日本語の「は」と「が」について。

象は鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
とりあえず「三上文法」を「批判」します。

(831)「ルカジェヴィッツの公理」による「同一律」の証明。

2021-02-28 18:37:33 | 論理

(01)
 ルカジェヴィッツによる公理(1・2)
(1) P→(Q→P)
(2)[P→(Q→R)]→[(P→Q)→(P→R)]
然るに、
(02)
(ⅰ)
1     (1)     P   A
1     (2) ~Q∨ P   1∨I
 3    (3)  Q&~P   A
  4   (4) ~Q      A
 3    (5)  Q      3&E
 34   (6) ~Q&Q    45&I
  4   (7)~(Q&~P)  36RAA
   8  (8)     P   A
 3    (9)    ~P   3&E
 3 8  (ア)  P&~P   89&I
   8  (イ)~(Q&~P)  3アRAA
1     (ウ)~(Q&~P)  2478イ∨E
    エ (エ)  Q      A
     オ(オ)    ~P   A
    エオ(カ)  Q&~P   エオ&I
1   エオ(キ)~(Q&~P)&
          (Q&~P)  ウカ&I
1   エ (ク)   ~~P   オキRAA
1   エ (ケ)     P   クDN
1     (コ)   Q→P   エケCP
      (サ)P→(Q→R)  1コCP
(ⅱ)
1  (1)    P→(Q→R)             A
 2 (2)    P→ Q                A
  3(3)    P                   A
1 3(4)       Q→R              13MPP
 23(5)       Q                23MPP
123(6)         R              45MPP
12 (7)       P→R              36CP
1  (8)(P→Q)→(P→R)             27CP
   (9)[P→(Q→R)]→[(P→Q)→(P→R)] 18CP
従って、
(01)(02)により、
(03)
(1) P→(Q→P)
(2)[P→(Q→R)]→[(P→Q)→(P→R)]
である所の、「ルカジェヴィッツによる公理(1・2)」は、「恒真式(トートロジー)」である。
といふことは、「自然演繹」によって、「証明」出来る。
従って、
(03)により、
(04)
(2)[P→(Q→)]→[(P→Q)→(P→)]
(〃)[P→(Q→)]→[(P→Q)→(P→)]
は、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(03)(04)により、
(05)
(1) P→(Q→P)
(2)[P→(Q→P)]→[(P→Q)→(P→P)]
は、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(06)
(1) P→(Q→P)                A
(2)[P→(Q→P)]→[(P→Q)→(P→P)] A
(3)           (P→Q)→(P→P)  12MPP
(4)         P→(Q→P)→(P→P)  3 Qに、(Q→P)を代入。
(5)                  P→P   14MPP
従って、
(03)~(06)により、
(07)
(1) P→(Q→P)
(2)[P→(Q→R)]→[(P→Q)→(P→R)]
といふ「公理」に於いて、
(ⅰ)R=P といふ「代入」を行った上で、
(ⅱ)MPP を行ひ、次に、
(ⅲ)Q=Q→P といふ「代入」を行ひ、その上で、
(ⅳ)MPP を行ふと、
(ⅴ)P→P(同一律) を、得ることになる。
cf.
「沢田允茂、現代論理学入門、1962年、174・175頁」
従って、
(03)~(07)により、
(08)
(1) P→(Q→P)
(2)[P→(Q→R)]→[(P→Q)→(P→R)]
である所の、「ルカジェヴィッツによる公理(1・2)」から、
(3) P→P(同一律)
といふ「定理」を、「演繹」することが出来る。
然るに、
(09)
(ⅰ)
1   (1)  P→(Q→P) A
1   (2) ~P∨(Q→P) 1含意の定義
 3  (3) ~P       A
 3  (4) ~P∨~Q∨P  3∨I
  5 (5)     Q→P  A
  5 (6)    ~Q∨P  5含意の定義
  5 (7) ~P∨~Q∨P  6∨I
1   (8) ~P∨~Q∨P  23457∨E
1   (9) ~P∨P∨~Q  8交換法則
1   (ア)(~P∨P)∨~Q 9結合法則
1   (イ)~Q∨(~P∨P) ア交換法則
1   (ウ) Q→(~P∨P) イ含意の定義
   エ(エ) Q        A
1  エ(オ)    ~P∨P  ウエMPP
1  エ(カ)     P→P  オ含意の定義
1   (キ) Q→ (P→P) エカCP
(ⅱ)
1   (1) Q→(P→P)  A
1   (2)~Q∨(P→P)  1含意の定義
 3  (3)~Q        A
 3  (4)~Q∨~P∨P   3∨I
  5 (5)    P→P   A
  5 (6)   ~P∨P   5含意の定義
  5 (7)~Q∨~P∨P   6∨I
1   (8)~Q∨~P∨P   23457∨E
1   (9)~P∨~Q∨P   8交換法則
1   (ア)~P∨(~Q∨P) 9結合法則
1   (イ) P→(~Q∨P) ア含意の定義
   ウ(ウ) P        A
1  ウ(エ)    ~Q∨P  イウMPP
1  ウ(オ)     Q→P  エ含意の定義
1   (カ) P→( Q→P) ウオCP
従って、
(09)により、
(10)
① P→(Q→P)
② Q→(P→P)
に於いて、
①=② である。
従って、
(08)(09)(10)により、
(11)
(1) P→(Q→P)
(2)[P→(Q→R)]→[(P→Q)→(P→R)]
である所の、「ルカジェヴィッツによる公理(1・2)」だけでなく、
(1) Q→(P→P)
(2)[Q→(P→R)]→[(P→Q)→(P→R)]
からも、
(3) P→P(同一律)
といふ「定理」を、「演繹」することが出来る、はずある(?)。


(830)「象が(は)動物である。」の「述語論理」。

2021-02-28 10:46:40 | 象は鼻が長い、述語論理。

(01)
(ⅰ)
1  (1)∀x(象x⇔動x)         A
1  (2)   象a⇔動a          1UE
1  (3)   象a→動a& 動a→象a   2Df.⇔
1  (4)   象a→動a          3&E
1  (5)          動a→象a   3&E
 6 (6)            ~象a   A
  7(7)          動a      A
1 7(8)             象a   57MPP
167(9)         ~象a&象a   68&I
16 (ア)         ~動a      79RAA
1  (イ)         ~象a→~動a  6アCP
1  (ウ)   象a→動a&~象a→~動a  4イ&I
1  (エ)∀x(象x→動x&~象x→~動x) ウUI
(ⅱ)
1  (1)∀x(象x→動x&~象x→~動x) A
1  (2)   象a→動a&~象a→~動a  1UE
1  (3)   象a→動a          2&E
1  (4)         ~象a→~動a  2&E
 5 (5)              動a  A
  6(6)         ~象a      A
1 6(7)             ~動a  46MPP
156(8)          動a&~動a  57&I
15 (9)        ~~象a      68RAA
15 (ア)          象a      9DN
1  (イ)          動a→象a   5アCP
1  (ウ)   象a→動a& 動a→象a   3イ&I
1  (エ)   象a⇔動a          ウDf.⇔
1  (オ)∀x(象x⇔動x)         エUI
従って、
(01)により、
(02)
① ∀x(象x⇔動x)
② ∀x(象x→動x&~象x→~動x)
に於いて、すなはち、
① すべてのxについて(xが象であるならば、そのときに限って、xは動物である)。
② すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物であり、xが象でないならば、xは動物ではない)。
に於いて、
①=② である。
(03)
(ⅱ)
1(1)∀x(象x→動x&~象x→~動x)     A
1(2)   象a→動a&~象a→~動a      1UE
1(3)   象a→動a              2&E
1(4)∀x(象x→動x)             3UI
1(5)         ~象a→~動a      2&E
1(6)      ∀x(~象x→~動x)     5UI
1(7)∀x(象x→動x)&∀x(~象x→~動x) 46&I
(ⅲ)
1(1)∀x(象x→動x)&∀x(~象x→~動x) A
1(2)∀x(象x→動x)             1&E
1(3)   象a→動a              2UE
1(4)          ∀x(~象x→~動x) 1&E
1(5)             ~象a→~動a  4UE
1(6)   象a→動a&~象a→~動a      35&I
1(7)∀x(象x→動x&~象x→~動x)     6UI
従って、
(03)により、
(04)
② ∀x(象x→動x&~象x→~動x)
③ ∀x(象x→動x)&∀x(~象x→~動x)
に於いて、すなはち、
② すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物であり、xが象でないならば、xは動物ではない)。
③ すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物であり)、尚且つ、すべてのxについて(xが象でないならば、xは動物ではない)。
に於いて、
②=③ である。
(05)
(ⅲ)
1 (1) ∀x(~象x→~動x) A
1 (2)    ~象a→~動a  1UE
 3(3)    ~象a& 動a  A
 3(4)    ~象a      3&E
13(5)        ~動a  24MPP
 3(6)         動a  3&E
13(7)     ~動a&動a  56&I
1 (8)  ~(~象a& 動a) 3RAA
1 (9)∀x~(~象x& 動x) 8UI
1 (ア)~∃x(~象x& 動x) 9量化子の関係
(ⅳ)
1  (1)~∃x(~象x& 動x)  A
1  (2)∀x~(~象x& 動x)  1量化子の関係
1  (3)  ~(~象a& 動a)  2UE
 4 (4)    ~象a       A
  5(5)         動a   A
 45(6)    ~象a& 動a   45&I
145(7)  ~(~象a& 動a)&
         (~象a& 動a)  36&I
14 (8)        ~動a   57RAA
1  (9)    ~象a→~動a   48CP
1  (ア) ∀x(~象x→~動x)  9UI
従って、
(05)により、
(06)
③  ∀x(~象x→~動x)
④ ~∃x(~象x& 動x)
に於いて、すなはち、
③ すべてのxについて(xが象でないならば、xは動物ではない)。
④ (象ではなくて、動物であるx)は、存在しない。
に於いて、
③=④ である。
(04)(05)(06)により、
(07)
③ ∀x(象x→動x)& ∀x(~象x→~動x)
④ ∀x(象x→動x)&~∃x(~象x& 動x)
に於いて、すなはち、
③ すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物であり)、尚且つ、すべてのxについて(xが象でないならば、xは動物ではない)。
④ すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物であり)、尚且つ、(象ではなくて、動物であるx)は、存在しない。
に於いて、
③=④ である。
従って、
(01)~(07)により、
(08)
① ∀x(象x⇔動x)
② ∀x(象x→動x&~象x→~動x)
③ ∀x(象x→動x)& ∀x(~象x→~動x)
④ ∀x(象x→動x)&~∃x(~象x& 動x)
に於いて、すなはち、
① すべてのxについて(xが象であるならば、そのときに限って、xは動物である)。
② すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物であり、xが象でないならば、xは動物ではない)。
③ すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物であり)、尚且つ、すべてのxについて(xが象でないならば、xは動物ではない)。
④ すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物であり)、尚且つ、(象ではなくて、動物であるx)は、存在しない
に於いて、
①=②=③=④ である。
然るに、
(09)
(α){象、机、椅子}
(β){象、兎、河馬}
に於いて、
(α)⇔「象動物である。」
(β)⇔「象動物である。」とは、言へない
然るに、
(10)
(α){象、机、椅子}
(β){象、兎、河馬}
に於いて、
(α)⇔「象以外(机、椅子)は動物ではない。」
(β)⇔「象以外(兎、河馬)は動物ではない。」とは、言へない
従って、
(09)(10)により、
(11)
① 象動物である。
② 象は動物であり、象以外は動物ではない
に於いて、
①=② である。
従って、
(08)(11)により、
(12)
① 象動物である。
② 象は動物であり、象以外は動物ではない
といふ「日本語」は、
① ∀x(象x⇔動x)
② ∀x(象x→動x&~象x→~動x)
③ ∀x(象x→動x)&  ∀x(~象x→~動x)
④ ∀x(象x→動x)&~∃x(~象x& 動x)
といふ「述語論理式」、すなはち、
① すべてのxについて(xが象であるならば、そのときに限って、xは動物である)。
② すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物であり、xが象でないならば、xは動物ではない)。
③ すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物であり)、尚且つ、すべてのxについて(xが象でないならば、xは動物ではない)。
④ すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物であり)、尚且つ、(象ではなくて、動物であるx)は、存在しない
に、「等しい」。
然るに、
(13)
「現実」には、
④ すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物であり)、尚且つ、(象ではなくて、動物であるx)は、存在しない。
といふことはなく、
⑤ すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物であり)、尚且つ、(象ではなくて、動物であるx)は、存在する
従って、
(13)により、
(14)
「現実」には、
⑤ ∀x(象x→動x)&∃x(~象x&動x)⇔
⑤ 象は動物であるが、象以外にも、動物は存在する
従って、
(14)により、
(15)
① 何動物か。
② 動物は何か。
といふ「質問」に対しては、「答へよう」が無い。
然るに、
(16)
ある動物が、最大の動物である。ならば、
その動物以外に、最大の動物は、存在しない
従って、
(16)により、
(17)
(ⅰ)象最大の動物である。然るに、
(ⅱ)馬は象ではないが、動物である。従って、
(ⅲ)象と馬は動物であって、象は馬よりも大きい。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
(17)により、
(18)
(ⅰ)∀x{象x→動物x&∀y(~象y&動物y→大xy)}。然るに、
(ⅱ)∀y(馬y→~象y&動物y)。従って、
(ⅲ)∀x∀y(象x&馬y→動物x&動物y&大xy)。
といふ「推論」、すなはち、
(ⅰ)  すべてのxについて{xが象であるならば、xは動物であって馬であり、尚且つ、すべてのyについて、yが象以外の動物であるならば、xはyよりも大きい)}。然るに、
(ⅱ)  すべてのyについて(yが馬ならば、yは象以外の動物である)。従って、
(ⅲ)すべてのxとyについて(xが象であってyが馬ならば、xは動物であって、yも動物であって、xはyよりも大きい)。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
(19)
1  (1)∀x{象x→動物x&∀y(~象y&動物y→大xy)} A
 2 (2)∀y(馬y→~象y&動物y)             A
 2 (〃)すべてのyについて{yが馬ならば、yは象ではないが、動物である)。A
1  (3)   象a→動物a&∀y(~象y&動物y→大ay)  1UE
1  (4)   象a→動物a                  3&E
1  (5)          ∀y(~象y&動物y→大ay)  3&E
1  (6)             ~象b&動物b→大ab   5UE
12 (7)   馬b→~象b&動物b              2UE
  8(8)   象a&馬b                   A
  8(9)      馬b                   8&E
128(ア)      ~象b&動物b              79MPP
128(イ)                     大ab   6アMPP
128(ウ)          動物b              ア&E
128(エ)          動物b&大ab          イウ&I
  8(オ)   象a                      8&E
1 8(カ)      動物a                  4オMPP
128(キ)      動物a&動物b&大ab          エカ&I
12 (ク)     象a&馬b→動物a&動物b&大ab     8キCP
12 (ケ)  ∀y(象a&馬y→動物a&動物y&大ay)    クUI
12 (コ)∀x∀y(象x&馬y→動物x&動物y&大xy)    ケUI
12 (〃)すべてのxとyについて(xが象であってyが馬ならば、xは動物であり、yも動物であり、xはyよりも大きい)。ケUI
従って、
(17)(18)(19)により、
(20)
果たして、
(ⅰ)象最大の動物である。然るに、
(ⅱ)馬は象ではないが、動物である。従って、
(ⅲ)象と馬は動物であって、象は馬よりも大きい。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
(14)~(20)により、
(21)
「現実の世界」では、
① 象動物である。
② 動物は象である。
といふ「命題」は、「」であるものの、
「現実の世界」であっても、
① 象最大の陸上動物である。
② 最大の陸上動物は象である。
といふ「命題」は、「」であって、「偽」ではない。
従って、
(20)(21)により、
(22)
① ABである。
といふ「日本語」は、
① AはBであり、A以外はBでない
といふ、「意味」である。


(829)「&、∨、~、→、( )」

2021-02-26 20:57:07 | 論理

(01)
(ⅰ)
1 (1)  P& Q  A
 2(2)  P→~Q  A
1 (3)  P     1&E
12(4)    ~Q  23MPP
1 (5)     Q  1&E
12(6)  ~Q&Q  45&I
1 (7)~(P→~Q) 2RAA
(ⅱ)
1   (1) ~(P→~Q)  A
 2  (2) ~(P& Q)  A
  3 (3)   P      A
   4(4)      Q   A
  34(5)   P& Q   34&I
 234(6) ~(P& Q)&
         (P& Q)  25&I
 23 (7)     ~Q   46RAA
 2  (8)   P→~Q   37CP
12  (9) ~(P→~Q)&
         (P→~Q)  18&I
1   (ア)~~(P& Q)  29RAA
1   (イ)   P& Q   アDN
従って、
(01)により、
(02)
①   P& Q
② ~(P→~Q)
に於いて、
①=② である。
(03)
(ⅲ)
1     (1)   P∨ Q   A
 2    (2)  ~P&~Q   A
  3   (3)   P      A
 2    (4)  ~P      2&E
 23   (5)   P&~P   34&I
  3   (6)~(~P&~Q)  25RAA
   7  (7)      Q   A
 2    (8)     ~Q   2&E
 2 7  (9)   Q&~Q   78&I
   7  (ア)~(~P&~Q)  29RAA
1     (イ)~(~P&~Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  ~P      A
     エ(エ)     ~Q   A
    ウエ(オ)  ~P&~Q   ウエ&I
1   ウエ(カ)~(~P&~Q)&
          (~P&~Q)  イオ&I
1   ウ (キ)    ~~Q   エカRAA
1   ウ (ク)      Q   キDN
1     (ケ)  ~P→ Q   ウクCP
(ⅳ)
1  (1)  ~P→Q   A
 2 (2) ~(P∨Q)  A
  3(3)   P     A
  3(4)   P∨Q   3∨I
 23(5) ~(P∨Q)&
        (P∨Q)  24&I
 2 (6)  ~P     35RAA
12 (7)     Q   16MPP
12 (8)   P∨Q   7∨I
12 (9) ~(P∨Q)&
        (P∨Q)  28&I
1  (ア)~~(P∨Q)  29RAA
1  (イ)   P∨Q   アDN
従って、
(03)により、
(04)
③  P∨Q
④ ~P→Q
に於いて、
③=④ である。
従って、
(02)(04)により、
(05)
①   P& Q
② ~(P→~Q)
③   P∨ Q
④  ~P→ Q
に於いて、
①=② であって、
③=④ である。
従って、
(05)により、
(06)
① P&Q=~(P→~Q)
② P∨Q= ~P→ Q
である。
従って、
(06)により、
(07)
①「&」は、「~、→、( )」によって、「置き換へ」ることが、出来、
②「∨」は、「~、→、   」によって、「置き換へ」ることが、出来る。
従って、
(07)により、
(08)
「&、∨」は「~、→、( )」によって、「置き換へ」ることが、出来、
「~、→、( )」は「&、∨」によって、「置き換へ」ることが、出来る。
従って、
(08)により、
(09)
「&、∨、~、→、( )」は、「~、→、( )」によって、「置き換へ」ることが、出来、
「~、→、( )」は、「&、∨、~、→、( )」によって、「置き換へ」ることが、出来る。


(828)(同一律∨Q)⇔(矛盾→Q):「前件否定」の「誤謬」。

2021-02-25 11:53:23 | 論理

(01)
(a)「含意の定義」の証明は、    (17)を参照せよ。
(b)「ド・モルガンの法則」の証明は、(18)を参照せよ。
(02)
(ⅰ)
1  (1) (P→ P)∨Q A
 2 (2)  P→ P    A
 2 (3) ~P∨ P    2含意の定義
 2 (4)~(P&~P)   3ド・モルガンの法則
 2 (5)~(P&~P)∨Q 4∨I
  6(6)        Q A
  6(7)~(P&~P)∨Q 6∨I
1  (8)~(P&~P)∨Q 12567∨E
1  (9) (P&~P)→Q 8含意の定義
(ⅱ)
1  (1) (P&~P)→Q A
1  (2)~(P&~P)∨Q 1含意の定義
 3 (3)~(P&~P)   A
 3 (4) ~P∨ P    3ド・モルガンの法則
 3 (5)  P→ P    4含意の定義
 3 (6) (P→ P)∨Q 5∨I
  7(7)        Q A
  7(8) (P→ P)∨Q 7∨I
1  (9) (P→ P)∨Q 23678∨I
従って、
(02)により、
(03)
①(P→ P)∨Q
②(P&~P)→Q
に於いて、
①=② である。
然るに、
(04)
(ⅰ)
1(1) P      A
 (2) P→P    11CP
 (3)(P→P)∨Q 2∨I
従って、
(04)により、
(05)
①(P→P)∨Q
すなはち、
①(同一律)∨Q
は、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(03)(04)(05)により、
(06)
①(P→ P)∨Q
②(P&~P)→Q
に於いて、
①=② であって、尚且つ、
① は、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(06)により、
(07)
①(P→ P)∨Q
②(P&~P)→Q
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
② も、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(07)により、
(08)
②(P&~P)→Q
すなはち、
②( 矛盾 )→Q
は、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(08)により、
(09)
②(矛盾)→Q
すなはち、
②( )→Q
は、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(09)により、
(10)
①()→真
②()→偽
に於いて、
① は「真」であって、
② も「真」である。
従って、
(10)により、
(11)
③ P→Q(Pならば、Qである。)
に於いて、
③「Pである」が「偽」であるならば、
③「Qである」は「偽」であるか、
③「Qである」は「真」であるかの、どちらかである。
従って、
(11)により、
(12)
③ P→Q(Pならば、Qである。)
に於いて、
③「Pである」が「」であるならば、従って、
③「Pでない」が「」であるならば、
③「Qである」は「偽」であるか、
③「Qである」は「真」であるかの、どちらかである。
従って、
(12)により、
(13)
③ P→Q(Pならば、Qである。)
に於いて、
③「Pでない」が「」であるならば、
③「Qである」が「偽」であるか、
③「Qである」が「真」であるかは、「不明」である。
従って、
(13)により、
(14)
(ⅰ) P→Q(Pならば、Qである。)然るに、
(ⅱ)~P  (Pでない。)     従って、
(ⅲ)  ~Q(Qでない。)
といふ「推論」は、「妥当」ではなく
このことを称して、「前件否定の誤謬(the fallacy of denying the antecedent)」と謂ふ。
従って、
(13)(14)により、
(15)
逆に言へば、「前件否定の誤謬(the fallacy of denying the antecedent)」を「誤謬」である。
と、認めるのであれば、そのときに限って、
③ P→Q(Pならば、Qである。)
に於いて、
③「Pでない」が「」であるならば、
③「Qである」が「偽」であるか、
③「Qである」が「真」であるかは、「不明」である。
といふことを、認めなければ、ならない。
従って、
(15)により、
(16)
③ 象は動物である。然るに、兎は象ではない。故に、兎は動物ではない。
③ ∀x(象x→動物x),∀(兎x→~象x)├ ∀(兎x→~動物x)
といふ「推論(連式)」を、「妥当」ではない。 とするのであれば、
③ P→Q(Pならば、Qである。)
に於いて、
③「Pでない」が「」であるならば、
③「Qである」が「偽」であるか、
③「Qである」が「真」であるかは、「不明」である。
といふことを、認めなければ、ならない。
(17)
 ―「含意の定義」の証明。―
(ⅰ)
1  (1)    P→Q  A
 2 (2) ~(~P∨Q) A
  3(3)   ~P    A
  3(4)   ~P∨Q  3∨I
 23(5) ~(~P∨Q)&
        (~P∨Q) 24&I
 2 (6)  ~~P    35RAA
 2 (7)    P    6DN
12 (8)      Q  17MPP
12 (9)   ~P∨Q  8∨I
12 (ア) ~(~P∨Q)&
        (~P∨Q) 29&I
1  (イ)~~(~P∨Q) 2アRAA
1  (ウ)   ~P∨Q  イDN
(ⅱ)
1     (1)  ~P∨Q   A
 2    (2)  P&~Q   A
  3   (3)  ~P     A
 2    (4)  P      2&E
 23   (5)  ~P&P   34&I
  3   (6)~(P&~Q)  25RAA
   7  (7)     Q   A
 2    (8)    ~Q   2&E
 2 7  (9)  Q&~Q   78&I
   7  (ア)~(P&~Q)  29RAA
1     (イ)~(P&~Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  P      A
     エ(エ)    ~Q   A
    ウエ(オ)  P&~Q   ウエ&I
1   ウエ(カ)~(P&~Q)&
          (P&~Q)  イオ&I
1   ウ (キ)   ~~Q   エカRAA
1   ウ (ク)     Q   キDN
1     (ケ)  P→ Q   ウクCP
(18)
 ―「ド・モルガンの法則」の証明。―
(ⅰ)
1   (1) ~( P& Q)  A
 2  (2) ~(~P∨~Q)  A
  3 (3)   ~P      A
  3 (4)   ~P∨~Q   3∨I
 23 (5) ~(~P∨~Q)&
         (~P∨~Q)  24&I
 2  (6)  ~~P      35RAA
 2  (7)    P      6DN
   8(8)      ~Q   A
   8(9)   ~P∨~Q   8∨I
 2 8(ア) ~(~P∨~Q)&
          ~P∨~Q   29&I
 2  (イ)     ~~Q   8アRAA
 2  (ウ)       Q   イDN
 2  (エ)    P& Q   7ウ&I
12  (オ) ~( P& Q)&
         ( P& Q)  1エ&I
1   (カ)~~(~P∨~Q)  2オRAA
1   (キ)   ~P∨~Q   カDN
(ⅱ)
1   (1)   ~P∨~Q   A
 2  (2)    P& Q   A
  3 (3)   ~P      A
 2  (4)    P      2&E
 23 (5)   ~P&P    34&I
  3 (6) ~( P& Q)  25RAA
   7(7)      ~Q   A
 2  (8)       Q   2&E
 2 7(9)    ~Q&Q   78&I
   7(ア) ~( P& Q)  29RAA
1   (イ) ~( P& Q)  1367ア∨E


(827)「象が動物である。」の「述語論理」。

2021-02-24 16:36:52 | 象は鼻が長い、述語論理。

 ―「昨日の記事(令和03年02月23日)」を書き直します。―
(01)
「動物の種類」は、「膨大」であるため、
① 何動物か。
② 動物は何か。
といふ「質問」に対しては、「答へよう」がない。
然るに、
(02)
①{、机、椅子}
②{象、
に於いて、
① ⇔「象動物である。」といふ「命題」は「真」である。
② ⇔「象動物である。」といふ「命題」は「」である。
(03)
①{、机、椅子}
②{象、
に於いて、
① ⇔「動物は象である。」といふ「命題」は「真」である。
② ⇔「動物は象である。」といふ「命題」は「」である。
(04)
①{、机、椅子}
②{象、
に於いて、
① ⇔「象以外(机、椅子)は動物ではない。」といふ「命題」は「真」である。
② ⇔「象以外(兎、 馬 )は動物ではない。」といふ「命題」は「」である。
従って、
(02)(03)(04)により、
(05)
① 象動物である。
② 動物は象である。
③ 象以外は動物ではない
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(06)
① 象動物である。
② 動物は象である。
③ 象以外は動物ではない
といふのであれば、必然的に、
④ 象は動物である。
従って、
(05)(06)により、
(07)
① 象動物である。
② 象は動物であり、動物は象である。
③ 象は動物であり、象以外は動物ではない
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(08)
(ⅱ)
1  (1) ∀x(動物x→ 象x) A
1  (2)    動物a→ 象a  1UE
 3 (3)        ~象a  A
  4(4)    動物a      A
1 4(5)         象a  24MPP
134(6)     ~象a&象a  35&I
13 (7)   ~動物a      46RAA
1  (8)   ~象a→~動物a  37CP
1  (9)∀x(~象x→~動物x) 8UI
(ⅲ)
1  (1)∀x(~象x→~動物x) A
1  (2)   ~象a→~動物a  1UE
 3 (3)        動物a  A
 3 (4)      ~~動物a  3DN
13 (5)  ~~象a       24MTT
13 (6)    象a       5DN
1  (7)    動物a→ 象a  36CP
1  (8) ∀x(動物x→ 象x) 7UI
従って、
(08)により、
(09)
② ∀x( 動物x→ 象x)
③ ∀x(~象x→~動物x)
に於いて、すなはち、
② すべてのxについて(xが動物ならば、xは象である)。
③ すべてのxについて(xが象でないならば、xは動物ではない)。
に於いて、すなはち、
② 動物は象である。
③ 象以外は動物ではない
に於いて、
②=③ は、「対偶(Contraposition)」である。
従って、
(07)(08)(09)により、
(10)
① 象が動物である。
② 象は動物であり、動物は象である。
③ 象は動物であり、象以外は動物ではない
に於いて、すなはち、
① 象が動物である。
② ∀x(象x→動物x& 動物x→ 象x)
③ ∀x(象x→動物x&~象x→~動物x)
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(10)により、
(11)
「番号」を付け直すと、
① 象は動物である。
② 象動物である。
③ ∀x(象x→動物x)
④ ∀x(象x→動物&~象x→~動物x)
に於いて、
①=③ であって、
②=④ である。
然るに、
(12)
1  (1)∀x(象x→動物x&~象x→~動物x) A
 2 (2)∀x(#x→~象x)          A
1  (3)   象a→動物a&~象a→~動物a  1UE
 2 (4)   #a→~象a           2UE
  5(5)   #a               A
 25(6)      ~象a           45MPP
1  (7)          ~象a→~動物a  3&E
125(8)              ~動物a  67MPP
12 (9)   #a→~動物a          58CP
12 (ア)∀x(#x→~動物x)         9UI
従って、
(12)により、
(13)
(ⅰ)∀x(象x→動物x&~象x→~動物x)。然るに、
(ⅱ)∀x(#x→~象x)。従って、
(ⅲ)∀x(#x→~動物x)。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
(11)(12)(13)により、
(14)
(ⅰ)象動物である。然るに、
(ⅱ)#は象ではない。従って、
(ⅲ)#は動物ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
(15)
1  (1) ∀x(象x→動物x) A
 2 (2) ∀x(#x→~象x) A
1  (3)    象a→動物a  1UE
 2 (4)    #a→~象a  2UE
  5(5)    #a      A
 25(6)       ~象a  45MPP
125(7)      ~動物a  36?
12 (8)   #a→~動物a  57CP
12 (9)∀x(#x→~動物x) 8UI
といふ「推論」は、「妥当」ではない
cf.
「前件否定の誤謬(the fallacy of denying the antecedent)」。
従って、
(15)により、
(16)
(ⅰ)∀x(象x→動物x)。然るに、
(ⅱ)∀x(#x→~象x)。従って、
(ⅲ)∀x(#x→~動物x)。
といふ「推論」は、「妥当」ではない
従って、
(11)(15)(16)により、
(17)
(ⅰ)象動物である。然るに、
(ⅱ)#は象ではない。従って、
(ⅲ)#は動物ではない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない
従って、
(14)(17)により、
(18)
① 象動物である。然るに、#は象ではない。従って、#は動物ではない。
② 象動物である。然るに、#は象ではない。従って、#は動物ではない。
に於いて、
① は、「妥当」であるが、
② は、「妥当」ではない
従って、
(18)により、
(19)
① 象動物である。然るに、机は象ではない。従って、机は動物ではない。
② 象動物である。然るに、兎は象ではない。従って、兎は動物ではない。
に於いて、
① は、「妥当」であるが、
② は、「妥当」ではない
従って、
(19)により、
(20)
① 象動物である。然るに、兎は象ではない。従って、兎は動物ではない。
② 象動物である。然るに、兎は象ではない。従って、兎は動物ではない。
に於いて、
① は、「妥当」であるが、
② は、「妥当」ではない
然るに、
(21)
①(飽くまでも、現実には、)兎は動物である。
②(飽くまでも、現実には、)兎は動物である。
従って、
(20)(21)により、
(22)
「当然」ではあるものの、
「推論の妥当性」と、「命題の真偽」とは、「別もの」である。


(826)「象は・象が」は「主語」である。:三上文法批判。

2021-02-20 17:16:32 | 象は鼻が長い、述語論理。

(01)
① 何最大の陸上動物か。
② 最大の陸上動物は何か。
といふ「問ひ」であれば、「答へ」は、「(唯一)象」である。
然るに、
(02)
「動物の種類」は、「膨大」であるため、
① 何動物か。
② 動物は何か。
といふ「質問」に対しては、「答へよう」がない。
然るに、
(03)
①{、机、椅子、パソコン、エアコン}
といふ風に、「限定」をした上で、
① 何動物か。
② 動物は何か。
といふのであれば、
① 象動物である。
② 動物は象である。
然るに、
(04)
(ⅱ)
1  (1) ∀x(動物x→ 象x) A
1  (2)    動物a→ 象a  1UE
 3 (3)        ~象a  A
  4(4)    動物a      A
1 4(5)         象a  24MPP
134(6)     ~象a&象a  35&I
13 (7)   ~動物a      46RAA
1  (8)   ~象a→~動物a  37CP
1  (9)∀x(~象x→~動物x) 8UI
(ⅲ)
1  (1)∀x(~象x→~動物x) A
1  (2)   ~象a→~動物a  1UE
 3 (3)        動物a  A
 3 (4)      ~~動物a  3DN
13 (5)  ~~象a       24MTT
13 (6)    象a       5DN
1  (7)    動物a→ 象a  36CP
1  (8) ∀x(動物x→ 象x) 7UI
従って、
(04)により、
(05)
② ∀x( 動物x→ 象x)
③ ∀x(~象x→~動物x)
に於いて、すなはち、
② すべてのxについて(xが動物ならば、xは象である)。
③ すべてのxについて(xが象でないならば、xは動物ではない)。
に於いて、すなはち、
② 動物は象である。
③ 象以外は動物ではない
に於いて、
②=③ は、「対偶(Contraposition)」である。
従って、
(03)(04)(05)により、
(06)
① 象動物である。
② 動物は象である。
③ 象以外は動物ではない
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(07)
① 象動物である。
といふのであれば、
① 象動物でない
といふことは、有り得ない
従って、
(06)(07)により、
(08)
① 象動物である。
② 象は動物であり、動物は象である。
③ 象は動物であり、象以外は動物ではない
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(01)(08)により、
(09)
① 象最大の陸上動物である。
② 象は最大の陸上動物であり、最大の陸上動物は象である。
③ 象は最大の陸上動物であり、象以外は最大の陸上動物ではない
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(10)
三上章先生は、
①「象」は「主語」ではなく、「主」であって、
②「象」は「主語」ではなく、「主」である。
と、されてゐて、
④ Elephants are the largest terrestrial animals.
に於ける、
④「Elephants」に関しては、「主」である。
と、されてゐる。
cf.
その主張(主語廃止論)の骨子は、「主語」という語を用いず、「主格」と「主題」で分けてとらえなければならないというものであった。
三上章は、文の構造をコトとムードに分けて考えることを主張しており、「主格」については、コトの次元で述語と関係を持つものであるとしている。それに対し、「主題」についてはコトの次元を超えたムードの次元でやりとりされるとしており、「~」と「~」の問には文の構成上の問には文の構成上の役割として大きな差があることを指摘している(山室和也)。
然るに、
(11)
実際、文法学者が「主語」という「語」を使わなければならないことは、不幸なことだ。この語は、普通のことばでは、とりわけ「話題」(主題)という意味でも使われているからである(イェスペルセン著、安藤貞雄 訳、文法の原理(中)、2006年、45頁)。
従って、
(11)により、
(12)
「主」であることと、
「主」であることとは、「矛盾」しない。
従って、
(10)(11)(12)により、 
(13)
④ Elephants are the largest terrestrial animals.
に於ける、
④「Elephants」が、
④「主」であって、尚且つ、
④「主」であったとしても、「矛盾」しない。
然るに、
(14)
愛息子(The father loves his son)。
息子愛父(The son loves his father)。
に於いて、
① であれば、「愛する」のは「 」であって、
② であれば、「愛する」のは「息子」である。
然るに、
(15)
③ Pater(主格) amat(3人称単数現在) filium(対格).
④ Filium(対格) amat(3人称単数現在) pater(主格).
に於いて、
③ であっても、「愛する」のは「父(Pater)」であって、
④ であっても、「愛する」のは「父(pater)」である。
従って、
(15)により、
(16)
③ Pater(主格) amat(3人称単数現在) filium(対格).
④ Filium(対格) amat(3人称単数現在) pater(主格).
といふ「ラテン語」の場合は、
  単 数   複 数
主格 pater     patres
呼格 pater     patres
属格 patris    patrum
与格 patri     patribus
対格 patrem    patres
奪格 patre     patribus
に於ける、
主格 pater   patres
といふ「語の形」が、「主語」を、担ってゐる。
従って、
(14)(15)(16)により、
(17)
(ⅰ)「漢文や英語」であれば、「語順」が、「主語(といふ役割)」を担ってゐて、その一方で、
(ⅱ)「ラテン語」等であれば、「主格」といふ「語形」が、「主語(といふ役割)」を担ってゐる。
従って、
(17)により、
(18)
③ Pater(主格) amat(3人称単数現在) filium(対格).
④ Filium(対格) amat(3人称単数現在) pater(主格).
に於いて、
③ Pater(主格)
④ pater(主格)
である。といふことは、
③ Pater(主語
④ pater(主語
といふことと、「同じ」である。
要するに、
(19)
ラテン語やギリシャ語でいふ「主格」といふのは、「その語が、主語」であることを、示すための「語形」である。
従って、
(20)
① 象最大の陸上動物である。
② 象は最大の陸上動物であり、最大の陸上動物は象である。
③ 象は最大の陸上動物であり、象以外は最大の陸上動物ではない。
に於ける、
① 象
といふ「語」が、「主(主語)」である。
といふのであれば、
① 象
といふ「語」は、「主(主格)」である。
といふ、ことになる。
然るに、
(21)
15.格の使い方
格のつかい方は複雑である。次に説明のために、ごく簡単なつかいかただけを挙げておく。
1.主格 これは動詞の主語としてつかわれ、日本語の「」、「」(従属節では「の」まではいる)に当る。
(松村正俊、ラテン語四週間、1961年、18頁)
従って、
(20)(21)により、
(22)
① 象が最大の陸上動物である。
② 象は最大の陸上動物であり、最大の陸上動物は象である。
③ 象は最大の陸上動物であり、象以外は最大の陸上動物ではない。
に於ける、
① 象
② 象
③ 象
は、3つとも、「主語(主格)」である。
従って、
(13)(22)により、
(23)
私が思ふに、
① 象が最大の陸上動物である。
② 象は最大の陸上動物であり、最大の陸上動物は象である。
③ 象は最大の陸上動物であり、象以外は最大の陸上動物ではない。
に於ける、
① 象
② 象
③ 象
は、3つとも、「主語」である。
(24)
 三上章先生は、
話題」は「主語」ではないとし、
主格」も「主語」ではない。とする。
(25)
私自身は、
「象_」を「話題」にする際には、
「象」を「主語とする」か、
「象」で「主語とする」かの、どちらかであって、
「象」は、敢へて言へば、「ラテン語文法」等でいふ「主格形」であって、
「象」も、敢へて言へば、「ラテン語文法」等でいふ「主格形」である。
といふ風に、考へてゐる。
(26)
「象」と、
「象」の「違ひ」については、例へば、
① 象最大の陸上動物である=象は最大の陸上動物である。
② 象最大の陸上動物である=象は最大の陸上動物であり、象以外は最大の陸上動物ではない
の「違ひ」であると、確信してゐる。


(825) 「象が最大の動物である。」の「述語論理」。

2021-02-20 08:44:05 | 象は鼻が長い、述語論理。

(01)
ある動物が、最大の動物である。ならば、
その動物以外に、最大の動物は、ゐない
従って、
(01)により、
(02)
(ⅰ)象最大の動物である。然るに、
(ⅱ)馬は象ではないが、動物である。従って、
(ⅲ)象と馬は動物であって、象は馬よりも大きい。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
(03)
1  (1)∀x{象x→動物x&∀y(~象y&動物y→大xy)} A
 2 (2)∀y(馬y→~象y&動物y)             A
 2 (〃)すべてのyについて{yが馬ならば、yは象ではないが、動物である)。A
1  (3)   象a→動物a&∀y(~象y&動物y→大ay)  1UE
1  (4)   象a→動物a                  3&E
1  (5)          ∀y(~象y&動物y→大ay)  3&E
1  (6)             ~象b&動物b→大ab   5UE
12 (7)   馬b→~象b&動物b              2UE
  8(8)   象a&馬b                   A
  8(9)      馬b                   8&E
128(ア)      ~象b&動物b              79MPP
128(イ)                     大ab   6アMPP
128(ウ)          動物b              ア&E
128(エ)          動物b&大ab          イウ&I
  8(オ)   象a                      8&E
1 8(カ)      動物a                  4オMPP
128(キ)      動物a&動物b&大ab          エカ&I
12 (ク)     象a&馬b→動物a&動物b&大ab     8キCP
12 (ケ)  ∀y(象a&馬y→動物a&動物y&大ay)    クUI
12 (コ)∀x∀y(象x&馬y→動物x&動物y&大xy)    ケUI
12 (〃)すべてのxとyについて(xが象であってyが馬ならば、xは動物であり、yも動物であり、xはyよりも大きい)。ケUI
従って、
(03)により、
(04)
1  (1)∀x{象x→動物x&∀y(~象y&動物y→大xy)} A
 2 (2)∀y(馬y→~象y&動物y)             A
12 (コ)∀x∀y(象x&馬y→動物x&動物y&大xy)    ケUI
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
(01)~(04)により、
(05)
最大の動物である。⇔
象は動物であって、象以外の動物よりも、象は大きい。⇔
∀x{象x→動物x&∀y(~象y&動物y→大xy)}⇔
すべてのxについて{xが象ならば、xは動物であり、すべてのyについて(yが象でなくて、yが動物であるならば、xはyよりも大きい)}。
といふ「等式」が、成立する。


(824)∃x(x=a)は、「恒真式」である。

2021-02-18 18:11:35 | 論理

(01)
練習問題
1 つぎの連式の妥当性を証明せよ。
(a)Fm ┤├ ∀x(x=m→Fx)
(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、215頁改)
(02)
(ⅰ)
1   (1)Fm
 2  (2)~∀x(x=m→ Fx)  A
 2  (3)∃x~(x=m→ Fx)  2量化子の関係
  4 (4)  ~(m=m→ Fm)  A
   5(5)    m≠m∨ Fm   A
   5(6)    m=m→ Fm   5含意の定義
  45(7)  ~(m=m→ Fm)&
          (m=m→ Fm)  46&I
  4 (8)  ~(m≠m∨ Fm)  57RAA
  4 (9)    m=m&~Fm   8ド・モルガンの法則
  4 (ア)        ~Fm   9&E
 2  (イ)        ~Fm   24アEE
12  (ウ) Fm&~Fm       1イ&I
1   (エ)~~∀x(x=m→Fx)  2ウRAA
1   (オ)  ∀x(x=m→Fx)  エDN
(ⅱ)
1(1)∀x(x=m→Fx) A
1(2)   m=m→Fm  1UE
 (3)   m=m     =I
1(4)       Fm  23MPP
従って、
(01)(02)により、
(03)
(a)Fm ┤├ ∀x(x=m→Fx)
(〃)mはFである。┤├ すべてのxについて(xがmであるならば、xはFである)。
といふ「連式」は、「妥当」である。
従って、
(03)により、
(04)
(ⅰ)ミッシェルは、フランス人である。従って、
(ⅱ)誰であらうと、その人がミッシェルであるならば、その人はフランス人である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
(05)
練習問題
1 つぎの連式の妥当性を証明せよ。
(b)├ ∀x∀y(Fx&x=y→Fy)
(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、215頁)
(06)
1(1)     Fa&a=b     A
1(2)     Fa         1&E
1(3)        a=b     1&E
1(4)     Fb         23=E
 (5)     Fa&a=b→Fb  14CP
 (6)∀x∀y(Fx&x=y→Fy) 5UI
従って、
(06)により、
(07)
(b)├ ∀x∀y(Fx&x=y→Fy)
(〃)├ すべてのxとすべてのyについて(xがFであって、x=yであるならば、yはFである)。
といふ「連式」は、「恒真式(トートロジー)」である。
(08)
練習問題
1 つぎの連式の妥当性を証明せよ。
(f)├ ∃x(x=a)
(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、215頁)
(09)
(1)   a=a  =I
(2)∃x(x=a) 1EI
従って、
(09)により、
(10)
(f)├ ∃x(x=a)
(〃)├ あるxは(x=a)である。
といふ「連式」は、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(07)(10)により、
(11)
(b)├ すべてのxとすべてのyについて(xがFであって、x=yであるならば、yはFである)。
(f)├ あるxは(x=a)である。
に於いて、
(b)が「恒真式(トートロジー)」である。
といふことは、「当然」であるが、
(f)が「恒真式(トートロジー)」である。
といふことは、「難解」である。
(12)
(a)
1(1)      Fa  A
1(2)   ∃x(Fx) 1EI
 (3)Fa→∃x(Fx) 12CP
(b)
1 (1)∃x(Fx) A
 2(2)   Fa  A
従って、
(12)により、
(13)
(a)任意のaがFならば、Fであるxが存在するが、
(b)Fであるxが存在するとしても、任意のaがFである。とは、限らない。
といふことは、「当然」である。
然るに、
(14)
(f)├ ∃x(x=a)
(〃)任意のaは、aである。故に、あるxはaである。
といふことは、「当然」である。
といふことが、私には、「何となく」にしか、分からない。


(823)「∃x(Fx)⇔ ∃x∃y(Fx&Fy)」は、当然である。

2021-02-16 18:08:29 | 論理

(01)
142 ∃x(Fx)├ ∃x∃y(Fx&Fy)
1 (1)  ∃x(Fx)    A
 2(2)     Fa     A
 2(3)     Fa&Fa  22&I
 2(4)  ∃y(Fa&Fy) 3EI
 2(5)∃x∃y(Fx&Fy) 4EI
1 (6)∃x∃y(Fx&Fy) 125EE
(この結果は事実上、強化して相互導出することができる。)この連式の妥当性から、ひとつだけの対象がFをもっているならば、
∃x∃y(Fx&Fy)
ということを帰結する。言い換えると、異なった変数」と「」を用いる場合に、そのことから、
それに対応する相異なった対象が存在するということは帰結しないのである。
(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、210頁)
従って、
(01)により、
(02)
相互導出することができる。」といふことからも、
1  (1)∃x∃y(Fx&Fy) A
 2 (2)  ∃y(Fa&Fy) A
  3(3)     Fa&Fa  A
  3(4)     Fa     3冪等律
  3(5)  ∃x(Fx)    4EI
 2 (6)  ∃x(Fx)    235EE
1  (7)  ∃x(Fx)    126EE
といふ「計算」は、「正しい」。
従って、
(01)(02)により、
(03)
①   ∃x(Fx)
② ∃x∃y(Fx&Fy)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(04)
{a、b、c}が「変域」であるならば、
① ∃x(Fx)
② Fa∨Fb∨Fc
に於いて、
①=② である。
然るに、
(05)
① ∃x(Fx)
といふ「命題」、すなはち、
① Fa∨Fb∨Fc
といふ「命題」、すなはち、
① aはFであるか、または、bはFであるか、または、cはFである。
といふ「命題」が「真」である。といふことは、
① Fa
② Fb
③ Fc
④ Fa&Fb
⑤ Fa&Fc
⑥ Fb&Fc
⑦ Fa&Fb&Fc
といふ「7通り」が、「真」である。
といふことに、他ならない
然るに、
(06)
「冪等律」により、
① Fa
② Fb
③ Fc
は、それぞれ、
① Fa&Fa
② Fb&Fb
③ Fc&Fc
に「等しい」。
従って、
(04)(05)(06)により、
(07)
① ∃x(Fx)
が「真」である。といふこと、すなはち、
① Fa∨Fb∨Fc
が「真」である。といふことは、
① Fa&Fa
② Fb&Fb
③ Fc&Fc
④ Fa&Fb
⑤ Fa&Fc
⑥ Fb&Fc
⑦ Fa&Fb&Fc
といふ「7通り」が、「真」である。
といふことに、他ならない
然るに、
(08)
② Fa∨Fb∨Fc
が「真」である。といふこと、すなはち、
②{(Fa&Fa)∨(Fa&Fb)∨(Fa&Fc)}∨{(Fb&Fa)∨(Fb&Fb)∨(Fb&Fc)}∨{(Fc&Fa)∨(Fc&Fb)∨(Fc&Fc)}
が「真」である。といふことも、
① Fa&Fa
② Fb&Fb
③ Fc&Fc
④ Fa&Fb
⑤ Fa&Fc
⑥ Fb&Fc
⑦ Fa&Fb&Fc
といふ「7通り」が、「真」である。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
(09)
{a、b、c}が「変域」であるならば、
② ∃x∃y(Fx&Fy)
といふ「命題」は、
②{(Fa&Fa)∨(Fa&Fb)∨(Fa&Fc)}∨{(Fb&Fa)∨(Fb&Fb)∨(Fb&Fc)}∨{(Fc&Fa)∨(Fc&Fb)∨(Fc&Fc)}
といふ「命題」に、「等しい」。
従って、
(07)(08)(09)により、
(10)
① ∃x(Fx)
といふ「命題」が「真」である。といふことは、
① Fa&Fa
② Fb&Fb
③ Fc&Fc
④ Fa&Fb
⑤ Fa&Fc
⑥ Fb&Fc
⑦ Fa&Fb&Fc
といふ「7通り」が、「真」である。
といふことを、「意味」してゐて、
② ∃x∃y(Fx&Fy)
といふ「命題」が「真」である。といふことも、
① Fa&Fa
② Fb&Fb
③ Fc&Fc
④ Fa&Fb
⑤ Fa&Fc
⑥ Fb&Fc
⑦ Fa&Fb&Fc
といふ「7通り」が、「真」である。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
(10)により、
(11)
①   ∃x(Fx)
② ∃x∃y(Fx&Fy)
に於いて、
①=② である。
従って、
(01)(02)(11)により、
(12)
(a)
1 (1)  ∃x(Fx)    A
 2(2)     Fa     A
 2(3)     Fa&Fa  22&I
 2(4)  ∃y(Fa&Fy) 3EI
 2(5)∃x∃y(Fx&Fy) 4EI
1 (6)∃x∃y(Fx&Fy) 125EE
(b)
1  (1)∃x∃y(Fx&Fy) A
 2 (2)  ∃y(Fa&Fy) A
  3(3)     Fa&Fa  A
  3(4)     Fa     3冪等律
  3(5)  ∃x(Fx)    4EI
 2 (6)  ∃x(Fx)    235EE
1  (7)  ∃x(Fx)    126EE
といふ「計算」が示してゐる通り、
異なった変数」と「」を用いる場合に、そのことから、それに対応する相異なった対象(distinct objects)が存在するということは帰結しないのである。


(822)「幾らかのフランス人は寛大である。」の「述語論理」(Ⅱ)。

2021-02-15 19:13:24 | 論理

(01)
「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく、
∃x(Fx&Gx)と記号化するかわりに、むしろ、
∃x(Fx→Gx)とするのは、よくある間違いである。しかし、
∃x(Fx→Gx)は、
それがフランス人であるならば、寛大であるようなものが存在することを主張するのであって、
これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。しかるに、
幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない。
(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、124頁)
然るに、
(02)
『定理』を用いて、次の連式を証明せよ(Using theorems, prove the following sequent)。
∃x(Fx→Gx)┤├ ∃x(~Fx)∨∃x(Gx)
(ⅰ)
1   (1) ∃x(Fx→Gx)     A
 2  (2)    Fa→Ga      A
 2  (3)   ~Fa∨Ga      2含意の定義
  4 (4)   ~Fa         A
  4 (5)∃x(~Fx)        4EI
  4 (6)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) 5∨I
   7(7)       Ga      A
   7(8)    ∃x(Gx)     7EI
   7(9)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) 8∨I
 2  (ア)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) 24679∨E
1   (イ)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) 12アEE
(ⅱ)
1    (1)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) A
 2   (2)∃x(~Fx)        A
  3  (3)   ~Fa         A
  3  (4)   ~Fa∨Ga      3∨I
  3  (5)    Fa→Ga      4含意の定義
  3  (6) ∃x(Fx→Gx)     6EI
 2   (7) ∃x(Fx→Gx)     236EE
   8 (8)        ∃x(Gx) A
    9(9)           Ga  A
    9(ア)       ~Fa∨Ga  9∨I
    9(イ)        Fa→Ga  ア含意の定義
    9(ウ)     ∃x(Fx→Gx) イEI
   8 (エ)     ∃x(Fx→Gx) 89EE
1    (オ)     ∃x(Fx→Gx) 1278エ∨E
(03)
『定理』を用いずに、次の連式を証明せよ(Not using theorems, prove the following sequent)。
∃x(Fx→Gx)┤├ ∃x(~Fx)∨∃x(Gx)
(ⅰ)
1     (1) ∃x(Fx→Gx)     A
 2    (2)    Fa→Ga      A
  3   (3) ~(~Fa∨Ga)     A
   4  (4)   ~Fa         A
   4  (5)   ~Fa∨Ga      4∨I
  34  (6) ~(~Fa∨Ga)&
           (~Fa∨Ga)     35&I
  3   (7)  ~~Fa         46RAA
  3   (8)    Fa         7DN
 23   (9)       Ga      28MPP
 23   (ア)   ~Fa∨Ga      9∨I
 23   (イ) ~(~Fa∨Ga)&
           (~Fa∨Ga)     2ア&I
 2    (ウ)~~(~Fa∨Ga)     3イRAA
 2    (エ)   ~Fa∨Ga      ウDN
    オ (オ)   ~Fa         A
    オ (カ)∃x(~Fx)        オEI
    オ (キ)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) カ∨I
     ク(ク)       Ga      A
     ク(ケ)    ∃x(Gx)     クEI
     ク(コ)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) ケ∨I
 2    (サ)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) 2オキクコ∨E
1     (シ)∃x(~Fx)∨∃x(Gx) 12サEE
(ⅱ)
1           (1)∃x(~Fx)∨∃x(Gx)  A
 2          (2)∃x(~Fx)         A
  3         (3)   ~Fa          A
  3         (4)   ~Fa∨Ga       3∨I
  3         (5)∃x(~Fa∨Ga)      4EI
 2          (6)∃x(~Fa∨Ga)      235EE
   7        (7)        ∃x(Gx)  A
    8       (8)           Ga   A
    8       (9)       ~Fa∨Ga   6∨I
    8       (ア)    ∃x(~Fx∨Gx)  9EI
   7        (イ)    ∃x(~Fx∨Gx)  78アEE
1           (ウ)    ∃x(~Fx∨Gx)  1267イ∨E
     エ      (オ)       ~Fa∨Ga   A
      カ     (カ)        Fa&~Ga  A
       キ   (キ)       ~Fa      A
      カ    (ク)        Fa      カ&E
      カキ   (ケ)       ~Fa&Fa   キク
       キ   (コ)      ~(Fa&~Ga) カケRAA
        サ  (サ)           Ga   A
      カ    (シ)           ~Ga  カ&E
      カ サ  (ス)        Ga&~Ga  サシ&I
        サ  (セ)      ~(Fa&~Ga) カスRAA
     エ     (ソ)      ~(Fa&~Ga) エキコサセ∨E
         タ (タ)        Fa      A
          チ(チ)           ~Ga  A
         タチ(ツ)        Fa&~Ga  タチ&I
     エ   タチ(テ)      ~(Fa&~Ga)&
                     (Fa&~Ga) ソツ&I
     エ   タ (ト)          ~~Ga  チテRAA
     エ   タ (ナ)            Ga  トDN
     エ     (ニ)         Fa→Ga  タナCP
     エ     (ヌ)      ∃x(Fx→Gx) ニEI
1          (ネ)      ∃x(Fx→Gx) ウエヌEE
従って、
(02)(03)により、
(04)
① ∃x(Fx→Gx)
② ∃x(~Fx)∨∃x(Gx)
に於いて、
①=② である。
従って、
(01)(04)により、
(05)
① ∃x(Fx→Gx)
② ∃x(~Fx)∨∃x(Gx)
に於いて、すなはち、
① ある人について(その人がフランス人であるならば、その人は寛大である)。
② ある人は(フランス人でない)か、または、ある人は(寛大である)。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(06)
② ある人は(フランス人でない)。
といふ「命題」が「真」であるならば、それだけで、
② ある人は(フランス人でない)か、または、ある人は(寛大である)。
といふ「命題」は「真」である。
従って、
(07)
② ある人が(ドイツ人であって)、その人が寛大である。
とすれば、
② ある人は(フランス人でない)か、または、ある人は(寛大である)。
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
(08)
② ある人はドイツ人であって、その人は寛大である。
といふ「命題」は、
フランス人が存在しないとしても真である。
従って、
(01)~(08)により、
(09)
E.J.レモン が言ふやうに、
① ∃x(Fx→Gx)⇔
② ∃x(~Fx)∨∃x(Gx)
といふ「論理式」は、かりにフランス人が存在しない(even if there are no French)としても真である。


(821)「幾らかのフランス人は寛大である。」の「述語論理」。

2021-02-14 19:00:53 | 論理

(01)
「幾らかのフランス人は寛大でない」を、正しく、
∃x(Fx&~Gx)と記号化するかわりに、むしろ、
∃x(Fx→~Gx)とするのは、「よくある間違い(common mistake)である。
(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、124頁
然るに、
(02)
① すべてのフランス人は寛大である(All French are generous)。
② 幾らかのフランス人は寛大でない(Some French are not generous)。
に於いて、
①と② は「矛盾」する。
従って、
(02)により、
(03)
① すべてのフランス人は寛大である。
② 幾らかのフランス人が寛大でない。といことはない
に於いて、
①=② である。
従って、
(01)(03)により、
(04)
E.J.レモン の言ふ通りであるとすると、
① すべてのフランス人は寛大である(All French are generous)。
② ~∃x(Fx&~Gx)
③ ~∃x(Fx→~Gx)
に於いて、
①=② であって、
①=③ ではない。
然るに、
(05)
(ⅱ)
1(1)~∃x(Fx&~Gx) A
1(2)∀x~(Fx&~Gx) 1量化子の関係
1(3)  ~(Fa&~Ga) 2UE
1(4)   ~Fa∨ Ga  3ド・モルガンの法則
1(5)    Fa→ Ga  4含意の定義
1(6) ∀x(Fx→ Gx) 5UI
(ⅲ)
1(1)~∃x(Fx→~Gx) A
1(2)∀x~(Fx→~Gx) 1量化子の関係
1(3)  ~(Fa→~Ga) 1UE
1(4) ~(~Fa∨~Ga) 3含意の定義
1(5)    Fa& Ga  4ド・モルガンの法則
1(6) ∀x(Fx& Gx) 5UI
従って、
(04)(05)により、
(06)
E.J.レモン の言ふ通りであるとすると、
① すべてのフランス人は寛大である(All French are generous)。
② ∀x(Fx→Gx)
③ ∀x(Fx&Gx)
に於いて、
①=② であって、
①=③ ではない。
従って、
(06)により、
(07)
E.J.レモン の言ふ通りであるとすると、
① すべてのフランス人は寛大である(All French are generous)。
② すべてのxについて(xがフランス人であるならば、xは寛大である)。
③ すべてのxについて(xはフランス人であって、尚且つ、寛大である)。
に於いて、
①=② であるが、
①=③ ではない。
従って、
(07)により、
(08)
E.J.レモン の言ふ通りであるとすると、
① すべてのフランス人は寛大である(All French are generous)。
②「フランス人」は、「寛大な人々」といふ「集合」の「部分集合」である。
③「すべての人」は、「寛大なフランス人」である。
に於いて、
①=② であって、
①=③ ではない。
然るに、
(09)
① すべてのフランス人は寛大である(All French are generous)。
といふ「命題」は、
②「フランス人」は、「寛大な人々」といふ「集合」の「部分集合」である。
といふ「意味」であって、
③「すべての人」は、「寛大なフランス人」である。
といふ「意味」ではない
従って、
(01)~(09)により、
(10)
「幾らかのフランス人は寛大でない」を、正しく、
∃x(Fx&~Gx)と記号化するかわりに、むしろ、
∃x(Fx→~Gx)とするのは、よくある間違いである。
といふことは、「E.J.レモン の言ふ通り」である。


(820)「鼻は象が長い。といふわけではない。」の「述語論理」。

2021-02-13 17:00:06 | 象は鼻が長い、述語論理。

(01)
{象、兎、馬}に於いて、
(ⅰ)耳ではなく、顔でもなく、鼻であれば、『象の鼻長い。』
(ⅱ)鼻ではなく、顔でもなく、耳であれば、『兎の耳長い。』
(ⅲ)鼻ではなく、耳でもなく、顔であれば、『馬の顔長い。』
従って、
(01)により、
(02)
(ⅰ)鼻は象長く、
(ⅱ)耳は兎長く、
(ⅲ)顔は馬長い。
従って、
(02)により、
(03)
(ⅰ)鼻は象が長い。然るに、
(ⅱ)兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
(ⅲ)兎の鼻は、長くない。
といふ「論証(三段論法)」、すなはち、
(04)
(ⅰ)∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)}。然るに、
(ⅱ)∀y{兎y→~象y&∃x(鼻xy)}。従って、
(ⅲ)∀y{兎y→∃x(鼻xy&~長x)}。
といふ「論証(三段論法)」、すなはち、
(05)
(ⅰ)すべてのxとあるyについて{xがyの鼻であって、yが象であるならば、xは長く、yが象でなくて、xが長いならば、xはyの鼻ではない}。然るに、
(ⅲ)    すべてのyについて{yが兎であるならば、yは象ではなく、あるxについて(xはyの鼻であって、xは長くない)}。従って、
(ⅲ)    すべてのyについて{yが兎であるならば、あるxは(yの鼻であって、長くない)}。
といふ「論証(三段論法)」は、「妥当」である。
然るに、
(06)
1    (1)∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)} A
1    (2)  ∃y{(鼻ay&象y→長a)&(~象y&長a→~鼻ay)} 1UE
 3   (3)     (鼻ab&象b→長a)&(~象b&長a→~鼻ab)  A
 3   (4)                  ~象b&長a→~鼻ab   3&E
  5  (5)∀y{兎y→~象y&∃x(鼻xy)}              A
  5  (6)   兎b→~象b&∃x(鼻xb)               1UE
   7 (7)   兎b                           A
  57 (8)      ~象b&∃x(鼻xb)               67MPP
  57 (9)      ~象b                       8&E
  57 (ア)          ∃x(鼻xb)               8&E
    イ(イ)             鼻ab                A
    イ(ウ)           ~~鼻ab                イDN
 3 7 (エ)                ~(~象b& 長a)      4ウMTT
 3 7 (オ)                 ~~象b∨~長a       エ、ド・モルガンの法則
 3 7 (カ)                  ~象b→~長a       オ含意の定義
 3 7 (キ)                      ~長a       9カMPP
 3 7イ(ク)             鼻ab&~長a            イキ&I
 3 7イ(ケ)          ∃x(鼻xb&~長x)           クEI
 357 (コ)          ∃x(鼻xb&~長x)           アイケEE
1 57 (サ)          ∃x(鼻xb&~長x)           23コEE
1 5  (シ)   兎b→∃x(鼻xb&~長x)               7サCP
1 5  (ス)∀y{兎y→∃x(鼻xy&~長x)}              シUI
従って、
(06)により、
(07)
果たして、
(ⅰ)∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)}。然るに、
(ⅱ)∀y{兎y→~象y&∃x(鼻xy)}。従って、
(ⅲ)∀y{兎y→∃x(鼻xy&~長x)}。
といふ「三段論法」、すなはち、
(ⅰ)鼻は象が長い。然るに、
(ⅱ)兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
(ⅲ)兎の鼻は、長くない。
といふ「論証(三段論法)」は、「妥当」である。
従って、
(01)~(07)により、
(08)
① 鼻は象長い。⇔
① 鼻は、象が長く、象以外は長くない。⇔
① ∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)}⇔
① 鼻に関して言へば、象のそれ(鼻)は長く、象以外(兎や馬)で、ある部分が長いのであれば、鼻以外(耳や顔)が長い。⇔
① すべてのxとあるyについて{xがyの鼻であって、yが象であるならば、xは長く、yが象でなくて、xが長いならば、xはyの鼻ではない}。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
(08)により、
(09)
② 鼻は象が長い。といふわけではない。⇔
② 鼻は、象が長く、象以外は長くない。といふわけではない。⇔
② ~∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)}。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(10)
(ⅱ)
1   (1)~∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)} A
1   (2)∃x~∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)} 1量化子の関係
1   (3)∃x∀y~{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)} 2量化子の関係
 4  (4)  ∀y~{(鼻ay&象y→長a)&(~象y&長a→~鼻ay)} A
 4  (5)    ~{(鼻ab&象b→長a)&(~象b&長a→~鼻ab)} 4UE
 4  (6)    ~(鼻ab&象b→長a)∨~(~象b&長a→~鼻ab)  5ド・モルガンの法則
  7 (7)    ~(鼻ab&象b→長a)                 A
  7 (8)  ~{~(鼻ab&象b)∨長a)                7含意の定義
  7 (9)     (鼻ab&象b)&~長a                8ド・モルガンの法則
  7 (ア)      鼻ab&象b&~長a                 9結合法則
  7 (イ)      象b&鼻ab&~長a                 ア交換法則
  7 (ウ)     (象b&鼻ab&~長a)∨(~象b&鼻ab&長b)   イ∨I
   エ(エ)                 ~(~象b&長a→~鼻ab)  A
   エ(オ)              ~{~(~象b&長a)∨~鼻ab)} エ含意の定義
   エ(カ)                 (~象b&長b)& 鼻ab   オ、ド・モルガンの法則
   エ(キ)                    ~象b&長b&鼻ab   カ結合法則
   エ(ク)                    ~象b&鼻ab&長b   キ交換法則
   エ(ケ)     (象b&鼻ab&~長a)∨(~象b&鼻ab&長b)   ク∨I
 4  (コ)     (象b&鼻ab&~長a)∨(~象b&鼻ab&長b)   67ウエケ∨E
 4  (サ)  ∀y{(象y&鼻ay&~長a)∨(~象y&鼻ay&長y)}  コUI
 4  (シ)∃x∀y{(象y&鼻xy&~長x)∨(~象y&鼻xy&長y)}  サEI
1   (ス)∃x∀y{(象y&鼻xy&~長x)∨(~象y&鼻xy&長y)}  14シEE
(ⅲ)
1   (1)∃x∀y{(象y&鼻xy&~長x)∨(~象y&鼻xy&長y)}  A
 2  (2)  ∀y{(象y&鼻ay&~長a)∨(~象y&鼻ay&長y)}  A
 2  (3)     (象b&鼻ab&~長a)∨(~象b&鼻ab&長b)   2UE
  4 (4)     (象b&鼻ab&~長a)                A
  4 (5)      鼻ab&象b&~長a                 4交換法則
  4 (6)     (鼻ab&象b)&~長a                5結合法則
  4 (7)  ~{~(鼻ab&象b)∨長a)                6ド・モルガンの法則
  4 (8)    ~(鼻ab&象b →長a)                7含意の定義
  4 (9)    ~(鼻ab&象b→長a)∨~(~象b&長a→~鼻ab)  8∨I
   ア(ア)                   (~象b&鼻ab&長b)  A
   ア(イ)                    ~象b&長b&鼻ab   ア交換法則
   ア(ウ)                  (~象b&長b)&鼻ab   イ結合法則
   ア(エ)              ~{~(~象b&長a)∨~鼻ab)} ウ、ド・モルガンの法則
   ア(オ)                 ~(~象b&長a→~鼻ab)  エ、含意の定義
   ア(カ)    ~(鼻ab&象b→長a)∨~(~象b&長a→~鼻ab)  オ、∨I
 2  (キ)    ~(鼻ab&象b→長a)∨~(~象b&長a→~鼻ab)  349アカ∨E
 2  (ク)    ~{(鼻ab&象b→長a)&(~象b&長a→~鼻ab)} キ、ド・モルガンの法則
 2  (ケ)  ∀y~{(鼻ay&象y→長a)&(~象y&長a→~鼻ay)} クUI
 2  (コ)∃x∀y~{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)} ケEI
1   (サ)∃x∀y~{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)} 12コEE
1   (シ)∃x~∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)} サ量化子の関係
1   (ス)~∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)} シ量化子の関係
従って、
(10)により、
(11)
② ~∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)}
③  ∃x∀y{(象y&鼻xy&~長x)∨(~象y&鼻xy&長y)}
に於いて、すなはち、
② すべてのxとあるyについて{xがyの鼻であって、yが象であるならば、xは長く、yが象でなくて、xが長いならば、xはyの鼻ではない}といふわけではない。
③ あるxとすべてのyについて{yは象であって、xはyの鼻であって、xは長くない。か、または、yは象ではなく、xはyの鼻であって、xは長い}。
に於いて、
②=③ である。
従って、
(11)により、
(12)
② ~∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)}
③  ∃x∀y{(象y&鼻xy&~長x)∨(~象y&鼻xy&長y)}
といふ「論理式」は、
② 鼻は象が長い。といふわけではない。
③ ある象の鼻は長くないか、または、ある象以外の(動物の)鼻が長い。
といふ「日本語」に、相当し、尚且つ、
②=③ である。
従って、
(12)により、
(13)
② ~~∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)}
③  ~∃x∀y{(象y&鼻xy&~長x)∨(~象y&鼻xy&長y)}
に於いても、
②=③ である。
従って、
(13)により、
(14)
「二重否定律(DN)」により、
②  ∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)}
③ ~∃x∀y{(象y&鼻xy&~長x)∨(~象y&鼻xy&長y)}
に於いても、
②=③ である。
従って、
(08)~(14)により、
(15)
① 鼻は象が長い。
② ある象の鼻は長くないか、または、ある象以外の(動物の)鼻が長い。といふことはない。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(16)
② ある象の鼻は長くないか、または、ある象以外の(動物の)鼻が長い。といふことはない。
といふことは、
② 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
といふことに、他ならない。
従って、
(15)(16)により、
(17)
① 鼻は象が長い。
② 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(01)により、
(18)
最初に、確認した通り、
{象、兎、馬}に於いて、
(ⅰ)耳ではなく、顔でもなく、鼻であれば、『象の鼻長い。』
(ⅱ)鼻ではなく、顔でもなく、耳であれば、『兎の耳長い。』
(ⅲ)鼻ではなく、耳でもなく、顔であれば、『馬の顔長い。』
従って、
(08)(17)(18)により、
(19)
① 鼻は象長い。⇔
① 鼻は、象が長く、象以外は長くない。⇔
① ∀x∃y{(鼻xy&象y→長x)&(~象y&長x→~鼻xy)}⇔
① 鼻に関して言へば、象のそれ(鼻)は長く、象以外(兎や馬)で、ある部分が長いのであれば、鼻以外(耳や顔)が長い。⇔
① すべてのxとあるyについて{xがyの鼻であって、yが象であるならば、xは長く、yが象でなくて、xが長いならば、xはyの鼻ではない}。
といふ「等式」は、確かに、「正しい」。


(819)「ド・モルガンの法則」の「命題計算」。

2021-02-11 19:17:55 | 論理

(01)
(ⅰ)
1   (1)   P& Q   A
 2  (2)  ~P∨~Q   A
  3 (3)  ~P      A
1   (4)   P      1&E
1 3 (5)  ~P&P    34&I
  3 (6) ~(P& Q)  13RAA
   7(7)     ~Q   A
1   (8)      Q   1&E
1  7(9)   ~Q&Q   78&I
   7(ア) ~(P& Q)  19RAA
 2  (イ) ~(P& Q)  2367ア∨E
12  (ウ)  (P& Q)&
        ~(P& Q)  1イ&I
1   (エ)~(~P∨~Q)  2ウRAA
(ⅱ)
1   (1) ~(~P∨~Q)  A
  2 (2)   ~P      A
  2 (3)   ~P∨~Q   2∨I
1 2 (4) ~(~P∨~Q)&
         (~P∨~Q)  13&I
1   (5)  ~~P      24RAA
1   (6)    P      5DN
   7(7)      ~Q   A
   7(8)   ~P∨~Q   7∨I
1  7(9) ~(~P∨~Q)&
         (~P∨~Q)  18&I
1   (ア)     ~~Q   79RAA
1   (イ)       Q   アDN
1   (ウ)    P& Q   6イ&I
従って、
(01)により、
(02)
①    P& Q
② ~(~P∨~Q)
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
(03)
(ⅲ)
1     (1)  P&  Q& R   A
 2    (2) ~P∨ ~Q∨~R   A
 2    (3) ~P∨(~Q∨~R)  2結合法則
  4   (4) ~P          A
1     (5)  P          1&E
1 4   (6) ~P&P        45&I
  4   (7)~( P& Q& R)  16RAA
   8  (8)    (~Q∨~R)  A
    9 (9)     ~Q      A
1     (ア)      Q      1&E
1   9 (イ)     ~Q&Q    9ア&I
    9 (ウ)~( P& Q &R)  19RAA
     エ(エ)        ~R   A
1     (オ)         R   1&E
1    エ(カ)      ~R&R   エオ&I
     エ(キ)~( P& Q& R)  1カRAA
   8  (ク)~( P& Q& R)  89ウエキ∨E
 2    (ケ)~( P& Q& R)  2478ク∨E
12    (コ) ( P& Q& R)&
         ~( P& Q& R)  1コ&I
1     (サ)~(~P∨~Q∨~R)  2コRAA
(ⅳ)
1    (1) ~(~P∨~Q∨~R)  A
  2  (2)   ~P         A
  2  (3)   ~P∨~Q      2∨I
  2  (4)   ~P∨~Q∨~R   3∨I
1 2  (5) ~(~P∨~Q∨~R)&
          (~P∨~Q∨~R)  14&I
1    (6)  ~~P         25RAA
1    (7)    P         6DN
   8 (8)      ~Q      A
   8 (9)   ~P∨~Q      7∨I
   8 (ア)   ~P∨~Q∨~R   8∨I
1  8 (イ) ~(~P∨~Q∨~R)&
          (~P∨~Q∨~R)  1ア&I
1    (ウ)     ~~Q      8RAA
1    (エ)       Q      ウDN
    オ(オ)         ~R   A
    オ(カ)      ~Q∨~R   オ∨I
    オ(キ)   ~P∨~Q∨~R   カ∨I
1   オ(ク) ~(~P∨~Q∨~R)&
          (~P∨~Q∨~R)  1オ&I
1    (ケ)        ~~R   オケRAA
1    (コ)          R   ケDN
1    (サ)    P& Q      7エ&I
1    (シ)    P& Q& R   コサ&I
従って、
(03)により、
(04)
③    P& Q& R
④ ~(~P∨~Q∨~R)
に於いて、
③=④ である(ド・モルガンの法則)。
(05)
(ⅴ)
1       (1)   P&  Q&  R& S   A
 2      (2)  ~P∨ ~Q∨ ~R∨~S   A
 2      (3)  ~P∨ ~Q∨(~R∨~S)  2結合法則
 2      (4)  ~P∨[~Q∨(~R∨~S)] 3結合法則
  5     (5)  ~P              A
1       (6)   P              1&E
1 5     (7)  ~P&P            56&I
  5     (8) ~(P&  Q&  R& S)  17RAA
   9    (9)     [~Q∨(~R∨~S)] A
    ア   (ア)      ~Q          A
1       (イ)       Q          1&E
1   ア   (ウ)      ~Q&Q        アイ&I
    ア   (エ) ~(P&  Q&  R& S)  1ウRAA
     オ  (オ)         (~R∨~S)  A
      カ (カ)          ~R      A
1       (キ)           R      1&E
1     カ (ク)          ~R&R    カキ&I
      カ (ケ) ~(P&  Q&  R& S)  19RAA
       コ(コ)             ~S   A
1       (サ)              S   1&E
1      コ(シ)           ~S&S   コサ&I
       コ(ス) ~(P&  Q&  R& S)  1シRAA
     オ  (セ) ~(P&  Q&  R& S)  オカケコス∨E
   9    (ソ) ~(P&  Q&  R& S)  9アエオセ∨E
 2      (タ) ~(P&  Q&  R& S)  4589ソ∨E
12      (チ)  (P&  Q&  R& S)&
            ~(P&  Q&  R& S)  1タ&I
1       (ツ)~(~P∨ ~Q∨ ~R∨~S)  2チRAA
(ⅵ)
1     (1) ~(~P∨~Q∨~R∨~S)  A
  2   (2)   ~P            A
  2   (3)   ~P∨~Q         2∨I
  2   (4)   ~P∨~Q∨~R      3∨I
  2   (5)   ~P∨~Q∨~R∨~S   4∨I
1 2   (6) ~(~P∨~Q∨~R∨~S)&
           (~P∨~Q∨~R∨~S)  15&I
1     (7)  ~~P            26RAA
1     (8)    P            7DN
   9  (9)      ~Q         A
   9  (ア)   ~P∨~Q         9∨I
   9  (イ)   ~P∨~Q∨~R      ア∨I
   9  (ウ)   ~P∨~Q∨~R∨~S   イ∨I
1  9  (エ) ~(~P∨~Q∨~R∨~S)&
           (~P∨~Q∨~R∨~S)  1ウ&I
1     (オ)     ~~Q         9エRAA
1     (カ)       Q         オDN
    キ (キ)         ~R      A
    キ (ク)         ~R∨~S   キ∨I
    キ (ケ)      ~Q∨~R∨~S   ク∨I
    キ (コ)   ~P∨~Q∨~R∨~S   ケ∨I
1   キ (サ) ~(~P∨~Q∨~R∨~S)&
           (~P∨~Q∨~R∨~S)  1コ&I
1     (シ)        ~~R      キサRAA
1     (ス)          R      シDN
     エ(セ)            ~S   A
     エ(ソ)         ~R∨~S   セ∨I
     エ(タ)      ~Q∨~R∨~S   ソ∨I
     エ(チ)   ~P∨~Q∨~R∨~S   タ∨I
1    エ(ツ) ~(~P∨~Q∨~R∨~S)&
           (~P∨~Q∨~R∨~S)  1チ&I
1     (テ)           ~~S   エツRAA
1     (ト)             S   テDN
1     (ナ)    P& Q         8カ&I
1     (ニ)    P& Q &R      スナ&I
1     (ヌ)    P& Q &R& S   トニ&I
従って、
(05)により、
(06)
⑤    P& Q& R& S
⑥ ~(~P∨~Q∨~R∨~S)
に於いて、
⑤=⑥ である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(02)(04)(06)により、
(07)
①    P& Q
② ~(~P∨~Q)
③    P& Q& R
④ ~(~P∨~Q∨~R)
⑤    P& Q& R& S
⑥ ~(~P∨~Q∨~R∨~S)
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
③=④ である(ド・モルガンの法則)。
⑤=⑥ である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(01)(03)(05)により、
(08)
このやうな「計算(propositional calculus)」は、「数を数へる」やうに、「無限に続ける」ことが、出来る。
従って、
(01)~(08)により、
(09)
「数学的帰納法」により、「ド・モルガンの法則」は、
無限個の命題」に対して、成立する。
然るに、
(10)
(ⅰ)
1     (1)  ~P&  Q&~R   A
 2    (2)   P∨ ~Q∨ R   A
 2    (3)   P∨(~Q∨ R)  2結合法則
  4   (4)   P          A
1     (5)  ~P          1&E
1 4   (6)   P&~P       45&I
  4   (7)~(~P&  Q&~R)  16RAA
   8  (8)     (~Q∨ R)  A
    9 (9)      ~Q      A
1     (ア)       Q      1&E
1   9 (イ)      ~Q&Q    9ア&I
    9 (ウ)~(~P&  Q&~R)  1イRAA
     エ(エ)          R   A
1     (オ)         ~R   1&E
1    エ(カ)       R&~R   エオ&I
     エ(キ)~(~P&  Q&~R)  1カRAA
   8  (ク)~(~P&  Q&~R)  89ウエキ∨E
 2    (ケ)~(~P&  Q&~R)  2478ク∨E
12    (コ) (~P&  Q&~R)&
         ~(~P&  Q&~R)  1コ&I
1     (サ)~( P∨ ~Q∨ R)  2コRAA
(ⅱ)
1    (1) ~( P∨ ~Q∨ R)  A
  2  (2)    P          A
  2  (3)    P∨ ~Q      2∨I
  2  (4)    P∨ ~Q∨ R   3∨I
1 2  (5) ~( P∨ ~Q∨ R)&
          ( P∨ ~Q∨ R)  24&I
1    (6)   ~P          25RAA
   7 (7)       ~Q      A
   7 (8)    P∨ ~Q      7∨I
   7 (9)    P∨ ~Q∨ R   8∨I
1  7 (ア) ~( P∨ ~Q∨ R)&
          ( P∨ ~Q∨ R)  29&I
1    (イ)      ~~Q      7アRAA
1    (ウ)        Q      イDN
    エ(エ)           R   A
    エ(オ)       ~Q∨ R   エ∨I
    エ(カ)    P∨ ~Q∨ R   オ∨I
1   エ(キ) ~( P∨ ~Q∨ R)&
          ( P∨ ~Q∨ R)  2カ&I
1    (ク)          ~R   エキRAA
1    (ケ)   ~P&  Q      6ウ&I
1    (コ)   ~P&  Q&~R   クケ&I
従って、
(10)により、
(11)
①   ~P& Q&~R
② ~( P∨~Q∨ R)
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(11)により、
(12)
否定命題」と「肯定命題」が「混在」してゐる場合であっても、
「ド・モルガンの法則」は、成立する。
然るに、
(11)により、
(13)
①  ~(~P& Q&~R)
② ~~( P∨~Q∨ R)
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(13)により、
(14)
「二重否定律(DN)」により、
① ~(~P& Q&~R)
②  ( P∨~Q∨ R)
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(14)により、
(15)
②  ~( P∨~Q∨ R)
① ~~(~P& Q&~R)
に於いて、
②=① である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(15)により、
(16)
「二重否定律(DN)」により、
② ~( P∨~Q∨ R)
①  (~P& Q&~R)
に於いて、
②=① である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(14)(16)により、
(17)
「番号」を付け直すと、
③ ~( P∨~Q∨ R)
④  (~P& Q&~R)
に於いて、
③=④ である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(14)(17)により、
(18)
① ~(~P& Q&~R)
②  ( P∨~Q∨ R)
③ ~( P∨~Q∨ R)
④  (~P& Q&~R)
に於いて、
①=② は、「ド・モルガンの法則」であって、
③=④ も、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
(08)(17)により、
(18)
例へば、
① ~(~P& Q&~R& S)
②  ( P∨~Q∨ R∨~S)
③ ~( P∨~Q∨ R∨~S)
④  (~P& Q&~R& S)
に於いて、
①=② は、「ド・モルガンの法則」であって、
③=④ も、「ド・モルガンの法則」である。


(818)「ド・モルガンの法則」と「量化子の関係」について。

2021-02-10 14:16:25 | 論理

(01)
(ⅰ)
1     (1)  ~P&  Q&~R   A
 2    (2)   P∨ ~Q∨ R   A
 2    (3)   P∨(~Q∨ R)  2結合法則
  4   (4)   P          A
1     (5)  ~P          1&E
1 4   (6)   P&~P       45&I
  4   (7)~(~P&  Q&~R)  16RAA
   8  (8)     (~Q∨ R)  A
    9 (9)      ~Q      A
1     (ア)       Q      1&E
1   9 (イ)      ~Q&Q    9ア&I
    9 (ウ)~(~P&  Q&~R)  1イRAA
     エ(エ)          R   A
1     (オ)         ~R   1&E
1    エ(カ)       R&~R   エオ&I
     エ(キ)~(~P&  Q&~R)  1カRAA
   8  (ク)~(~P&  Q&~R)  89ウエキ∨E
 2    (ケ)~(~P&  Q&~R)  2478ク∨E
12    (コ) (~P&  Q&~R)&
         ~(~P&  Q&~R)  1コ&I
1     (サ)~( P∨ ~Q∨ R)  2コRAA
(ⅱ)
1    (1) ~( P∨ ~Q∨ R)  A
  2  (2)    P          A
  2  (3)    P∨ ~Q      2∨I
  2  (4)    P∨ ~Q∨ R   3∨I
1 2  (5) ~( P∨ ~Q∨ R)&
          ( P∨ ~Q∨ R)  24&I
1    (6)   ~P          25RAA
   7 (7)       ~Q      A
   7 (8)    P∨ ~Q      7∨I
   7 (9)    P∨ ~Q∨ R   8∨I
1  7 (ア) ~( P∨ ~Q∨ R)&
          ( P∨ ~Q∨ R)  29&I
1    (イ)      ~~Q      7アRAA
1    (ウ)        Q      イDN
    エ(エ)           R   A
    エ(オ)       ~Q∨ R   エ∨I
    エ(カ)    P∨ ~Q∨ R   オ∨I
1   エ(キ) ~( P∨ ~Q∨ R)&
          ( P∨ ~Q∨ R)  2カ&I
1    (ク)          ~R   エキRAA
1    (ケ)   ~P&  Q      6ウ&I
1    (コ)   ~P&  Q&~R   クケ&I
従って、
(01)により、
(02)
①     ~P& Q&~R
② ~( P∨~Q∨ R)
に於いて、
①=② である。
従って、
(02)により、
(03)
①     ~P& Q&~R
② ~( P∨~Q∨ R)
に於いて、
P=~Fa
Q= Fb
R=~Fc
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
①  ~~Fa& Fa&~~Fc
② ~(~Fa∨~Fa∨ ~Fc)
に於いて、
①=② である。
従って、
(03)により、
(04)
「二重否定律(DN)」により、
①      Fa& Fa& Fc
② ~(~Fa∨~Fa∨~Fc)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(05)
{a、b、c}を「変域(ドメイン)」とすると、
①  ∀x Fx≡ ( Fa& Fb& Fc)
② ~∃x~Fx≡~(~Fa∨~Fb∨~Fc)
に於いて、
①=② である(左辺:量化子の関係)。
①=② である(右辺:ド・モルガンの法則)。
従って、
(05)により、
(06)
③  ~∀x Fx≡ ~( Fa& Fb& Fc)
④ ~~∃x~Fx≡~~(~Fa∨~Fb∨~Fc)
に於いて、
③=④ である(量化子の関係)。
③=④ である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(06)により、
(07)
「二重否定律(DN)」により、
③ ~∀x Fx≡~(Fa& Fb& Fc)
④   ∃x~Fx≡(~Fa∨~Fb∨~Fc)
に於いて、
③=④ である(量化子の関係)。
③=④ である(ド・モルガンの法則)。
従って、
(05)(06)(07)により、
(08)
①  ∀x Fx≡ ( Fa& Fb& Fc)
② ~∃x~Fx≡~(~Fa∨~Fb∨~Fc)
③ ~∀x Fx≡ ~(Fa& Fb& Fc)
④   ∃x~Fx≡ (~Fa∨~Fb∨~Fc)
に於いて、
①=② である(量化子の関係・ド・モルガンの法則)。
③=④ である(量化子の関係・ド・モルガンの法則)。
従って、
(08)により、
(09)
「述語論理」に於ける「量化子の関係」といふのは、
「命題論理」に於ける「ド・モルガンの法則」に、他ならない。
然るに、
(10)
①  ∀x Fx≡すべてのxは、Fである。
② ~∃x~Fx≡Fでないxは、存在しない。
③ ~∀x Fx≡すべてのxは、Fである。といふわけではない。
④   ∃x~Fx≡Fでないxが、存在する(あるxは、Fでない)。
従って、
(10)により、
(11)
① すべてのxは、Fである。
② Fでないxは、存在しない。
③ すべてのxは、Fである。といふわけではない。
④ Fでないxが、存在する(あるxは、Fでない)。
に於いて、
①=② である(量化子の関係・ド・モルガンの法則)。
③=④ である(量化子の関係・ド・モルガンの法則)。


(817)『「象は鼻が長い。」といふわけではない。』の「述語論理」。

2021-02-09 17:29:13 | 象は鼻が長い、述語論理。

(01)
①  ∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)& ∀z(~鼻zx→~長z)}
②  ∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)&~∀z(~鼻zx→~長z)
③ ~∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)& ∀z(~鼻zx→~長z)}
に於いて、
② は、① の、「後半」の「否定」であって、
③ は、① の、「全体」の「否定」である。
然るに、
(02)
(ⅱ)
1  (1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~∀z(~鼻zx→~長z)} A
1  (2)   象a→∃y(鼻ya&長y)&~∀z(~鼻za→~長z)  1UE
 3 (3)   象a                           A
13 (4)      ∃y(鼻ya&長y)&~∀z(~鼻za→~長z)  23MPP
13 (5)      ∃y(鼻ya&長y)                4&E
13 (6)                 ~∀z(~鼻za→~長z)  4&E
13 (7)                 ∃z~(~鼻za→~長z)  6量化子の関係
  8(8)                   ~(~鼻ba→~長b)  A
  8(9)                   ~( 鼻ba∨~長b)  8含意の定義
  8(ア)                     ~鼻ba& 長b   9ド・モルガンの法則
  8(イ)                  ∃z(~鼻za& 長z)  アEI
13 (ウ)                  ∃z(~鼻za& 長z)  78EE
13 (エ)      ∃y(鼻ya&長y)& ∃z(~鼻za& 長z)  5ウ&I
1  (オ)   象a→∃y(鼻ya&長y)& ∃z(~鼻za& 長z)  3エCP
1  (カ)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)& ∃z(~鼻zx& 長z)  オUI
(ⅳ)
1  (1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)& ∃z(~鼻zx& 長z)  A
1  (2)   象a→∃y(鼻ya&長y)& ∃z(~鼻za& 長z)  1UE
 3 (3)   象a                           A
13 (4)      ∃y(鼻ya&長y)& ∃z(~鼻za& 長z)  23MPP
13 (5)      ∃y(鼻ya&長y)                4&E
13 (6)                  ∃z(~鼻za& 長z)  4&E
  7(7)                     ~鼻ba& 長b   A
  7(8)                   ~( 鼻ba∨~長b)  7ド・モルガンの法則
  7(9)                   ~(~鼻ba→~長b)  8含意の定義
  7(ア)                 ∃z~(~鼻ba→~長b)  7EI
13 (イ)                 ∃z~(~鼻ba→~長b)  67アEE
13 (ウ)                 ~∀z(~鼻za→~長z)  イ量化子の関係
13 (エ)      ∃y(鼻ya&長y)&~∀z(~鼻za→~長z)  5ウ&I
1  (オ)   象a→∃y(鼻ya&長y)&~∀z(~鼻za→~長z)  3エCP
1  (カ)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~∀z(~鼻zx→~長z)} オUI
(03)
(ⅲ)
1    (1)~∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)& ∀z(~鼻zx→~長z)} A
1    (2)∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)& ∀z(~鼻zx→~長z)} 1量化子の関係
 3   (3)  ~{象a→∃y(鼻ya&長y)& ∀z(~鼻za→~長z)} A
 3   (4) ~{~象a∨∃y(鼻ya&長y)& ∀z(~鼻za→~長z)} 3含意の定義
 3   (5)  象a&~{∃y(鼻ya&長y)& ∀z(~鼻za→~長z)} 4ド・モルガンの法則
 3   (6)  象a                             5&E
 3   (7)     ~{∃y(鼻ya&長y)& ∀z(~鼻za→~長z)} 5&E
 3   (8)      ~∃y(鼻ya&長y)∨~∀z(~鼻za→~長z)  7ド・モルガンの法則
  9  (9)      ~∃y(鼻ya&長y)                A
  9  (ア)      ∀y~(鼻ya&長y)                9量化子の関係
  9  (イ)        ~(鼻ba&長b)                アUE
  9  (ウ)        ~鼻ba∨~長b                 イ、ド・モルガンの法則
  9  (エ)         鼻ba→~長b                 ウ含意の定義
  9  (オ)      ∀y(鼻ya→~長y)                エUI
  9  (カ)      ∀y(鼻ya→~長y)∨ ∃z(~鼻zx& 長z)  オ∨I
   キ (キ)                  ~∀z(~鼻za→~長z)  A
   キ (ク)                  ∃z~(~鼻za→~長z)  キ量化子の関係
    ケ(ケ)                    ~(~鼻ba→~長b)  A
    ケ(コ)                    ~( 鼻ba∨~長b)  ケ含意の定義
    ケ(サ)                      ~鼻ba& 長b   コ、ド・モルガンの法則
    ケ(シ)                   ∃z(~鼻za& 長z)  サEI
   キ (ス)                   ∃z(~鼻za& 長z)  クケシEE
   キ (セ)      ∀y(鼻ya→~長y)∨ ∃z(~鼻za& 長z)  ス∨I
  3  (ソ)      ∀y(鼻ya→~長y)∨ ∃z(~鼻za& 長z)  89カキセ∨E
  3  (タ)   象a&∀y(鼻ya→~長y)∨ ∃z(~鼻za& 長z)  6ソ&I
  3  (チ)∃x{象x&∀y(鼻yx→~長y)∨ ∃z(~鼻zx& 長z)} タEI
1    (ツ)∃x{象x&∀y(鼻yx→~長y)∨ ∃z(~鼻zx& 長z)} 23チEE
(ⅴ)
1    (1)∃x{象x&∀y(鼻yx→~長y)∨ ∃z(~鼻zx& 長z)} A
 2   (2)   象a&∀y(鼻ya→~長y)∨ ∃z(~鼻za& 長z)  A
 2   (3)   象a                            2&E
 2   (4)      ∀y(鼻ya→~長y)∨ ∃z(~鼻za& 長z)  2&E
  5  (5)      ∀y(鼻ya→~長y)                A
  5  (6)         鼻ba→~長b                 5UE
  5  (7)        ~鼻ba∨~長b                 6含意の定義
  5  (8)        ~(鼻ba&長b)                7ド・モルガンの法則
  5  (9)      ∀y~(鼻ba&長b)                8UI
  5  (ア)      ~∃y(鼻ya&長y)                9量化子の関係
  5  (イ)      ~∃y(鼻ya&長y)∨~∀z(~鼻za→~長z)  ア∨I
   ウ (ウ)                   ∃z(~鼻za& 長z)  A
    エ(エ)                      ~鼻ba& 長b   A
    エ(オ)                    ~( 鼻ba∨~長b)  エ、ド・モルガンの法則
    エ(カ)                    ~(~鼻ba→~長b)  オ含意の定義
    エ(キ)                  ∃z~(~鼻ba→~長b)  カEI
   ウ (ク)                  ∃z~(~鼻ba→~長b)  ウエキEE
   ウ (ケ)                  ~∀z(~鼻za→~長z)  ク量化子の関係
   ウ (コ)      ~∃y(鼻ya&長y)∨~∀z(~鼻za→~長z)  ケ∨I
 2   (サ)      ~∃y(鼻ya&長y)∨~∀z(~鼻za→~長z)  25イウコ∨E
 2   (シ)     ~{∃y(鼻ya&長y)& ∀z(~鼻za→~長z)} サ、ド・モルガンの法則
 2   (ス)  象a&~{∃y(鼻ya&長y)& ∀z(~鼻za→~長z)} 3シ&I
 2   (セ) ~{~象a∨∃y(鼻ya&長y)& ∀z(~鼻za→~長z)} ス、ド・モルガンの法則
 2   (ソ)  ~{象a→∃y(鼻ya&長y)& ∀z(~鼻za→~長z)} セ含意の定義
 2   (タ)∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)& ∀z(~鼻zx→~長z)} ソEI
1    (チ)∃x~{象x→∃y(鼻yx&長y)& ∀z(~鼻zx→~長z)} 12タEE
1    (ツ)~∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)& ∀z(~鼻zx→~長z)} チ含意の定義
従って、
(02)(03)により、
(04)
②  ∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)&~∀z(~鼻zx→~長z)}
③ ~∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)& ∀z(~鼻zx→~長z)}
④  ∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)& ∃z(~鼻zx& 長z)}
⑤  ∃x{象x&∀y(鼻yx→~長y)∨ ∃z(~鼻zx& 長z)}
に於いて、
②=④ であって、
④=⑤ である。
(01)(04)により、
(05)
①  ∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)& ∀z(~鼻zx→~長z)}
②  ∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)&~∀z(~鼻zx→~長z)}
③ ~∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)& ∀z(~鼻zx→~長z)}
④  ∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)& ∃z(~鼻zx& 長z)}
⑤  ∃x{象x&∀y(鼻yx→~長y)∨ ∃z(~鼻zx& 長z)}
に於いて、
②と④ は、① の、「後半」の「否定」であって、
③と⑤ は、① の、「全体」の「否定」である。
従って、
(05)により、
(06)
① すべてのxについて{xが象であるならば(あるyはxの鼻であって、長く)、すべてのzについて(zがxの鼻でないならば、zは長くない)}。
② すべてのxについて{xが象であるならば(あるyはxの鼻であって、長く)、すべてのzについて(zがxの鼻でないならば、zは長くない)といふわけではない}。
③ すべてのxについて{xが象であるならば(あるyはxの鼻であって、長く)、すべてのzについて(zがxの鼻でないならば、zは長くない)}といふわけではない。
④ すべてのxについて{xが象であるならば(あるyはxの鼻であって、長く)、  あるzについて(zはxの鼻ではないが、zは長い)。}
⑤   あるxについて{xは象であって、すべてのyについて(yがxの鼻であるならば、yは長くない)か、あるzについて(zはxの鼻ではないが、zは長い)。}
に於いて、
②と④ は、① の、「後半」の「否定」であって、
③と⑤ は、① の、「全体」の「否定」である。
従って、
(06)により、
(07)
① 象は鼻長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx& 長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
① すべてのxについて{xが象であるならば(あるyはxの鼻であって、長く)、すべてのzについて(zがxの鼻でないならば、zは長くない)}。
であるとして、
④ 象は鼻は長く、鼻以外も長い。
⑤ ある象は、鼻は長くないか、または、鼻以外も長い。
に於いて、
④ は、① の、「後半」の「否定」であって、
⑤ は、① の、「全体」の「否定」である。