（230）「All the nice girls love all the sailors.」の「述語論理」。

（01）
All the nice girls love a sailor.
（すべてのすてきな女の子は、水夫を愛している）
という文を取り上げてみよう。この文は、「どのすてきな女の子も、水夫を誰か愛している。アリスはジョーを愛し、メアリーはバートを愛し、デスデモーナはビリーを愛している」という意味にもとれるし、また、「どのすてきな女の子も、一人の特定の水夫を愛している。その水夫の名前は、ジャック・タールである」という意味にもとれる。論理学では、この二つの異なる構造をはっきり示す、厳密な表記を提供してくれるのである。
（ジーン・エイチソン著、田中晴美 田中幸子訳、入門言語学、1980年、９２頁）
然るに、
（02）
②「ある水夫を愛してゐる。」と、言ふだけでは、「すべての水夫を愛してゐる。」といふことには、ならないものの、
③「すべての水夫を愛してゐる。」と、言ふのであれば、「ある水夫を愛してゐる。」といふ、ことになる。
ｃｆ.
「九九」が言へるのであれば、「２の段の九九」も言へることになるが、「２の段の九九」を言へるからと言って、「九九」が言へることには、ならない。
然るに、
（01）（02）により、
（03）
② All the nice girls love a sailor.
③ All the nice girls love all the sailors.
に於いて、
③ ならば、② であるが、
② ならば、③ ではない。
然るに、
（04）
１　　　（１）∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∀ｙ（水夫ｙ→愛ｘｙ）｝　Ａ
　２　　（２）∃ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ）＆∃ｙ（水夫ｙ）　　　　　Ａ
　２　　（３）∃ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ）　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　４　（４）　　　素敵ａ＆少女ａ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　（５）　　　　　　　　　　　　∃ｙ（水夫ｙ）　　　　　２＆Ｅ
　　　６（６）　　　　　　　　　　　　　　　水夫ｂ　　　　　　Ａ
１　　　（７）　　　素敵ａ＆少女ａ→∀ｙ（水夫ｙ→愛ａｙ）　　１ＵＥ
１　４　（８）　　　　　　　　　　　∀ｙ（水夫ｙ→愛ａｙ）　　４７ＭＰＰ
１　４　（９）　　　　　　　　　　　　　　水夫ｂ→愛ａｂ　　　８ＵＥ　　
１　４６（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　愛ａｂ　　　６９ＭＰＰ
１　４６（イ）　　　　　　　　　　　　　　水夫ｂ＆愛ａｂ　　　６ア＆Ｉ
１　４６（ウ）　　　　　　　　　　　∃ｙ（水夫ｙ＆愛ａｙ）　　イＥＩ
１２４　（エ）　　　　　　　　　　　∃ｙ（水夫ｙ＆愛ａｙ）　　５６ウＥＥ
１２　　（オ）　　　素敵ａ＆少女ａ→∃ｙ（水夫ｙ＆愛ａｙ）　　４エＣＰ
１２　　（カ）∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∃ｙ（水夫ｙ＆愛ｘｙ）｝　オＵＩ

１２　　（〃）すべてのｘについて、ｘが素敵な少女であるならば、あるｙは水夫であって、ｘはｙを愛す。　オＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
１　　　（１）∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∀ｙ（水夫ｙ→愛ｘｙ）｝　Ａ
　２　　（２）∃ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ）＆∃ｙ（水夫ｙ）　　　　　Ａ
であるならば、
１２　　（カ）∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∃ｙ（水夫ｙ＆愛ｘｙ）｝　オＵＩ

である。
然るに、
（06）
１　　　　（１）∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∃ｙ（水夫ｙ＆愛ｘｙ）｝　Ａ
　２　　　（２）∃ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ）＆∃ｙ（水夫）　　　　　　Ａ　　　　　　　　　　　
　２　　　（３）∃ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ）　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　４　　（４）　　　素敵ａ＆少女ａ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　　（５）　　　　　　　　　　　　∃ｙ（水夫ｙ）　　　　　Ａ
　　　６　（６）　　　　　　　　　　　　　　　水夫ｂ　　　　　　Ａ
１　　　　（７）　　　素敵ａ＆少女ａ→∃ｙ（水夫ｙ＆愛ａｙ）　　１ＵＥ
１　４　　（８）　　　　　　　　　　　∃ｙ（水夫ｙ＆愛ａｙ）　　４７ＭＰＰ
　　　　９（９）　　　　　　　　　　　　　　水夫ｂ＆愛ａｂ　　　Ａ
　　　　９（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　愛ａｂ　　　９＆Ｅ
　　　　９（イ）　　　　　　　　　　　　　～水夫ｂ∨愛ａｂ　　　９∨Ｉ
　　　　９（ウ）　　　　　　　　　　　　　　水夫ｂ→愛ａｂ　　　イ含意の定義
　　　　９（エ）　　　　　　　　　　　∀ｙ（水夫ｙ→愛ａｙ）　　９ＵＩ
１　４　　（オ）　　　　　　　　　　　∀ｙ（水夫ｙ→愛ａｙ）　　８９エＥＥ
１　　　　（カ）　　　素敵ａ＆少女ａ→∀ｙ（水夫ｙ→愛ａｙ）　　４オＣＰ
１　　　　（キ）∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∀ｙ（水夫ｙ→愛ｘｙ）｝　カＵＩ

１　　　　（〃）すべてのｘについて、ｘが素敵な少女であるならば、すべてのｙについて、ｙが水夫であるならば、ｘはｙを愛す。　カＵＩ
然るに、
（07）
　　　　９（９）　　　　　　　　　　　　　　水夫ｂ＆愛ａｂ　　　Ａ
　　　　９（エ）　　　　　　　　　　　∀ｙ（水夫ｙ→愛ａｙ）　　９ＵＩ
は、「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に対する「違反」である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
１　　　　（１）∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∃ｙ（水夫ｙ＆愛ｘｙ）｝　Ａ
　２　　　（２）∃ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ）＆∃ｙ（水夫）　　　　　　Ａ　
であったとしても、
１　　　　（キ）∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∀ｙ（水夫ｙ→愛ｘｙ）｝　カＵＩ
ではない。
従って、
（04）～（08）により、
（09）
② ∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∃ｙ（水夫ｙ＆愛ｘｙ）｝
③ ∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∀ｙ（水夫ｙ→愛ｘｙ）｝
に於いて、
③ ならば、② であるが、
② ならば、③ ではない。
従って、
（03）（09）により、
（10）
② All the nice girls love a sailor.
③ All the nice girls love all the sailors.
といふ「英文」は、
② ∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∃ｙ（水夫ｙ＆愛ｘｙ）｝
③ ∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∀ｙ（水夫ｙ→愛ｘｙ）｝
といふ「述語論理」に、対応する。
然るに、
（11）
「昨日の記事（229）」で説明した通り、
①「ジャック・タールだけを、愛してゐる。」といふ場合の、
① All the nice girls love a sailor.
に関しては、
① ∃ｙ｛水夫ｙ＆∀ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ→愛ｘｙ）｝

① あるｙは水夫であって、すべてのｘについて、ｘが素敵な少女であるならば、ｘはｙを愛す。
といふ「述語論理」に、対応する。
然るに、
（12）
① すべての素敵な少女は、ジャック・タールだけを、愛してゐる。
③ すべての素敵な少女は、すべての水夫を愛してゐる。
に於いて、
① と ③ は、「矛盾」する。
然るに、
（13）
１　　（１）∃ｙ｛水夫ｙ＆∀ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ→愛ｘｙ）｝　Ａ
　２　（２）　　　水夫ｂ＆∀ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ→愛ｘｂ）　　Ａ
　２　（３）　　　水夫ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　　　　　∀ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ→愛ｘｂ）　　２＆Ｅ
　２　（５）　　　　　　　　　　素敵ａ＆少女ａ→愛ａｂ　　　４ＵＥ
　　６（６）　　　　　　　　　　素敵ａ＆少女ａ　　　　　　　Ａ
　２６（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　愛ａｂ　　　５６ＭＰＰ
　２６（８）　　　　　　　　　　　　　～水夫ｂ∨愛ａｂ　　　７∨Ｉ
　２６（９）　　　　　　　　　　　　　　水夫ｂ→愛ａｂ　　　８含意の定義
　２６（ア）　　　　　　　　　　　∀ｙ（水夫ｙ→愛ａｙ）　　９ＵＩ
　２　（イ）　　　素敵ａ＆少女ａ→∀ｙ（水夫ｙ→愛ａｙ）　　６アＣＰ
１　　（ウ）　　　素敵ａ＆少女ａ→∀ｙ（水夫ｙ→愛ａｙ）　　１２イＥＥ
１　　（エ）∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∀ｙ（水夫ｙ→愛ｘｙ）｝　ウＵＩ
然るに、
（14）
　２　（２）　　　水夫ｂ＆∀ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ→愛ｘｂ）　　Ａ
　２６（９）　　　　　　　　　　　　　　水夫ｂ→愛ａｂ　　　８含意の定義
　２６（ア）　　　　　　　　　　　∀ｙ（水夫ｙ→愛ａｙ）　　９ＵＩ
は、「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に対する「違反」である。
然るに、
（15）
１　　（１）　　　　∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∀ｙ（水夫ｙ→愛ｘｙ）｝　Ａ
１　　（２）　　　　　　　素敵ａ＆少女ａ→∀ｙ（水夫ｙ→愛ａｙ）　　１ＵＥ
　３　（３）　　　　　　　素敵ａ＆少女ａ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　（４）　　　　　　　　　　　　　　　∀ｙ（水夫ｙ→愛ａｙ）　　２３ＭＰＰ
１３　（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　水夫ｂ→愛ａｂ　　　４ＵＩ
　　６（６）　　　　　　　　　　　　　　　　　　水夫ｂ　　　　　　　Ａ
１３６（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　愛ａｂ　　　５６ＭＰＰ
１　６（８）　　　　　　　　　　　　　　素敵ａ＆少女ａ→愛ａｂ　　　３７ＣＰ
１　６（９）　　　　　　　　　　　∀ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ→愛ｘｂ）　　８ＵＩ
１　６（ア）　　　　　　　水夫ｂ＆∀ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ→愛ｘｂ）　　６９＆Ｉ
１　６（イ）　　　　∃ｙ｛水夫ｙ＆∀ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ→愛ｘｙ）｝　アＥＩ
１　　（ウ）水夫ｂ→∃ｙ｛水夫ｙ＆∀ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ→愛ｘｙ）｝　６イＣＰ
従って、
（15）により、
（16）
１　　（１）　　　　∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∀ｙ（水夫ｙ→愛ｘｙ）｝　Ａ
ならば、
１　　（ウ）水夫ｂ→∃ｙ｛水夫ｙ＆∀ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ→愛ｘｙ）｝　６イＣＰ
なのであって、
１　　（１）　　　　∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∀ｙ（水夫ｙ→愛ｘｙ）｝　Ａ
ならば、
１　　（ウ）　　　　∃ｙ｛水夫ｙ＆∀ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ→愛ｘｙ）｝　
ではない。
従って、
（11）～（16）により、
（17）
① すべての素敵な少女は、ジャック・タールだけを、愛してゐる。
③ すべての素敵な少女は、すべての水夫を愛してゐる。
といふ「命題」は、
① ∃ｙ｛水夫ｙ＆∀ｘ（素敵ｘ＆少女ｘ→愛ｘｙ）｝
③ ∀ｘ｛素敵ｘ＆少女ｘ→∀ｙ（水夫ｙ→愛ｘｙ）｝
といふ「述語論理」に、対応し、尚且つ、
① ならば、③ ではないし、
③ ならば、① ではない。