（1239）「この問題の正解率は６４.５％でした。」と「述語論理」（Ⅱ）。

（01）
　男子＝男の子である。
～男子＝男の子でない。
　女子＝女の子である。
～女子＝女の子でない。
　帽子＝帽子をかぶっている。
～帽子＝帽子をかぶっていない。
　スニ＝スニ―カーを履いている。
～スニ＝スニーカーを履いていない。
とする。
従って、
（01）により、
（02）
（α）　∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（　スニｘ＆男子ｘ）
（１）　∀ｘ（　男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（　帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（　帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふ「日本語」に「等しい」。
然るに、
（03）
（Γ）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）
（〃）男の子であるならば、女の子ではなく、女の子でないならば、男の子である。
を「公理」とする。
然るに、
（04）
（α）
１　（１）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）　Ａ
１　（２）　　　～帽子ａ→女子ａ　　１ＵＥ
　　（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）　公理
　　（４）　　　男子ａ⇔～女子ａ　　ＵＥ
　　（５）　　　男子ａ→～女子ａ　　４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
　６（６）　　　男子ａ　　　　　　　Ａ
　６（７）　　　　　　　～女子ａ　　５６ＭＰＰ
１６（８）　　～～帽子ａ　　　　　　１７ＭＰＰ
１６（９）　　　　帽子ａ　　　　　　８ＤＮ
１　（ア）　　　　男子ａ→帽子ａ　　６９ＣＰ
１　（イ）　∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）　アＵＩ
（〃）
１　（１）∀ｘ（男子ｘ→　帽子ｘ）　Ａ
１　（２）　　　男子ａ→　帽子ａ　　１ＵＥ
　　（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）　公理
　　（４）　　　男子ａ⇔～女子ａ　　ＵＥ
　　（５）　　　～女子ａ→男子ａ　　４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
　６（６）　　　　　　　～帽子ａ　　Ａ
１６（７）　　　～男子ａ　　　　　　２６ＭＴＴ
１６（８）　　～～女子ａ　　　　　　５７ＭＴＴ
１６（９）　　　　女子ａ　　　　　　８ＤＮ
１　（ア）　　　～帽子ａ→女子ａ　　６９ＣＰ
１　（イ）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）　アＵＩ
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
（α）　∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（　スニｘ＆男子ｘ）
（１）　∀ｘ（　男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（　帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（　帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α）　∀ｘ（　男子ｘ→帽子ｘ）
（β）～∃ｘ（　スニｘ＆男子ｘ）
（１）　∀ｘ（　男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（　帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（　帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
然るに、
（06）
（β）
１　　（１）～∃ｘ（スニｘ＆　男子ｘ）　Ａ
１　　（２）∀ｘ～（スニｘ＆　男子ｘ）　１量化子の関係
１　　（３）　　～（スニａ＆　男子ａ）　２ＵＥ
１　　（４）　　　～スニａ∨～男子ａ　　３ド・モルガンの法則
１　　（５）　　　　スニａ→～男子ａ　　４含意の定義
　　　（６）　∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）　公理
　　　（７）　　　　男子ａ⇔～女子ａ　　６ＵＥ
　　　（８）　　　　～女子ａ→男子ａ　　７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
　９　（９）　　　　　　　　～男子ａ　　Ａ
　９　（ア）　　　～～女子ａ　　　　　　８９ＭＴＴ
　９　（イ）　　　　　女子ａ　　　　　　アＤＮ
　　　（ウ）　　　　～男子ａ→女子ａ　　９イＣＰ
　　エ（エ）　　　　スニａ　　　　　　　Ａ
１　エ（オ）　　　　　　　　～男子ａ　　５エＭＰＰ
１　エ（カ）　　　　　　　　　女子ａ　　ウオＭＰＰ
１　　（キ）　　　　スニａ→　女子ａ　　エカＣＰ
１　　（ク）　∀ｘ（スニｘ→　女子ｘ）　キＵＩ
（〃）
１　　（１）　∀ｘ（スニｘ→　女子ｘ）　Ａ
１　　（２）　　　　スニａ→　女子ａ　　１ＵＥ
　　　（３）　∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）　公理
　　　（４）　　　　男子ａ⇔～女子ａ　　３ＵＥ
　　　（５）　　　　男子ａ→～女子ａ　　４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
　６　（６）　　　　　　　　　女子ａ　　Ａ
　６　（７）　　　　　　　～～女子ａ　　６ＤＮ
　６　（８）　　　～男子ａ　　　　　　　５７ＭＴＴ
　　　（９）　　　　女子ａ→～男子ａ　　６８ＭＰＰ
　　ア（ア）　　　　スニａ　　　　　　　Ａ
１　ア（イ）　　　　　　　　　女子ａ　　２アＭＰＰ
１　ア（ウ）　　　　　　　　～男子ａ　　９イＭＰＰ
１　　（エ）　　　　スニａ→～男子ａ　　アウＣＰ
１　　（オ）　　　～スニａ∨～男子ａ　　エ含意の定義
１　　（カ）　　～（スニａ＆　男子ａ）　オ、ド・モルガンの法則
１　　（キ）∀ｘ～（スニｘ＆　男子ｘ）　カＵＩ
従って、
（05）（06）により、
（07）
（α）　∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（　スニｘ＆男子ｘ）
（１）　∀ｘ（　男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（　帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（　帽子ｘ＆　スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α）　∀ｘ（　男子ｘ→帽子ｘ）
（β）　∀ｘ（　スニｘ→女子ｘ）
（１）　∀ｘ（　男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（　帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（　帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
然るに、
（08）
（２）
１　　（１）～∃ｘ（帽子ｘ＆　女子ｘ）　Ａ
１　　（２）∀ｘ～（帽子ｘ＆　女子ｘ）　１量化子の関係
１　　（３）　　～（帽子ａ＆　女子ａ）　２ＵＥ
１　　（４）　　　～帽子ａ∨～女子ａ　　３ド・モルガンの法則
１　　（５）　　　　帽子ａ→～女子ａ　　４含意の定義
　　　（６）　∀ｘ（女子ｘ⇔～男子ｘ）　公理
　　　（７）　　　　女子ａ⇔～男子ａ　　６ＵＥ
　　　（８）　　　　～男子ａ→女子ａ　　７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
　９　（９）　　　　　　　　～女子ａ　　Ａ
　９　（ア）　　　～～男子ａ　　　　　　８９ＭＴＴ
　９　（イ）　　　　　男子ａ　　　　　　アＤＮ
　　　（ウ）　　　　～女子ａ→男子ａ　　９イＣＰ
　　エ（エ）　　　　帽子ａ　　　　　　　Ａ
１　エ（オ）　　　　　　　　～女子ａ　　５エＭＰＰ
１　エ（カ）　　　　　　　　　男子ａ　　ウオＭＰＰ
１　　（キ）　　　　帽子ａ→　男子ａ　　エカＣＰ
１　　（ク）　∀ｘ（帽子ｘ→　男子ｘ）　キＵＩ
（〃）
１　　（１）　∀ｘ（帽子ｘ→　男子ｘ）　Ａ
１　　（２）　　　　帽子ａ→　男子ａ　　１ＵＥ
　　　（３）　∀ｘ（女子ｘ⇔～男子ｘ）　公理
　　　（４）　　　　女子ａ⇔～男子ａ　　３ＵＥ
　　　（５）　　　　女子ａ→～男子ａ　　４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
　６　（６）　　　　　　　　　男子ａ　　Ａ
　６　（７）　　　　　　　～～男子ａ　　６ＤＮ
　６　（８）　　　～女子ａ　　　　　　　５７ＭＴＴ
　　　（９）　　　　男子ａ→～女子ａ　　６８ＭＰＰ
　　ア（ア）　　　　帽子ａ　　　　　　　Ａ
１　ア（イ）　　　　　　　　　男子ａ　　２アＭＰＰ
１　ア（ウ）　　　　　　　　～女子ａ　　９イＭＰＰ
１　　（エ）　　　　帽子ａ→～女子ａ　　アウＣＰ
１　　（オ）　　　～帽子ａ∨～女子ａ　　エ含意の定義
１　　（カ）　　～（帽子ａ＆　女子ａ）　オ、ド・モルガンの法則
１　　（キ）∀ｘ～（帽子ｘ＆　女子ｘ）　カＵＩ
１　　（ク）～∃ｘ（帽子ｘ＆　女子ｘ）　キ量化子の関係
従って、
（07）（08）により、
（09）
（α）　∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β）　∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１）　∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「論理式」は、
（α）　∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β）　∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１）　∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２）　∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
従って、
（05）～（09）により、
（10）
（α）　∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（　スニｘ＆男子ｘ）
（１）　∀ｘ（　男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（　帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（　帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α）　∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β）　∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１）　∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２）　∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
従って、
（10）により、
（11）
（α）　∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（１）　∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２）　∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
に於いて、
（２）は（α）の「逆」であり、
（２）は（１）の「逆」であるが、「逆は、必ずしも、真ではない」。
従って、
（11）により、
（12）
（α）⇔（１）であるが、
（α）→（２）ではない。
然るに、
（13）
１　　　（１）∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）　Ａ
　２　　（２）∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）　Ａ
　　３　（３）∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）　Ａ
１　　　（４）　　　男子ａ→帽子ａ　　１ＵＥ
　２　　（５）　　　スニａ→女子ａ　　２ＵＥ
　　　６（６）　　　帽子ａ＆スニａ　　Ａ
　　　６（７）　　　帽子ａ　　　　　　６＆Ｅ
　　　６（８）　　　　　　　スニａ　　６＆Ｅ
　２　６（９）　　　　　　　女子ａ　　５７ＭＰＰ
　２　６（ア）　　　帽子ａ＆女子ａ　　７９＆Ｉ
　２　６（イ）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）　アＥＩ
　２３　（ウ）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）　３６イＥＥ
従って、
（01）（02）（10）（13）により、
（14）
（α）∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β）∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（３）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
といふ「命題」、すなはち、
（α）男の子は、みんな帽子をかぶっています。
（β）スニーカーを履いている子どもは、みんな女の子です。
（γ）帽子をかぶっている女の子もいます。
といふ「命題」は「矛盾」しない。
ｅ．ｇ.
太郎と次郎は、二人とも、野球帽をかぶっているが、スニーカーではなく、スパイクを履いている。
花子は帽子をかぶって、スニーカーを履いているが、桃子は、帽子をかぶらずに、スニーカーを履いている。
従って、
（13）（14）により、
（15）
（α）　∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β）　∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
であるからと言って、必ずしも、
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（〃）帽子をかぶっている女の子はいません。
といふことには、ならない。
従って、
（02）（10）（11）（15）により、
（16）
（α）　∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（　スニｘ＆男子ｘ）
（１）　∀ｘ（　男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（　帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（　帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふ「日本語」に「等しく」、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
といふ「命題」が「真（〇）」であるならば、
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
　だけが、必ず、「真（〇）」である。
従って、
（16）により、
（17）
問題　次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
　　　公園に子どもたちが集まっています。
　　　男の子も女の子もいます。
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
正しいのは（１）のみです。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２・１８３頁）。
といふ、ことになる。