
 2 (2)   水夫b&∀x(素敵x&少女x→愛xb)  A
 2 (3)   水夫b                  2&E
 2 (4)       ∀x(素敵x&少女x→愛xb)  2&E
 2 (5)          素敵a&少女a→愛ab   4UE
  6(6)          素敵a&少女a       A
 26(7)                  愛ab   56MPP
 26(8)              水夫b&愛ab   37&I
 26(9)           ∃y(水夫y&愛ab)  8EI
1 6(ア)           ∃y(水夫y&愛ay)  129EE
1  (ウ)   素敵a&少女a→∃y(水夫y&愛ay)  6アCP
1  (エ)∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)} ウUI
従って、
(08)により、
(09)
① ∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)}
② ∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)}
に於いて、
① ならば、② である。
然るに、
(10)
1  (1)∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛ay)} A
1  (2)   素敵a&少女a→∃y(水夫y&愛ay)  1UI
 3 (3)   素敵a&少女a              A
13 (4)           ∃y(水夫y&愛ay)  23MPP
  5(5)              水夫b&愛ab   A
13 (6)              水夫b&愛ab   455EE
13 (7)                  愛ab   6&E
1  (8)          素敵a&少女a→愛ab   37CP
1  (9)       ∀x(素敵x&少女x→愛xb)  8UI
13 (ア)   水夫b                  6&E
13 (イ)   水夫b&∀x(素敵x&少女x→愛xb)  9ア&I
13 (ウ)∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)} イEI
然るに、
(11)
① ∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)}
② ∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)}
に於いて、
② ならば、① である。
といふ場合には、
 (ウ)∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)} イEI
ではなく
1  (ウ)∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)} イEI
でなければ、ならない。
従って、
(10)(11)により、
(12)
① ∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)}=All the nice girls love a sailor.
② ∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)}=All the nice girls love a sailor.
に於いて、
② ならば、① である。ではない
従って、
(07)~(12)により、
(13)
① ∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)}=All the nice girls love a sailor.
② ∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)}=All the nice girls love a sailor.
に於いて、たしかに、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。ではない
従って、
(13)により、
(14)
① ∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)}=All the nice girls love a sailor.
② ∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)}=All the nice girls love a sailor.
に於ける、「左辺」である、
① ∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)}
② ∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)}
に於いて、
①=② ではない、
従って、
(01)(14)により、
(15)
① All the nice girls love a sailor.
② All the nice girls love a sailor.
といふ「英文」は、「曖昧(ambiguous)」である。
然るに、
(16)
① 或水夫
といふ「漢文」があるとして、
① ∃y{水夫y&∀x(素敵x&少女x→愛xy)}
といふ「述語論理」は、
① 或水夫為全素敵少女所愛=
① 或水夫為〔全素敵少女所(愛)〕⇒
① 或水夫〔全素敵少女(愛)所〕為=
① 或る水夫〔全ての素敵な少女の(愛する)所と〕為る。
といふ「漢文訓読」に、相当する。
cf.
「大修館、デジタル大漢和辞典」で調べた限り、「或る人」といふ「用法」は有るものの、「或る水夫」といふ「用法」は無い。
(17)
② ∀x{素敵x&少女x→∃y(水夫y&愛xy)}
といふ「述語論理」は、
② 素敵少女皆有其所愛水夫=
② 素敵少女皆有〔其所(愛)水夫〕⇒
② 素敵少女皆〔其(愛)所水夫〕有=
② 素敵な少女は皆〔其の(愛する)所の水夫〕有り。
といふ「漢文訓読」に、相当する。
然るに、
(18)
① 或水夫為全素敵少女所愛=
① 或水夫為〔全素敵少女所(愛)〕⇒
① 或水夫〔全素敵少女(愛)所〕為=
① 或る水夫〔全ての素敵な少女の(愛する)所と〕為る。
といふ「漢文訓読」は、
① A sailor is loved by all the girls.
といふ「英文」に、相当する。
従って、
(15)~(18)により、
(19)
① All the nice girls love a sailor.
には、
① A sailor is loved by all the girls.
といふ「意味」が、あることになる。
従って、
(01)(19)により、
(20)
① All the nice girls love a sailor.
といふ「英文」は、
① A sailor is loved by all the girls.
といふ「意味」であるかも、知れないし、
① A sailor is loved by all the girls.
ではないのかも知れない。
といふことから、「曖昧(ambiguous)」である。
といふ、ことになる。

(228)「韓非子、矛盾(楚人有鬻盾与矛者)」の「述語論理」(Ⅲ)。

2019-05-19 08:47:08 | 漢文・述語論理


―「昨日の記事(227)の、補足」を「補足」をします。―
(16)
① ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}
② ∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)}
に於いて、
①=② であるはず。
と、思っゐたものの、(08)でも示した通り、
1  (1)∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)} A
 2 (2)   盾a&∀y(矛y→~陥ya)  A
 2 (3)   盾a              2&E
 2 (4)      ∀y(矛y→~陥ya)  3&E
 2 (5)         矛b→~陥ba   4UE
  6(6)         矛b        A
 26(7)            ~陥ba   56MPP
 26(8)         盾a&~陥ba   37&I
 26(9)      ∃x(盾x&~陥bx)  8EI
1 6(ア)      ∃x(盾x&~陥bx)  129EE
1  (イ)   矛b→∃x(盾x&~陥bx)  6アCP
1  (ウ)∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)} イUI
であり、それ故、
① ならば、② である。
然るに、
(17)

1  (1)∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)} A
1  (2)   矛b→∃x(盾x&~陥bx)  1UE
 3 (3)   矛b              A
13 (4)      ∃x(盾x&~陥bx)  23MPP
  5(5)         盾a&~陥ba   A
13 (6)         盾a&~陥ba   455EE
13 (7)            ~陥ba   6&E
1  (8)         矛b→~陥ba   37CP
1  (9)      ∀y(矛y→~陥ya)  8UI
13 (ア)   盾a              6&E
13 (イ)   盾a&∀y(矛y→~陥ya)  9ア&I
 (ウ)∃x{盾a&∀y(矛y→~陥ya)} イEI


然るに、
(18)
 (ウ)∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)} エEI
ではなく、
1  (ウ)∃x{盾a&∀y(矛y→~陥ya)} エEI
でなければ、
① ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}
② ∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)}
に於いて、
①=② ではない
従って、
(16)(17)(18)により、
(19)
① ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}=あるxは盾であり、すべてのyについて、yが矛であるならば、yはxを突き通さない。
② ∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)}=すべてのyについて、yが矛であるならば、あるxは盾であり、yはxを突き通さない。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。ではない
然るに、
(20)
① ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}=あるxは盾であり、すべてのyについて、yが矛であるならば、yはxを突き通さない。
② ∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)}=すべてのyについて、yが矛であるならば、あるxは盾であり、yはxを突き通さない。
に於いて、
  盾=少女
  矛=少年
 ~陥=愛す
といふ「代入(置換)」を行ふと、
① ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}=ある少女は、すべての少年によって、愛される。
② ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}=すべての少年には、愛する少女がゐる。
である。
然るに、
(21)
  (34)すべての少年はある少女を愛す。
この文には多義性が含まれることが知られる。これは、
① すべての少年によって愛されるあるひとりの(非常に幸運な)少女が存在する。という意味かも知れないし、あるいは、
② すべての少年に対して、彼が愛する(さいわい、別々の)少女がみつかりうる。という意味かもしれない。
(論理学初歩、E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、127頁)
(22)
All the nice girls love a sailor.
(すべてのすてきな女の子は、水夫を愛している)
という文を取り上げてみよう。この文は、「どのすてきな女の子も、水夫を誰か愛している。アリスはジョーを愛し、メアリーはバートを愛し、デスデモーナはビリーを愛している」という意味にもとれるし、また、「どのすてきな女の子も、一人の特定の水夫を愛している。その水夫の名前は、ジャック・タールである」という意味にもとれる。論理学では、この二つの異なる構造をはっきり示す、厳密な表記を提供してくれるのである。
(ジーン・エイチソン著、田中晴美 田中幸子訳、入門言語学、1980年、92頁)
従って、
(21)(22)により、
(23)
① すべての少年によって愛されるある少女がゐる。
② すべての少年は、ある少女を愛してゐる。
に於いて、
① の場合は、
特定の、「あるひとりの少女」でなければ、ならないものの、
② の場合は、
特定の、「あるひとりの少女」であっても、不特定の、「別々の、複数の少女」であっても、「両方」とも「可能」である。
然るに、
(24)
② の場合に、
② 不特定の、「別々の、複数の少女」であるとすれば、
①  特定の、「あるひとりの少女」ではない
従って、
(24)により、
(25)
① すべての少年によって愛される、ある少女がゐる。
② すべての少年は、ある少女を愛してゐる。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。ではない
従って、
(19)~(25)により、
(26)
① ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}=ある少女は、すべての少年によって、愛される。
② ∀y{少年y→∃x(少女x&愛yx)}=すべての少年には、愛する少女がゐる。
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。ではないし、それ故
① ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}=あるxは盾であり、すべてのyについて、yが矛であるならば、yはxを突き通さない。
② ∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)}=すべてのyについて、yが矛であるならば、あるxは盾であり、yはxを突き通さない。
に於いて
① ならば、② であるが、
② ならば、① である。ではない
然るに、
(21)(26)により、
(27)
① ∃x{少女x&∀y(少年y→愛yx)}=ある少女は、すべての少年によって、愛される。
といふことは、その「左辺」からすると、
① すべての少年によって愛されるあるひとりの(非常に幸運な)少女が存在する。といふ意味である。
従って、
(26)(27)により、
(28)
① ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}=あるxは盾であり、すべてのyについて、yが矛であるならば、yはxを突き通さない。
といふことは、その「左辺」からすると、
① すべての矛を以てしても、突き通すことが出来ない(非常に堅牢な)ひとつの盾が存在する。といふ意味である。
然るに、
(29)
楚人に盾と矛とを鬻く者有り。
之を誉めて曰く、
吾が盾の堅きこと、能陥す莫きなり。
従って、
(26)(28)(29)により、
(30)
吾が盾の堅きこと、能陥す莫きなり。
といふことは、
① ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}=あるxは盾であり、すべてのyについて、yが矛であるならば、yはxを突き通さない。
② ∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)}=すべてのyについて、yが矛であるならば、あるxは盾であり、yはxを突き通さない。
に於いて、この場合は、
① の「意味」であって、
② の「意味」ではない


(227)「韓非子、矛盾(楚人有鬻盾与矛者)」の「述語論理」(Ⅱ)。

2019-05-18 19:27:20 | 漢文・述語論理
(01)
楚人有鬻盾与矛者。
誉之曰、
吾盾之堅、莫能陥也。
又誉其矛曰、
吾矛之利、於物無不陥也。
或曰、
以子之矛、陥子之盾、何如。
其人弗能応也。
(02)
楚人有[鬻〔盾与(矛)〕者]。
誉(之)曰、
吾盾之堅、莫(能陥)也。
又誉(其矛)曰、
吾矛之利、於(物)無〔不(陥)〕也。
或曰、
以(子之矛)、陥(子之盾)、何如。
其人弗〔能(応)〕也。
(03)
楚人に[〔盾と(矛)とを〕鬻く者]有り。
(之を)誉めて曰く、
吾が盾の堅きこと、(能く陥す)莫きなり。
又た(其の矛を誉めて)曰く、
吾矛の利なること、(物に)於いて〔(陥さ)不る〕無きなり。
或ひと曰く、
(子の矛を)以て、(子の盾を)陥さば、何如ん。
其の人〔(応ふる)能は〕ざるなり。
(04)
[一]矛盾〈韓非子〉
(通 釈)
楚の国の人に、楯と矛を売り歩くものがあった。
(その人)がこの商品をほめて「わたしの楯の堅くてじょうぶなこといったら、これを突きとおすことのできるものはない。」と言い、
またその矛をほめて「わたしの矛の鋭利なことといったら、どんな物であろうと突きとおしてしまう。」と言った。
(これを聞いた)ある人が「あなたの矛でもってあなたの楯をついたら、どういうことになりますか。」と言った。
(楯と矛を売っていた)その人は何とも返事をすることができなかった。
(旺文社、漢文の基礎、1973年、31頁)
従って、
(04)により、
(05)
「盾の集合」の中に「いかなる矛も陥さない盾」があって、「わたしの盾」が「その盾」である。
「矛の集合」の中に「すべての盾を陥す矛」  があって、「わたしの矛」が「その矛」である。
と、楚の国の人が、言ってゐる。
従って、
(04)(05)により、
(06)
「盾の集合」の中に「いかなる矛も陥さない盾」がある。
「矛の集合」の中に「すべての盾を陥す矛」  がある。
 といふことは、「矛盾」であると、ある人が、言ってゐる。
然るに、
(07)
1       (1) ∃x(盾x)&∃y(矛y)      A
1       (2) ∃x(盾x)             1&E
 3      (3)    盾a              A
1       (4)        ∃y(矛y)      1&E
  5     (5)           矛b       A
   6    (6) ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)} A
    7   (7)    盾a&∀y(矛y→~陥ya)  A
    7   (8)       ∀y(矛y→~陥ya)  7&E
    7   (9)          矛b→~陥ba   8UE
  5 7   (ア)             ~陥ba   59MPP
     イ  (イ) ∃y{矛y&∀x(盾x→ 陥yx)} A
      ウ (ウ)    矛b&∀x(盾x→ 陥bx)  A
      ウ (エ)       ∀x(盾x→ 陥bx)  ウUE
      ウ (オ)          盾a→ 陥ba   エUE
 3    ウ (カ)              陥ba   3オMPP
 35 7 ウ (キ)         ~陥ba&陥ba   アカ&I
 35 7イ  (ク)         ~陥ba&陥ba   イウキEE
 356 イ  (ケ)         ~陥ba&陥ba   67クEE
13 6 イ  (コ)         ~陥ba&陥ba   45ケEE
1  6 イ  (サ)         ~陥ba&陥ba   23コEE
   6 イ  (シ)~[∃x(盾x)& ∃y(矛y)]   1サRAA
   6 イ  (ス) ~∃x(盾x)∨~∃y(矛y)    シ、ド・モルガンの法則
   6 イ  (セ)  ∃x(盾x)→~∃y(矛y)    ス含意の定義 
      ソ (ソ) ~∃x(盾x)            A
      ソ (タ) ~∃y(矛y)∨~∃x(盾x)    ソ∨I
       チ(チ)         ~∃x(盾x)    A
       チ(ツ) ~∃y(矛y)∨~∃x(盾x)    チ∨I
   6 イ  (テ) ~∃y(矛y)∨~∃x(盾x)    スソタチツ∨E
   6 イ  (ト)  ∃y(矛y)→~∃x(盾x)    スソチツト∨E
   6 イ  (ナ)  ∃x(盾x)→~∃y(矛y)&
             ∃y(矛y)→~∃x(盾x)    セト&I
然るに、
(08)
1  (1)∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)} A
 2 (2)   盾a&∀y(矛y→~陥ya)  A
 2 (3)   盾a              2&E
 2 (4)      ∀y(矛y→~陥ya)  3&E
 2 (5)         矛b→~陥ba   4UE
  6(6)         矛b        A
 26(7)            ~陥ba   56MPP
 26(8)         盾a&~陥ba   37&I
 26(9)      ∃x(盾x&~陥bx)  8EI
1 6(ア)      ∃x(盾x&~陥bx)  129EE
1  (イ)   矛b→∃x(盾x&~陥bx)  6アCP
1  (ウ)∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)} イUI
従って、
(08)により、
(09)
① ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}
② ∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)}
に於いて、
① ならば、
② である。
cf.
ただし、「逆」は「正しく」はない。
従って、
(07)(08)(09)により、
(10)
1       (1) ∃x(盾x)&∃y(矛y)       A
1       (2) ∃x(盾x)              1&E
 3      (3)    盾a               A
1       (4)       ∃y(矛y)        1&E
  5     (5)          矛b         A
   6    (6) ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}  A
ではなく、
1       (1) ∃x(盾x)&∃y(矛y)       A
1       (2) ∃x(盾x)              1&E
 3      (3)    盾a               A
1       (4)        ∃y(矛y)       1&E
  5     (5)           矛b        A
   6    (6) ∀y{矛y→ ∃x(盾x&~陥yx)} A
である、としても、
次に示す「計算(11)」は、「正しい」。
(11)
1       (1)   ∃x(盾x)&∃y(矛y)       A
1       (2)   ∃x(盾x)              1&E
 3      (3)      盾a               A
1       (4)          ∃y(矛y)       1&E
  5     (5)             矛b        A
   6    (6)   ∀y{矛y→ ∃x(盾x&~陥yx)} A
   6    (7)      矛b→ ∃x(盾x&~陥bx)  6UE
  56    (8)          ∃x(盾x&~陥bx)  57MPP
    9   (9)             盾a&~陥ba   A
    9   (ア)                ~陥ba   9&E
     イ  (イ)   ∀x{盾x→ ∃y(矛y& 陥yx)} A
     イ  (ウ)      盾a→ ∃y(矛y& 陥ya)  イUE
 3   イ  (エ)          ∃y(矛y& 陥ya)  3ウMPP
      オ (オ)             矛b& 陥ba   A
      オ (カ)                 陥ba   オ&E
    9 オ (キ)            ~陥ba&陥ba   アカ&I
  56  オ (ク)            ~陥ba&陥ba   89キEE
 356 イ  (ケ)            ~陥ba&陥ba   エオクEE
1 56 イ  (コ)            ~陥ba&陥ba   23ケEE
1  6 イ  (サ)            ~陥ba&陥ba   45コEE
   6 イ  (シ)~{∃x(盾x)& ∃y(矛y)}      1サRAA
   6 イ  (ス) ~∃x(盾x)∨~∃y(矛y)       シ、ド・モルガンの法則
   6 イ  (セ)  ∃x(盾x)→~∃y(矛y)       ス含意の定義
      ソ (ソ) ~∃x(盾x)               A
      ソ (タ) ~∃y(矛y)∨~∃x(盾x)       ソ∨I
       チ(チ)         ~∃y(矛y)       A
       チ(ツ) ~∃y(矛y)∨~∃x(盾x)       チ∨I
   6 イ  (テ) ~∃y(矛y)∨~∃x(盾x)       スソタチツ∨E
   6 イ  (ト)  ∃y(矛y)→~∃x(盾x)       テ含意の定義
   6 イ  (ナ)  ∃x(盾x)→~∃y(矛y)&
             ∃y(矛y)→~∃x(盾x)       セト&I
従って、
(07)(11)により、
(12)
1       (1) ∃x(盾x)&∃y(矛y)     A
1       (1) ∃x(盾x)&∃y(矛y)     A
と「仮定」し、
   6    (6)∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)} A
   6    (6)∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)} A
と「仮定」し、
     イ  (イ)∃y{矛y&∀x(盾x→ 陥yx)} A
     イ  (イ)∀x{盾x→∃y(矛y& 陥yx)} A
と「仮定」すると、
   6 イ  (ナ)∃x(盾x)→~∃y(矛y)&∃y(矛y)→~∃x(盾x) セト&I
   6 イ  (ナ)∃x(盾x)→~∃y(矛y)&∃y(矛y)→~∃x(盾x) セト&I
といふ、『結論』が、「演繹」される。
従って、
(12)により、
(13)
(1)あるxは盾であり、あるyは矛である。
(〃)あるxは盾であり、あるyは矛である。
と「仮定」し、
(6)あるxは盾であり、すべてのyについて、yが矛であるならば、yはxを突き通さない。
(6)すべてのyについて、yが矛であるならば、あるxは盾であり、yはxを突き通さない。
と「仮定」し、
(イ)あるyは矛であり、すべてのxについて、xが盾であるならば、yはxを突き通す。
(イ)すべてのxについて、xが盾であるならば、あるyは矛であり、yはxを突き通す。
と「仮定」すると、
(ナ)ある楯xが存在するならば、ある矛yは存在せず、ある矛yが存在するならば、ある楯xは存在しない。
(〃)ある楯xが存在するならば、ある矛yは存在せず、ある矛yが存在するならば、ある楯xは存在しない。
といふ、『結論』が、「演繹」される。
従って、
(12)(13)により、
(14)
(6)いかなる「矛」であっても、突き通すことが出来ない、「楯」が存在する。と仮定し、
(〃)いかなる「楯」であっても、突き通すことが出来る、 「矛」が存在する。と仮定すると、
(ナ)そのやうな「楯」が存在するならば、そのやうな「矛」は存在せず、
(〃)そのやうな「矛」が存在するならば、そのやうな「楯」は存在しない。
 といふ「矛盾(Contradiction)」が、生じることになる。
従って、
(01)~(14)により、
(15)
夫不可陷之楯與無不陷之矛、不可同世而立。
夫不〔可(陷)〕之楯與[無〔不(陷)〕之矛]、不[可〔同(世)而立〕]。
夫れ陥すべからざるの楯と、陥らざる無きの矛とは、世を同じくして立たつべからず。
といふ「主張」、すなはち、
「わたしの盾の堅くてじょうぶなこといったら、これを突きとおすことのできるものはない。」
「わたしの矛の鋭利なことといったら、どんな物であろうと突きとおしてしまう。」といった、「そのやうな盾と矛は、同時には、存在しない」。
 といふ「主張」は、「述語論理(Predicate logic)」としても、「妥当(Valid)」である。
 ―「補足」―
(16)
① ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}
② ∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)}
に於いて、
①=② であるはず。
と、思っゐたものの、(08)でも示した通り、
1  (1)∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)} A
 2 (2)   盾a&∀y(矛y→~陥ya)  A
 2 (3)   盾a              2&E
 2 (4)      ∀y(矛y→~陥ya)  3&E
 2 (5)         矛b→~陥ba   4UE
  6(6)         矛b        A
 26(7)            ~陥ba   56MPP
 26(8)         盾a&~陥ba   37&I
 26(9)      ∃x(盾x&~陥bx)  8EI
1 6(ア)      ∃x(盾x&~陥bx)  129EE
1  (イ)   矛b→∃x(盾x&~陥bx)  6アCP
1  (ウ)∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)} イUI
であり、それ故、
① ならば、② である。
然るに、
(17)
1  (1)∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)} A
1  (2)   矛b→∃x(盾x&~陥bx)  1UE
 3 (3)   矛b              A
13 (4)      ∃x(盾x&~陥bx)  23MPP
  5(5)         盾a&~陥ba   A
13 (6)         盾a&~陥ba   455EE
13 (7)            ~陥ba   6&E
1  (8)         矛b→~陥ba   37CP
1  (9)      ∀y(矛y→~陥ya)  8UI
13 (ア)   盾a              6&E
13 (イ)   盾a&∀y(矛y→~陥ya)  9ア&I
 (ウ)∃x{盾a&∀y(矛y→~陥ya)} イEI

然るに、
(18)
 1 (ウ)∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)} エEI
ではなく、
1  (ウ)∃x{盾a&∀y(矛y→~陥ya)} エEI
でなければ、
① ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}
② ∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)}
に於いて、
①=② ではない。
従って、
(16)(17)(18)により、
(19)
① ∃x{盾x&∀y(矛y→~陥yx)}
② ∀y{矛y→∃x(盾x&~陥yx)}
に於いて、
① ならば、② であるが、
 ② ならば、① である。ではない