日本語の「は」と「が」について。

象は鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
とりあえず「三上文法」を「批判」します。

(378)「漢文の暗唱」と「返り点」と「括弧」。

2019-10-31 17:44:07 | 返り点、括弧。

(01)
(a)
① 楚人有鬻盾與矛者。
② 譽之曰、吾盾之堅、莫能陷也。
③ 又譽其矛曰、吾矛之利、於物無不陷也。
④ 或曰、以子之矛、陷子之盾、何如。
⑤ 其人弗能應也。
に対して、「括弧」を加へると、
(a)
① 楚人有{鬻[盾〔與(矛)〕]者}。
② 譽(之)曰、吾盾之堅、莫(能陷)也。
③ 又譽(其矛)曰、吾矛之利、於(物)無〔不(陷)〕也。
④ 或曰、以(子之矛)、陷(子之盾)何如。
⑤ 其人弗〔能(應)〕也。
(02)
(a)
① 楚人有{鬻[盾〔與(矛)〕]者}。
② 譽(之)曰、吾盾之堅、莫(能陷)也。
③ 又譽(其矛)曰、吾矛之利、於(物)無〔不(陷)〕也。
④ 或曰、以(子之矛)、陷(子之盾)何如。
⑤ 其人弗〔能(應)〕也。
に於いて、
 □( )⇒( )□
 □〔 〕⇒〔 〕□
 □[ ]⇒[ ]□
 □{ }⇒{ }□
といふ「移動」を行ふと、
(b)
① 楚人{[盾〔(矛)與〕鬻]者}有。
② (之)譽曰、吾盾之堅、(能陷)莫也。
③ 又(其矛)譽曰、吾矛之利、(物)於〔(陷)不〕無也。
④ 或曰、(子之矛)以、(子之盾)陷何如。
(03)
(b)
① 楚人{[盾〔(矛)與〕鬻]者}有。
② (之)譽曰、吾盾之堅、(能陷)莫也。
③ 又(其矛)譽曰、吾矛之利、(物)於〔(陷)不〕無也。
④ 或曰、(子之矛)以、(子之盾)陷何如。
に対して、「平仮名」を加へると、
(b)
① 楚人に{[盾と〔(矛)與を〕鬻く]者}有り。
② (之を)譽めて曰く、吾盾の堅きこと、(能く陷す)莫き也。
③ 又た(其の矛を)譽めて曰く、吾矛之利なること、(物に)於いて〔(陷さ)不る〕無き也。
④ 或ひと曰く、(子之矛を)以て(子の盾を)陷さば何如。
⑤ 其の人〔(應ふる)能は〕弗る也。
然るに、
(04)
漢語における語順は、国語と大きく違っているところがある。すなわち、その補足構造における語順は、国語とは全く反対である。しかし、訓読は、国語の語順に置きかえて読むことが、その大きな原則となっている。それでその補足構造によっている文も、返り点によって、国語としての語順が示されている(鈴木直治、中国語と漢文、1975年、296頁)。
従って、
(01)~(04)により、
(05)
① 楚人有{鬻[盾〔與(矛)〕]者}。
② 譽(之)曰、吾盾之堅、莫(能陷)也。
③ 又譽(其矛)曰、吾矛之利、於(物)無〔不(陷)〕也。
④ 或曰、以(子之矛)、陷(子之盾)何如。
⑤ 其人弗〔能(應)〕也。
に於ける、
①{ [ 〔 ( ) 〕 ] }
②( )( )
③( )( )〔 ( ) 〕
④( )( )
⑤〔 ( ) 〕
といふ「括弧」は、
(a)
① 楚人有鬻盾與矛者。
② 譽之曰、吾盾之堅、莫能陷也。
③ 又譽其矛曰、吾矛之利、於物無不陷也。
④ 或曰、以子之矛、陷子之盾、何如。
⑤ 其人弗能應也。
といふ「漢文の補足構造」と、
(b)
① 楚人に盾與矛とを鬻ぐ者有り。
② 之を譽めて曰はく、吾が盾之堅きこと、能く陷す莫き也。と。
③ 又た其の矛を譽めて曰はく、吾が矛之利なること、物に於いて陷さ不る無き也。と。
④ 或ひと曰はく、子之矛を以て、子之盾を陷さば何如。と。
⑤ 其の人應ふる能は弗る也。
といふ「訓読の語順」の、両方を、表してゐる。
従って、
(06)
① 楚人有盾與一レ矛者
② 譽之曰、吾盾之堅、莫能陷也。
③ 又譽其矛曰、吾矛之利、於物無陷也。
④ 或曰、以子之矛、陷子之盾、何如。
⑤ 其人弗也。
に於ける、
① 下 二 一レ 上
② レ 二 一
③ 二 一 レ レ レ
④ 二 一 二 一
⑤ レ レ
といふ「返り点」も、「漢文の補足構造」と、「訓読の語順」を表してゐる。
従って、
(04)(05)(06)により、
(07)
『その補足構造における語順は、国語とは全く反対である。』といふ「漢文の語順」を「熟知」すれば、例へば、
① 塞上に近き之人に、術を善する者有り。
② 馬、故無くして亡げ而胡に入る。
③ 人皆之を弔す。
④ 其の父曰はく、此れ何遽ぞ福と爲ら不らん乎。
⑤ 居ること数月、其の馬、胡の駿馬を將ゐ而歸る。
⑥ 人皆之を賀す。
⑦ 其の父曰はく、此れ何遽ぞ禍と爲る能は不らん乎。
⑧ 家良馬に富む。
⑨ 其の子、騎を好み、堕ち而其の髀を折る。
⑩ 人皆之を弔す。
⑪ 其の父曰はく、此れ何遽ぞ福と爲ら不らん乎。
⑫ 居ること一年、胡人大いに塞いに入る。
⑬ 丁壮なる者、弦を引き而戦ひ、塞に近き之人、死する者十に九なり。
⑭ 此れ独り跛之故を以て、父子相保てり。
⑮ 故に、福之禍と爲り、禍之福と爲るは、化極む可から不、深測る可から不る也。
といふ「訓読」の中の「漢字」を、「頭の中」で、
① 近塞上之人、有善術者。
② 馬無故亡而入胡。
③ 人皆弔之。
④ 其父曰、此何遽不爲福乎。
⑤ 居數月、其馬將胡駿馬而歸。
⑥ 人皆賀之。
⑦ 其父曰、此何遽不能爲禍乎。
⑧ 家富良馬。
⑨ 其子好騎、墮而折其髀。
⑩ 人皆弔之。
⑪ 其父曰、此何遽不爲福乎。
⑫ 居一年、胡人大入塞。
⑬ 丁壯者引弦而戰、近塞之人、死者十九。
⑭ 此獨以跛之故、父子相保。
⑮ 故、福之爲禍、禍之爲福、化不可極、深不可測也。
といふ「漢文の語順」に「置き換へ」て、「それらの漢字」を、
① キンサイジョウシジン、イウゼンジュツシャ。
② バムコボウジ二ュウコ。
③ ジンカイチョウシ。
④ キホヱツ、シカキョフツヰフクコ。
⑤ キョスウゲツ、キバショウコシュンメジキ。
⑥ ジンカイガシ。
⑦ キホヱツ、シカキョフツノウヰフクコ。
⑧ カフリョウバ。
⑨ キシコウキ、ダジセツキヒ。
⑩ ジンカイチョウシ。
⑪ キホヱツ、シカキョフツヰフクコ。
⑫ キョイチネン、コジンタイ二ュウサイ。
⑬ テイソウシャインゲンジセン、キンサイジョウシジン、シシャジュウキュウ。
⑭ シドクイハシコ、フシソウホ。
⑮ コ、フクシヰカ、カシヰフク、カフツカキョク、シンフツカソクヤ。
といふ風に、「日本漢字音」で、「音読(復文)」することが、出来る。
従って、
(07)により、
(08)
「教科書」等にある「塞翁が馬(淮南子)」の「訓読」を「暗記」することは、「塞翁が馬(淮南子)」の「原文(漢文)」を「暗記」することと、「ほとんど同じ」であって、因みに、私自身は、「教科書」等にある「塞翁が馬(淮南子)」の「原文(漢文)」他を「暗記」してゐる。
然るに、
(09)
例へば、
A: Hodie ad scholam ire nolo.
B: Cur non vis?
A: Magister noster interrogabit me, tenuerimne memoria versus Vergili. Nullum versum memoria teneo.
B: Nisi versus recitare poteris, magister iratus te ferula verberabit.
A: Itaque ad eum ire cunctor. Quid mihi prodest versus memoria tenere?
(岩崎務、CDエクスプレス ラテン語、2004年、111頁)
には、「漢字」が無いし、「ラテン語の語順と、日本語の語順」の間には、「漢文の語順と、日本語の語順」のやうな「関係」が無い
従って、
(07)(08)(09)により、
(10)
漢文の原文」を「暗唱」することと、「ラテン語の原文」を「暗唱」することは、「同様」ではない
然るに、
(11)
数年前、ある言語学教育関連の新聞の連載のコラムに、西洋文化研究者の発言が載せられていた。誰もが知る、孟浩然の『春眠』「春眠暁を覚えず・・・・・・」の引用から始まるそのコラムでは、なぜ高校の教科書にいまだに漢文訓読があるのかと疑問を呈し、「返り点」をたよりに「上がったり下がったりしながら、シラミつぶしに漢字にたどる」読み方はすでに時代遅れの代物であって、早くこうした状況から脱するべきだと主張する。「どこの国に外国語を母国語の語順で読む国があろう」かと嘆く筆者は、かつては漢文訓読が中国の歴史や文学を学ぶ唯一の手段であり「必要から編み出された苦肉の知恵であった」かもしれないが、いまや中国語を日本にいても学べる時代であり「漢文訓読を卒業するとき」だと主張するのである(「訓読」論 東アジア漢文世界と日本語、中村春作・市來津由彦・田尻祐一郎・前田勉 共編、2008年、1頁)。
従って、
(10)(11)により、
(12)
「どこの国に外国語を母国語の語順で読む国があろう。」といふ「言ひ方」は、「ラテン語」等に関しては当たってゐても、「漢文」に関しては、当たらない


(377)「選言導入の規則(∨I)」と「ド・モルガンの法則」。

2019-10-31 09:13:56 | 論理

(01)
① ~(P∨Q)≡(Pであるか、Qである。)といふことはない。
②  (P∨Q)≡(Pであるか、Qである。)
に於いて、
①&② は、「矛盾」そのものである。
然るに、
(02)
実際には、
① ~(P∨Q)≡Pであるか、Qである。といふことはない。
②   P   ≡Pである。
③     Q  ≡Qである。
に於いても、
①&② は、「矛盾」するし、
①&③ も、「矛盾」する。
従って、
(02)により、
(03)
① ~(P∨Q)≡Pであるか、Qである。といふことはない。
②   P   ≡Pである。
③     Q  ≡Qである。
に於いて、
① ならば、② ~P≡Pでない
① ならば、③ ~Q≡Qでない
然るに、
(04)
選言導入(∨I)」により、
②(P≡Pである。)→(P∨Q≡Pであるか、Qである。)
③(Q≡Qである。)→(P∨Q≡Pであるか、Qである。)
然るに、
(05)
(ⅰ)
1  (1)~(P∨ Q)  A
 2 (2)  P      A
 2 (3)  P∨ Q   2選言導入(∨I)
12 (4)~(P∨ Q)&
       (P∨ Q)  13&I
1  (5) ~P      24RAA
  6(6)     Q   A
  6(7)  P∨ Q   6選言導入(∨I)
1 6(8)~(P∨ Q)&
       (P∨ Q)  17&I
1  (9)    ~Q   68RAA
1  (ア) ~P&~Q   59&I
従って、
(04)(05)により、
(06)
① ~(P∨Q)├ ~P&~Q
といふ「連式(sequent)」、すなはち、
① Pであるか、Qである。といふことはない。故に、Pではないし、Qでもない。
といふ「ド・モルガンの法則」は、「妥当」である。
従って、
(05)(06)により、
(07)
 2 (3)  P∨ Q   2選言導入(∨I)
  6(7)  P∨ Q   6選言導入(∨I)
がさうであるやうに、
②(P≡Pである。)→(P∨Q≡Pであるか、Qである。)
③(Q≡Qである。)→(P∨Q≡Pであるか、Qである。)
である所の、「選言導入(∨I)」を用ひなければ、例へば、
① ~(P∨Q)├ ~P&~Q
① Pであるか、Qである。といふことはない。故に、Pではないし、Qでもない。
である所の、「ド・モルガンの法則」を、「証明」することは、出来ない。
従って、
(07)
例へば、
②(P≡偶数の和は奇数である。)→
②(P∨Q≡偶数の和は奇数であるか、太陽は西から昇って東に沈む。)
といふ「選言導入の規則」を認めなければ、「ド・モルガンの法則」を「証明」することは、出来ない


(376)「仮言命題」と「矛盾」。

2019-10-30 15:36:00 | 論理

(01)
1(1)~P   A
1(2)~P∨Q 1∨I 
1(3) P→Q 2含意の定義
従って、
(01)により、
(02)
① ~P├ P→Q
といふ「推論」、すなはち、
① Pでない。故に、PならばQである。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
(03)
1 (1)~P   A
1 (2)~P∨Q 1∨I
1 (3) P→Q 2含意の定義
 4(4) P   A
14(5)~P&P 14&I
に於いて、
  (5)~P&P≡PでなくてPである
は、「矛盾」である。
従って、
(03)により、
(04)
1 (1)~P   A
1 (2)~P∨Q 1∨I
1 (3) P→Q 2含意の定義
 4(4) P   A
14(5)   Q 34MPP
といふ「計算」は、「正しくない」。
従って、
(04)により、
(05)
② ~P,P├ Q
といふ「推論」、すなはち、
② Pではないが、Pである。故に、Qである。
といふ「推論」は、「妥当」ではない
従って、
(02)(05)により、
(06)
P=偶数の和は奇数である。
Q=太陽は西から昇って東に沈む。
であるとして、
① 偶数の和は奇数ではない。故に、偶数の和が奇数であるならば、太陽は西から昇って東に沈む。
といふ「推論」は、「妥当」であるが、
② 偶数の和は奇数ではないが、偶数の和は奇数である。故に、太陽は西から昇って東に沈む。
といふ「推論」は、「妥当」ではない
従って、
(03)~(06)により、
(07)
換言すると、
1 (1)~P   A
1 (2)~P∨Q 1∨I
1 (3) P→Q 2含意の定義
 4(4) P   A
14(5)~P&P 14&I
に於いて、
  (5)~P&P≡PでなくてPである。
は、「矛盾」であるとしても、
1 (1)~P   A
1 (2)~P∨Q 1∨I
1 (3) P→Q 2含意の定義
 4(4) P   A
14(5)   Q 34MPP
といふ「計算」は、「正しい」とするのであれば、
② 偶数の和は奇数ではないが、偶数の和は奇数である。故に、太陽は西から昇って東に沈む。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
(07)により、
(08)
矛盾」を「是認」するのであれば、
② 太陽は西から昇って東に沈む。
といふ「命題」は、「偽(ウソ)」ではなく、「本当)」である。


(375)「仮言命題」の「前件と後件」。

2019-10-29 11:49:46 | 論理

(01)
① そのやうなことが起こるならば、太陽が西から昇って東に沈む
といふ「言ひ方」は、
③ そのやうなことが起こるならば、太陽が西から昇って東に沈む。然るに、太陽が西から昇って東に沈む。といふことは有り得ない。故に、そのやうなことは、絶対に起こらない
といふ「意味」である。
然るに、
(02)
1(1)~P       A
1(2)~P∨Q     1∨I
1(3) P→Q     2含意の定義
 (4)~P→(P→Q) 13CP
cf.
~P→(P→Q)≡~~P∨(~P∨Q)≡P∨(~P∨Q)≡(P∨~P)∨Q≡(真)∨Q
は、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(02)により、
(03)
 P=そのやうなことが起こる。
~P=そのやうなことは起こらない。
 Q=太陽が西から昇って東に沈む。
であるとして、
② ~P→(P→Q)≡
② そのやうなことが起こらないならば(そのやうなことが起こるならば、太陽が西から昇って東に沈む)。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
① そのやうなことが起こるならば、太陽が西から昇って東に沈む。
といふ「言ひ方」が、
② そのやうなことは起こらないので(そのやうなことが起こるならば、太陽が西から昇って東に沈む)。
といふ「意味」であるならば、
③ そのやうなことが起こるならば、太陽が西から昇って東に沈む。然るに、太陽が西から昇って東に沈む。といふことは有り得ない。故に、そのやうなことは、絶対に起こらない。
といふ「意味」であって、
③ そのやうなことが起こるならば、太陽が西から昇って東に沈む。然るに、太陽が西から昇って東に沈む。といふことは有り得ない。故に、そのやうなことは、絶対に起こらない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
(02)により、
(05)
1(1)~P   A
1(2)~P∨Q 1∨I
1(3) P→Q 2含意の定義
に於ける、
1(2)~P∨Q 1∨I
に於いて、  Q は、「何でも良い(Anything is ok)」。
従って、
(05)により、
(06)
1(1)~P   A
1(2)~P∨Q 1∨I
1(3) P→Q 2含意の定義
に於ける、
1(3) P→Q≡PならばQである。
に於ける、「PとQの関係」は、「無関係」であっても、かまはない
従って、
(06)により、
(07)
P  =偶数の和は奇数である。
Q  =太陽が西から昇って東に沈む。
P→Q≡偶数の和が奇数であるならば、太陽が西から昇って東に沈む。
であっても、かまはない。
従って、
(08)
「逆に言ふ」と、
1(3) P→Q≡PならばQである。
に於ける、「PとQの関係」は、「無関係」であってはならない
とするならば、
③ そのやうなことが起こるならば、太陽が西から昇って東に沈む。然るに、太陽が西から昇って東に沈む。といふことは有り得ない。故に、そのやうなことは、絶対に起こらない。
といふ「言ひ方」は、「妥当」ではない


(374)「ド・モルガンの法則」と「仮言命題」と「対偶」の「関係」。

2019-10-27 15:25:49 | 論理

(01)
(ⅰ)
1  (1)~(P∨Q)  A
 2 (2)  P     A
 2 (3)  P∨Q   2∨I
12 (4)~(P∨Q)&
       (P∨Q)  13&I
1  (5) ~P     24RAA
  6(6)    Q   A
  6(7)  P∨Q   6∨I
1 6(8)~(P∨Q)&
       (P∨Q)  16&I
1  (9)   ~Q   68RAA
1  (ア)~P&~Q   59&I
(ⅱ)
1   (1)  ~P&~Q   A
 2  (2)   P∨ Q   A
1   (3)  ~P      1&E
  4 (4)   P      A
1 4 (5)  ~P& P   34&I
  4 (6)~(~P&~Q)  15RAA
   7(7)      Q   A
1   (8)     ~Q   1&E
1  7(9)   Q&~Q   78&I
   7(ア)~(~P&~Q)  19RAA
 2  (イ)~(~P&~Q)  2467ア∨E
12  (ウ) (~P&~Q)&
       ~(~P&~Q)  1イ&I
1   (エ) ~(P∨ Q)  2ウRAA
従って、
(01)により、
(02)
① ~(P∨ Q)≡Pが「真(本当)」であるか、Qが「真(本当)」である。といふことはない。
②  ~P&~Q ≡Pは「偽(ウソ)」であり、 Qも「偽(ウソ)」である。
に於いて、
①=② であるものの、この「等式」を、「ド・モルガンの法則(Ⅰ)」とする。
然るに、
(03) 
(ⅲ)
1   (1) ~( P& Q)  A
 2  (2) ~(~P∨~Q)  A
  3 (3)   ~P      A
  3 (4)   ~P∨~Q   3∨I
 23 (5) ~(~P∨~Q)&
         (~P∨~Q)  24&I
 2  (6)  ~~P      35RAA
 2  (7)    P      6DN
   8(8)      ~Q   A
   8(9)   ~P∨~Q   8∨I
 2 8(ア) ~(~P∨~Q)&
         (~P∨~Q)  29&I
 2  (イ)     ~~Q   8アRAA
 2  (ウ)       Q   イDN
 2  (エ)    P& Q   7U&I
12  (オ) ~( P& Q)&
         ( P& Q)  1エ&I
1   (カ)~~(~P∨~Q)  2オRAA
1   (キ)   ~P∨~Q   カDN
(ⅳ)
1   (1) ~P∨~Q  A
 2  (2)  P& Q  A
  3 (3) ~P     A
 2  (4)  P     2&E
 23 (5) ~P&P   34&I
  3 (6)~(P& Q) 25RAA
   7(7)    ~Q  A
 2  (8)     Q  2&E
 2 7(9)  ~Q&Q  78&I
   7(ア)~(P& Q) 29RAA
1   (イ)~(P& Q) 1367ア∨E
従って、
(03)により、
(04)
③ ~( P& Q)≡PとQの、両方とも「真(本当)」である。といふことはない。
④     ~P∨~Q  ≡PとQの、少なくとも一方は「偽(ウソ)」である。
に於いて、
③=④ であるものの、この「等式」を、「ド・モルガンの法則(Ⅱ)」とする。
然るに、
(05)
(ⅳ)
1     (1) ~P∨~Q   A
 2    (2)  P& Q   A
  3   (3) ~P      A
 2    (4)  P      2&E
 23   (5) ~P&P    34&I
  3   (6)~(P& Q)  25RAA
   7  (8)     Q   2&E
 2 7  (9)  ~Q&Q   78&I
   7  (ア)~(P& Q)  29RAA
1     (イ)~(P& Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  P      A
     エ(エ)     Q   A
    ウエ(オ)  P& Q   ウエ&I
1   ウエ(カ)~(P& Q)&
          (P& Q)  イオ&I
1   ウ (キ)    ~Q   エカRAA
1     (ク)  P→~Q   ウキCP
(ⅴ)
1 (1) P→~Q A
 2(2) P& Q A
 2(3) P    2&E
12(4)   ~Q 13MPP
 2(5)    Q 2&E
12(6) ~Q&Q 45&I 
1 (7)~P    26RAA
1 (8)~P∨~Q 7∨I
従って、
(05)により、
(06)
④     ~P∨~Q  ≡PとQの、少なくとも一方は「偽(ウソ)」である。
⑤       P→~Q ≡Pが「真(本当)」であるならば、Qは「偽(ウソ)」である。
に於いて、
④=⑤ である。
従って、
(04)(05)(06)により、
(07)
③ ~( P& Q)≡PとQの、両方とも「真(本当)」である。といふことはない。
④     ~P∨~Q  ≡PとQの、少なくとも一方は「偽(ウソ)」である。
⑤       P→~Q ≡Pが「真(本当)」であるならば、Qは「偽(ウソ)」である。
に於いて、
③=④=⑤ である。
従って、
(07)により、
(08)
⑥ ~( Q& P)≡QとPの、両方とも「真(本当)」である。といふことはない。
⑦     ~Q∨~P  ≡QとPの、少なくとも一方は「偽(ウソ)」である。
⑧       Q→~P ≡Qが「真(本当)」であるならば、Pは「偽(ウソ)」である。
に於いて、
⑥=⑦=⑧ である。
従って、
(07)(08)により、
(09)
③ ~( P& Q)≡PとQの、両方とも「真(本当)」である。といふことはない。
⑥ ~( Q& P)≡QとPの、両方とも「真(本当)」である。といふことはない。
④     ~P∨~Q  ≡PとQの、少なくとも一方は「偽(ウソ)」である。
⑦     ~Q∨~P  ≡QとPの、少なくとも一方は「偽(ウソ)」である。
⑤       P→~Q ≡Pが「真(本当)」であるならば、Qは「偽(ウソ)」である。
⑧       Q→~P ≡Qが「真(本当)」であるならば、Pは「偽(ウソ)」である。
に於いて、
③=⑥=④=⑦=⑤=⑧ である。
然るに、
(10)
「二重否定」により、
~~Q=Q である。
従って、
(09)(10)により、
(11)
⑤ P→~Q≡Pが「真(本当)」であるならば、Qは「偽(ウソ)」である。
⑧ Q→~P≡Qが「真(本当)」であるならば、Pは「偽(ウソ)」である。
に於いて、
Q=~Q
といふ「代入」を行ふと、
⑤  P→ Q≡ Pが「真(本当)」であるならば、~Qは「偽(ウソ)」である。
⑧ ~Q→~P≡~Qが「真(本当)」であるならば、 Pは「偽(ウソ)」である。
に於いて、
⑤=⑧ である。
然るに、
(12)
 P≡Pである。
~Q≡Qでない。
従って、
(11)(12)により。
(13)
⑤  P→ Q≡「Pである」が「真(本当)」であるならば、「Qでない」は「偽(ウソ)」である。
⑧ ~Q→~P≡「Qでない」が「真(本当)」であるならば、「Pである」は「偽(ウソ)」である。
に於いて、
⑤=⑧ である。
然るに、
(14)
⑤「Pである」は「真(本当)」≡「Pである」
⑧「Qでない」は「真(本当)」≡「Qでない」
(15)
⑤「Qでない」は「偽(ウソ)」≡「Qである」
⑧「Pである」は「偽(ウソ)」≡「Pでない」
従って、
(13)(14)(15)により、
(16)
⑤  P→ Q≡「Pである」ならば「Qである」。
⑧ ~Q→~P≡「Qでない」ならば「Pでない」。
に於いて、
⑤=⑧ である。
然るに、
(17)
⑤  P→ Q≡「Pである」ならば「Qである」。
⑧ ~Q→~P≡「Qでない」ならば「Pでない」。
に於いて、
⑤=⑧ である。
といふことは、「対偶(Contraposition)」に、他ならない。
従って、
(03)~(17)により、
(18)
③ ~( P& Q)≡PとQの、両方とも「真(本当)」である。といふことはない。
④     ~P∨~Q  ≡PとQの、少なくとも一方は「偽(ウソ)」である。
に於いて、
③=④ である。
といふ「ド・モルガンの法則(Ⅱ)」が、成り立つが故に、
⑤  P→ Q≡「Pである」ならば「Qである」。
⑧ ~Q→~P≡「Qでない」ならば「Pでない」。
に於いて、
⑤=⑧ である。
といふ「対偶」が成り立つ。


(373)「仮言命題」と「ド・モルガンの法則」。

2019-10-25 12:08:02 | 論理

(01)
(ⅰ)
1 (1)P→ Q A
 2(2)P&~Q A
 2(3)P    2&E
 2(4)  ~Q 2&E
12(5)   Q 13MPP
12(6)~Q&Q 45&I
1 (7) ~~Q 46RAA
1 (8)   Q 7DN
1 (9)~P∨Q 8∨I
(ⅱ)
1     (1) ~P∨ Q   A
 2    (2)  P&~Q   A
  3   (3) ~P      A
 2    (4)  P      2&E
 23   (5) ~P& P   34&I
  3   (6)~(P&~Q)  25RAA
   7  (7)     Q   A
 2    (8)    ~Q   A
 2 7  (9)  Q&~Q   78&I
   7  (ア)~(P&~Q)  29RAA
1     (イ)~(P&~Q)  1367ア∨E(ここ迄は、「ド・モルガンの法則」の証明と同じである。)
    ウ (ウ)  P      A
     エ(エ)    ~Q   A
    ウエ(オ)  P&~Q   エオ&I
1   ウエ(カ)~(P&~Q)&
          (P&~Q)  イオ&I
1   ウ (キ)   ~~Q   7カRAA
1   ウ (ク)     Q   キDN
1     (ケ)  P→ Q   ウクCP
従って、
(01)により、
(02)
①   P→Q≡Pならば、Qである。
② ~P∨Q≡PでないかQである。
に於いて、
①=② であるが、この「等式」を、「含意の定義」といふ。
然るに、
(03)
(ⅱ)
1   (1)  ~P∨ Q  A
 2  (2)   P&~Q  A
  3 (3)  ~P     A
 2  (4)   P     2&E
 23 (5)  ~P& P  34&I
  3 (6) ~(P&~Q) 25RAA
   7(7)      Q  A
 2  (8)     ~Q  A
 2 7(9)   Q&~Q  78&I
   7(ア) ~(P&~Q) 29RAA
1   (イ) ~(P&~Q) 1367ア∨E
(ⅲ)
1   (1) ~( P&~Q)  A
 2  (2) ~(~P∨ Q)  A
  3 (3)   ~P      A
  3 (4)   ~P∨ Q   3∨I
 23 (5) ~(~P∨ Q)&
         (~P∨ Q)  24&I
 2  (6)  ~~P      35RAA
 2  (7)    P      6DN
  8 (8)       Q   A
  8 (9)   ~P∨ Q   8∨I
 2 8(ア) ~(~P∨ Q)&
         (~P∨ Q)  29&I
 2  (イ)      ~Q   8RAA
 2  (ウ)    P&~Q   7イ&I
12  (エ) ~( P&~Q)&
         ( P&~Q)  1ウ&I
1   (オ)~~(~P∨ Q)  2エRAA
1   (カ)   ~P∨ Q   オDN
従って、
(03)により、
(04)
②  ~P∨ Q ≡PでないかQである。
③ ~(P&~Q)≡PであってQでない。といふことはない。
に於いて、
②=③ であるが、この「等式」は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
(02)(04)により、
(05)
①    P→ Q ≡Pならば、Qである。
②  ~P∨ Q ≡PでないかQである。
③ ~(P&~Q)≡PであってQでない。といふことはない。
に於いて、
①=②=③ であるものの、
①=② は、「含意の定義」であって、
②=③ は、「ド・モルガンの法則」である。


(372)「PならばQである」の「否定(P&~Q)」について。

2019-10-23 18:32:32 | 論理

(01)
(ⅰ)
1 (1)  P→ Q  A
 2(2)  P&~Q  A
 2(3)  P     2&E
12(4)     Q  13
 2(5)    ~Q  2&E
12(6)  Q&~Q  45&I
1 (7)~(P&~Q) 26RAA
(ⅱ)
1  (1)~(P&~Q)  A
 2 (2)  P      A
  3(3)    ~Q   A
 23(4)  P&~Q   23&I
123(5)~(P&~Q)&
       (P&~Q)  14&I
12 (6)   ~~Q   35RAA
12 (7)     Q   6DN
1  (8)  P→ Q   27CP
従って、
(01)により、
(02)
①    P→ Q ≡PならばQである。
②  ~(P&~Q)≡Pであって、Qでない。といふことはない。
に於いて、
①=② である。
従って、
(02)により、
(03)
①  ~(P→ Q)≡PならばQである。といふことはない。
② ~~(P&~Q)≡Pであって、Qでない。といふことはない。といふことはない。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(04)
「二重否定」により、
② ~~(P&~Q)≡Pであって、Qでない。といふことはない。といふことはない。
③       P&~Q ≡Pであって、Qでない。
に於いて、
②=③ である。
従って、
(03)(04)により、
(05)
①  ~(P→ Q)≡PならばQである。といふことはない。
③     P&~Q  ≡Pであって、Qでない。
に於いて、
①=③ である。
従って、
(05)により、
(06)
P=すべての人間がある金額の金を私にくれる。
Q=私は幸福になる。
であるとして、
①(PならばQである。)の「否定」は、
③(すべての人間がある金額のお金を私にくれたとしても、私は幸福にならない。)である。
然るに、
(07)
[2]命題「すべての人間がある金額のお金を私にくれるならば、私は幸福になる。」の否定はどれか、番号で答えよ、
(1)ある人間がすべての金額のお金を私にくれなければ、私は幸福にならない。
(2)すべての人間がある金額のお金を私にくれるならば、私は幸福にならない。
(3)ある人間がすべての金額のお金を私にくれたとしても、私は幸福にならない。
(4)すべての人間がある金額のお金を私にくれたとしても、私は幸福にならない。
(中内伸光、ろんりの練習帳、2002年、123頁)
従って、
(06)(07)により、
(08)
答へ」を見るまでもなく、
 ①(すべての人間がある金額の金を私にくれるならば、私は幸福になる。)の「否定」は、
 ③(すべての人間がある金額のお金を私にくれたとしても、私は幸福にならない。)であって、それ故、
(4)すべての人間がある金額のお金を私にくれたとしても、私は幸福にならない。 が「正解」である。
然るに、
(09)
答へ(202頁)」を見ると、
[2]xは「人間」の全体を動き、yは「金額」の全体を動くとき、「xがyという金額のお金を、私にくれる」という命題関数をp(x、y)とし、「私は幸福になる」という命題をqとすると、与えられた命題は、∀x∃yp(x,y)→qである。したがって、その否定は、~(∀x∃yp(x,y)→q)≡∀x∃yp(x,y)&~qとなり、答えは(4)である
(中内伸光、ろんりの練習帳、2002年、202頁改)
然るに、
(05)により、
(10)
もう一度、確認すると、固より、
①  ~(P→ Q)≡PならばQである。といふことはない。
③     P&~Q  ≡Pであって、Qでない
に於いて、
①=③ である。
従って、
(07)(09)(10)により、
(11)
[2]命題「すべての人間がある金額のお金を私にくれるならば、私は幸福になる。」といふ「仮言命題否定」を言ふ際に、敢へて、
[2]xは「人間」の全体を動き、yは「金額」の全体を動くとき、「xがyという金額のお金を、私にくれる」という命題関数をp(x、y)とし、「私は幸福になる」という命題をqとすると、与えられた命題は、∀x∃yp(x,y)→qである。
といふことを、述べる「必要」は、全く無い


(371)「マンモスは鼻と牙と毛が長い」の「述語論理」。

2019-10-18 18:56:22 | 象は鼻が長い、述語論理。

(01)
巨大な牙が特徴で、種類によっては牙の長さ5.2メートルに達することもある。日本では、シベリアと北アメリカ大陸に生息し、太く長い体毛で全身を覆われた中型のケナガマンモス M. primigenius が有名である(ウィキペディア)。
然るに、
(02)
M=ケナガマンモス M. primigenius
であるとして、
1      (1)Mは鼻と牙と毛長い。                                  A
1      (〃)∀x{Mx→∀y(鼻yx∨牙yx∨毛yx→長y)&∀z(長z→鼻zx∨牙zx∨毛zx)} A
 2     (2)兎の耳は長いが、兎の耳は、鼻でも牙でもない(し、例へば、尻尾も、鼻でも牙でもない)。   A
 2     (〃)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx&~牙zx&~毛zx)}     A
  3    (3)ある兎はMである。                                    A
  3    (〃)∃x(兎x&Mx)                                    A
1      (4)   Ma→∀y(鼻ya∨牙ya∨毛ya→長y)&∀z(長z→鼻za∨牙za∨毛za)  1UE
 2     (5)   兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za&~牙za&~毛za)      2UE
   6   (6)   兎a&Ma                                     A
   6   (7)   兎a                                        6&E
   6   (8)      Ma                                     6&E
1  6   (9)      ∀y(鼻ya∨牙ya∨毛ya→長y)&∀z(長z→鼻za∨牙za∨牙za)  48MPP
1  6   (ア)      ∀y(鼻ya∨牙ya∨毛ya→長y)                     9&E
1  6   (イ)         鼻ba∨牙ba∨毛ya→長b                      イUE
1  6   (ウ)                     ∀z(長z→鼻za∨牙za∨毛za)      9&E
1  6   (エ)                        長b→鼻ba∨牙ba∨毛ba       ウUE
 2 6   (オ)      ∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za&~牙za&~毛ba)      57MPP
 2 6   (カ)      ∃y(耳ya&長y)                             オ&E
    キ  (キ)         耳ba&長b                              A
    キ  (ク)             長b                              キ&E
    キ  (ケ)         耳ba                                 キ&E
1  6キ  (コ)                           鼻ba∨牙ba∨毛ba       エクMPP
1  6キ  (サ)                     長b                      イコMPP
 2 6   (シ)                 ∀z(耳za→~鼻za&~牙za&~毛ba)      オ&E
 2 6   (ス)                    耳ba→~鼻ba&~牙ba&~毛ba       コUE
     セ (セ)                    耳ba                      A
 2 6 セ (ソ)                        ~鼻ba&~牙ba&~毛ba       スセMPP
 2 6 セ (タ)                         ~(鼻ba∨牙ba∨毛ba)      ソ、ド・モルガンの法則
 2 6   (チ)                     耳ba→~(鼻ba∨牙ba∨毛ba)      セタCP
12 6キ  (ツ)                         ~(鼻ba∨牙ba∨毛ba)      ケチMPP
                                    (鼻ba∨牙ba∨毛ba)&
                                   ~(鼻ba∨牙ba∨毛ba)      コチ&I
12 6   (テ)            ~長b                              クツRAA
12 6キ  (ト)            ~長b&長b                           サテ&I
12 6   (ナ)            ~長b&長b                           カキトEE
123    (ニ)            ~長b&長b                           36ナEE
12     (ヌ)~∃x(兎x&Mx)                                   32RAA
12     (ネ)∀x~(兎x&Mx)                                   ヌ量化子の関係
12     (ノ)  ~(兎a&Ma)                                   ネUE
12     (ハ)  ~兎a∨~Ma                                    ノ、ド・モルガンの法則
12     (ヒ)  ~Ma∨~兎a                                    ハ交換法則
12     (フ)   Ma→~兎a                                    ヒ含意の定義
12     (ヘ)∀x(Mx→~兎x)                                   フUI
12     (〃)すべてのxについて、xがマンモスであるならば、xは兎ではない。              フUI
12     (〃)マンモスは兎ではない(兎はマンモスではない)。                      フUI
従って、
(02)により、
(03)
(1)マンモスは、鼻と牙と毛長い。 然るに、
(2)兎の耳は長いが、兎の耳は、鼻でも牙でもない。 従って、
(ヘ)マンモスは兎ではない(兎はマンモスではない)。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
(04)
① ∀x{Mx→∀y(鼻yx∨牙yx∨毛yx→長y)&∀z(長z→鼻zx∨牙zx∨毛zx)}
② ∀x{Mx→∀y(鼻yx∨牙yx∨毛yx→長y)&∀y(長y→鼻yx∨牙yx∨毛yx)}
③ ∀x{Mx→∀y(鼻yx∨牙yx∨毛yx→長y &   長y→鼻yx∨牙yx∨毛yx)}
④ ∀x{Mx→∀y(鼻yx∨牙yx∨毛yx⇔長y)}
に於いて、
①=②=③=④
であるものの、「計算」をする際には、
① が「一番、読みやすい」。
従って、
(01)~(04)により、
(05)
④ マンモスは鼻と牙と毛長い。
といふ「日本語」の「論理構造」は、
④ マンモスは鼻と牙と毛が長い。≡
④ ∀x{Mx→∀y(鼻yx∨牙yx∨毛yx⇔長y)}≡
④ すべてのxについて{xがマンモスであるならば、すべてのyについて(yが、xの鼻であるか、xの牙であるか、毛であるならば、そのときに限って、yは長い)}。
といふ風に、「理解」することが出来る。


(370)「象は鼻(と牙)が長い」の「述語論理」(Ⅱ)。

2019-10-17 18:03:01 | 象は鼻が長い、述語論理。

(01)
① ∃y(鼻yx&長y)
② ∀y(鼻yx→長y)≡∀y(~鼻yx∨長y)
に於いて、{a,b,c}が「yの変域(ドメイン)」であるとき、両者は、
①( 鼻ax&長a)∨( 鼻bx&長b)∨( 鼻cx&長c)
②(~鼻ax∨長a)&(~鼻bx∨長b)&(~鼻cx∨長c)
である。
然るに、
(02)
①( 鼻ax&長a)∨( 鼻bx&長b)∨( 鼻cx&長c)
②(~鼻ax∨長a)&(~鼻bx∨長b)&(~鼻cx∨長c)
である以上、
①=② ではない。
cf.
① は「連言の、選言」。
② は「選言の、連言」。
従って、
(01)(02)により、
(03)
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
② ∀x{象x→∀y(鼻yx→長y)&∀z(  長z→  鼻zx)}
に於いて、すなはち、
① すべてのxについて{xが象であるならば、あるyは(xの鼻であって長く)、すべてのzについて(zが長いならば、zはxの鼻である)}。
② すべてのxについて{xが象であるならば、すべてのyについて(yがxの鼻であるならば、yは長く)、すべてのzについて(zが長いならば、zはxの鼻である)}。
に於いて、
①≒② ではあるが、
①=② ではない。
然るに、
(04)
(1)象は鼻長い。 然るに、
(2)兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 従って、
(3)兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
(05)
(ⅰ)
1    (1)象は鼻長い。                        A
1    (〃)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
 2   (2)兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。              A
 2   (〃)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)} A
  3  (3)有る兎は象である。                      A
  3  (〃)∃x(兎x&象x)                      A
  3  (〃)あるxは兎であって象である。                 A
1    (4)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  1UE
 2   (5)   兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za)  2UE
   6 (6)   兎a&象a                       A
   6 (7)   兎a                          6&E
   6 (8)      象a                       6&E
1  6 (9)      ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  48MPP
 2 6 (ア)      ∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za)  57MPP
 2 6 (イ)      ∃y(耳ya&長y)               ア&E
    ウ(ウ)         耳ba&長b                A
1  6 (エ)                 ∀z(~鼻za→~長z)  9&E
1  6 (オ)                    ~鼻ba→~長b   エUE
 2 6 (カ)                 ∀z(耳za→~鼻za)  ア&E
 2 6 (キ)                    耳ba→~鼻ba   カUE
    ウ(ク)                    耳ba        ウ&E
 2 6ウ(ケ)                        ~鼻ba   キクMPP
12 6ウ(コ)                         ~長b   オケMPP
    ウ(サ)             長b                ウ&E
12 6ウ(シ)             長b&~長b            コサ&I
12 6 (ス)             長b&~長b            イウシEE
123  (セ)             長b&~長b            36スEE
12   (ソ)~∃x(兎x&象x)                     3セRAA
12   (タ)∀x~(兎x&象x)                     ソ量化子の関係
12   (チ)  ~(兎a&象a)                     タUE
12   (ツ)  ~兎a∨~象a                      チ、ド・モルガンの法則
12   (テ)   兎a→~象a                      ツ含意の定義
12   (ト)∀x(兎x→~象x)                     テUI
12   (〃)すべてのxについて、xが兎であるならば、xは象ではない。   テUI
12   (〃)兎は象ではない。                        テUI 
(ⅱ)
1    (1)象は鼻長い。                        A                          
1    (〃)∀x{象x→∀y(鼻yx→長y)&∀z(長z→鼻zx)}   A
 2   (2)兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。             A
 2   (〃)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)} A
  3  (3)ある兎は象である。                      A
  3  (〃)∃x(兎x&象x)                      A
1    (4)   象a→∀y(鼻ya→長y)&∀z(長z→鼻za)    1UE
 2   (5)   兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za)  2UE
   6 (6)   兎a&象a                       A
   6 (7)   兎a                          6&E
   6 (8)      象a                       6&E
1  6 (9)      ∀y(鼻ya→長y)&∀z(長z→鼻za)    48MPP
1  6 (ア)      ∀y(鼻ya→長y)               9&E
1  6 (イ)         鼻ba→長b                アUE
1  6 (ウ)                 ∀z(長z→鼻za)    9&E
1  6 (エ)                    長b→鼻ba     ウUE
 2 6 (オ)      ∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za)  57MPP
 2 6 (カ)      ∃y(耳ya&長y)               オ&E
    キ(キ)         耳ba&長b                A
    キ(ク)         耳ba                   キ&E
    キ(ケ)             長b                キ&E
 2 6 (コ)                 ∀z(耳za→~鼻za)  オ&E
 2 6 (サ)                    耳ba→~鼻ba   コUE
 2 6キ(シ)                        ~鼻ba   クサMPP
12 6キ(ス)                   ~長b         エシMTT
12 6キ(セ)             長b&~長b            ケス&I
12 6 (ソ)             長b&~長b            カキセEE
123  (タ)             長b&~長b            36ソEE
12   (チ)~∃x(兎x&象x)                     3タRAA
12   (ツ)∀x~(兎x&象x)                     チ量化子の関係
12   (テ)  ~(兎a&象a)                     ツUE
12   (ト)  ~兎a∨~象a                      テ、ド・モルガンの法則
12   (ナ)   兎a→~象a                      ト含意の定義
12   (ニ)∀x(兎x→~象x)                     ナUI
12   (〃)すべてのxについて、xが兎であるならば、xは象ではない。   ナUI
12   (〃)兎は象ではない。                        ナUI
従って、
(01)~(05)により、
(06)
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
② ∀x{象x→∀y(鼻yx→長y)&∀z(  長z→  鼻zx)}
に於いて、
①=② ではないが、
(1)象は鼻が長い。 然るに、
(2)兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。 従って、
(3)兎は象ではない。
といふ「推論」に於ける、
(1)象は鼻が長い。
といふ「前提(Premise)」の「翻訳」としては、
① であっても、
② であっても、どちらでも良い。
(07)
(ⅲ)
1      (1)象は鼻と牙長い。                            A
1      (〃)∀x{象x→∀y(鼻yx∨牙yx→長y)&∀z(長z→鼻zx∨牙zx)} A
 2     (2)兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではないし、牙でもない。            A
 2     (〃)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx&~牙zx)}  A
  3    (3)ある兎は象である。                            A
  3    (〃)∃x(兎x&象x)                            A
1      (4)   象a→∀y(鼻ya∨牙ya→長y)&∀z(長z→鼻za∨牙za)  1UE
 2     (5)   兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za&~牙za)   2UE
   6   (6)   兎a&象a                             A
   6   (7)   兎a                                6&E
   6   (8)      象a                             6&E
1  6   (9)      ∀y(鼻ya∨牙ya→長y)&∀z(長z→鼻za∨牙za)  48MPP
1  6   (ア)      ∀y(鼻ya∨牙ya→長y)                 9&E
1  6   (イ)         鼻ba∨牙ba→長b                  アUE
1  6   (ウ)                     ∀z(長z→鼻za∨牙za)  9&E
1  6   (エ)                        長b→鼻ba∨牙ba   ウUE
 2 6   (オ)      ∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za&~牙za)   57MPP
 2 6   (カ)      ∃y(耳ya&長y)                     オ&E
    キ  (キ)         耳ba&長b                      A
    キ  (ク)         耳ba                         キ&E
    キ  (ケ)             長b                      キ&E
 2 6   (コ)                 ∀z(耳za→~鼻za&~牙za)   オ&E
 2 6   (サ)                    耳ba→~鼻ba&~牙ba    コUE
 2 6キ  (シ)                        ~鼻ba&~牙ba    クサMPP
1  6キ  (ス)                         鼻ba∨ 牙ba    エケMPP
     セ (セ)                         鼻ba         A
 2 6キ  (ソ)                        ~鼻ba         シ&E
 2 6キセ (タ)                         鼻ba&~鼻ba    セソ&I
 2 6 セ (チ)            ~長b                      ケタRAA
      ツ(ツ)                              牙ba    A
 2 6キ  (テ)                             ~牙ba    シ&E
 2 6キ ツ(ト)                         牙ba&~牙ba    ツテ&I
 2 6  ツ(ナ)            ~長b                      ケトRAA
12 6キ  (ニ)            ~長b                      スセチツナ∨E
1  6キ  (ヌ)             長b                      イスMPP
12 6キ  (ネ)            ~長b&長b                   ニヌ&I
12 6   (ノ)            ~長b&長b                   カキネEE
123    (ハ)            ~長b&長b                   36ノEE
12     (ヒ)~∃x(兎x&象x)                           3ハRAA
12     (フ)∀x~(兎x&象x)                           ヒ量化子の関係
12     (ヘ)  ~(兎a&象a)                           フUE
12     (ホ)  ~兎a∨~象a                            ヘ、ド・モルガンの法則
12     (マ)   兎a→~象a                            ホ含意の定義
12     (ミ)∀x(兎x→~象x)                           マUI
12     (〃)すべてのxについて、xが兎であるならば、xは象ではない。         マUI
12     (〃)兎は象ではない。                              マUI
従って、
(07)により、
(08)
(1)象は鼻と牙長い。 然るに、
(2)兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではないし、牙でもない。 従って、
(3)兎は象ではない。
といふ「推論」に於ける、
(1)象は鼻と牙長い。
といふ「前提(Premise)」の「翻訳」は、
③ ∀x{象x→∀y(鼻yx∨牙yx→長y)&∀z(長z→鼻zx∨牙zx)}⇔
③ すべてのxについて{xが象であるならば、すべてのyについて(yがxの鼻であるかxの牙であるならば、yは長く)、すべてのzについて(zが長いならば、zはxの鼻であるかzはxの牙である)}。
といふ風に、書くことが出来る。
然るに、
(09)
② ∀x{象x→∀y(鼻yx→長y)&∀z(長z→鼻zx)}
③ ∀x{象x→∀y(鼻yx∨牙yx→長y)&∀z(長z→鼻zx∨牙zx)}
は、次(10)のやうに、書くこと出来る。
(10)
② ∀x{象x→∀y(鼻yx→長y&長y→鼻zy)}
③ ∀x{象x→∀y(鼻yx∨牙yx→長y&長y→鼻yx∨牙yx)}
(11)
② ∀x{象x→∀y(鼻yx→長y&長y→鼻zy)}
③ ∀x{象x→∀y(鼻yx∨牙yx→長y&長y→鼻yx∨牙yx)}
は、更に、「⇔」を用ひて、(12)のやうに、書くこと出来る。
(12)
② ∀x{象x→∀y(鼻yx⇔長y)}
③ ∀x{象x→∀y(鼻yx∨牙yx⇔長y)}
従って、
(12)により、
(13)
② ∀x{象x→∀y(鼻yx⇔長y)}
③ ∀x{象x→∀y(鼻yx∨牙yx⇔長y)}
であるため、
④ ∀x{マンモスx→∀y(鼻yx∨牙yx∨毛yx⇔長y)}
であるならば、
④ マンモスは鼻と牙と毛長い。
である。
cf.
巨大な牙が特徴で、種類によっては牙の長さ5.2メートルに達することもある。日本では、シベリアと北アメリカ大陸に生息し、太く長い体毛で全身を覆われた中型のケナガマンモス M. primigenius が有名である(ウィキペディア)。
従って、
(13)により、
(14)
② 象は鼻長い。≡
② ∀x{象x→∀y(鼻yx⇔長y)}≡
② すべてのxについて{xが象であるならば、すべてのyについて(yがxの鼻であるならば、そのときに限って、yは長い)}。
といふ風に、「理解」することが出来る。


(369)「象は鼻と牙が長い」の「述語論理」。

2019-10-16 16:05:46 | 象は鼻が長い、述語論理。

(01)
1    (1)象は鼻長い。                        A
1    (〃)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
 2   (2)兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。              A
 2   (〃)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx)} A
  3  (3)有る兎は象である。                      A
  3  (〃)∃x(兎x&象x)                      A
  3  (〃)あるxは兎であって象である。                 A
1    (4)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  1UE
 2   (5)   兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za)  2UE
   6 (6)   兎a&象a                       A
   6 (7)   兎a                          6&E
   6 (8)      象a                       6&E
1  6 (9)      ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  48MPP
 2 6 (ア)      ∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za)  57MPP
 2 6 (イ)      ∃y(耳ya&長y)               ア&E
    ウ(ウ)         耳ba&長b                A
1  6 (エ)                 ∀z(~鼻za→~長z)  9&E
1  6 (オ)                    ~鼻ba→~長b   エUE
 2 6 (カ)                 ∀z(耳za→~鼻za)  ア&E
 2 6 (キ)                    耳ba→~鼻ba   カUE
    ウ(ク)                    耳ba        ウ&E
 2 6ウ(ケ)                        ~鼻ba   キクMPP
12 6ウ(コ)                         ~長b   オケMPP
    ウ(サ)             長b                ウ&E
12 6ウ(シ)             長b&~長b            コサ&I
12 6 (ス)             長b&~長b            イウシEE
123  (セ)             長b&~長b            36スEE
12   (ソ)~∃x(兎x&象x)                     3セRAA
12   (タ)∀x~(兎x&象x)                     ソ量化子の関係
12   (チ)  ~(兎a&象a)                     タUE
12   (ツ)  ~兎a∨~象a                      チ、ド・モルガンの法則
12   (テ)   兎a→~象a                      ツ含意の定義
12   (ト)∀x(兎x→~象x)                     テUI
12   (〃)すべてのxについて、xが兎であるならば、xは象ではない。   テUI
12   (〃)兎は象ではない。                        テUI
従って、
(01)により、
(02)
(1)象は鼻長い。 然るに、
(2)兎の耳は長く、兎の耳は鼻ではない。 従って、
(ト)兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
である。
従って、
(01)(02)により、
(03)
① 象は鼻長い。⇔
① ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
① すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって長く、すべてのzについて、zがxの鼻がでないならば、zは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(04)
1       (1)象は鼻長い。                                   A
1       (〃)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w(長w→鼻wx∨牙wx)} A
 2      (2)兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではないし、牙でもない。                   A
 2      (〃)∀x{兎x→∃y(耳yx&長y)&∀z(耳zx→~鼻zx&~牙zx)}         A
  3     (3)ある兎は象である。                                   A
  3     (〃)∃x(兎x&象x)                                   A
1       (4)   象a→∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa)  1UE
 2      (5)   兎a→∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za&~牙za)          2UE
   6    (6)   兎a&象a                                    A
   6    (7)   兎a                                       6&E
   6    (8)      象a                                    6&E
1  6    (9)      ∃y(鼻ya&長y)&∃z(牙za&長z)&∀w(長w→鼻wa∨牙wa)  48MPP
 2 6    (ア)      ∃y(耳ya&長y)&∀z(耳za→~鼻za&~牙za)          57MPP
1  6    (イ)      ∃y(鼻ya&長y)                            9&E
    ウ   (ウ)         鼻ba&長b                             A
    ウ   (エ)             長b                             ウ&E
1  6    (オ)                            ∀w(長w→鼻wa∨牙wa)  9&E
1  6    (カ)                               長b→鼻ba∨牙ba   オUE
 2 6    (キ)      ∃y(耳ya&長y)                            ア&E
     ク  (ク)         耳ba&長b                             A
     ク  (ケ)         耳ba                                ク&E
     ク  (コ)             長b                             ク&E
 2 6    (サ)                 ∀x(耳za→~鼻za&~牙za)          ア&E
 2 6    (シ)                    耳ba→~鼻ba&~牙ba           サUE
1  6 ク  (ス)                                  鼻ba∨牙ba   カコMPP
 2 6 ク  (セ)                        ~鼻ba&~牙ba           ケシMPP
      ソ (ソ)                                  鼻ba       A
 2 6 ク  (タ)                        ~鼻ba                セ&E
 2 6 クソ (チ)                        ~鼻ba&鼻ba            ソタ&I
 2 6  ソ (ツ)            ~長b                             コチRAA
       テ(テ)                                      牙ba   A
 2 6 ク  (ト)                             ~牙ba           セ&E
 2 6 ク テ(ナ)                             ~牙ba&牙ba       テト&I
 2 6   テ(ニ)            ~長b                             コナRAA
12 6    (ヌ)            ~長b                             スソツテニ∨E
12 6ウ   (ネ)             長b&~長b                         エヌ&I
12 6    (ノ)             長b&~長b                         イウネEE
123     (ハ)             長b&~長b                         36ノEE
12      (ヒ)~∃x(兎x&象x)                                  3ハRAA
12      (フ)∀x~(兎x&象x)                                  ヒ量化子の関係
12      (ヘ)  ~(兎a&象a)                                  フUE
12      (ホ)  ~兎a∨~象a                                   ヘ、ド・モルガンの法則
12      (マ)   兎a→~象a                                   ホ含意の定義
12      (ミ)∀x(兎x→~象x)                                  マUI
12      (〃)すべてのxについて、xが兎であるならば、xは象ではない。                マUI
12      (〃)兎は象ではない。                                     マUI
従って、
(04)により、
(05)
(1)象は鼻長い。 然るに、
(2)兎の耳は長いが、兎の耳は鼻ではないし、牙でもない。 従って、
(ミ)兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
(06)
(ⅰ)
1 (1) ∀w(長w→鼻wx∨ 牙wx)  A
1 (2)    長b→鼻bx∨ 牙bx   A
 3(3)      ~鼻bx&~牙bx   A
 3(4)     ~(鼻bx∨ 牙bx)  3ド・モルガンの法則
13(5)   ~長b            24MTT
1 (6)   ~鼻bx&~牙bx→~長b  35CP
1 (7)∀w(~鼻bx&~牙bx→~長b) 6UI
(ⅱ)
1 (1)∀w(~鼻bx&~牙bx→~長b) A
1 (2)   ~鼻bx&~牙bx→~長b  1UE
 3(3)              長b  A
 3(4)            ~~長b  3DN
13(5) ~(~鼻bx&~牙bx)     24MTT
13(6)    鼻bx∨ 牙bx      5ド・モルガンの法則
1 (7)   長b→鼻bx∨ 牙bx    36CP
1 (8)∀w(長w→鼻wx∨ 牙wx)   7UI
従って、
(06)により、
(07)
① ∀w( 長w→ 鼻wx∨ 牙wx)
② ∀w(~鼻bx&~牙bx→~長b)
に於いて、
①=② である。
従って、
(04)(05)(07)により、
(08)
② 象は鼻長い。⇔                               
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w(~鼻wx&~牙wx→~長w)}⇔
② すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって長く、あるzはxの牙であって長く、すべてのwについて、wがxの鼻でなく、尚且つ、wがxの牙でないならば、wは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
(03)(08)により、
(09)
① 象は鼻長い。    ⇔ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
② 象は鼻長い。⇔ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(牙zx&長z)&∀w(~鼻wx&~牙wx→~長w)}。 
といふ「等式」が、成立する。


(368)「EI(存在量記号導入)」について。

2019-10-13 12:44:09 | 論理

(01)
任意の名前が、結論Cをうるために用いられた(代表的選言項以外の)仮定の中に現われてはならないということを理解するために、つぎの「証明」を考えてみよう。
  ()   F     A
 2 (2)    ∃xGx  A
  3(3)      G  A(代表的選言項
 3(4)   Fa&Ga  13&I
1 3()∃x(Fx&Gx) 4EI
12 (6)∃x(Fx&Gx) 235EE
あるものがFとGをもつという結論が、ここでは2つの仮定、任意に選ばれた対象はFをもつと、あるものがGをもつ、からえられている。さて、
Fを偶数であること、Gを奇数であることとしよう。すると、偶数である数aを選ぶことはできるから、Faは真となる。また奇数は存在するから
∃xGxもまた真である。しかるに、任意の数が偶数であって奇数であるというのはである。()の行における結論は「」を含む()に
依存しているので、EEの適用は不健全なのである。
(論理学初歩、E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、147・148頁改)
然るに、
(02)
1  (1)   F     A
 2 (2)    ∃xGx  A
  3(3)      G  A(代表的選言項)
1 3(4)   Fa&Ga  13&I
1 3(5)∃x(Fx&Gx) 4EI
12 (6)∃x(Fx&Gx) 235EE
に対して、
0   (0) ∃xFx     A
を加へて、
0   (0) ∃xFx     A
 1  (1)   F     A(代表的選言項
  2 (2)    ∃xGx  A
   3(3)      G  A(代表的選言項)
 1 3(4)   Fa&Ga  13&I
 1 3(5)∃x(Fx&Gx) 4EI
 12 (6)∃x(Fx&Gx) 235EE
0 2 (7)∃x(Fx&Gx) 016EE
とするならば、
 1  (1)   F     A
   3(3)      G  A(代表的選言項)
ではなく、
 1  (1)   F     A(代表的選言項
   3(3)      G  A(代表的選言項)
であるため、「任意の名前は、Cをうるために用いられた(代表的選言項以外の)仮定の中に現われてはいない。」
従って、
(01)(02)により、
(03)
「任意の名前は、Cをうるために用いられた(代表的選言項以外の)仮定の中に現われていてもいなくとも」、
0   (0) ∃xFx     A
 1  (1)   F     A(代表的選言項)
  2 (2)    ∃xGx  A
   3(3)      G  A(代表的選言項)
 1 3(4)   Fa&Ga  13&I
 1 3(5)∃x(Fx&Gx) 4EI
 12 (6)∃x(Fx&Gx) 235EE
0 2 (7)∃x(Fx&Gx) 016EE
といふ「推論」、すなはち、
0   (0) ∃x偶数x      A
 1  (1)   偶数a      A(代表的選言項)
  2 (2)     ∃x奇数x  A
   3(3)       奇数a  A(代表的選言項)
 1 3(4)   偶数a&奇数a  13&I
 1 3(5)∃x(偶数x&奇数x) 4EI
 12 (6)∃x(偶数x&奇数x) 235EE
0 2 (7)∃x(偶数x&奇数x) 016EE
0 2 (〃)ある数は、偶数であって、奇数である。016EE
といふ「推論」は「妥当」ではない
然るに、
(04)
 1  (1)   偶数      A(代表的選言項)
   3(3)       奇数  A(代表的選言項)
とするからこそ、
① 偶数&奇数=「偶数であって、尚且つ。奇数である。」
といふ「矛盾」が生じるのであって、
 1  (1)   偶数      A(代表的選言項)
   3(3)       奇数  A(代表的選言項)
とするならば、
② 偶数a&奇数b=「偶数であって、奇数である。」
であるため、「矛盾」しない
従って、
(04)により、
(05)
 1  (1)   偶数      A(代表的選言項)
   3(3)       奇数  A(代表的選言項)
とはせずに、
 1  (1)   偶数      A(代表的選言項)
   3(3)       奇数  A(代表的選言項)
とした「結果」として、
 1 3(5)∃x(偶数x&奇数x) 4EI
といふ「矛盾した行」が、成立する。
従って、
(05)により、
(06)
 1 3(5)∃x(偶数x&奇数x) 4EI
といふ「行」の、
 を見て、
   ()   偶数      A(代表的選言項)
   )       奇数  A(代表的選言項)
を「チェック」した際に、このやうに、「」が「2つある」といふことが、「確認」出来れば、その時点で、
 1 3(5)∃x(偶数x&奇数x) 4EI
は、「妥当」ではない
といふことを、「知ること」が出来る。


(367)「私が大野です(大野は私です)」の「述語論理」。

2019-10-11 14:47:35 | 「は」と「が」

(01)
(ⅰ)
1 (1)∃x(男子x&学生x) A
 2(2)   男子a&学生a  A
 2(3)   男子a      2&EI
 2(4) ∃x男子x      3EI
 2(5)      学生a   2&E
 2(6)    ∃x学生x   5EI
 2(7)∃x男子x&∃x学生x 46&I
1 (8)∃x男子x&∃x学生x 127EE
(ⅱ)
1  (1) ∃x男子x&∃x学生x A
1  (2) ∃x男子x       1&E
 3 (3)   男子a       A
1  (4)      ∃x学生x  1&E
  5(5)        学生a  A
 35(6)   男子a&学生a   35&I
 35(7)∃x(男子x&学生x)  6EI
13 (8)∃x(男子x&学生x)  357EE
(ⅲ)
1  (1) ∃x男子x&∃x学生x A
1  (2) ∃x男子x       1&E
 3 (3)   男子a       A
1  (4)      ∃x学生x  1&E
  5(5)        学生  A
 35(6)   男子&学生   35&I
 35(7)∃x(男子&学生)  6EI   は、「反則」であり、
13 (8)∃x(男子&学生)  357EE も、「反則」である。
然るに、
(02)
「男子学生」がゐるならば、 「男子学生」がゐるが、 逆に
「男子学生」がゐるとしても、「男子学生」がゐるとは、限らない
従って、
(01)(02)により、
(03)
① ∃x(男子x&学生x) ├ ∃x男子x&∃x学生x
② ∃x男子x&∃x学生x ├ ∃x(男子x&学生x)
に於いて、
① は、「妥当」であり、
② は、「妥当」ではないが、「不可能」ではない。
従って、
(03)により、
(04)
① ∃z(彼z&大野zx)├ ∃z彼z&∃z大野zx
② ∃z彼z&∃z大野zx├ ∃z(彼z&大野zx)
に於いて、
① は、「妥当」であり、
② は、「妥当」ではないが、「不可能」ではない。
然るに、
(05)
(ⅰ)
1     (1)∀x{ここにゐるx→∃y[私y&大野yx&∀z(z≠y→~大野zx)]} A
1     (2)   ここにゐるa→∃y[私y&大野ya&∀z(z≠y→~大野za)]  1UE
 3    (3)   ここにゐるa                            A
13    (4)          ∃y[私y&大野ya&∀z(z≠y→~大野za)]  23MPP
  5   (5)             私b&大野ba&∀z(z≠b→~大野za)   A
  5   (6)             私b                      5&E
  5   (7)                大野ba                 5&E
  5   (8)                     ∀z(z≠b→~大野za)   5&E
  5   (9)                        c≠b→~大野ca    9UE
   ア  (ア)      ∃z(彼z&~私z)                     A
    イ (イ)         彼c&~私c                      A
    イ (ウ)         彼c                          イ&E
    イ (エ)            ~私c                      イ&E
     オ(オ)              c=b                    A
    イオ(カ)            ~私b                      エオ=E
  5 イオ(キ)            ~私b&私b                   6カ&I
  5 イ (ク)              c≠b                    オキRAA
  5 イ (ケ)                            ~大野ca    9クMPP
  5 イ (コ)         彼c&~大野ca                    ウケ&I
  5 イ (サ)      ∃z(彼z&~大野za)                   コEI
  5ア  (シ)      ∃z(彼z&~大野za)                   アイサEE
13 ア  (ス)      ∃z(彼z&~大野za)                   45シEE
1     (セ)   ここにゐるa→∃z(彼z&~大野za)               3スCP
1  ア  (ソ)∀x{ここにゐるx→∃z(彼z&~大野zx)               セUI
(ⅱ)
1      (1)∀x{ここにゐるx→∃y[私y&大野yx&~∀z(z≠y→~大野zx)]} A
1      (2)   ここにゐるa→∃y[私y&大野ya&~∀z(z≠y→~大野za)]  1UE
 3     (3)   ここにゐるa                             A
13     (4)          ∃y[私y&大野ya&~∀z(z≠y→~大野za)]  23MPP
  5    (5)             私b&大野ba&~∀z(z≠b→~大野za)   A
  5    (7)             私b                       5&E
  5    (8)                大野ba                  5&E
  5    (9)                     ~∀z(z≠b→~大野za)   5&E
  5    (ア)                     ∃z~(z≠b→~大野za)   9量化子の関係
   イ   (イ)                       ~(c≠b→~大野ca)   A
   イ   (ウ)                       ~(c=b∨~大野ca)   イ含意の定義
   イ   (エ)                         c≠b& 大野ca    ウ、ド・モルガンの法則
   イ   (オ)                              大野ca    エ&E
    カ  (カ)          ∃z(彼z&~私z)                  A
     キ (キ)             彼d&~私d                   A
     キ (ク)             彼d                       キ&E
      ケ(ケ)              d=c                     A
     キケ(コ)             彼c                       クケ=E
   イ キケ(サ)             彼c&大野ca                  オコ&I
   イ キケ(シ)          ∃z(彼z&大野za)                 サEI
   イカ ケ(ス)          ∃z(彼z&大野za)                 カキシEE
  5 カ ケ(セ)          ∃z(彼z&大野za)                 5イスEE  
13  カ ケ(ソ)          ∃z(彼z&大野za)                 45セEE
1   カ ケ(タ)   ここにゐるa→∃z(彼z&大野za)                 3ソCP
1   カ ケ(チ)∀x{ここにゐるx→∃z(彼z&大野zx)}                タUI
従って、
(04)(05)により、
(06)
① ∀x{ここにゐるx→∃y[私y&大野yx& ∀z(z≠y→~大野zx)]},∃z(彼z&~私z)├ ∀x{ここにゐるx→∃z(彼z&~大野zx)}
② ∀x{ここにゐるx→∃y[私y&大野yx&∀z(z≠y→~大野zx)]},∃z(彼z&~私z)├ ∀x{ここにゐるx→∃z(彼z& 大野zx)}
に於いて、
① は、「妥当」であり、
② は、「妥当」ではないが、「不可能」ではない。
従って、
(06)により、
(07)
「日本語」で言ふと、
① すべてのxについて、xがここにゐるならば、あるyは私であって、xの大野であって、すべてのzについて、zがy(私)以外であるならば、zは大野ではない。然るに、あるzは彼であって、私ではない。従って、すべてのxについて、xがここにゐるならば、あるzは彼であって、zはxの大野ではない。
② すべてのxについて、xがここにゐるならば、あるyは私であって、xの大野であって、すべてのzについて、zがy(私)以外であるならば、zは大野ではない、といふわけではない。然るに、あるzは彼であって、私ではない(が、d=cである)。従って、すべてのxについて、xがここにゐるならば、あるzは彼であって、zはxの大野である。
に於いて、
① は、「妥当」であり、
② は、「妥当」ではないが、「不可能」ではない。
従って、
(07)により、
(08)
「普通の日本語」で言ふと、
① ここでは、私は大野であり、私以外に大野はゐない。          然るに、彼は私ではない。従って、ここでは、彼は大野ではない。
② ここでは、私は大野であり、私の他に大野はゐないといふわけではない。然るに、彼は私ではない。従って、ここでは、彼も大野かも知れない
といふ「推論(連式)」は、「妥当」である。
従って、
(08)により、
(09)
① 彼は私ではない。従って、彼は大野ではない。
といふ「推論」が、「妥当」であるためには、
① 私は大野であり、私以外は大野ではない
といふ「命題」が、「本当」でなければ、ならない。
然るに、
(10)
① 私以外は大野ではない
といふことは、
① 私でないならば大野ではない
といふことである。
然るに、
(11)
① 私でないならば大野ではない
の「対偶(Contradiction)」は、
① 大野ならば私である。
である。
然るに、
(12)
① 大野ならば私である。
といふことは、
① 大野は私である。
といふことである。
従って、
(09)~(12)により、
(13)
① 彼は私ではない。従って、彼は大野ではない。
といふ「推論」が、「妥当」であるためには、
① 私は大野であり、大野は私である。
といふ「命題」が、「本当」でなければ、ならない。
従って、
(01)~(13)により、
(14)
① ここでは、私は大野であり、大野は私である。⇔
① ここでは、私は大野であり、私以外に大野はゐない。⇔
① ∀x{ここにゐるx→∃y[私y&大野yx&∀z(z≠y→~大野zx)]}⇔
① すべてのxについて、xがここにゐるならば、あるyは私であって、xの大野であって、すべてのzについて、zがy(私)以外であるならば、zは大野ではない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(15)
(3) 未知既知
この組み合わせは次のような場合に現われる。
 私大野です。
これは、「大野さんはどちらですか」というような問いに対する答えとして使われる。つまり文脈において、「大野」なる人物はすでに登場していて既知である。ところが、それが実際にどの人物なのか、その帰属する先が未知である。その未知の対象を「私」と表現して、それをで承けた。それゆえこの形は、
 大野は私です。
に置きかえてもほぼ同じ意味を表わすといえる(大野晋、日本語の文法を考える、1978年、34頁)。
従って、
(14)(15)により、
(16)
① ここでは、私大野です。⇔
① ここでは、私は大野であり、大野は私である。⇔
① ここでは、私は大野であり、私以外に大野はゐない。⇔
① ∀x{ここにゐるx→∃y[私y&大野yx&∀z(z≠y→~大野zx)]}⇔
① すべてのxについて、xがここにゐるならば、あるyは私であって、xの大野であって、すべてのzについて、zがy(私)以外であるならば、zは大野ではない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(17)
「大野さんはどちらですか。」
といふ「質問」は、
「ここには、ある一人の人がゐて、その人の名前以外は大野ではない。」
といふ「前提」に、立ってゐる。
従って、
(18)
既知未知」といふ「問題」よりも以前に
「ここには、ある一人の人がゐて、その人の名前以外は大野ではない。」
といふ「前提」が、無いのであれば、その場合は、固より、
Q:大野さんはどちらですか。
A:私が大野です(大野は私です)。
といふ「会話」は、成立しない。


(366)日本語に「人称代名詞」は無い。

2019-10-09 14:10:56 | 論理

(01) 
「a」と「b」が「同一」であるならば、
「a」について、「成立する事柄」は、
「b」についても「成立する」。
従って、
(01)により、
(02)
「a」について、「成立する事柄」が、
「b」については「成立しない」のであれば、
「a」と「b」は「同一」ではない
然るに、
(03)
次の「計算(04)」は、
「a」について、「成立する事柄」が、
「b」については「成立しない」ので、
「a」と「b」は「同一」ではない
といふ風に、「主張する」。
(04)
1    (1)鈴木は社長であり、鈴木以外は社長ではない。    A
1    (〃)∃x{鈴木x&社長x&∀y(x≠y→~社長y)} A
1    (〃)あるxは鈴木であって社長であって、すべてyについて、
        xがyと「同一」でないならば、yは社長ではない。 A
 2   (2)臣は鈴木ではない。                A
 2   (〃)∃y(臣y&~鈴木y)              A
 2   (〃)あるyは臣であり、yは鈴木ではない。       A
  3  (3)   鈴木a&社長a&∀y(a≠y→~社長y)  A
  3  (4)   鈴木a                   3&E
    3  (5)       社長a               3&E
  3  (6)           ∀y(a≠y)       3&E
  3  (7)              a≠b→~社長b   6UE
   8 (8)   臣b&~鈴木b               A
   8 (9)   臣b                    8&E
   8 (ア)      ~鈴木b               8&E
    イ(イ)       a=b               A     
  3 イ(ウ)   鈴木b                   4イ=E
  38イ(エ)   鈴木b&~鈴木b              アウ&I
  38 (オ)       a≠b               イエRAA
  38 (カ)                  ~社長b   7オMPP
  38 (キ)   臣b&~社長b               9カ&I
  38 (ク)∃y(臣y&~社長y)              キEI 
 23  (ケ)∃y(臣y&~社長y)              28クEE
12   (コ)∃y(臣y&~社長y)              13ケEE
12   (〃)あるxは臣であって、xは社長ではない。      13コEE
12   (〃)臣は社長ではない。                13コEE
従って、
(01)~(04)により、
(05)
(1)鈴木は社長であり、鈴木以外は社長ではない。然るに、
(2)臣は鈴木ではない。従って、
(コ)臣は社長ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
(06)
修辞法でも、自分のことをわざと気取って第三者的に「人」と呼んだり、身分面では、天子は「朕」、諸侯は「寡人」、臣下は「」と称するなど、漢文における一人称および一人称的に使われる語彙はきわめて豊富である。この感覚は日本人にもわかりやすい(加藤徹、白文攻略 漢文ひとり学び、2013年、36頁)。
cf.
【臣】シン、ジン
① けらい、おみ ② つかへる ③ したがへる ④ 臣下としての職分をつくす ⑤ しもべ ⑥ めしうど、とりこ ⑦ たみ ⑧ 臣下の自称 ⑨ 自己の謙称
(大修館、大漢和辞典デジタル版 を参照)
従って、
(06)により、
(07)
「臣」は「(一人称)」である。
従って、
(05)(06)(07)により、
(08)
(1)鈴木は社長であり、鈴木以外は社長ではない。然るに、
(2)私(臣)は鈴木ではない。従って、
(コ)私(臣)は社長ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
(09)
わたくし【私】〘名・代名(人称)〙
[一]〘 名 〙① 個人的なこと。公に対して私的なこと。② 私心を抱くこと。自分だけの利益をはかること。
[ニ]〘代名〙わたくし。自分。へりくだっていう一人称。
(大修館、古語林 を参照)
従って、
(09)により、
(10)
(わたくし)」といふ「日本語」の「本来の意味」にしても、「公私の、」であって、「(一人称代名詞・単数主格)」ではない
加へて、
(11)
例へば、
Q:どうしますか?
A:行きます。
のやうに、「日本語」の「私(わたくし)」は、「英語」の「(一人称代名詞・単数主格)」等とは異なり、多くの場合にお於いて、「必須」ではない
従って、
(05)~(11)により、
(12)
「日本語に即した文法の樹立を」を目指すわれわれは「日本語人称代名詞と呼ばれているものは、実は名詞だ」と宣言したい。どうしても区別したいなら「人称名詞」で十分だ。日本語の「人称代名詞」はこれからは「人称名詞」と呼ぼう(金谷武洋、日本語文法の謎を解く、2003年、40・41頁)。
といふ「主張」は、「正しい」。
然るに、
(13)
   8 (8)   私&~鈴木              A
から、「b(任意の名前)」を除いて
   8 (8)   私 &~鈴木               A
とするならば、
1    (1)鈴木は社長であって、社長は鈴木である。     A
1    (〃)∃x{鈴木x&社長x&∀y(社長y→x=y)} A
1    (〃)あるxは鈴木であって社長であって、すべてyについて、
        yが社長であるならば、xとyは「同一」である。 A
 2   (2)私は鈴木ではない。               A
 2   (〃)∃y(私y&~鈴木y)             A
 2   (〃)あるyは私であり、yは鈴木ではない。      A
  3  (3)   鈴木a&社長a&∀y(社長y→a=y)  A
  3  (4)   鈴木a                  3&E
    3  (5)       社長a              3&E
  3  (6)           ∀y(社長y→a=y)  3&E
  3  (7)              社長b→a=b   6UE
   8 (8)   私b&~鈴木b              A
   8 (9)   私b                   8&E
   8 (ア)      ~鈴木b              8&E
    イ(イ)       a=b              A
  3 イ(ウ)   鈴木b                  4イ=E
  38イ(エ)   鈴木b&~鈴木b             アウ&I
  38 (オ)      a≠b               イエRAA
  38 ()   私b&ab               9オ&I
  38 (キ)  ~私a                   ∵ であるため。
  38 (ク)   社長a&~私a              5キ&I
  38 (ケ)∃x(社長x&~私x)             クEI
 23  (コ)∃x(社長x&~私x)             28ケEE
12   (サ)∃x(社長x&~私x)             13コEE
12   (〃)あるxは社長であって、xは私ではない。     13コEE
12   (〃)社長は私ではない。               13コEE
といふ「推論」は、成立しない
従って、
(04)~(13)により、
(14)
   8 (8)   臣b&~鈴木b              A
   8 (8)   私b&~鈴木b              A
に於ける「臣・私」ではなく、「(任意の名前)」が、「(一人称代名詞・単数主格)」である。
といふ、ことになる。
従って、
(13)(14)により、
(15)
(任意の名前)」が、「(一人称代名詞・単数主格)」であるが故に、
推論」に於ける「」は、「ウチ、本官、小生、それがし、みども、拙者、愚生、非才、やつがれ、吾輩」であっても、「何でも良い」。


(365)「無不知愛其親者」の「述語論理」。

2019-10-08 07:39:44 | 漢文・述語論理

―「昨日(令和元年10月07日)の記事」を書き直します。―
(01)
① 孩提之童不知愛其親者=
① 孩提之童無其親
① 孩提之童無{不[知〔愛(其親)〕]者}⇒
① 孩提之童{[〔(其親)愛〕知]不者}無=
① 孩提の童も{[〔(其の親を)愛するを〕知ら]不る者}無し=
① 二、三歳の幼児でも自分の親を愛することを知らない者はゐない(孟子、盡心章句上、十五)。
然るに、
(02)
A不一レB [読み]AトシテBセざルハなシ :Aは体言、Bは用言の未然形
(天野 成之、漢文子本語辞典、1999年、324頁)
従って、
(01)(02)により、
(03)
孩提之童不知愛其親者=
② 無孩提之童不其親
② 無{孩提之童不[知〔愛(其親)〕]者}⇒
② {孩提之童[〔(其親)愛〕知]不者}無=
② {孩提の童として[〔(其の親を)愛するを〕知ら]不り者}無し=
② 二、三歳の幼児でも自分の親を愛することを知らない者はゐない。
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
① 孩提之童{不[知〔愛(其親)〕]者}= 孩提の童も、  其の親を愛するを知ら不る者無し
{孩提之童不[知〔愛(其親)〕]者}= 孩提の童として、其の親を愛するを知ら不る者無し
に於いて、
①=② である。
然るに、
(05)
(ⅰ)
1 (1) ∀x{Fx→~∃y(Gyx&~Hxy)} A
1 (2)    Fa→~∃y(Gya&~Hay)  1UE
 3(3)    Fa& ∃y(Gya&~Hay)  A
13(4)    Fa                3&E
13(5)       ~∃y(Gya&~Hay)  24MPP
 3(6)        ∃y(Gya&~Hay)  3&E
13(7)       ~∃y(Gya&~Hay)&
             ∃y(Gya&~Hay)  56&I
1 (8)  ~{Fa& ∃y(Gya&~Hay)} 37RAA
1 (9)∀x~{Fx& ∃y(Gyx&~Hxy)} 8UI
1 (ア)~∃x{Fx& ∃y(Gyx&~Hxy)} 9量化子の関係
(ⅱ)
1 (1)~∃x{Fx& ∃y(Gyx&~Hxy)} A
1 (2)∀x~{Fx& ∃y(Gyx&~Hxy)} 1量化子の関係
1 (3)  ~{Fa& ∃y(Gya&~Hay)} 2UE
1 (4)   ~Fa∨~∃y(Gya&~Hay)  3ド・モルガンの法則
1 (5)    Fa→~∃y(Gya&~Hay)  4含意の定義
1 (6) ∀x{Fx→~∃y(Gyx&~Hxy)} 5UI
従って、
(05)により、
(06)
①   ∀x{Fx→~∃y(Gyx&~Hxy)}
② ~∃x{Fx& ∃y(Gyx&~Hxy)}
に於いて、
①=② である。
従って、
(06)により、
(07)
①   ∀x{Fx→~∃y(Gyx&~Hxy)}
② ~∃x{Fx& ∃y(Gyx&~Hxy)}
に於いて、
F=孩提之童
G=親
H=知愛
とすると、
①  ∀x{孩提之童x→~∃y(親yx&~知愛xy)}
~∃x{孩提之童x& ∃y(親yx&~知愛xy)}
に於いて、すなはち、
① すべてのxについて、xが二歳や三歳の幼児であるならば、あるyがxの親であって、xがyを愛することを知らない、といふことは無い
② xが二歳や三歳の幼児であって、あるyがxの親であって、xがyをyを愛することを知らないといふ、そのやうなxは存在しない(無い)。
に於いて、
①=② である。
従って、
(04)(07)により、
(08)
① 孩提之童{不[知〔愛(其親)〕]者}
{孩提之童不[知〔愛(其親)〕]者}
といふ「語順」の「漢文」は、
①  ∀x{孩提之童x→~∃y(親yx&~知愛xy)}
~∃x{孩提之童x& ∃y(親yx&~知愛xy)}
といふ「語順」の「述語論理式」に相当する。


(363)∀xFx∨∀xGx├ ∀x(Fx∨Gx)(Ⅱ)

2019-10-06 13:33:13 | 論理

(01)
1  (1) ∀xFx∨∀xGx A
 2 (2) ∀xFx      A
 2 (3)   Fa      2UE
 2 (4)   Fa∨Ga   3∨I
 2 (5)∀x(Fx∨Gx)  4UI
  6(6)      ∀xGx A 
  6(7)        Ga 6UE
  6(8)   Fa∨Ga   7∨I
  6(9)∀x(Fx∨Gx)  8UI
1  (ア)∀x(Fx∨Gx)  12569∨E
従って、
(01)により、
(02)
∀xFx∨∀xGx├ ∀x(Fx∨Gx)
であって、この場合、
├ といふ「記号」は、「therefore(故に)」といふ「意味」である。
然るに、
(03)
存在量記号選言の仲間であり、普遍量記号連言の仲間である(E.J.レモン、論理学初歩)。」といふことから、
{a,b,c}が「ドメイン(変域)」であるとして、
∀xFx∨∀xGx├ ∀x(Fx∨Gx)
といふ「連式」は、
(Fa&Fb&Fc)∨(Ga&Gb&Gc)├(Fa∨Ga)&(Fb∨Gb)&(Fc∨Gc)
といふ「それ」に、等しい。
然るに、
(04)
(Fa&Fb&Fc)∨(Ga&Gb&Gc)├(Fa∨Ga)&(Fb∨Gb)&(Fc∨Gc)
といふ「それ」が「成り立つ、理由」は、次にやうに、説明することが出来る。
(05)
「∨(の働き)」により、
(Fa&Fb&Fc)∨(Ga&Gb&Gc)
であるならば、
(Fa&Fb&Fc)であるか、
(Ga&Gb&Gc)であるか、その両方である。
(06)
「&(の働き)」により、
(Fa&Fb&Fc)
であるならば、
 Fa であって、
 Fb であって、
 Fc である。
(07)
「∨(の働き)」により、
 Fa であるならば、Fa∨Ga であり、
 Fb であるならば、Fb∨Gb であり、
 Fc であるならば、Fc∨Gc である。
(08)
「&(の働き)」により、
 Fa∨Ga であり、
 Fb∨Gb であり、
 Fc∨Gc であるならば、
(Fa∨Ga)&(Fb∨Gb)&(Fc∨Gc)
である。
(09)
「&(の働き)」により、
(Ga&Gb&Gc)
であるならば、
 Ga であって、
 Gb であって、
 Gc である。
(10)
「∨(の働き)」により、
 Ga であるならば、Fa∨Ga であり、
 Gb であるならば、Fb∨Gb であり、
 Gc であるならば、Fc∨Gc である。
然るに、
(11)
「&(の働き)」により、
 Fa∨Ga であり、
 Fb∨Gb であり、
 Fc∨Gc であるならば、
(Fa∨Ga)&(Fb∨Gb)&(Fc∨Gc)
従って、
(05)~(11)により、
(12)
(Fa&Fb&Fc)∨(Ga&Gb&Gc)
であるならば、いづれにせよ
(Fa∨Ga)&(Fb∨Gb)&(Fc∨Gc)
である。
従って、
(03)(12)により、
(13)
① ∀xFx∨∀xGx├ ∀x(Fx∨Gx)
②(Fa&Fb&Fc)∨(Ga&Gb&Gc)├(Fa∨Ga)&(Fb∨Gb)&(Fc∨Gc)
であるものの、
{a,b,c}が「ドメイン(変域)」であるとして、
①=② である。
然るに、
(14)
1  (1) ∀xFx∨∀xGx A
 2 (2) ∀xFx      A
 2 (3)   Fa      2UE
 2 (4)   Fa∨Ga   3∨I
 2 (5)∀x(Fx∨Gx)  4UI
  6(6)      ∀xGx A 
  6(7)        Ga 6UE
  6(8)   Fa∨Ga   7∨I
  6(9)∀x(Fx∨Gx)  8UI
1  (ア)∀x(Fx∨Gx)  12569∨E
といふ「計算」は、「(05)~(12)」の「説明」と、「(考へ方としては、全く)同じこと」である。
(15)
1  (1) ∀xFx∨∀xGx A
 2 (2) ∀xFx      A
 2 (3)   Fa      2UE
であれば、
 (05)
 「∨(の働き)」により、
 (Fa&Fb&Fc)∨(Ga&Gb&Gc)
 であるならば、
 (Fa&Fb&Fc)であるか、
 (Ga&Gb&Gc)であるか、その両方である。
 (06)
 「&(の働き)」により、
 (Fa&Fb&Fc)
 であるならば、
  Fa であって、
  Fb であって、
  Fc である。
といふことに、他ならず、
1  (ア)∀x(Fx∨Gx)  12569∨E
であれば、
 (Fa&Fb&Fc)∨(Ga&Gb&Gc)
 であるならば、いづれにせよ、
 (Fa∨Ga)&(Fb∨Gb)&(Fc∨Gc)
 である。
といふことに、他ならない。