―「昨日（令和０２年１０月３０日）の記事」と、内容が、一部、重なります。―
（01）
括弧は、論理演算子のスコープ（ｓｃｏｐｅ）を明示する働きを持つ。スコープは、論理演算子の働きが及ぶ範囲のことをいう。
（産業図書、数理言語学辞典、2013年、四七頁：命題論理、今仁生美）
（02）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲（スコープ）は、問題になっている変数が現れる少なくとも２つの箇所を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（ⅱ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲（スコープ）は、同じ変数を用いたいかなる他の量記号も含まないであろう。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁改）
然るに、
（03）
記号で書けば、Ｒは、
∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
であるときまたそのときに限って非対称的である。
親であるという関係は非対称的である。なぜならば、ａがｂの好であるならば、ｂはａの親ではないからである。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２３２）
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、実際には、
① ∀ｘ［∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）］
といふ風に、書くのが「正しい」。
従って、
（05）
① ∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
に対する「否定」である所の、
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、実際には、
① ～｛∀ｘ［∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）］｝
といふ風に、書くのが「正しい」。
然るに、
（06）
① ～｛∀ｘ［∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）］｝
といふ風に書くのは、「煩はしい」。
従って、
（05）（06）により、
（07）
これまで通り、
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
といふ風に、書くものの、
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
といふ「式」自体は、飽くまでも、
① ～｛∀ｘ［∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）］｝
といふ「意味」である。
然るに、
（08）
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、
①｛すべてのｘとｙについて（ｘがｙを好きであるならば、ｙはｘを好きではない。）｝といふわけではない。
といふ「意味」である。
然るに、
（09）
①｛すべてのｘとｙについて（ｘがｙを好きであるならば、ｙはｘを好きではない。）｝といふわけではない。
といふことは、例へば、
① ａさんが、ｂ君に、告白した場合に、ｂ君も、「ａさんが好きである。」と言ってくれる『可能性』がある。
といふ、ことである。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ∀ｙ（ 好ｘｙ→～好ｙｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～∀ｙ（ 好ｘｙ→～好ｙｘ） １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∃ｙ～（ 好ｘｙ→～好ｙｘ） １量化子の関係
４ （４） ∃ｙ～（ 好ａｙ→～好ｙａ） Ａ
５（５） ～（ 好ａｂ→～好ｂａ） Ａ
５（６） ～（～好ａｂ∨～好ｂａ） ５含意の定義
５（７） （ 好ａｂ＆ 好ｂａ） ６ド・モルガンの法則
５（８） ∃ｙ（ 好ａｙ＆ 好ｙａ） ７ＥＩ
４ （９） ∃ｙ（ 好ａｙ＆ 好ｙａ） ４５８ＥＥ
４ （ア） ∃ｘ∃ｙ（ 好ｘｙ＆ 好ｙｘ） ９ＥＩ
１ （イ） ∃ｘ∃ｙ（ 好ｘｙ＆ 好ｙｘ） １４アＥＥ
（ⅵ）
１ （１） ∃ｘ∃ｙ（ 好ｘｙ＆ 好ｙｘ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（ 好ａｙ＆ 好ｙａ） Ａ
３（３） （ 好ａｂ＆ 好ｂａ） Ａ
３（４） ～（～好ａｂ∨～好ｂａ） ３ド・モルガンの法則
３（５） ～（ 好ａｂ→～好ｂａ） ４含意の定義
３（６） ∃ｙ～（ 好ａｙ→～好ｙａ） ５ＥＩ
２ （７） ∃ｙ～（ 好ａｙ→～好ｙａ） ２３６ＥＥ
２ （８）∃ｘ∃ｙ～（ 好ｘｙ→～好ｙｘ） ７ＥＩ
１ （９）∃ｘ∃ｙ～（ 好ｘｙ→～好ｙｘ） １２８ＥＥ
１ （ア）∃ｘ～∀ｙ（ 好ｘｙ→～好ｙｘ） ９量化子の関係
１ （イ）～∀ｘ∀ｙ（ 好ｘｙ→～好ｙｘ） ア量化子の関係
従って、
（10）により、
（11）
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
② ∃ｘ∃ｙ（好ｘｙ＆ 好ｙｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（12）
② ∃ｘ∃ｙ（好ｘｙ＆好ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、
②｛ｘとｙ｝の｛変域（ドメイン）｝が、
②｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３人｝であるとすると、
②｛（好ａａ＆好ａａ）∨（好ａｂ＆好ｂａ）∨（好ａｃ＆好ｃａ）｝∨｛（好ｂａ＆好ａｂ）∨（好ｂｂ＆好ｂｂ）∨（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝∨｛（好ｃａ＆好ａｃ）∨（好ｃｂ＆好ｂｃ）∨（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝
といふ「式」に、「等しい」。
然るに、
（13）
「ド・モルガンの法則」により、
②｛（好ａａ＆好ａａ）∨（好ａｂ＆好ｂａ）∨（好ａｃ＆好ｃａ）｝∨｛（好ｂａ＆好ａｂ）∨（好ｂｂ＆好ｂｂ）∨（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝∨｛（好ｃａ＆好ａｃ）∨（好ｃｂ＆好ｂｃ）∨（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝
といふ「式」は、
③ ～〈～｛（好ａａ＆好ａａ）∨（好ａｂ＆好ｂａ）∨（好ａｃ＆好ｃａ）｝＆～｛（好ｂａ＆好ａｂ）∨（好ｂｂ＆好ｂｂ）∨（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝＆～｛（好ｃａ＆好ａｃ）∨（好ｃｂ＆好ｂｃ）∨（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝〉
といふ「式」に、「等しい」。
（14）
「ド・モルガンの法則」により、
③ ～〈～｛（好ａａ＆好ａａ）∨（好ａｂ＆好ｂａ）∨（好ａｃ＆好ｃａ）｝＆～｛（好ｂａ＆好ａｂ）∨（好ｂｂ＆好ｂｂ）∨（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝＆～｛（好ｃａ＆好ａｃ）∨（好ｃｂ＆好ｂｃ）∨（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝〉
といふ「式」は、
④ ～〈｛～（好ａａ＆好ａａ）＆～（好ａｂ＆好ｂａ）＆～（好ａｃ＆好ｃａ）｝＆｛～（好ｂａ＆好ａｂ）＆～（好ｂｂ＆好ｂｂ）＆～（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝＆｛～（好ｃａ＆好ａｃ）＆～（好ｃｂ＆好ｂｃ）＆～（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝〉
といふ「式」に、「等しい」。
（15）
「ド・モルガンの法則」により、
④ ～〈｛～（好ａａ＆好ａａ）＆～（好ａｂ＆好ｂａ）＆～（好ａｃ＆好ｃａ）｝＆｛～（好ｂａ＆好ａｂ）＆～（好ｂｂ＆好ｂｂ）＆～（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝＆｛～（好ｃａ＆好ａｃ）＆～（好ｃｂ＆好ｂｃ）＆～（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝〉
といふ「等式」は、
④ ～〈｛（～好ａａ∨～好ａａ）＆（～好ａｂ∨～好ｂａ）＆（～好ａｃ∨～好ｃａ）｝＆｛（～好ｂａ∨～好ａｂ）＆（～好ｂｂ∨～好ｂｂ）＆（～好ｂｃ∨～好ｃｂ）｝＆｛（～好ｃａ∨～好ａｃ）＆（～好ｃｂ∨～好ｂｃ）＆（～好ｃｃ∨～好ｃｃ）｝〉
といふ「式」に、「等しい」。
（16）
「含意の定義」により、
④ ～〈｛（～好ａａ∨～好ａａ）＆（～好ａｂ∨～好ｂａ）＆（～好ａｃ∨～好ｃａ）｝＆｛（～好ｂａ∨～好ａｂ）＆（～好ｂｂ∨～好ｂｂ）＆（～好ｂｃ∨～好ｃｂ）｝＆｛（～好ｃａ∨～好ａｃ）＆（～好ｃｂ∨～好ｂｃ）＆（～好ｃｃ∨～好ｃｃ）｝〉
といふ「式」は、
⑤ ～〈｛（好ａａ→～好ａａ）＆（好ａｂ→～好ｂａ）＆（好ａｃ→～好ｃａ）｝＆｛（好ｂａ→～好ａｂ）＆（好ｂｂ→～好ｂｂ）＆（好ｂｃ→～好ｃｂ）｝＆｛（好ｃａ→～好ａｃ）＆（好ｃｂ→～好ｂｃ）＆（好ｃｃ→～好ｃｃ）｝〉
といふ「式」に、「等しい」。
従って、
（12）～（16）により、
（17）
②｛（好ａａ＆好ａａ）∨（好ａｂ＆好ｂａ）∨（好ａｃ＆好ｃａ）｝∨｛（好ｂａ＆好ａｂ）∨（好ｂｂ＆好ｂｂ）∨（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝∨｛（好ｃａ＆好ａｃ）∨（好ｃｂ＆好ｂｃ）∨（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝
といふ「式」は、
⑤ ～〈｛（好ａａ→～好ａａ）＆（好ａｂ→～好ｂａ）＆（好ａｃ→～好ｃａ）｝＆｛（好ｂａ→～好ａｂ）＆（好ｂｂ→～好ｂｂ）＆（好ｂｃ→～好ｃｂ）｝＆｛（好ｃａ→～好ａｃ）＆（好ｃｂ→～好ｂｃ）＆（好ｃｃ→～好ｃｃ）｝〉
といふ「式」に、「等しい」。
然るに、
（18）
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、
⑤｛ｘとｙ｝の｛変域（ドメイン）｝が、
⑤｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３人｝であるとすると、
⑤ ～〈｛（好ａａ→～好ａａ）＆（好ａｂ→～好ｂａ）＆（好ａｃ→～好ｃａ）｝＆｛（好ｂａ→～好ａｂ）＆（好ｂｂ→～好ｂｂ）＆（好ｂｃ→～好ｃｂ）｝＆｛（好ｃａ→～好ａｃ）＆（好ｃｂ→～好ｂｃ）＆（好ｃｃ→～好ｃｃ）｝〉
といふ「式」に、「等しい」。
従って、
（11）（12）（18）により、
（19）
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
② ∃ｘ∃ｙ（好ｘｙ＆ 好ｙｘ）
に於いて、
①＝② である。 といふことは、
①｛ｘとｙ｝の｛変域（ドメイン）｝が、
②｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３人｝であるとすると、
① ～〈｛（好ａａ→～好ａａ）＆（好ａｂ→～好ｂａ）＆（好ａｃ→～好ｃａ）｝＆｛（好ｂａ→～好ａｂ）＆（好ｂｂ→～好ｂｂ）＆（好ｂｃ→～好ｃｂ）｝＆｛（好ｃａ→～好ａｃ）＆（好ｃｂ→～好ｂｃ）＆（好ｃｃ→～好ｃｃ）｝〉
②｛（好ａａ＆好ａａ）∨（好ａｂ＆好ｂａ）∨（好ａｃ＆好ｃａ）｝∨｛（好ｂａ＆好ａｂ）∨（好ｂｂ＆好ｂｂ）∨（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝∨｛（好ｃａ＆好ａｃ）∨（好ｃｂ＆好ｂｃ）∨（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝
に於いて、
①＝② である。 といふことに、他ならない。
然るに、
（20）
②｛（好ａａ＆好ａａ）∨（好ａｂ＆好ｂａ）∨（好ａｃ＆好ｃａ）｝∨｛（好ｂａ＆好ａｂ）∨（好ｂｂ＆好ｂｂ）∨（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝∨｛（好ｃａ＆好ａｃ）∨（好ｃｂ＆好ｂｃ）∨（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝
といふ「式」は、
（ⅰ）（好ａａ＆好ａａ）
（ⅱ）（好ａｂ＆好ｂａ）
（ⅲ）（好ａｃ＆好ｃａ）
（ⅳ）（好ｂａ＆好ａｂ）
（ⅴ）（好ｂｂ＆好ｂｂ）
（ⅵ）（好ｂｃ＆好ｃｂ）
（ⅶ）（好ｃａ＆好ａｃ）
（ⅷ）（好ｃｂ＆好ｂｃ）
（ⅸ）（好ｃｃ＆好ｃｃ）
といふ「９通り」の内の、「少なくとも、１個（、多ければ、９個）」が「真（本当）」である。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
（20）により、
（21）
②｛（好ａａ＆好ａａ）∨（好ａｂ＆好ｂａ）∨（好ａｃ＆好ｃａ）｝∨｛（好ｂａ＆好ａｂ）∨（好ｂｂ＆好ｂｂ）∨（好ｂｃ＆好ｃｂ）｝∨｛（好ｃａ＆好ａｃ）∨（好ｃｂ＆好ｂｃ）∨（好ｃｃ＆好ｃｃ）｝
が「真（本当）」である場合は、
（ⅱ）（好ａｂ＆好ｂａ）≡（ａはｂが好きであり、ｂもａが好きである。）
（ⅳ）（好ｂａ＆好ａｂ）≡（ｂはａが好きであり、ａもｂが好きである。
といふ「２通り」が、「真（本当）」であることが『可能』である。
従って、
（09）（19）（20）（21）
（22）
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
② ∃ｘ∃ｙ（好ｘｙ＆ 好ｙｘ）
に於いて、
①＝② であるが故に、
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）⇔
①｛すべてのｘとｙについて（ｘがｙを好きであるならば、ｙはｘを好きではない。）｝といふわけではない。
といふことは、
①｛ａさんが、ｂ君に、告白した場合に、ｂ君も、「ａさんが好きである。」と言ってくれる。｝といふ『可能性』がある。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
（23）
私の場合は、「様相論理」のことは、「何も知らない」に等しいものの、
「大窪徳行・田畑博敏、論理学の方法、1994年、１９２頁」を見ると、
《形成規則》 Ⅰ 記号規則
（１）文論理の記号
（２）□（必然と読む）
Ⅲ 定義
ＤＳ2‐1 ◇α＝df～□～α（◇を可能と読む）
といふ風に、書かれてゐる。
従って、
（23）により、
（24）
「様相論理」の場合は、
「αであることが、可能である。」 といふことを、
「αでないことが、必然ではない。」といふ風に、「定義」してゐる。
然るに、
（22）により、
（25）
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）⇔
①｛すべてのｘとｙについて（ｘがｙを好きであるならば、ｙはｘを好きではない。）｝といふわけではない。
の場合は、
① ∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）⇔
① すべてのｘとｙについて（ｘがｙを好きであるならば、ｙはｘを好きではない。）
に対する「否定」である。
然るに、
（26）
① すべてのｘとｙについて（ｘがｙを好きであるならば、ｙはｘを好きではない。）
といふのであれば、
①｛ａさんが、ｂ君に、告白した場合に、ｂ君も、「ａさんが好きである。」と言ってくれる。｝といふ『可能性』は、「０％」である。
従って、
（26）により、
（27）
① すべてのｘとｙについて（ｘがｙを好きであるならば、ｙはｘを好きではない。）
といふのであれば、『必然的』に、
① ａさんが、ｂ君に、告白した場合に、ｂ君も、「ａさんが好きである。」と言ってはくれない。
従って、
（25）（26）（27）により、
（28）
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
② ∃ｘ∃ｙ（好ｘｙ＆ 好ｙｘ）
に於いて、
①＝② である。
といふことは、
①｛ａさんが、ｂ君に、告白した場合に、ｂ君が、「ａさんを好きである。」とは、言はない。｝といふことが、『必然』ではない。
②｛ａさんが、ｂ君に、告白した場合に、ｂ君も、「ａさんが好きである。」と言ってくれる。｝といふことは、『可能』である。
に於いて、
①＝② である。
といふことに、「等しい」。
従って、
（22）～（28）により、
（29）
「様相論理」が、
「αであることが、可能である。」 といふことを、
「αでないことが、必然ではない。」といふ風に、「定義」してゐる。
といふことと、「述語論理」に於いて、
① ～∀ｘ∀ｙ（好ｘｙ→～好ｙｘ）
② ∃ｘ∃ｙ（好ｘｙ＆ 好ｙｘ）
に於いて、
①＝② である。
といふことの間には、「同じやうな関係」が有る。
といふ風に、言へさうである。
（01）
記号で書けば、Ｒは、
∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
であるときまたそのときに限って非対称的（asymmetric）である。
親であるという関係は非対称的である。なぜならば、ａがｂの親であるならば、ｂはａの親ではないからである。
The relationship of being a parent is asymmetric. Since, if a is a parent of b, then b is not a parent of a.
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２３２頁改）
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
② ～∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
① は、「真（本当）」であるが、その「否定」である、
② は、「偽（ウソ）」である。
然るに、
（04）
｛ｘとｙ｝の｛変域（ドメイン）｝が、
｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３人｝であるとすると、
① ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、
①｛（親ａａ→～親ａａ）＆（親ａｂ→～親ｂａ）＆（親ａｃ→～親ｃａ）｝＆｛（親ｂａ→～親ａｂ）＆（親ｂｂ→～親ｂｂ）＆（親ｂｃ→～親ｃｂ）｝＆｛（親ｃａ→～親ａｃ）＆（親ｃｂ→～親ｂｃ）＆（親ｃｃ→～親ｃｃ）｝
といふ風に、「展開（expand）」出来る。
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「述語論理式」に対して、その「否定」である、
② ～∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、
② ～〈｛（親ａａ→～親ａａ）＆（親ａｂ→～親ｂａ）＆（親ａｃ→～親ｃａ）｝＆｛（親ｂａ→～親ａｂ）＆（親ｂｂ→～親ｂｂ）＆（親ｂｃ→～親ｃｂ）｝＆｛（親ｃａ→～親ａｃ）＆（親ｃｂ→～親ｂｃ）＆（親ｃｃ→～親ｃｃ）｝〉
といふ風に、「展開（expand）」出来る。
然るに、
（05）により、
（06）
「ド・モルガンの法則」により、
② ～〈｛（親ａａ→～親ａａ）＆（親ａｂ→～親ｂａ）＆（親ａｃ→～親ｃａ）｝＆｛（親ｂａ→～親ａｂ）＆（親ｂｂ→～親ｂｂ）＆（親ｂｃ→～親ｃｂ）｝＆｛（親ｃａ→～親ａｃ）＆（親ｃｂ→～親ｂｃ）＆（親ｃｃ→～親ｃｃ）｝〉
③ ～｛（親ａａ→～親ａａ）＆（親ａｂ→～親ｂａ）＆（親ａｃ→～親ｃａ）｝∨～｛（親ｂａ→～親ａｂ）＆（親ｂｂ→～親ｂｂ）＆（親ｂｃ→～親ｃｂ）｝＆｛（親ｃａ→～親ａｃ）∨（親ｃｂ→～親ｂｃ）＆（親ｃｃ→～親ｃｃ）｝
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（06）により、
（07）
「含意の定義」により、
③ ～｛（親ａａ→～親ａａ）＆（親ａｂ→～親ｂａ）＆（親ａｃ→～親ｃａ）｝∨～｛（親ｂａ→～親ａｂ）＆（親ｂｂ→～親ｂｂ）＆（親ｂｃ→～親ｃｂ）｝＆｛（親ｃａ→～親ａｃ）∨～（親ｃｂ→～親ｂｃ）＆（親ｃｃ→～親ｃｃ）｝
④ ～｛（～親ａａ∨～親ａａ）＆（～親ａｂ∨～親ｂａ）＆（～親ａｃ∨～親ｃａ）｝∨～｛（～親ｂａ∨～親ａｂ）＆（～親ｂｂ∨～親ｂｂ）＆（～親ｂｃ∨～親ｃｂ）｝＆｛（～親ｃａ∨～親ａｃ）∨（～親ｃｂ∨～親ｂｃ）＆（～親ｃｃ∨～親ｃｃ）｝
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（07）により、
（08）
「ド・モルガンの法則」により、
④ ～｛（～親ａａ∨～親ａａ）＆（～親ａｂ∨～親ｂａ）＆（～親ａｃ∨～親ｃａ）｝∨～｛（～親ｂａ∨～親ａｂ）＆（～親ｂｂ∨～親ｂｂ）＆（～親ｂｃ∨～親ｃｂ）｝＆｛（～親ｃａ∨～親ａｃ）∨～（～親ｃｂ∨～親ｂｃ）＆（～親ｃｃ∨～親ｃｃ）｝
⑤ ｛～（～親ａａ∨～親ａａ）∨～（～親ａｂ∨～親ｂａ）∨～（～親ａｃ∨～親ｃａ）｝∨｛～（～親ｂａ∨～親ａｂ）∨～（～親ｂｂ∨～親ｂｂ）∨～（～親ｂｃ∨～親ｃｂ）｝∨｛～（～親ｃａ∨～親ａｃ）∨～（～親ｃｂ∨～親ｂｃ）∨～（～親ｃｃ∨～親ｃｃ）｝
に於いて、
④＝⑤ である。
然るに、
（08）により、
（09）
「ド・モルガンの法則」により、
⑤ ｛～（～親ａａ∨～親ａａ）∨～（～親ａｂ∨～親ｂａ）∨～（～親ａｃ∨～親ｃａ）｝∨｛～（～親ｂａ∨～親ａｂ）∨～（～親ｂｂ∨～親ｂｂ）∨～（～親ｂｃ∨～親ｃｂ）｝∨｛～（～親ｃａ∨～親ａｃ）∨～（～親ｃｂ∨～親ｂｃ）∨～（～親ｃｃ∨～親ｃｃ）｝
⑥ ｛（親ａａ＆親ａａ）∨（親ａｂ＆親ｂａ）∨（親ａｃ＆親ｃａ）｝∨｛（親ｂａ＆親ａｂ）∨（親ｂｂ＆親ｂｂ）∨（親ｂｃ＆親ｃｂ）｝∨｛（親ｃａ＆親ａｃ）∨（親ｃｂ＆親ｂｃ）∨（親ｃｃ＆親ｃｃ）｝
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
② ～〈｛（親ａａ→～親ａａ）＆（親ａｂ→～親ｂａ）＆（親ａｃ→～親ｃａ）｝＆｛（親ｂａ→～親ａｂ）＆（親ｂｂ→～親ｂｂ）＆（親ｂｃ→～親ｃｂ）｝＆｛（親ｃａ→～親ａｃ）＆（親ｃｂ→～親ｂｃ）＆（親ｃｃ→～親ｃｃ）｝〉
⑥ ｛（親ａａ＆親ａａ）∨（親ａｂ＆親ｂａ）∨（親ａｃ＆親ｃａ）｝∨｛（親ｂａ＆親ａｂ）∨（親ｂｂ＆親ｂｂ）∨（親ｂｃ＆親ｃｂ）｝∨｛（親ｃａ＆親ａｃ）∨（親ｃｂ＆親ｂｃ）∨（親ｃｃ＆親ｃｃ）｝
に於いて、
②＝⑥ である。
然るに、
（11）
｛ｘとｙ｝の｛変域（ドメイン）｝が、
｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３人｝であるとすると、
② ～〈｛（親ａａ→～親ａａ）＆（親ａｂ→～親ｂａ）＆（親ａｃ→～親ｃａ）｝＆｛（親ｂａ→～親ａｂ）＆（親ｂｂ→～親ｂｂ）＆（親ｂｃ→～親ｃｂ）｝＆｛（親ｃａ→～親ａｃ）＆（親ｃｂ→～親ｂｃ）＆（親ｃｃ→～親ｃｃ）｝〉
⑥ ｛（親ａａ＆親ａａ）∨（親ａｂ＆親ｂａ）∨（親ａｃ＆親ｃａ）｝∨｛（親ｂａ＆親ａｂ）∨（親ｂｂ＆親ｂｂ）∨（親ｂｃ＆親ｃｂ）｝∨｛（親ｃａ＆親ａｃ）∨（親ｃｂ＆親ｂｃ）∨（親ｃｃ＆親ｃｃ）｝
といふ「式」は、
② ～〈∀ｘ｛∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）｝〉
⑥ ∃ｘ｛∃ｙ（親ｘｙ＆ 親ｙｘ）｝
といふ「述語論理式」に、「相当」する。
然るに、
（12）
② ～〈∀ｘ｛∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）｝〉
⑥ ∃ｘ｛∃ｙ（親ｘｙ＆ 親ｙｘ）｝
といふ「述語論理式」は、普通は、
②〈｛ ｝〉
⑥ ｛ ｝
を「省略」して、
② ～∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
⑥ ∃ｘ∃ｙ（親ｘｙ＆ 親ｙｘ）
といふ風に、書く。
然るに、
（13）
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ∀ｙ（ 親ｘｙ→～親ｙｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～∀ｙ（ 親ｘｙ→～親ｙｘ） １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∃ｙ～（ 親ｘｙ→～親ｙｘ） １量化子の関係
４ （４） ∃ｙ～（ 親ａｙ→～親ｙａ） Ａ
５（５） ～（ 親ａｂ→～親ｂａ） Ａ
５（６） ～（～親ａｂ∨～親ｂａ） ５含意の定義
５（７） （ 親ａｂ＆ 親ｂａ） ６ド・モルガンの法則
５（８） ∃ｙ（ 親ａｙ＆ 親ｙａ） ７ＥＩ
４ （９） ∃ｙ（ 親ａｙ＆ 親ｙａ） ４５８ＥＥ
４ （ア） ∃ｘ∃ｙ（ 親ｘｙ＆ 親ｙｘ） ９ＥＩ
１ （イ） ∃ｘ∃ｙ（ 親ｘｙ＆ 親ｙｘ） １４アＥＥ
（ⅵ）
１ （１） ∃ｘ∃ｙ（ 親ｘｙ＆ 親ｙｘ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（ 親ａｙ＆ 親ｙａ） Ａ
３（３） （ 親ａｂ＆ 親ｂａ） Ａ
３（４） ～（～親ａｂ∨～親ｂａ） ３ド・モルガンの法則
３（５） ～（ 親ａｂ→～親ｂａ） ４含意の定義
３（６） ∃ｙ～（ 親ａｙ→～親ｙａ） ５ＥＩ
２ （７） ∃ｙ～（ 親ａｙ→～親ｙａ） ２３６ＥＥ
２ （８）∃ｘ∃ｙ～（ 親ｘｙ→～親ｙｘ） ７ＥＩ
１ （９）∃ｘ∃ｙ～（ 親ｘｙ→～親ｙｘ） １２８ＥＥ
１ （ア）∃ｘ～∀ｙ（ 親ｘｙ→～親ｙｘ） ９量化子の関係
１ （イ）～∀ｘ∀ｙ（ 親ｘｙ→～親ｙｘ） ア量化子の関係
従って、
（13）により、
（14）
② ～∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
⑥ ∃ｘ∃ｙ（親ｘｙ＆ 親ｙｘ）
に於いて、
②＝⑥ である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
② ～∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、「括弧」を「省略」しないのであれば、
② ～〈∀ｘ｛∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）｝〉
といふ風に、書かなければ、ならない。
然るに、
（16）
Ｆａ または（ ）を省略して Ｆａ
というように書く。こうすれば「ａ」の位置にくる語（名詞、代名詞等）は主語を、「Ｆ」の位置に語（名詞、形容詞、動詞等）は述語を表わすことになる。
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１１６頁）
然るに、
（17）
② 親ｘｙ は、（ｘ）ではなく、（ｘとｙ）に関する「命題関数」であって、
② ～親ｙｘ は、（ｙ）ではなく、（ｙとｘ）に関する「命題関数」である。
従って、
（16）（17）により、
（18）
② 親ｘｙ といふ「命題関数」は、 親（ｘｙ） と書くのが「正しく」、
② ～親ｙｘ といふ「命題関数」は、～親（ｘｙ） と書くのが「正しい」。
然るに、
（19）
② ～親（ｘｙ） は、
② 親 の「否定」ではなく、
② 親（ｘｙ） の、「否定」である。
従って、
（18）（19）により、
（20）
② 親ｘｙ
② ～親ｙｘ
といふ「命題関数」は、実際には、
② 親（ｘｙ）
② ～〔親（ｙｘ）〕
といふ風に、書くのが「正しい」。
従って、
（15）（20）により、
（21）
② ～∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「述語論理式」は、「括弧」を「省略」しないのであれば、
② ～〈∀ｘ｛∀ｙ［親（ｘｙ）→～〔親（ｙｘ）〕］｝〉
といふ風に、書かなければ、ならない。
然るに、
（22）
② ～〈∀ｘ｛∀ｙ［親（ｘｙ）→～〔親（ｙｘ）〕］｝〉
に於いて、
② ～〈 〉⇒〈 〉～
② ∀ｘ｛ ｝⇒｛ ｝∀ｘ
② ∀ｙ［ ］⇒［ ］∀ｙ
② 親（ ）⇒（ ）親
② ～〔 〕⇒〔 〕～
② 親（ ）⇒（ ）親
といふ「移動」を行ふと、
② ～〈∀ｘ｛∀ｙ［親（ｘｙ）→～〔親（ｙｘ）〕］｝〉⇒
② 〈｛［（ｘｙ）親→〔（ｙｘ）親〕～］∀ｙ｝∀ｘ〉～＝
② 〈｛［（ｘがｙの）親であるならば〔（ｙがｘの）親で〕ないといふことは］すべてのｙと｝ｘに於いて、正しい〉といふわけではない。
といふ、「語順」になる。
然るに、
（23）
②〈｛［（ｘがｙの）親であるならば〔（ｙがｘの）親で〕ないといふことは］すべてのｙと｝ｘに於いて、正しい〉といふわけではない。
といふことは、
② ｘがｙの親であって、ｙもｘの親である。
といふことを、「否定」していゐないため、「明らかに、偽」である。
然るに、
（24）
②〈｛［（ｘがｙの）親であるならば〔（ｙがｘの）親で〕ないといふことは］すべてのｙと｝ｘに於いて、正しい〉といふわけではない。
に対して、
③〈｛［（ｘがｙを）愛してゐるならば〔（ｙはｘを）愛して〕ないといふことは］すべてのｙと｝ｘに於いて、正しい〉といふわけではない。
の場合は、「明らかに、真」である。
従って、
（21）～（24）により、
（25）
② ～∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
③ ～∀ｘ∀ｙ（愛ｘｙ→～愛ｙｘ）
といふ「述語論理式」には、
② ～〈∀ｘ｛∀ｙ［親（ｘｙ）→～〔親（ｙｘ）〕］｝〉
③ ～〈∀ｘ｛∀ｙ［愛（ｘｙ）→～〔愛（ｙｘ）〕］｝〉
といふ「括弧」が付いてゐるが故に、
② は「偽（ウソ）」であって、
③ は「真（本当）」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（26）
③ ～∀ｘ∀ｙ愛ｘｙ→～愛ｙｘ。
に対して、
③ ～レ∀‐ｘレ∀‐ｙ下愛二ｘｙ一→～上レ愛二ｙｘ一。
といふ「返り点」を付けるならば、この場合も、
③〈｛［（ｘがｙを）愛してゐるならば〔（ｙはｘを）愛して〕ないといふことは］すべてのｙと｝ｘに於いて、正しい〉といふわけではない。
といふ「語順」で、読むことなる。
従って、
（21）～（26）により、
（27）
③ ～レ∀‐ｘレ∀‐ｙ下愛二ｘｙ一→～上レ愛二ｙｘ一。
といふ「返り点」は、
③ ～〈∀ｘ｛∀ｙ［愛（ｘｙ）→～〔愛（ｙｘ）〕］｝〉
といふ「括弧」に、「相当」する。
然るに、
（28）
「正しく」は、
③ ～〈∀ｘ｛∀ｙ［愛（ｘｙ）→～〔愛（ｙｘ）〕］｝〉
であったとしても、
③ ～〈∀ｘ｛∀ｙ［愛（ｘｙ）→～〔愛（ｙｘ）〕］｝〉
と書くのは、「煩わしい」し、
③ ～レ∀‐ｘレ∀‐ｙ下愛二ｘｙ一→～上レ愛二ｙｘ一。
といふ風に、書かうと思ふ人間はゐない。
従って、
（29）
③ ～〈∀ｘ｛∀ｙ［愛（ｘｙ）→～〔愛（ｙｘ）〕］｝〉
③ ～レ∀‐ｘレ∀‐ｙ下愛二ｘｙ一→～上レ愛二ｙｘ一。
といふ風には、書かれずに、
③ ～∀ｘ∀ｙ（愛ｘｙ→～愛ｙｘ）
といふ風に書くことが、「習慣」になってゐる。
（01）
記号で書けば、Ｒは、
（３）∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
であるときまたそのときに限って非対称的である。
親であるという関係は非対称的である。なぜならば、ａがｂの親であるならば、ｂはａの親ではないからである。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２３２頁）
従って、
（01）により、
（02）
例へば、
① ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
に於いて、
② 親ｘｙ は、（ｘとｙ）に関する「命題関数」であって、
② ～親ｙｘ は、（ｙとｘ）に関する「命題関数」である。
従って、
（03）により、
（04）
実際には、
② 親ｘｙ といふ「命題関数」は、 親（ｘｙ） と書くのが「正しく」、
② ～親ｙｘ といふ「命題関数」は、～親（ｘｙ） と書くのが「正しい」。
然るに、
（05）
② ～親（ｘｙ） は、
② 親（ｘｙ） の、「否定」である。
従って、
（05）により、
（06）
実際には、
② ～親（ｘｙ） といふ「命題関数」は、
② ～〔親（ｘｙ）〕 と書くのが「正しい」。
然るに、
（07）
｛ｘとｙ｝の｛変域（ドメイン）｝が、
｛ａ，ｂ，ｃ｝の｛３人｝であるとすると、
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「論理式」は、
（ⅰ） （親ｘｙ→～親ｙｘ）
（ⅱ） （親ｘａ→～親ａｘ）＆（親ｘｂ→～親ｂｘ）＆（親ｘｃ→～親ｃｘ）
（ⅲ）｛（親ａａ→～親ａａ）＆（親ａｂ→～親ｂａ）＆（親ａｃ→～親ｃａ）｝＆
（〃）｛（親ｂａ→～親ａｂ）＆（親ｂｂ→～親ｂｂ）＆（親ｂｃ→～親ｃｂ）｝＆
（〃）｛（親ｃａ→～親ａｃ）＆（親ｃｂ→～親ｂｃ）＆（親ｃｃ→～親ｃｃ）｝
といふ風に、「展開（expand）」出来る。
従って、
（07）により、
（08）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「論理式」は、
② ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ） といふ「連言」の、更に、
② ∀ｘ｛∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）｝ といふ「連言」である。
従って、
（08）により、
（09）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「論理式」には、実際には、
② ∀ｘ｛∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）｝
といふ「括弧」が有る。
従って、
（04）（06）（09）により、
（10）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「論理式」には、
② ∀ｘ｛∀ｙ［親（ｘｙ）→～〔親（ｙｘ）〕］｝
といふ「括弧」が、無ければ、ならない。
然るに、
（11）
② ∀ｘ｛∀ｙ［親（ｘｙ）→～〔親（ｙｘ）〕］｝
に於いて、
② ∀ｘ｛ ｝⇒｛ ｝∀ｘ
② ∀ｙ［ ］⇒［ ］∀ｙ
② 親（ ）⇒（ ）親
② 親（ ）⇒（ ）親
② ～〔 〕⇒〔 〕～
といふ「移動」を行ふと、
② ∀ｘ｛∀ｙ［親（ｘｙ）→～〔親（ｙｘ）〕］｝⇒
② ｛［（ｘｙ）親→〔（ｙｘ）親〕～］∀ｙ｝∀ｘ＝
② ｛［（ｘがｙの）親であるならば〔（ｙがｘの）親で〕ない。といふことは］すべてのｙと｝すべてのｘに於いて、正しい。
といふ「語順で読む」ことになる。
然るに、
（12）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「論理式」に対して、
② ∀ｘレ∀ｙ乙（親二ｘｙ一→～甲レ親中ｙｘ上）
といふ「返り点」を加へるならば、
② ∀ｘ｛∀ｙ［親（ｘｙ）→～〔親（ｙｘ）〕］｝⇒
② ｛［（ｘｙ）親→〔（ｙｘ）親〕～］∀ｙ｝∀ｘ＝
② ｛［（ｘがｙの）親であるならば〔（ｙがｘの）親で〕ない。といふことは］すべてのｙと｝すべてのｘに於いて、正しい。
といふ「語順で読む」ことになる。
然るに、
（01）（12）により、
（13）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「論理式」を、
② ｛［（ｘがｙの）親であるならば〔（ｙがｘの）親で〕ない。といふことは］すべてのｙと｝すべてのｘに於いて、正しい。
といふ風に、「理解」することは、
② 親であるという関係は非対称的である。なぜならば、ａがｂの親であるならば、ｂはａの親ではないからである。
② The relationship of being a parent is asymmetric. Since, if a is a parent of b, then b is not a parent of a.
といふことからも、「明らかに、正しい」。
然るに、
（14）
「英語」の場合は、
② ～親ｙｘ
といふ「語順」を、
② ｙ is not a parent of ｘ.
といふ「順番」で読むことになるため、（01）により、
① ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
といふ「論理式」を書いた、「E.J.レモン（イギリス人）」であっても、
① ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
といふ「人工言語」を、「そのまま、左から右へ、読んでゐる」といふわけではない。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
といふ「論理式」に対して、
② ∀ｘレ∀ｙ下（親二ｘｙ一→～上レ親二ｙｘ一）
といふ「返り点」を加へることによって、
② ｛［（ｘがｙの）親であるならば〔（ｙがｘの）親で〕ない。といふことは］すべてのｙと｝すべてのｘに於いて、正しい。
といふ「語順で読む」ことが、「邪道（正当ではない方法）」である。とされることは、ないはずである。
然るに、
（16）
（青木）二百年前、正徳の昔に於て荻生徂徠は夙に道破した。漢学の授業法はまず支那語から取りかからねばならぬ。教うるに俗語を以てし、誦するに支那音を以てし、訳するに日本の俗語を以てし、決して和訓廻環の読み方をしてはならぬ。先ず零細な二字三字の短句から始めて、後には纏った書物を読ませる、斯くて支那語が熟達して支那人と同様になつてから、而る後段々と経子史集四部の書を読ませると云う風にすれば破竹の如しだ、是が最良の策だ（勉誠出版、「訓読」論、2008年、５６頁）。
（17）
（倉石）徂徠は、単に唐音を操るといふ様なことに満足せず、漢文を学ぶには先ず支那語からとりかり、支那の俗語をば支那語で暗誦させ、これを日本語の俗語に訳し、決して和訓の顚倒読みをしてはならない。始めは零細な二字三字の句から始めて、遂に纏った書物を読ます、支那語が支那人ほど熟達してから、古い書物を読ませば、破竹の勢いで進歩すると説いたこれは、今日の様に外国語に対する理念が発達した時代から見れば、何の不思議もないことであるが、その当時、つとに、かかる意見を吐いたのは、たしかに一世に抜きんでた見識に相違ない（勉誠出版、「訓読」論、2008年、５６頁）。
（18）
大学に入っても、一般に中国文学科では訓読法を指導しない。漢文つまり古典中国語も現代中国語で発音してしまうのが通例で、訓読法なぞ時代遅れの古臭い方法だと蔑む雰囲気さえ濃厚だという（古田島洋介、日本近代史を学ぶための、文語文入門、2013年、はじめに ⅳ）。
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
「同じく、人工言語」であったとしても、「述語論理」とは異なり、例へば、
③ 是以大學始敎必使學者即凡天下之物莫不因其已知之理而益極之以求至乎其極＝
③ 是以、大學始敎、必使下 學者即二 凡天下之物一、莫上レ 不下 因二 其已知之理一、益々極レ 之、以求上レ 至二 乎其極一＝
③ 是以、大學始敎、必使〈學者即（凡天下之物）、莫｛不［因（其已知之理）、而益極（之）、以求〔至（乎其極）〕］｝〉⇒
③ 是以、大學始敎、必〈學者（凡天下之物）即、｛［（其已知之理）因、而益（之）極、以〔（乎其極）至〕求］不｝莫〉使＝
③ 是を以て、大學の始敎は、必ず〈學者をして（凡そ天下の物に）即きて、｛［（其の已に知るの理に）因って、益々（之を）極め、以て〔（其の極に）至るを〕求め］不るを｝莫から〉使む＝
③ そのため、大學の敎へを始める際には、必ず〈學者をして（凡そ天下の物に）ついて、｛［（その學者がすでに知っているの理に）依って、益々（これを）極め、以て〔（その極点に）至ることを〕求め］ないことが｝無いやうに〉させる。
といふ「訓読」を行ふことは、「邪道（正当ではない方法）」であるとされるのが、『通例』の、やうである。
然るに、
（20）
漢語における語順は、国語と大きく違っているところがある。すなわち、その補足構造における語順は、国語とは全く反対である。しかし、訓読は、国語の語順に置きかえて読むことが、その大きな原則となっている。それでその補足構造によっている文も、返り点によって、国語としての語順が示されている（鈴木直治、中国語と漢文、1975年、２９６頁）。
従って、
（19）（20）により、
（21）
③ 是以大學始敎必使學者即凡天下之物莫不因其已知之理而益極之以求至乎其極。
といふ「漢文」自体に、固より（オリジナルに）、
③ 是以、大學始敎、必使〈學者即（凡天下之物）、莫｛不［因（其已知之理）、而益極（之）、以求〔至（乎其極）〕］｝〉。
といふ「補足構造」が、有って、その上で、
「漢語における語順は、国語と大きく違っているところがある。すなわち、その補足構造における語順は、国語とは全く反対である。」
といふ「事情」があるからこそ、
③ 是以大學始敎必使學者即凡天下之物莫不因其已知之理而益極之以求至乎其極（大學伝五章）。
といふ「漢文」に対して、
③ 是以、大學始敎、必使下 學者即二 凡天下之物一、莫上レ 不下 因二 其已知之理一、益々極レ 之、以求上レ 至二 乎其極一。
といふ「返り点」が、付くことになる。
従って、
（15）（21）により、
（22）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）
③ 是以大學始敎必使學者即凡天下之物莫不因其已知之理而益極之以求至乎其極。
に於いて、
② に対して、
② ∀ｘレ∀ｙ下（親二ｘｙ一→～上レ親二ｙｘ一）
といふ「返り点」が付くことは、
③ に対して、
③ 是以、大學始敎、必使下 學者即二 凡天下之物一、莫上レ 不下 因二 其已知之理一、益々極レ 之、以求上レ 至二 乎其極一。
といふ「返り点」が、付くことと、「殆ど、変らない」。
然るに、
（23）
予嘗為（蒙生）定（学問之方法）、先為（崎陽之学）、教以（俗語）、誦以（華音）、訳以（此方俚語）、絶不〔作（和訓廻環之読）〕。始以（零細者）、二字三字為（句）、後使［読〔成（書）者〕］、崎陽之学既成、乃始得〔為（中華人）〕、而後稍稍読（経子史集四部書）、勢如（破竹）、是最上乗也 ⇒
予嘗（蒙生）為（学問之方法）定、先（崎陽之学）為、教（俗語）以、誦（華音）以、訳（此方俚語）以、絶〔（和訓廻環之読〕作〕不。始（零細者）以、二字三字（句）為、後［〔（書）成者〕読］使、崎陽之学既成、乃始〔（中華人）為〕得、而後稍稍（経子史集四部書）読、勢（破竹）如、是最上乗也 ＝
予嘗て（蒙生の）為に（学問の方法を）定め、先ず（崎陽の学を）為し、教ふるに（俗語を）以てし、誦ずるに（華音を）以てし、訳するに（此の方の俚語を）以てし、絶へて〔（和訓廻環の読みを〕作さ〕ず。始めは（零細なる者を）以て、二字三字（句と）為し、後に［〔（書を）成す者を〕読ま］使めば、崎陽の学既に成り、乃ち始めて〔（中華の人）為るを〕得、而る後に稍稍（経子史集四部書を）読まば、勢ひ（破竹の）如く、是れ最上の乗なり（荻生徂徠、訳文筌蹄）。
然るに、
（24）
③ Shì yǐ dàxué shǐ jiào bì shǐ xuézhě jí fán tiānxià zhī wù mòbù yīn qí yǐ zhīzhī lǐ ér yì jí zhī yǐ qiú は、「グーグル翻訳」による、
③ 是以大學始敎必使學者即凡天下之物莫不因其已知之理而益極之以求至乎其極。
に対する「ピンイン」であるが、荻生徂徠が、「それ程、音読」がしたいのであれば、
③ ゼイダイガクシキョウヒツシガクシャソクハンテンカシブツバクフツインイチシリジエキキョクシイキュウチコキキョク。
といふ風に、「日本漢字音」で、「音読」すれば良いだけであって、因みに、私自身は、例へば、
「虎求百獸而食之得狐。狐曰子無敢食我也。天帝使我長百獸。今子食我是逆天帝命也。子以我爲不信吾爲子先行。子隨我後觀。百獸之見我而敢不走乎。虎以爲然。故遂與之行。獸見之皆走。虎不知獸畏己而走也（借虎威・戦國策）」等を、「日本漢字音と、訓読の両方」で、「暗唱」出来る。
然るに、
（25）
日本の学者の中に、荻生徂徠という傑物があったが、この徂徠が子供の時分に、父の手筥の中に大学諺の一冊が有るということを知って、毎日之を読み、それが基礎となって、遂に講義も説明もなく、総ての書物に通ずることが出来たという話が伝わって居る（諸橋徹次、大学新釈、2005年、１２頁）。
然るに、
（26）
江戸に生まれる。幼くして学問に優れ、林春斎・林鳳岡に学んだ。しかし延宝7年（1679年）、当時館林藩主だった徳川綱吉の怒りにふれた父が江戸から放逐され、それによる蟄居にともない、14歳にして家族で母の故郷である上総国長柄郡本納村（現・茂原市）に移った[3]。 ここで主要な漢籍・和書・仏典を13年あまり独学し、のちの学問の基礎をつくったとされる。
従って、
（23）（25）（26）により、
（27）
荻生徂徠は、「独学」で、「漢文」を学んだのだから、
「教ふるに（俗語を）以てし、誦ずるに（華音を）以てし、訳するに（此の方の俚語を）以てし、絶へて〔（和訓廻環の読みを〕作さ〕ず。始めは（零細なる者を）以て、二字三字（句と）為し、後に［〔（書を）成す者を〕読ま］使めば、崎陽の学既に成り、乃ち始めて〔（中華の人）為るを〕得、而る後に稍稍（経子史集四部書を）読まば、勢ひ（破竹の）如く、是れ最上の乗なり。」
といふことは、荻生徂徠自身には、当てはまらない。
従って、
（27）により、
（28）
荻生徂徠 自身の「漢文の学力」は、飽く迄も、「訓読」によって、築かれた。といふことになる。
従って、
（16）（17）（18）（28）により、
（29）
にも拘らず、「訓読法なぞ時代遅れの古臭い方法だと蔑む雰囲気さえ濃厚だという。」のであれば、明らかに、「をかしなこと」であると、言ふべきである。
（01）
―「昨日（令和０２年１０月２８日）の記事で、確認した通り、―
① Ｐ≡Ｐである（仮定）。
② Ｐ∨Ｐ≡Ｐであるか、または、Ｐである（冪等律）。
③ ～～Ｐ∨Ｐ≡Ｐでない、でない、であるか、または、Ｐである（二重否定律）。
④ ～Ｐ→Ｐ≡Ｐでないならば、Ｐである（含意の定義）。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（01）により、
（02）
「番号」を、付け直すと、
① Ｐ≡Ｐである（仮定）。
② ～Ｐ→Ｐ≡Ｐでないならば、Ｐである（含意の定義）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ≡Ｐである（仮定）。
② ～Ｐ→Ｐ≡Ｐでないならば、Ｐである（含意の定義）。
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」行ふと、
① ～Ｐ≡Ｐでない（仮定）。
② ～～Ｐ→～Ｐ≡Ｐでない、でないならば、Ｐでない（含意の定義）。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
「二重否定（ＤＮ）」により、
① ～Ｐ≡Ｐでない（仮定）。
② Ｐ→～Ｐ≡Ｐならば、Ｐでない（含意の定義）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１）～Ｐ 仮定
１ （２）～Ｐ∨～Ｐ １冪等律
１ （３） Ｐ→～Ｐ ２含意の定義
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→～Ｐ 仮定
２（２） Ｐ 仮定
１２（３） ～Ｐ １２ＭＰＰ
１２（４） Ｐ＆～Ｐ ２３＆Ｉ
１ （５）～Ｐ ２４ＲＡＡ
従って、
（04）（05）により、
（06）
確かに、
① ～Ｐ≡Ｐでない。
② Ｐ→～Ｐ≡Ｐならば、Ｐでない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
Ｐ≡太陽は西から昇る。
であるとして、
① ～Ｐ≡太陽は西から昇らない。
② Ｐ→～Ｐ≡太陽が西から昇るならば、太陽は西から昇らない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
③ 太陽は西からは昇らない。従って、「太陽が西から昇るとしても」、太陽は西からは昇らない。
といふ「言ひ方」は、
③ 太陽は西からは昇らない。「何が有っても」、絶対に、 太陽は西からは昇らない。
といふ「意味」に、解することも「可能」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
③ 太陽は西からは昇らない。従って、「太陽が西から昇るとしても」、太陽は西からは昇らない。
といふ「言ひ方」を、
③ 太陽は西からは昇らない。「何が有っても」、絶対に、 太陽は西からは昇らない。
といふ「意味」に、解する限り、
① ～Ｐ≡太陽は西から昇らない。
② Ｐ→～Ｐ≡太陽が西から昇るならば、太陽は西から昇らない。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、それほど「奇異」であるとは、言へない。
従って、
（02）（07）（08）（09）により、
（10）
③ 太陽は東から昇る。従って、「太陽が東から昇らないとしても」、太陽は東から昇る。
といふ「言ひ方」を、
③ 太陽は東から昇る。「何があっても」、絶対に、太陽は東から昇る。
といふ「意味」に、解する限り、
① Ｐ≡太陽は東から昇る。
② ～Ｐ→Ｐ≡太陽が東から昇らないならば、太陽は東から昇る。
に於いて、
①＝② であるとしても、それほど「奇異」であるとは、言へない。はずである。
（01）
―「冪等律」の「証明」。―
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ｐ
（２）Ｐ∨Ｐ １∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１）Ｐ∨Ｐ Ｐ
２ （２）Ｐ Ｐ
３（３） Ｐ Ｐ
１ （４）Ｐ １２２３３∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ≡Ｐである。
② Ｐ∨Ｐ≡Ｐであるか、または、Ｐである。
に於いて、
①＝② は、「冪等律」である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨Ｐ Ｐ
２ （２） Ｐ Ｐ
２ （３）～～Ｐ ２ＤＮ
２ （４）～～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
５（５） Ｐ Ｐ
５（６）～～Ｐ∨Ｐ ５∨Ｉ
（ⅲ）
１ （１）～～Ｐ∨Ｐ Ｐ
２ （２）～～Ｐ Ｐ
２ （３） Ｐ ２ＤＮ
２ （４） Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
５（５） Ｐ Ｐ
５（６） Ｐ∨Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） Ｐ∨Ｐ １２４５６∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ≡Ｐである。
② Ｐ∨Ｐ≡Ｐであるか、または、Ｐである。
③ ～～Ｐ∨Ｐ≡Ｐでない、でないか、あるか、または、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③ は、「冪等律」である。
然るに、
（05）
―「含意の定義」の「証明」。―
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ⅳ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
１２ （イ） （～Ｐ∨Ｑ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２イＲＡＡ
１ （エ） ～Ｐ∨Ｑ ウＤＮ
従って、
（05）により、
（06）
③ ～Ｐ∨Ｑ
④ Ｐ→Ｑ
に於いて、
③＝④ は、「含意の定義」である。
従って、
（06）により、
（07）
③ ～Ｐ∨Ｑ
④ Ｐ→Ｑ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝ Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ～～Ｐ∨Ｐ
④ ～Ｐ→Ｐ
に於いて、
④＝⑤ は、「含意の定義」である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
① Ｐ≡Ｐである。
② Ｐ∨Ｐ≡Ｐであるか、または、Ｐである。
③ ～～Ｐ∨Ｐ≡Ｐでない、でない、であるか、または、Ｐである。
④ ～Ｐ→Ｐ≡Ｐでないならば、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ は、「冪等律・含意の定義」である。
従って、
（08）により、
（09）
① Ｐ≡Ｐである。
② ～Ｐ→Ｐ≡Ｐでないならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② といふ「等式」を、「冪等律・含意の定義」とする。
然るに、
（10）
―「排中律」の「証明」。―
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
従って、
（10）により、
（11）
③ ～Ｐ∨Ｐ≡Ｐでないか、または、Ｐである。
といふ「論理式（排中律）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
（ⅰ）
（１）～Ｐ∨Ｐ ＴＩ（排中律）
（２） Ｐ→Ｐ １含意の定義
（ⅱ）
（１） Ｐ→Ｐ ＴＩ（同一律）
（２）～Ｐ∨Ｐ １含意の定義
従って、
（12）により、
（13）
① ～Ｐ∨Ｐ≡Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
② Ｐ→Ｐ≡Ｐであるならば、 Ｐである（同一律）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（14）
（ⅰ）
（１）～Ｐ∨Ｐ ＴＩ（排中律）
２ （２）～Ｐ Ａ
２ （３）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ） ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→（～Ｐ→Ｐ） ３含意の定義
５（５） Ｐ Ａ
５（６） （～Ｐ→Ｐ） ５冪等律・含意の定義
５（７）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ） ６∨Ｉ
５（８） Ｐ→（～Ｐ→Ｐ） ７含意の定義
（９） Ｐ→（～Ｐ→Ｐ） １２４５８∨Ｅ
（ⅲ）
（１） Ｐ→（～Ｐ→Ｐ） ＴＩ（定理導入の規則）
（２）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ） １含意の定義
３ （３）～Ｐ Ａ
３ （４）～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
５（５） ～Ｐ→Ｐ Ａ
５（６） Ｐ ５冪等律・含意の定義
５（７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
（８）～Ｐ∨Ｐ ２３４５７∨Ｅ
従って、
（14）により、
（15）
① ～Ｐ∨Ｐ ≡Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（13）（15）により、
（16）
① ～Ｐ∨Ｐ ≡Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
② Ｐ→Ｐ ≡Ｐであるならば、 Ｐである（同一律）。
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（16）により、
（17）
「番号」を付け直すと、
① Ｐ→（ Ｐ ）≡Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ である。
然るに、
（08）により、
（18）
もう一度、確認すると、
① Ｐ≡Ｐである。
② Ｐ∨Ｐ≡Ｐであるか、または、Ｐである。
③ ～～Ｐ∨Ｐ≡Ｐでない、でない、であるか、または、Ｐである。
④ ～Ｐ→Ｐ≡Ｐでないならば、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ は、「冪等律・含意の定義」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
①（ Ｐ ）≡ Ｐである。
④（～Ｐ→Ｐ）≡（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ であるが故に、必然的に、
① Ｐ→（ Ｐ ）≡Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ である。
従って、
（18）（19）により、
（20）
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
といふ「恒真式（トートロジー）」が、「奇異」に感じられるのは、
①（ Ｐ ）≡ Ｐである。
④（～Ｐ→Ｐ）≡（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ であるにも拘らず、
①＝④ であるやうには、思へないからである。
然るに、
（21）
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於ける「ならば」を、「質料含意（material implication）」と言ひ、「質量含意」の場合は、「含意の定義」により、
（ⅰ）「Ｐ」が「偽」であるならば、「ＰならばＱである。」は「真」であり、
（ⅱ）「Ｑ」が「真」であるならば、「ＰならばＱである。」は「真」である。
従って、
（21）により、
（22）
①（ Ｐ ）
④（～Ｐ→Ｐ）
に於いて、
① Ｐ が「真」である。
② Ｐ が「真」である。
とすると、
①（ 真 ）
④（～真→真）≡（偽→真）
に於いて、
① は「真」であり、
② も「真」である。
（23）
①（ Ｐ ）
④（～Ｐ→Ｐ）
に於いて、
① Ｐ が「偽」である。
② Ｐ が「偽」である。
とすると、
①（ 偽 ）
④（～偽→偽）≡（真→偽）
に於いて、
① は「偽」であり、
② も「偽」である。
従って、
（21）（22）（23）により、
（24）
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於ける「ならば」を、「質料含意（material implication）」であると「決めた、結果」として、
①（ Ｐ ）
④（～Ｐ→Ｐ）
に於いて、
①＝④ である。
といふことになり、更に、「その結果」として、
① Ｐ→（ Ｐ ）≡Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ である。
といふことになる。
従って、
（24）により、
（25）
① Ｐ→（ Ｐ ）≡Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ である。
といふことを、「否定」したいのであれば、
（ⅰ）「Ｐ」が「偽」であるならば、「ＰならばＱである。」は「真」であり、
（ⅱ）「Ｑ」が「真」であるならば、「ＰならばＱである。」は「真」である。
といふ「質料含意（material implication）の定義」を、「否定」しなければ、ならない。
（01）
―「含意の定義」の「証明」。―
（ⅰ）
１ （１） Ａ→Ｂ 仮定
２ （２） ～（～Ａ∨Ｂ） 仮定
３（３） ～Ａ 仮定
３（４） ～Ａ∨Ｂ ３選言導入
２３（５） ～（～Ａ∨Ｂ）＆
（～Ａ∨Ｂ） ２４連言導入
２ （６） ～～Ａ ３５背理法
２ （７） Ａ ６二重否定
１２ （８） Ｂ １７肯定肯定式
１２ （９） ～Ａ∨Ｂ ８選言導入
１２ （ア） ～（～Ａ∨Ｂ）＆
（～Ａ∨Ｂ） ２９連言導入
１ （イ）～～（～Ａ∨Ｂ） ２ア背理法
１ （ウ） ～Ａ∨Ｂ イ二重否定
（ⅱ）
１ （１） ～Ａ∨Ｂ 仮定
２ （２） Ａ＆～Ｂ 仮定
３ （３） ～Ａ 仮定
２ （４） Ａ ２連言除去
２３ （５） ～Ａ＆Ａ ３４連言導入
３ （６）～（Ａ＆～Ｂ） ２５背理法
７ （７） Ｂ 仮定
２ （８） ～Ｂ ２連言除去
２ ７ （９） Ｂ＆～Ｂ ７８連言導入
７ （ア）～（Ａ＆～Ｂ） ２９背理法
１ （イ）～（Ａ＆～Ｂ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ａ 仮定
エ（エ） ～Ｂ 仮定
ウエ（オ） Ａ＆～Ｂ ウエ連言導入
１ ウエ（カ）～（Ａ＆～Ｂ）＆
（Ａ＆～Ｂ） イオ連言導入
１ ウ （キ） ～～Ｂ エカ背理法
１ ウ （ク） Ｂ キ二重否定
１ （ケ） Ａ→ Ｂ ウクＣＡ
従って、
（01）により、
（02）
① Ａ→Ｂ
② ～Ａ∨Ｂ
①＝② は、「含意の定義」である。
然るに、
（03）
１（１） Ａ 仮定
１（２） ～Ｂ∨Ａ １選言導入
１（３） Ｂ→Ａ ２含意の定義
（４）Ａ→（Ｂ→Ａ） ３ＣＡ
従って、
（03）により、
（04）
① Ａ→（Ｂ→Ａ）≡Ａならば（ＢならばＡである）。
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
① Ａ→（Ｂ→Ａ）≡Ａならば（ＢならばＡである）。
といふ「式」は、「ルカジェヴィッツの公理１」である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① Ａ→（Ｂ→Ａ）≡「ルカジェヴィッツの公理１」。
といふ「式」、すなはち、
① Ｐ→（Ｑ→Ｐ）≡「ルカジェヴィッツの公理１」。
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（07）
［規則］
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式におきかえることによって得られた式は恒真式である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（06）（07）により、
（08）
① Ｐ→（ Ｑ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｑであるならば、Ｐである）。
② Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
① といふ「式」と、
② といふ「式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（09）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～～Ｐ １ＤＮ
１（３） ～～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１（４） ～Ｐ→Ｐ ３含意の定義
（５）Ｐ→（～Ｐ→Ｐ） １４ＣＰ
従って、
（08）（09）により、
（10）
② Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（ＰでないならばＰである）。
といふ「不思議な式」は、果たして、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（11）
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→（～Ｐ→Ｐ） Ａ
１ （２）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ） １含意の定義
３ （３）～Ｐ Ａ
３ （４）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｐ） ３∨
５ （５） （～Ｐ→Ｐ） Ａ
５ （６） ～～Ｐ∨Ｐ ５含意の定義
６ （７） ～～Ｐ Ａ
６ （８） Ｐ ７ＤＮ
９（９） Ｐ Ａ
５ （ア） Ｐ ６７８９９∨Ｅ
５ （イ） Ｐ∨Ｐ ア∨Ｉ
５ （ウ） ～Ｐ∨（Ｐ∨Ｐ） イ∨ＩＩ
１ （エ） ～Ｐ∨（Ｐ∨Ｐ） １３４５ウ∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨（Ｐ∨Ｐ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ） ２∨Ｉ
４ （４） （Ｐ∨Ｐ） Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
５ （６） ～～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
７（７） Ｐ Ａ
７（８） ～～Ｐ∨Ｐ ７∨Ｉ
４ （９） ～～Ｐ∨Ｐ ４５６７８∨Ｅ
４ （ア） ～Ｐ→Ｐ ９含意の定義
４ （イ）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ） ア∨Ｉ
１ （ウ）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ） １２３４イＥＥ
１ （エ） Ｐ→（～Ｐ→Ｐ） ウ含意の定義
従って、
（11）により、
（12）
② Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡ Ｐならば（Ｐでないならば、 Ｐである）。
③ ～Ｐ∨（ Ｐ∨Ｐ）≡Ｐでないか、または（Ｐであるか、または、Ｐである）。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（13）
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→（～Ｐ→Ｐ） Ａ
１ （２）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ） １含意の定義
３ （３）～Ｐ Ａ
３ （４）～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
５ （５） （～Ｐ→Ｐ） Ａ
５ （６） ～～Ｐ∨Ｐ ５含意の定義
６ （７） ～～Ｐ Ａ
６ （８） Ｐ ７ＤＮ
９（９） Ｐ Ａ
５ （ア） Ｐ ６７８９９∨Ｅ
５ （イ） ～Ｐ∨Ｐ ア∨Ｉ
１ （ウ）～Ｐ∨Ｐ １３４５イ∨Ｅ
（ⅳ）
１ （１）～Ｐ∨Ｐ Ａ
２ （２）～Ｐ Ａ
２ （３）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ） ２∨Ｉ
４ （４） Ｐ Ａ
４ （５） ～～Ｐ ４含意の定義
４ （６） ～～Ｐ∨Ｐ ５∨Ｉ
４ （７） ～Ｐ→Ｐ ６含意の定義
４ （８）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ） ７∨Ｉ
１ （９）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ） １２３４８∨Ｅ
１ （ア） Ｐ→（～Ｐ→Ｐ） ９含意の定義
従って、
（13）により、
（14）
② Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（ＰでないならばＰである）。
④ ～Ｐ∨Ｐ ≡Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
に於いて、
②＝④ である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
② Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡ Ｐならば（Ｐでないならば、 Ｐである）。
③ ～Ｐ∨（ Ｐ∨Ｐ）≡Ｐでないか、または（Ｐであるか、または、Ｐである）。
④ ～Ｐ∨Ｐ ≡Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
に於いて、
②＝③＝④ である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
例へば、
② 明日が晴れならば（明日が晴れでないならば、明日は晴れである）。
③ 明日は晴れでないか、または（明日は晴れであるか、または、明日は晴れである）。
④ 明日は晴れでないか、または、明日は晴れである（排中律）。
に於いて、
②＝③＝④ である。
然るに、
（17）
② 明日が晴れならば（明日が晴れでないならば、明日は晴れである）。
④ 明日は晴れでないか、または、明日は晴れである（排中律）。
に於いて、
② は、「極めて、不自然である」が、
④ は、「極めて、当り前である」。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
② 明日が晴れならば（明日が晴れでないならば、明日は晴れである）。
④ 明日は晴れでないか、または、明日は晴れである（排中律）。
といふ「命題」がさうであるやうに、「命題計算」に於いては、
②「極めて、不自然な命題」が、
④「極めて、当り前な命題」に「等しい」。
といふ、ことになる。
然るに、
（01）（03）（09）（11）により、
（19）
② Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡ Ｐならば（Ｐでないならば、 Ｐである）。
③ ～Ｐ∨（ Ｐ∨Ｐ）≡Ｐでないか、または（Ｐであるか、または、Ｐである）。
④ ～Ｐ∨Ｐ ≡Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
に於いて、
②＝③＝④ である「所以」は、
「命題計算」に於いて、「含意の定義」が、成り立つからであって、その一方で、
「含意の定義」に於ける「含意」を、「実質含意（material implication）」といふ。
従って、
（16）（18）（19）により、
（20）
② 明日が晴れならば（明日が晴れでないならば、明日は晴れである）。
③ 明日は晴れでないか、または（明日は晴れであるか、または、明日は晴れである）。
④ 明日は晴れでないか、または、明日は晴れである（排中律）。
に於いて、
②＝③＝④ である「所以」は、
「命題計算」に於いて、「実質含意（material implication）の含意の定義」が、成り立つからである。
従って、
（20）により、
（21）
② 明日が晴れならば（明日が晴れでないならば、明日は晴れである）。
といふ「言ひ方」が、「日常言の用法」としては、有りない。
といふのであれば、 「日常言の含意」は、「実質含意（material implication）」ではない。
といふ、ことになる。
然るに、
（22）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
１２ （３） Ｑ １２ＭＰＰ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ （エ） ～Ｑ Ａ
ウエ （オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ （カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
コ（コ） Ｐ Ａ
１ コ（サ） Ｑ ケコＭＰＰ
従って、
（22）により、
（23）
① Ｐ→Ｑ，Ｐ├ Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ，Ｐ├ Ｑ
に於いて、
① は、「妥当な連式」であって、
② も、「妥当な連式」である。
従って、
（20）～（24）により、
（24）
① Ｐならば、 Ｑである。然るに、Ｐである。故に、Ｑである。
② Ｐでないか、Ｑである。然るに、Ｐである。故に、Ｑである。
に於いて、
①＝② であるとしても、すなはち、
① Ｐならば、 Ｑである、然るに、Ｐである。故に、Ｑである。
に於ける、
① Ｐならば、Ｑである。
といふ「含意」が、「実質含意（material implication）」であらうと、なからうと、
① Ｐならば、Ｑである。然るに、Ｐである。故に、Ｑである。
といふ「推論」を行ふ際には、「何らの支障」も、きたさない。
従って、
（21）（24）により、
（25）
② 明日が晴れならば（明日が晴れでないならば、明日は晴れである）。
といふ「言ひ方」が、「日常言の用法」としては、「非常識」である。
といふことは「事実」であったとしても、「推論」に於いて、「実質含意（material implication）」は、「何らの支障」もきたさない。
（01）
― 繰り返し書いてゐる通り、―
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 兎ａ＆象ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 象ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４８ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５７ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （エ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
オ（オ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
オ（カ） 耳ｂａ オ＆Ｅ
２ ６ （キ） ∀ｚ（耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ク） 耳ｂａ→～鼻ｂａ キＵＥ
２ ６ オ（ケ） ～鼻ｂａ オクＭＰＰ
１ ６ （コ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア＆Ｅ
１ ６ （サ） ～鼻ｂａ→～長ｂ コＵＥ
１２ ６ オ（シ） ～長ｂ ケサＭＰＰ
オ（ス） 長ｂ オ＆Ｅ
１２ ６ オ（セ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ （ソ） 長ｂ＆～長ｂ エオセＥＥ
１２３ （タ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ソＥＥ
１２ （チ）～∃ｘ（兎ｘ＆象ｘ） ３タＲＡＡ
１２ （ツ）∀ｘ～（兎ｘ＆象ｘ） チ量化子の関係
１２ （テ） ～（兎ａ＆象ａ） ツＵＥ
１２ （ト） ～兎ａ∨～象ａ テ、ド・モルガンの法則
１２ （ナ） 兎ａ→～象ａ ト含意の定義
１２ （ニ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ナＵＩ
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｙはｘの耳であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの耳であるならば、ｚはｘの鼻ではない。｝従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。｝
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎には長い耳があるが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝
といふ「等式」が、「成立」する。
然るに、
（05）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ）｝ １ＵＥ
３ （４） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ３＆Ｅ
５ （５）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ） Ａ
６ （６） ∃ｙ（兎ａ＆～象ａ＆鼻ｙａ） Ａ
７（７） 兎ａ＆～象ａ＆鼻ｂａ Ａ
７（８） 兎ａ ７＆Ｅ
７（９） ～象ａ＆鼻ｂａ ７＆Ｅ
３ ７（ア） ～長ｂ ４９ＭＰＰ
７（イ） 鼻ｂａ ９＆Ｅ
３ ７（ウ） 鼻ｂａ＆～長ｂ アイ＆Ｉ
３ ７（エ） 兎ａ＆鼻ｂａ＆～長ｂ ８ウ＆Ｉ
３ ７（オ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） エＥＩ
３ ６ （カ） ∃ｙ（兎ａ＆鼻ｙａ＆～長ｙ） ６７オＥＥ
３ ６ （キ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） カＥＩ
３５ （ク）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ５６キＥＥ
１ ５ （ケ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ） ２３クＥＥ
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆～象ｘ＆鼻ｙｘ）。従って、
（ⅲ）∃ｘ∃ｙ（兎ｘ＆鼻ｙｘ＆～長ｙ）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く、ｘが象でなくて、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない。｝然るに、
（ⅱ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、象ではななく、ｙはｘの鼻である。）従って、
（ⅲ）あるｘとあるｙについて（ｘは兎であって、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない。）
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではなく、兎には鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
① 象は鼻が長い。
② 鼻は象（の鼻）が長い。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ →～長ｚ）｝
② ∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
といふ「述語論理式」に、「対応」する。
従って、
（08）により、
（09）
① 象は鼻が長い。
② 鼻は象が長い。
といふ「日本語」に「対応」する「述語論理式」としては、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、
① は「正しい」が、
② は「正しく」ない。
然るに、
（10）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理式」は、「返り点」を付けるとしたら、
① ∀ｘ｛象レｘ→∃ｙ（鼻二ｙｘ一＆長レｙ）＆∀ｚ（～レ鼻ニｚｘ一→～レ長レｚ）｝
② ∀ｘ｛鼻レｘ→∃ｙ（象二ｙｘ一＆長レｙ）＆∀ｚ（～レ象ニｚｘ一→～レ長レｚ）｝
といふ「語順」で「読むこと」が、「決まり」になってゐる。
従って、
（10）により、
（11）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理式」は、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝
② すべてのｘについて｛ｘが鼻であるならば、あるｙはｘの象であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの象でないならば、ｚは長くない。｝
といふ「語順」で「読むこと」が、「決まり」になってゐる。
然るに、
（12）
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝
② すべてのｘについて｛ｘが鼻であるならば、あるｙはｘの象であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの象でないならば、ｚは長くない。｝
といふことは、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは象の鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚが象の鼻でないならば、ｚは長くない。｝
② すべてのｘについて｛ｘが鼻であるならば、あるｙは鼻の象であって、長く、すべてのｚについて、ｚが鼻の象でないならば、ｚは長くない。｝
といふことである。
然るに、
（13）
①「象の鼻」
②「鼻の象」
に於いて、
① は「意味明瞭」であるが、
② は「意味不明」である。
従って、
（09）～（13）により、
（14）
①「象の鼻」
②「鼻の象」
に於いて、
① は「意味明瞭」であるが、
② は「意味不明」である。
といふ「理由」により、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理式」に於いて、
① は「正しい」が、
② は「正しく」ない。
然るに、
（15）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ→～長ｚ）｝
に対して、
① ∀ｘ｛象レｘ→∃ｙ（鼻二ｙｘ一＆長レｙ）＆∀ｚ（～レ鼻ニｚｘ一→～レ長レｚ）｝
② ∀ｘ｛鼻レｘ→∃ｙ（象レｙｘレ＆長レｙ）＆∀ｚ（～レ象レｚｘレ→～レ長レｚ）｝
といふ「返り点」を付た場合は、それぞれ、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝
② すべてのｘについて｛ｘが鼻であるならば、あるｙは象のｘであって、長く、すべてのｚについて、ｚが、象でないｘならば、ｚは長くない。｝
といふ風に、「訓読」出来る。
然るに、
（16）
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。｝
② すべてのｘについて｛ｘが鼻であるならば、あるｙは象のｘであって、長く、すべてのｚについて、ｚが、象でないｘならば、ｚは長くない。｝
といふことは、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは象の鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚが象の鼻でないならば、ｚは長くない。｝
② すべてのｘについて｛ｘが鼻であるならば、あるｙは象の鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚが、象以外の鼻ならば、ｚは長くない。｝
といふことである。
然るに、
（17）
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは象の鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚが象の鼻でないならば、ｚは長くない。｝
② すべてのｘについて｛ｘが鼻であるならば、あるｙは象の鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚが、象以外の鼻ならば、ｚは長くない。｝
といふことは、
① 象は鼻が長い（鼻以外は長くない）。
② 鼻は象が長い（象以外は長くない）。
といふことである。
従って、
（14）～（17）により、
（18）
① ∀ｘ｛象レｘ→∃ｙ（鼻二ｙｘ一＆長レｙ）＆∀ｚ（～レ鼻ニｚｘ一→～レ長レｚ）｝
② ∀ｘ｛鼻レｘ→∃ｙ（象レｙｘレ＆長レｙ）＆∀ｚ（～レ象レｚｘレ→～レ長レｚ）｝
といふ「返り点」が、「許される」のであれば、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理式」は、
① 象は鼻が長い（鼻以外は長くない）。
② 鼻は象が長い（象以外は長くない）。
といふ「日本語」に、「相当」する。
然るに、
（19）
実際には、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ→～長ｚ）｝
といふ「述語論理式」に対して、
① ∀ｘ｛象レｘ→∃ｙ（鼻二ｙｘ一＆長レｙ）＆∀ｚ（～レ鼻ニｚｘ一→～レ長レｚ）｝
② ∀ｘ｛鼻レｘ→∃ｙ（象レｙｘレ＆長レｙ）＆∀ｚ（～レ象レｚｘレ→～レ長レｚ）｝
といふ「返り点」が、付けられることは、「今の所」、「習慣」として、無いし、「これからも」、無い。
従って、
（08）（19）により、
（20）
① 象は鼻が長い。
② 鼻は象（の鼻）が長い。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ →～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛鼻ｘ→∃ｙ（象ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～象ｚｘ →～長ｚ）｝
③ ∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝
に於ける、
①と② ではなく、
①と③ に、「対応」する。
（01）
（02）
① ∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）｝
② ∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）＆ ∀ｚ（～虎ｚ→～長ｚｘ）｝
③ ∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）＆～∀ｚ（～虎ｚ→～長ｚｘ）｝
に於いて、
②と③ は、
② ∀ｚ（～虎ｚ→～長ｚｘ）｝
③ ～∀ｚ（～虎ｚ→～長ｚｘ）｝
の「部分」が、「矛盾」する。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１ （１）～∀ｚ（～虎ｚ→～長ｚｘ） Ａ
１ （２）∃ｚ～（～虎ｚ→～長ｚｘ） １量化子の関係
３（３） ～（～虎ｃ→～長ｃｘ） Ａ
３（４） ～（虎ｃ∨～長ｃｘ） ３含意の定義
３（５） ～虎ｃ＆ 長ｃｘ ４ド・モルガンの法則
３（６） ∃ｚ（～虎ｚ＆ 長ｚｘ） ５ＥＩ
１ （７） ∃ｚ（～虎ｚ＆ 長ｚｘ） １３６ＥＥ
（ⅳ）
１ （１） ∃ｚ（～虎ｚ＆ 長ｚｘ） Ａ
２（２） ～虎ｃ＆ 長ｃｘ Ａ
２（３） ～（虎ｃ∨～長ｃｘ） ２ド・モルガンの法則
２（４） ～（～虎ｃ→～長ｃｘ） ３含意の定義
２（５）∃ｚ～（～虎ｚ→～長ｚｘ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｚ～（～虎ｚ→～長ｚｘ） １２５ＥＥ
１ （７）～∀ｚ（～虎ｚ→～長ｚｘ） ６量化子の関係
従って、
（03）により、
（04）
③ ～∀ｚ（～虎ｚ→～長ｚｘ）≡すべてのｚについて（ｚが虎でないならば、ｚはｘの長ではない。）といふわけではない。
④ ∃ｚ（～虎ｚ＆ 長ｚｘ）≡あるｚは（虎ではないが、ｘの長である）。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）｝
② ∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）＆ ∀ｚ（～虎ｚ→～長ｚｘ）｝
③ ∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）＆～∀ｚ（～虎ｚ→～長ｚｘ）｝
に於いて、すなはち、
① ∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）｝
② ∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）＆～∃ｚ（～虎ｚ＆長ｚｘ）｝
③ ∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）＆ ∃ｚ（～虎ｚ＆長ｚｘ）｝
に於いて、
②と③ は、「矛盾」する。
従って、
（05）により、
（06）
① すべてのｘについて｛ｘが百獣であるならば、あるｙは（虎であって、ｙはｘの長である）。｝
② すべてのｘについて｛ｘが百獣であるならば、あるｙは（虎であって、ｙはｘの長である）が、ある（、虎以外のｚが、ｘの長である）といふことはない。｝
③ すべてのｘについて｛ｘが百獣であるならば、あるｙは（虎であって、ｙはｘの長である）が、ある（、虎以外のｚも、ｘの長である）。｝
に於いて、
②と③ は、「矛盾」する。
然るに、
（07）
② 誰が百獣の長であるか。
であって、
① 誰は百獣の長であるか。
③ 誰も百獣の長であるか。
ではない。
従って、
（07）により、
（08）
② 誰が百獣の長であるか。
② 虎が百獣の長である。
といふ、ことになる。
然るに、
（09）
② 誰が百獣の長であるか。
② 虎が百獣の長である。
といふのであれば、
② すべてのｘについて｛ｘが百獣であるならば、あるｙは（虎であって、ｙはｘの長である）が、ある（、虎以外のｚが、ｘの長である）といふことはない。｝
といふ、ことになる。
然るに、
（10）
③ すべてのｘについて｛ｘが百獣であるならば、あるｙは（虎であって、ｙはｘの長である）が、ある（、虎以外のｚも、ｘの長である）。｝
といふのであれば、
③ 虎も百獣の長である。
といふ、ことになる。
従って、
（06）～（10）により、
（11）
① すべてのｘについて｛ｘが百獣であるならば、あるｙは（虎であって、ｙはｘの長である）。｝
の場合は、
② 虎が百獣の長である。
ではないし、
③ 虎も百獣の長である。
でもないため、
① 虎は百獣の長である。
といふ、ことになる。
従って、
（05）～（11）により、
（12）
① 百獣は、虎は長である＝∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）｝。
② 百獣は、虎が長である＝∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）＆～∃ｚ（～虎ｚ＆長ｚｘ）｝。
③ 百獣は、虎も長である＝∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）＆ ∃ｚ（～虎ｚ＆長ｚｘ）｝。
といふ、ことになる。
然るに、
（13）
１ （１）∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）＆～∃ｚ（～虎ｚ＆長ｚｘ）｝ Ａ
１ （〃）百獣は、虎が長である。 Ａ
２ （２）～∃ｚ（狐ｚ＆虎ｚ） Ａ
２ （〃）あるｚが狐であって、尚且つ、虎である。といふことはない。 Ａ
２ （〃）狐は虎ではない。 Ａ
３ （３） ∃ｚ（狐ｚ） Ａ
３ （〃）あるｚは狐である。 Ａ
３ （〃）狐はゐる。 Ａ
１ （４） 百獣ａ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙａ）＆～∃ｚ（～虎ｚ＆長ｚａ） １ＵＥ
５ （５） 百獣ａ Ａ
１ ５ （６） ∃ｙ（虎ｙ＆長ｙａ）＆～∃ｚ（～虎ｚ＆長ｚａ） ４５ＭＰＰ
２ （７）∀ｚ～（狐ｚ＆虎ｚ） ２量化子の関係
２ （８） ～（狐ｃ＆虎ｃ） ７ＵＥ
２ （９） ～狐ｃ∨～虎ｃ ８ド・モルガンの法則
２ （ア） 狐ｃ→～虎ｃ ９含意の定義
イ（イ） 狐ｃ Ａ
２ イ（ウ） ～虎ｃ アイＭＰＰ
１ ５ （エ） ～∃ｚ（～虎ｚ＆長ｚａ） ６＆Ｅ
１ ５ （オ） ∀ｚ～（～虎ｚ＆長ｚａ） エ量化子の関係
１ ５ （カ） ～（～虎ｃ＆長ｃａ） オＵＥ
１ ５ （キ） ～～虎ｃ∨～長ｃａ カ、ド・モルガンの法則
１ ５ （ク） ～虎ｃ→～長ｃａ キ含意の定義
１２ ５イ（ケ） ～長ｃａ ウクＭＰＰ
１２ ５イ（コ） 狐ｃ＆～長ｃａ イケ＆Ｅ
１２ ５イ（サ） ∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚａ） コＥＩ
１２３５ （シ） ∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚａ） ３イサＥＥ
１ ５ （ス） ∃ｙ（虎ｙ＆長ｙａ） ６＆Ｅ
１２３５ （セ） ∃ｙ（虎ｙ＆長ｙａ）＆ ∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚａ） シス＆Ｉ
１２３ （ソ） 百獣ａ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙａ）＆ ∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚａ） ５セＣＰ
１２３ （タ）∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）＆ ∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｘ）｝ ソＵＩ
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ）∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）＆～∃ｚ（～虎ｚ＆長ｚｘ）｝。然るに、
（ⅱ）～∃ｚ（狐ｚ＆虎ｚ）。然るに、
（ⅲ） ∃ｚ（狐ｚ）。 従って、
（ⅳ）∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）＆ ∃ｚ（狐ｚ＆～長ｚｘ）｝。 といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが百獣であるならば、あるｙは（虎であって、ｙはｘの長である）が、ある（、虎以外のｚが、ｘの長である）といふことはない。｝然るに、
（ⅱ）あるｚ（が、狐であって、虎である。といふことは。）然るに、
（ⅲ）あるｚ（は、狐である。）従って、
（ⅳ）すべてのｘについて｛ｘが百獣であるならば、あるｙは（虎であって、ｙはｘの長であり）、あるｚは（狐であって、ｚはｘの長ではない）。｝
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（14）により、
（15）
（ⅰ）百獣は、虎が長である。然るに、
（ⅱ）狐は、 虎ではない。 然るに、
（ⅲ）狐は、ゐる。 従って、
（ⅳ）百獣は、虎が長であって、狐は長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）（12）～（15）により、
（16）
② 百獣は、虎が長である。⇔
② ∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）＆～∃ｚ（～虎ｚ＆長ｚｘ）｝⇔
② すべてのｘについて｛ｘが百獣であるならば、あるｙは（虎であって、ｙはｘの長である）が、ある（、虎以外のｚが、ｘの長である）といふことはない。｝
といふ「命題」が「真」であるならば、
② 狐は（虎に向かって）言った、「あなたはけっしてわたしを食べたりしてはいけない。（そもそも）天の神様は、このわたしを百獣のかしらとしたのです。いまもしもあなたがわたしをたべれば、それは天の神様の命令にそむくことになります（旺文社、漢文の基礎、1973年、３９頁）。」
といふ狐の「発言」は、「嘘」になる。
然るに、
（17）
１ （１）∀ｘ｛百獣ｘ→∀ｚ（虎ｚ∨狐ｚ→長ｚｘ）｝ Ａ
１ （〃）百獣は、虎か、狐が、長である。 Ａ
２ （２） ∃ｚ（狐ｚ） Ａ
２ （〃）あるｚは狐である。 Ａ
２ （〃）狐はゐる。 Ａ
１ （３） 百獣ａ→∀ｚ（虎ｚ∨狐ｚ→長ｚａ） １ＵＥ
４ （４） 百獣ａ Ａ
１ ４ （５） ∀ｚ（虎ｚ∨狐ｚ→長ｚａ） ３４ＭＰＰ
１ ４ （６） 虎ｃ∨虎ｘ→長ｃａ ５ＵＥ
７（７） 狐ｃ Ａ
７（８） 虎ｃ∨狐ｃ ７∨Ｉ
１ ４７（９） 長ｃａ ６８ＭＰＰ
１ ４７（ア） 狐ｃ＆長ｃａ ７９＆Ｉ
１ ４７（イ） ∃ｚ（狐ｚ＆長ｚａ） アＥＩ
１２４ （ウ） ∃ｚ（狐ｚ＆長ｚａ） ２７イＥＥ
１２ （エ） 百獣ａ→∃ｚ（狐ｚ＆長ｚａ） ４ウＣＰ
１２ （オ）∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｚ（狐ｚ＆長ｚｘ）｝ エＵＩ
従って、
（17）により、
（18）
（ⅰ）∀ｘ｛百獣ｘ→∀ｚ（虎ｚ∨狐ｚ→長ｚｘ）｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（狐ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｚ（狐ｚ＆長ｚｘ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが百獣であるならば、すべてのｚについて（ｚが虎か、または、ｚが狐であるならば、ｚはｘの長である）。｝然るに、
（ⅱ）あるｚ（は狐である。）従って、
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘが百獣であるならば、あるｚ（は、狐であって、ｘの長である）。｝
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（18）により、
（19）
④ 百獣は、虎か、または、狐が、長である。然るに、
④ 狐はゐる。従って、
④ 百獣は、狐は長である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（18）（19）により、
（20）
④ 百獣は、虎か、または、狐が、長である。⇔
④ ∀ｘ｛百獣ｘ→∀ｚ（虎ｚ∨狐ｚ→長ｚｘ）｝⇔
④ すべてのｘについて｛ｘが百獣であるならば、すべてのｚについて（ｚが虎か、または、ｚが狐であるならば、ｚはｘの長である）。｝
といふ「命題」が「真」であるならば、
② 百獣は、虎が長である。⇔
② ∀ｘ｛百獣ｘ→∃ｙ（虎ｙ＆長ｙｘ）＆～∃ｚ（～虎ｚ＆長ｚｘ）｝⇔
② すべてのｘについて｛ｘが百獣であるならば、あるｙは（虎であって、ｙはｘの長である）が、ある（、虎以外のｚが、ｘの長である）といふことはない。｝
といふ「命題」が「真」であるならば、
② 狐は（虎に向かって）言った、「あなたはけっしてわたしを食べたりしてはいけない。（そもそも）天の神様は、このわたしを百獣のかしらとしたのです。いまもしもあなたがわたしをたべれば、それは天の神様の命令にそむくことになります（旺文社、漢文の基礎、1973年、３９頁）。」
といふ狐の「発言」は、「嘘」ではない。
（01）
① 使其君子不幸而不得聞大道之要、其小人不幸而不得蒙至治之＝
① 使｛其君子不幸而不［得〔聞（大道之要）〕］、其小人不幸而不［得〔蒙（至治之澤）〕］｝。
に於いて、
① 使｛ ｝⇒｛ ｝使
① 不［ ］⇒［ ］不
① 得〔 〕⇒〔 〕得
① 聞（ ）⇒（ ）聞
① 不［ ］⇒［ ］不
① 得〔 〕⇒〔 〕得
① 蒙（ ）⇒（ ）蒙
といふ「移動」を行ふと、
① 使｛其君子不幸而不［得〔聞（大道之要）〕］、其小人不幸而不［得〔蒙（至治之澤）〕］｝⇒
① ｛其君子不幸而［〔（大道之要）聞〕得］不、其小人不幸而［〔（至治之澤）蒙〕得］不｝使＝
① ｛其の君子をして不幸にし而［〔（大道の要を）聞くを〕得］不、其の小人をして不幸にし而［〔（至治の澤を）蒙るを〕得］不ら｝使む。
ｃｆ.
〔通釈〕政治を行う人々は、不幸にして大いなる道の要領が何処に存するかと伝う事を聞くことが出来なかったし、治めらるる所の民百姓は、不幸にして治まれる御代の恩沢を蒙ることが出来ない様になったのである（諸橋徹次、大学新釈、2005年、３２・３３頁改）。
然るに、
（02）
漢語における語順は、国語と大きく違っているところがある。すなわち、その補足構造における語順は、国語とは全く反対である。しかし、訓読は、国語の語順に置きかえて読むことが、その大きな原則となっている。それでその補足構造によっている文も、返り点によって、国語としての語順が示されている（鈴木直治、中国語と漢文、1975年、２９６頁）。
従って、
（01）（02）
（03）
① 使其君子不幸而不得聞大道之要其小人不幸而不得蒙至治之。
といふ「漢文（朱子、大學章句序）」に付く、
① 使｛其君子不幸而不［得〔聞（大道之要）〕］其小人不幸而不［得〔蒙（至治之澤）〕］｝。
といふ「括弧」は、
（ⅰ）「漢文の補足構造」と、
（ⅱ）「訓読の際の語順」を、「同時」に、表してゐる。
従って、
（03）により、
（04）
或る人が、
① 使其君子不幸而不得聞大道之要、其小人不幸而不得蒙至治之。
といふ「漢文」を、
① ｛其の君子をして不幸にし而［〔（大道の要を）聞くを〕得］不、其の小人をして不幸にし而［〔（至治の澤を）蒙るを〕得］不ら｝使む。
といふ風に、「訓読できる」のであれば、そのときに限って、其の人は、
① 使其君子不幸而不得聞大道之要、其小人不幸而不得蒙至治之。
といふ「漢文（朱子、大學章句序）」の、
① 使｛其君子不幸而不［得〔聞（大道之要）〕］其小人不幸而不［得〔蒙（至治之澤）〕］｝。
といふ「補足構造」を、「把握」してゐる。
然るに、
（05）
① 戊｛四［三〔二（一）〕丁［丙〔乙（甲）〕］｝
に於いて、
① 戊｛ ｝⇒｛ ｝戊
① 四［ ］⇒［ ］四
① 三〔 〕⇒〔 〕三
① 二（ ）⇒（ ）二
① 丁［ ］⇒［ ］丁
① 丙〔 〕⇒〔 〕丙
① 乙（ ）⇒（ ）乙
といふ「移動」を行ふと、
① 戊｛四［三〔二（一）〕］丁［丙〔乙（甲）〕］｝⇒
① ｛［〔（一）二〕三］四［〔（甲）乙〕丙］丁｝戊＝
① 一＜二＜三＜四＜ 甲＜乙＜丙＜丁＜戊。
従って、
（04）（05）により、
（06）
① 戊 四 三 二 一 丁 丙 乙 甲
といふ「返り点」を用ひることにより、
① 使戊其君子不幸而不四得三聞二大道之要一、其小人不幸而不丁得丙蒙乙至治之澤甲⇒
① 其君子不幸而大道之要一聞二得三不四、其小人不幸而至治之澤甲蒙乙得丙不丁使戊＝
① 其の君子をして不幸にし而大道之要一を聞二くを得三不四、其の小人にして不幸にし而至治之澤甲を蒙乙るを得丙不丁ら使戊む。
といふ「訓読」を行ふことが出来る。
然るに、
（07）
② 使下其君子不幸而不レ得レ聞二大道之要一、其小人不幸而不中レ得レ蒙至治之澤上。
③ 使下其君子不幸而不レ得レ聞二大道之要一、其小人不幸而不上レ得レ蒙二至治之澤一。
に於いて、
② は、「諸橋徹次、大学新釈、2005年」の「返り点」であって、
③ は、「赤塚忠、 大学中庸、2004年」の「返り点」であるものの、
② は、「間違ひ」であって、
③ が、「正しい」。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① 戊 四 三 二 一 丁 丙 乙 甲
といふ「返り点」であれば、「間違ひやう」が無いにも拘らず
② 下 レ レ 二 一 上レ レ 二 一
といふ風に、「レ点」を用ひて、書くのが「決まり」であるが故に、諸橋徹次 先生のやうな、碩学であっても、時には、
③ 下 レ レ 二 一 中レ レ 上
といふ「間違ひ」を犯す。といふ、ことになる。
（09）
３日程前から、
といふやうな「結果」を出力する、「入力」を始めてゐます。
―「昨日（令和０２年１２月２１日）の記事」を、書き直します。―
（01）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） １ＵＥ
１ （３） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ２ＵＥ
１ （４） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ３含意の定義
５ （５） ～（Ｆａ＆Ｆｂ） Ａ
５ （６） ～Ｆａ∨～Ｆｂ ５ド・モルガンの法則
５ （７） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨ａ＝ｂ ６∨Ｉ
８（８） ａ＝ｂ Ａ
８（９） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨ａ＝ｂ ８∨Ｉ
１ （ア） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨ａ＝ｂ １５７８９∨Ｅ
１ （イ） ∀ｙ（～Ｆａ∨～Ｆｙ∨ａ＝ｙ） アＵＩ
１ （ウ）∀ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨ｘ＝ｙ） イＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（～Ｆａ∨～Ｆｙ∨ａ＝ｙ） １ＵＥ
１ （３） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨ａ＝ｂ ２ＵＥ
１ （４） （～Ｆａ∨～Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ３結合法則
５ （５） （～Ｆａ∨～Ｆｂ） Ａ
５ （６） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ） ５ド・モルガンの法則
５ （７） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ６∨Ｉ
８（８） ａ＝ｂ Ａ
８（９） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ８∨Ｉ
１ （ア） ～（Ｆａ＆ Ｆｂ）∨ａ＝ｂ １５７８９∨Ｅ
１ （イ） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ア含意の定義
１ （ウ） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） イＵＩ
１ （エ）∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ウＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∀ｙ（ Ｆｘ＆ Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨ｘ＝ｙ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） １ＵＥ
１ （３） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ２ＵＥ
４ （４） Ｆａ Ａ
５（５） Ｆｂ Ａ
４５（６） Ｆａ＆Ｆｂ ４５＆Ｉ
１４５（７） ａ＝ｂ ３６ＭＰＰ
１４ （８） Ｆｂ→ａ＝ｂ ５７ＣＰ
１ （９） Ｆａ→（Ｆｂ→ａ＝ｂ） ４８ＣＰ
１ （ア） ∀ｙ｛Ｆａ→（Ｆｙ→ａ＝ｙ）｝ ９ＵＩ
１ （イ）∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ→（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ アＵＩ
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ→（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛Ｆａ→（Ｆｙ→ａ＝ｙ）｝ １ＵＥ
１ （３） Ｆａ→（Ｆｂ→ａ＝ｂ） ２ＵＥ
４ （４） Ｆａ＆ Ｆｂ Ａ
４ （５） Ｆａ ４＆Ｅ
４ （６） Ｆｂ ４＆Ｅ
１４ （７） Ｆｂ→ａ＝ｂ ３５ＭＰＰ
１４ （８） ａ＝ｂ ６７ＭＰＰ
１ （９） Ｆａ＆Ｆｂ→ ａ＝ｂ ４８ＣＰ
１ （ア） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ９ＵＩ
１ （イ）∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） アＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆ Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
③ ∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ→（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
①＝③ である。
然るに、
従って、
（02）（04）により、
（05）
① ∀ｘ∀ｙ（ Ｆｘ＆ Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨ｘ＝ｙ）
③ ∀ｘ∀ｙ｛ Ｆｘ→（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
② ∀ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨ｘ＝ｙ）
③ ∀ｘ∀ｙ｛ Ｆｘ→（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
② は、「すべてのｘとｙは、Ｆではない。」といふことを「否定」しない。
③ は、「Ｆｘの次のＦｙも、Ｆｘである。」といふことを「意味」してゐる。
従って、
（05）（06）により、
（07）
② ∀ｘ∀ｙ（～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨ｘ＝ｙ）
③ ∀ｘ∀ｙ｛ Ｆｘ→（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」と「同値」である所の、
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
といふ「論理式」は、『Ｆをもつものが存在しないことも、またＦをもつ１つのものが存在することを許す。しかし、１つより多いものが存在するならば、それは明らかに偽になる（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２１１頁）。』
然るに、
（08）
① ∃ｘ（Ｆｘ）≡Ｆである所のｘが存在する。
① ∃ｘ（Ｆｘ）≡１個以上の、ｘがＦである。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① ∃ｘ（Ｆｘ） ≡１個以上のｘがＦである。
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）≡１個以上で、２個未満のｘがＦである。
然るに、
（10）
① １個以上で、２個未満のｘがＦである。
といふことは、
① 過不足なく、正確に１個のｘが、Ｆである。
といふことである。
従って、
（09）（10）
（11）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
といふ「論理式」は、
① 過不足なく、正確に１個のｘが、Ｆである。
といふことを、示してゐる。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘ（Ｆｘ） １＆Ｅ
３（３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆａ→ａ＝ａ ５ＵＥ
３（７） Ｆａ＆Ｆａ ３冪等律
１３（８） ａ＝ａ ６７ＭＰＰ
１ （９） Ｆａ→ａ＝ａ ３８ＣＰ
１ （ア） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ９ＵＩ
１３（イ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３ア＆Ｉ
１３（ウ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ イＥＩ
１ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ １３ウＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （５） Ｆｂ→ａ＝ｂ ４ＵＥ
６（６） Ｆｂ＆Ｆｂ Ａ
６（７） Ｆｂ ６冪等律
２６（８） ａ＝ｂ ５７ＭＰＰ
（９） ａ＝ａ ＝Ｉ
２６（ア） ｂ＝ａ ８９＝Ｅ
２６（イ） ｂ＝ｂ ８ア＝Ｅ
２ （ウ） Ｆｂ＆Ｆｂ→ｂ＝ｂ ６イＣＰ
２ （エ） ∀ｙ（Ｆｂ＆Ｆｙ→ｂ＝ｙ） ウＵＩ
２ （オ） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） エＵＩ
２ （カ）∃ｘ（Ｆｘ） ３ＥＩ
１ （キ）∃ｘ（Ｆｘ） １２カＥＥ
１ （ク）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） オキ＆Ｉ
従って、
（12）により、
（13）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」は、
① 過不足なく、正確に１個のｘが、Ｆである。
といふこと（一意性：uniqueness）を、示してゐる。
然るに、
（15）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ～∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
① の「否定」が、② である。
然るに、
（16）
（ⅱ）
１ （１）～∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ １量化子の関係
１ （３） ～｛Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）｝ ２ＵＥ
１ （４） ～Ｆａ∨～∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３ド・モルガンの法則
１ （５） Ｆａ→～∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４含意の定義
６ （６） Ｆａ Ａ
１６ （７） ～∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ５６ＭＰＰ
１６ （８） ∃ｙ～（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ７量化子の関係
９（９） ～（Ｆｂ→ａ＝ｂ） Ａ
９（ア） ～（～Ｆｂ∨ａ＝ｂ） ９含意の定義
９（イ） Ｆｂ＆ａ≠ｂ ア、ド・モルガンの法則
９（ウ） ∃ｙ（Ｆｙ＆ａ≠ｙ） イＥＩ
１６ （エ） ∃ｙ（Ｆｙ＆ａ≠ｙ） ８９ウＥＥ
１ （オ） Ｆａ→∃ｙ（Ｆｙ＆ａ≠ｙ） ６エＣＰ
１ （カ） ∀ｘ｛Ｆｘ→∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝ オＵＩ
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ｛Ｆｘ→∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝ Ａ
１ （２） Ｆａ→∃ｙ（Ｆｙ＆ａ≠ｙ） １ＵＥ
３ （３） Ｆａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ（Ｆｙ＆ａ≠ｙ） ２３ＭＰＰ
５（５） Ｆｂ＆ａ≠ｂ Ａ
５（６） ～（～Ｆｂ∨ａ＝ｂ） ５ド・モルガンの法則
５（７） ～（Ｆｂ→ａ＝ｂ） ６含意の定義
５（８） ∃ｙ～（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ７ＥＩ
１３ （９） ∃ｙ～（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４５８ＥＥ
１３ （ア） ～∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ９量化子の関係
１ （イ） Ｆａ→～∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ ３アＣＰ
１ （ウ） ～Ｆａ∨～∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） イ含意の定義
１ （エ） ～｛Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ）｝ ウ、ド・モルガンの法則
１ （オ）∀ｘ～｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ エＵＩ
１ （カ）～∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ オ量化子の関係
従って、
（16）により、
（17）
② ～∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
③ ∀ｘ｛Ｆｘ→∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（17）により、
（18）
② ～～∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
③ ～∀ｘ｛Ｆｘ→∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝
に於いても、
②＝③ である。
従って、
（18）により、
（19）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
③ ～∀ｘ｛Ｆｘ→∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（19）により、
（20）
「番号」と「文字」を付け直すと、
① ∃ｙ｛Ｇｙ＆∀ｚ（Ｇｚ→ｙ＝ｚ）｝
② ～∀ｙ｛Ｇｙ→∃ｚ（Ｇｚ＆ｙ≠ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（20）により、
（21）
① ∀ｘ｛Ｆｘ→ ∃ｙ［Ｇｙ＆∀ｚ（Ｇｚ→ｙ＝ｚ）］｝
② ∀ｘ｛Ｆｘ→～∀ｙ［Ｇｙ→∃ｚ（Ｇｚ＆ｙ≠ｚ）］｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（22）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｚ（Ｇｚｘ→ｚ＝ｙ） Ａ
２ （２） ∃ｚ（ｚ≠ｙ＆Ｇｚｘ） Ａ
２ （３） Ｇｃｘ→ｃ＝ｙ １ＵＥ
４（４） ｃ≠ｙ＆Ｇｃｘ Ａ
４（５） ｃ≠ｙ ４＆Ｅ
４（６） Ｇｃｘ ４＆Ｅ
１ ４（７） ～Ｇｃｘ ３５ＭＴＴ
１ ４（８） ～Ｇｃｘ＆Ｇｃｘ ６７＆Ｉ
１２ （９） ～Ｇｃｘ＆Ｇｃｘ ２４ＥＥ
１ （ア）～∃ｚ（ｚ≠ｙ＆Ｇｚｘ） ２９ＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１）～∃ｚ（ｚ≠ｙ＆Ｇｚｘ） Ａ
１ （２）∀ｚ～（ｚ≠ｙ＆Ｇｚｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（ｃ≠ｙ＆Ｇｃｘ） ２ＵＥ
１ （４） ｃ＝ｙ∨～Ｇｃｘ ３ド・モルガンの法則
１ （５） ～Ｇｃｘ∨ｃ＝ｙ ４交換法則
１ （６） Ｇｃｘ→ｃ＝ｙ ５含意の定義
１ （７） ∀ｚ（Ｇｚｘ→ｚ＝ｙ） ６ＵＩ
従って、
（22）により、
（23）
① ∀ｚ（Ｇｚｘ→ｚ＝ｙ）
③ ～∃ｚ（ｚ≠ｙ＆Ｇｚｘ）
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（21）（22）（23）により、
（24）
① ∀ｘ｛Ｆｘ→ ∃ｙ［Ｇｙ＆ ∀ｚ（Ｇｚ→ｙ＝ｚ）］｝
② ∀ｘ｛Ｆｘ→～∀ｙ［Ｇｙ→ ∃ｚ（Ｇｚ＆ｙ≠ｚ）］｝
③ ∀ｘ｛Ｆｘ→～∃ｙ［Ｇｙ＆～∃ｚ（ｚ≠ｙ＆Ｇｚ）］｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（24）により、
（25）
例へば、
① ∀ｘ｛タゴール記念会の会員ｘ→ ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆ ∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
② ∀ｘ｛タゴール記念会の会員ｘ→～∀ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ→ ∃ｚ（理事長ｚｘ＆ｙ≠ｚ）］｝
③ ∀ｘ｛タゴール記念会の会員ｘ→ ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆～∃ｚ（ｚ≠ｙ＆理事長ｚｘ）］｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（25）により、
（26）
① すべてのｘについて、｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙ［は私であり、ｙはｘの理事長であり、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、 ｙとｚは「同一人物」である）］。｝
② すべてのｘについて、｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、すべてのｙについて［ｙが私であり、ｙがｘの理事長であるならば、あるｚが（ｘの理事長であって、ｙとｚが「同一人物」ではない）］。といふことはない。｝
③ すべてのｘについて、｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙ［は私であり、ｙはｘの理事長であり、あるｚ（が、ｙ以外であって、ｘの理事長である）といふことはない。］｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（26）により、
（27）
① すべてのｘについて、｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙ［は私であり、ｙはｘの理事長であり、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、 ｙとｚは「同一人物」である）］。｝
② すべてのｘについて、｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、すべてのｙについて［ｙが私であり、ｙがｘの理事長であるならば、あるｚが（ｘの理事長であって、ｙとｚが「同一人物」ではない）］。といふことはない。｝
③ すべてのｘについて、｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙ［は私であり、ｙはｘの理事長であり、あるｚ（が、ｙ以外であって、ｘの理事長である）といふことはない。］｝
といふことは、要するに、３つとも、
① タゴール記念会の理事長は私であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。
② タゴール記念会の理事長は私であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。
③ タゴール記念会の理事長は私であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。
といふ「意味」である。
然るに、
（28）
① タゴール記念会の理事長は私である。
② 私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（29）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（25）～（29）により、
（30）
① タゴール記念会は、私が理事長です。⇔
① タゴール記念会の理事長は、私です。⇔
① タゴール記念会の理事長は、私以外にはゐない。⇔
① ∀ｘ｛タゴール記念会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝⇔
① すべてのｘについて、｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙ［は私であり、ｙはｘの理事長であり、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｚとｙは「同一人物」である）］。｝
といふ「等式」が、成立する。
ｃｆ.
ラッセルの確定記述（The definite description）。
然るに、
（31）
（ⅰ）私はタゴール記念会の理事長であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。然るに、
（ⅱ）小倉氏は、私ではない。故に、
（ⅲ）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。
といふ「推論」は、「日本語」として、「正しい」。
然るに、
（32）
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｔ会の会員ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ３４ＭＰＰ
５ （５） 私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 私ｂ＆理事長ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （８） 理事長ｃａ→ｂ＝ｃ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ） Ａ
ア （ア） 小倉ｃ＆～私ｃ Ａ
ア （イ） 小倉ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～私ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｂ＝ｃ Ａ
アエ（オ） ～私ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 私ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～私ｂ＆私ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｂ≠ｃ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～理事長ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 小倉ｃ＆～理事長ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （シ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝ セＵＩ
１ ９ （〃）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。 セＵＩ
従って、
（31）（32）により、
（33）
（ⅰ）私はタゴール記念会の理事長であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。然るに、
（ⅱ）小倉氏は、私ではない。故に、
（ⅲ）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。
といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当」である。
従って、
（30）～（33）により、
（34）
（ⅰ）私はタゴール記念会の理事長であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。然るに、
（ⅱ）小倉氏は、私ではない。故に、
（ⅲ）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。
といふ「推論」を、「妥当」であるとする一方で、
① タゴール記念会は、私が理事長です。⇔
① タゴール記念会の理事長は、私です。⇔
① タゴール記念会の理事長は、私以外にはゐない。⇔
① ∀ｘ｛タゴール記念会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝⇔
① すべてのｘについて、｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙ［は私であり、ｙはｘの理事長であり、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｚとｙは「同一人物」である）］。｝
といふ「等式」を、「マチガイ」であると、することは出来ない。
然るに、
（35）
（ⅰ）私はタゴール記念会の理事長であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。然るに、
（ⅱ）小倉氏は、私ではない。故に、
（ⅲ）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。
といふ「推論」は、明らかに、「妥当」である。
従って、
（34）（35）により、
（36）
① タゴール記念会は、私が理事長です。⇔
① タゴール記念会の理事長は、私です。⇔
① タゴール記念会の理事長は、私以外にはゐない。⇔
① ∀ｘ｛タゴール記念会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝⇔
① すべてのｘについて、｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙ［は私であり、ｙはｘの理事長であり、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｚとｙは「同一人物」である）］。｝
といふ「等式」は、「正しい」。
然るに、
（37）
伝統的論理学を速水滉『論理学』（１６）で代表させよう。わたしのもっているのが四十三年の第十九刷一万部中の一冊で、なお引続き刊行だろうから、前後かなり多く読者を持つ論理学書と考えられる。新興の記号論理学の方は、沢田充茂の『現代論理学入門』（62）を参照することにする（三上章、日本語の論理、1963年、４頁）。
然るに、
（38）
「三上章、日本語の論理、1963年」を読む限り、三上章 先生が、「述語計算（Predicate calculus）」を学んだ「形跡」はない。
然るに、
（39）
いまわれわれに必要なのは、命題の内部へわけいりその内部構造（inner structure）を明らかにする道具（tools）である。これらの道具は、述語計算（Predicate calculus）によって与えられる。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１１８頁改）
従って、
（25）～（39）により、
（40）
「三上章、日本語の論理、1963年」を上肢する際に、
「その文の、内部構造（inner structure）を明らかにする所の道具（tools）」である「述語計算（Predicate calculus）」を学んでゐたのであれば、三上章 先生も、
① タゴール記念会は、私が理事長です。⇔
① タゴール記念会の理事長は、私です。⇔
① タゴール記念会の理事長は、私以外にはゐない。⇔
① ∀ｘ｛タゴール記念会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆～∃ｚ（ｚ≠ｙ＆理事長ｚｘ）］｝⇔
① すべてのｘについて、｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙ［は私であり、ｙはｘの理事長であり、あるｚ（が、ｙ以外であって、ｘの理事長である）といふことはない。］｝
といふ「等式」に、気付くことが、出来たはずであるにも拘らず、三上章 先生は、そのことを、怠った。
と、言ふべきである。
（41）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
といふ「日本語」は、「述語論理」で書けば、
① ∀ｘ｛タゴール記念会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆～∃ｚ（ｚ≠ｙ＆理事長ｚｘ）］｝
といふ「意味」であり、
① ∀ｘ｛タゴール記念会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆～∃ｚ（ｚ≠ｙ＆理事長ｚｘ）］｝
といふ「述語論理」は、「日本語」で言へば、
① タゴール記念会は、私が理事長です。
といふ「意味」である。
従って、
（29）（41）により、
（42）
① タゴール記念会は、私が理事長です。
といふ「日本語」の、
① ∀ｘ｛タゴール記念会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆～∃ｚ（ｚ≠ｙ＆理事長ｚｘ）］｝
といふ「意味」に触れないまま、
また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
といふ風に、述べたとしても、
タゴール記念会は、私が理事長です。
といふ「日本語」の、「文法」を、説明したことには、ならないはずである。
（01）
① ∃ｘ（Ｆｘ） ≡「１個以上のｘが、Ｆである。」
② ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝≡「１個以下のｘが、Ｆである。」
ｃｆ.
「１個以下」≡「０個か１個」。
然るに、
（02）
③「１個以上で、１個以下の、ｘがＦである。」といふことは、
③「過不足なく、ただ１個の、ｘがＦである。」といふ、ことである。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∃ｘ（Ｆｘ） ≡「１個以上のｘがＦである。」
② ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ ≡「１個以下のｘがＦである。」
③ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝≡「ただ１個のｘがＦである。」
然るに、
（04）
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘ（Ｆｘ） １＆Ｅ
３（３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆａ→ａ＝ａ ５ＵＥ
３（７） Ｆａ＆Ｆａ ３３＆Ｉ
１３（８） ａ＝ａ ６７ＭＰＰ
１ （９） Ｆａ→ａ＝ａ ３８ＣＰ
１ （ア） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ９ＵＩ
１３（イ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３ア＆Ｉ
１３（ウ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ イＥＩ
１ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ １３ウＥＥ
（Ⅲ）
１ （１） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （５） Ｆｂ→ａ＝ｂ ４ＵＥ
６（６） Ｆｂ＆Ｆｂ Ａ
６（７） Ｆｂ ６冪等律
２６（８） ａ＝ｂ ５７ＭＰＰ
（９） ａ＝ａ ＝Ｉ
２６（ア） ｂ＝ａ ８９＝Ｅ
２６（イ） ｂ＝ｂ ８ア＝Ｅ
２ （ウ） Ｆｂ＆Ｆｂ→ｂ＝ｂ ６イＣＰ
２ （エ） ∀ｙ（Ｆｂ＆Ｆｙ→ｂ＝ｙ） ウＵＩ
２ （オ） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） エＵＩ
２ （カ）∃ｘ（Ｆｘ） ３ＥＩ
１ （キ）∃ｘ（Ｆｘ） １２カＥＥ
１ （ク）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） オキ＆Ｉ
従って、
（04）により、
（05）
（ⅲ）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
（Ⅲ）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
（ⅲ）＝（Ⅲ） である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
① ∃ｘ（Ｆｘ） ≡「１個以上のｘがＦである。」
② ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝≡「１個以下のｘがＦである。」
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝≡「１個の、ｘだけがＦである。」
然るに、
（07）
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝≡「１個の、ｘだけがＦである。」
であるならば、
④ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝≡「２個の、ｘだけがＦである。」
であるに、違ひない。
ｃｆ.
「ｘはＦであり、ｙもＦである。」＆「ｘとｙは別人である。」＆「誰かがＦであるならば、ｘかｙの、どちらかと同一人物である（三人目のＦはゐない）。」
然るに、
（08）
（ⅴ）
１ （１）～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ ）＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝ １量化子の関係
１ （３）∀ｘ∀ｙ～｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝ ２量化子の関係
１ （４） ∀ｙ～｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｙ）］｝ ３ＵＥ
１ （５） ～｛Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］｝ ４ＵＥ
１ （６） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ） ∨～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ ５ド・モルガンの法則
１ （７） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ ６結合法則
８ （８） ～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ Ａ
８ （９） ∃ｚ～［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ ８量化子の関係
ア （ア） ～［Ｆｃ→（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］ Ａ
ア （イ） ～｛～Ｆｃ∨［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］｝ ア含意の定義
ア （ウ） Ｆｃ＆～［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］ イ、ド・モルガンの法則
ア （エ） Ｆｃ ウ＆Ｅ
ア （オ） ～［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］ ウ＆Ｅ
ア （カ） （ｃ≠ａ）＆（ｃ≠ｂ） オ、ド・モルガンの法則
ア （キ） Ｆｃ＆（ｃ≠ａ）＆（ｃ≠ｂ） エカ＆Ｉ
ア （ク） ∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ キＥＩ
８ （ケ） ∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ ８アクＥＥ
８ （コ） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ キ∨Ｉ
サ （サ） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］ Ａ
サ （シ） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ ケ∨Ｉ
１ （ス） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ ７８コサシ∨Ｅ
セ （セ） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］ Ａ
セ （ソ） ～～［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］ セＤＮ
セ （タ） ～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］ ソ、ド・モルガンの法則
セ （チ） ～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ タ∨Ｉ
ツ（ツ） ∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ Ａ
ツ（テ） ～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ ツ∨Ｉ
１ （ト） ～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ スセチツテ∨Ｅ
１ （ナ） ［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ ト含意の定義
１ （ニ） ∀ｙ｛［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］｝ ナＵＩ
１ （ヌ） ∀ｘ∀ｙ｛［Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝ ニＵＩ
（Ⅴ）
１ （１） ∀ｘ∀ｙ｛［Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］｝ １ＵＥ
１ （３） ［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ ２ＵＥ
１ （４） ～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］∨∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ ３含意の定義
５ （５） ～［Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ）］ Ａ
５ （６） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］ ５ド・モルガンの法則
５ （７） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ ６∨イ
８ （８） ∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ａ）＆（ｚ≠ｂ）］ Ａ
９ （９） Ｆｃ＆（ｃ≠ａ）＆（ｃ≠ｂ） Ａ
９ （ア） Ｆｃ ８＆Ｅ
９ （イ） （ｃ≠ａ）＆（ｃ≠ｂ） ８＆Ｅ
９ （ウ） ～［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］ ９ド・モルガンの法則
９ （オ） Ｆｃ＆～［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］ ９イ＆Ｉ
９ （カ） ～｛～Ｆｃ∨［（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］｝ オ、ド・モルガンの法則
９ （キ） ～［Ｆｃ→（ｃ＝ａ）∨（ｃ＝ｂ）］ カ含意の定義
９ （ク） ∃ｚ～［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ キＥＩ
８ （ケ） ∃ｚ～［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ ８９クＥＥ
８ （コ） ～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ ケ量化子の関係
８ （サ） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ コ∨Ｉ
１ （シ） ［～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ）］∨～∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］ １５７８サＥＥ
１ （ス） ～｛Ｆａ＆ Ｆｂ＆（ａ≠ｂ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｂ）］｝ シ、ド・モルガンの法則
１ （セ） ∀ｙ～｛Ｆａ＆ Ｆｙ＆（ａ≠ｙ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ａ）∨（ｚ＝ｙ）］｝ スＵＩ
１ （ソ）∀ｘ∀ｙ～｛Ｆｘ＆ Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝ セＵＩ
１ （タ）∀ｘ～∃ｙ｛Ｆｘ＆ Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝ ソ量化子の関係
１ （チ）～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆ Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ） ＆ ∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝ タ
従って、
（08）により、
（09）
（ⅴ）～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝
（Ⅴ） ∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝
に於いて、
（ⅴ）＝（Ⅴ） である。
然るに、、
（09）により、
（10）
「ｘとｙとｚ」が「人物」であるとして、
（Ⅴ）∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝
の場合は、
① ｘがＦであってｙも、 Ｆならば、必ず、ｚもＦである（３人がＦであるのかも知れない）。
② ｘとｙの、２人とも、 Ｆでない場合に、ｚはＦであるかも知れない（ｚだけがＦかも知れない）。
③ ｘとｙの、１人だけが、Ｆである場合に、ｚはＦであるかも知れない（ｚと他の一人がＦかも知れない）。
然るに、
（11）
① ３人がＦである。かも知れない。
② １人がＦである。かも知れない。
③ ２人がＦである。かも知れない。
といふことと、
④ 過不足なく、きっちり、２人がＦである。
といふことは、「矛盾」する。
ｃｆ.
（Ⅴ）は、実際には、「０人がＦである。」としても、「真」になる。
従って、
（07）～（11）により、
（12）
④ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝
⑤ ∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝
に於いて、確かに、
⑤ は、④ の「否定」になってゐる。
従って、
（07）（12）により、
（13）
④「過不足なく、２個のｘだけがＦである。」
⑤「過不足なく、２個のｘだけがＦである。」といふわけではない。
といふ「日本語」は、
④ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝
⑤ ∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝
といふ「述語論理」に、「相当」する。
（14）
④ ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝
⑤ ∀ｘ∀ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）→∃ｚ［Ｆｚ＆（ｚ≠ｘ）＆（ｚ≠ｙ）］｝
⑥ ～∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ［Ｆｚ→（ｚ＝ｘ）∨（ｚ＝ｙ）］｝
に於いて、
④ ＆ ⑥ は、「矛盾」そのものであるが、
⑤ は ⑥ に、「等しく」、その、
⑤ の「意味」からすると、
④ は、確かに、
④ 過不足なく、２個のｘだけがＦである。
といふ、「意味」になる。
（01）
（ⅰ） ∃ｘ（Ｆｘ）≡「少なくとも、１つ以上のｘがＦである。」
（ⅱ） ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝≡「少なくとも、２つ以上のｘがＦである。」
従って、
（01）により、
（02）
（ⅲ）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝≡「少なくとも、２つ以上のｘがＦである。」といふことはない。
（Ⅲ）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝≡「多くとも１つ（０個か、１個の）ｘがＦである。」
に於いて、
（ⅲ）＝（Ⅲ） である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１（１）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ Ａ
１（２）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ １量化子の関係
１（３）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ ２量化子の関係
１（４） ∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ａ≠ｙ｝ ３ＵＥ
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝ ４ＵＥ
１（６） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ５ド・モルガンの法則
１（７） （Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ ６含意の定義
１（８） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝ ７ＵＩ
１（９） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ ８ＵＩ
（Ⅲ）
１（１） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝ １
１（２） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→ａ＝ｙ｝ １ＵＥ
１（３） （Ｆａ＆Ｆｂ）→ａ＝ｂ ２ＵＥ
１（４） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ ３含意の定義
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆ａ≠ｂ｝ ４ド・モルガンの法則
１（６） ∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆ａ≠ｙ｝ ５ＵＩ
１（７）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ ６
１（８）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ ７量化子の関係
１（７）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝ ８量化子の関係
従って、
（02）（03）により、
（04）
（ⅲ）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆ｘ≠ｙ｝≡「多くとも１つ（０個か、１個の）ｘがＦである。」
（Ⅲ） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝≡「多くとも１つ（０個か、１個の）ｘがＦである。」
に於いて、
（ⅲ）＝（Ⅲ） である。
従って、
（01）（04）により、
（05）
（ⅳ）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝≡
（〃）「少なくとも１個のｘ、多くとも１個のｘが、Ｆである。」≡「過不足なく、１個のｘだけが、Ｆである。」
然るに、
（06）
（ⅳ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘ（Ｆｘ） １＆Ｅ
３（３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆａ→ａ＝ａ ５ＵＥ
３（７） Ｆａ＆Ｆａ ３３＆Ｉ
１３（８） ａ＝ａ ６７ＭＰＰ
１ （９） Ｆａ→ａ＝ａ ３８ＣＰ
１ （ア） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ９ＵＩ
１３（イ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３ア＆Ｉ
１３（ウ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ イＥＩ
１ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ １３ウＥＥ
（Ⅳ）
１ （１） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （５） Ｆｂ→ａ＝ｂ ４ＵＥ
６（６） Ｆｂ＆Ｆｂ Ａ
６（７） Ｆｂ ６冪等律
２６（８） ａ＝ｂ ５７ＭＰＰ
（９） ａ＝ａ ＝Ｉ
２６（ア） ｂ＝ａ ８９＝Ｅ
２６（イ） ｂ＝ｂ ８ア＝Ｅ
２ （ウ） Ｆｂ＆Ｆｂ→ｂ＝ｂ ６イＣＰ
２ （エ） ∀ｙ（Ｆｂ＆Ｆｙ→ｂ＝ｙ） ウＵＩ
２ （オ） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） エＵＩ
２ （カ）∃ｘ（Ｆｘ） ３ＥＩ
１ （キ）∃ｘ（Ｆｘ） １２カＥＥ
１ （ク）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） オキ＆Ｉ
従って、
（05）（06）により、
（07）
（ⅳ）∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→ｘ＝ｙ｝≡「１個のｘだけがＦである。」
（Ⅳ）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ≡「１個のｘだけがＦである。」
に於いて、
（ⅳ）＝（Ⅳ） である。
従って、
（07）により、
（08）
① ∃ｙ｛理事長ｙ＆∀ｚ（理事長ｚ→ｙ＝ｚ｝≡「一人、ｙだけが、理事長である。」
従って、
（08）により、
（09）
① 私はタゴール記念会の理事長であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。⇔
① ∀ｘ｛タゴール会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘがタゴール会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｙはｘの理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙ＝ｚ である）｝。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（10）
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｔ会の会員ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ３４ＭＰＰ
５ （５） 私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 私ｂ＆理事長ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （８） 理事長ｃａ→ｂ＝ｃ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ） Ａ
ア （ア） 小倉ｃ＆～私ｃ Ａ
ア （イ） 小倉ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～私ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｂ＝ｃ Ａ
アエ（オ） ～私ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 私ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～私ｂ＆私ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｂ≠ｃ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～理事長ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 小倉ｃ＆～理事長ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （シ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝ セＵＩ
１ ９ （〃）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。 セＵＩ
従って、
（09）（10）により、
（11）
（ⅰ）私はタゴール記念会の理事長であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。然るに、
（ⅱ）小倉氏は、私ではない。故に、
（ⅲ）タゴール記念会は、小倉氏は、理事長ではない。
といふ「推論」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（12）
② 理事長は、私です。
③ 私以外理事長ではない。
に於いて、
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（13）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（12）（13）により、
（14）
① 私が理事長です。
② 理事長は、私です。
③ 私以外は理事長ではない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）～（14）により、
（15）
① タゴール記念会は、私が理事です。⇔
① 私はタゴール記念会の理事長であって、私以外に、タゴール記念会の理事長はゐない。⇔
① ∀ｘ｛タゴール会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝⇔
① すべてのｘについて｛ｘがタゴール会の会員であるならば、あるｙは私であって、ｙはｘの理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙ＝ｚ である）｝。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（15）により、
（16）
① タゴール記念会は、私が理事です。
② ∀ｘ｛タゴール会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝
に於いて、
② は、① の、「論理構造」を示してゐる。
然るに、
（17）
「ブログを始めた当初から、何度も示してゐる」やうに、
③ 象は鼻が長い。
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、
③＝④ であるため、
④ は、③ の、「論理構造」を示してゐる。
然るに、
（18）
沢田充茂の『現代論理学入門』（一九六ニ年）には楽しい解説が載っています。
・・・・・・たとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」といえば・・・・・・たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている。常識（すなはち共通にもっている情報）でわかっているものはいちいち言明の中にいれないで、いわば暗黙の了解事項として、省略し、できるだけ短い記号の組み合せで、できるだけ多くの情報を伝えることが日常言語の合理性の一つである。・・・・・・
つまり沢田氏によれば「象は鼻が長い」というのは合理的省略を行った言語表現であり、そこには明確な論理構造がある。ということです。三上はこれを文型として登録すべきであると主張しています。
（山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、２１４頁）
然るに、
（19）
「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」
の場合は、
④ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝
ではなく、
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
⑤ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長い｝
である。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
⑤ 象は鼻が長い。
⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
に於いて、
⑥ は、⑤ の、「論理構造」を示してはゐない。
（01）
―「含意の定義」の「証明」。―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
１２ （イ） （～Ｐ∨Ｑ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２イＲＡＡ
１ （エ） ～Ｐ∨Ｑ ウＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を、「含意の定義」といふ。
（03）
―「ド・モルガンの法則」の「証明」。―
（ⅲ）
１ （１） ～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ４∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（Ｐ＆Ｑ）＆
（Ｐ＆Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
③＝④ であって、この「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（05）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６ド・モルガンの法則
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→～Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨～Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
１ （７） （Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ６ド・モルガンの法則
８ （８） Ｐ＆ Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（ⅲ）
１ （１） ［Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ）］→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
２ （３） Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ） ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） ～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ）→ Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～［～Ｐ∨（Ｑ∨～Ｑ）］∨Ｐ ５含意の定義
１ （７） Ｐ＆～（Ｑ∨～Ｑ）∨Ｐ ６ド・モルガンの法則
８ （８） Ｐ＆～（Ｑ∨～Ｑ） Ａ
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア∨Ｅ
（ウ）｛［Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ）］→Ｐ｝→Ｐ １イＣＰ
従って、
（05）により、
（06）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③｛［Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ）］→Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
① は、「トートロジー（恒真式）」であって、
② も、「トートロジー（恒真式）」であって、
③ も、「トートロジー（恒真式）」である。
然るに、
（07）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う（ウィキペディア）。
従って、
（08）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③｛［Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ）］→Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
① は、「パースの法則」である。
然るに、
（09）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が、「パースの法則」であるならば、
①（（Ｐ→ Ｒ）→Ｐ）→Ｐ
も、「パースの法則」に、「違ひ」ない。
然るに、
（10）
①（（Ｐ→ Ｒ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
① Ｒ＝～Ｑ
であるならば、
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
は、「パースの法則」である。
然るに、
（08）（09）（10）により、
（11）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③｛［Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ）］→Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
① が、「パースの法則」であって、
② も、「パースの法則」である以上、
③ も、「パースの法則」であるに、「違ひ」ない。
従って、
（11）により、
（12）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「パースの法則」は、「実質的」には、
①（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、）いづれにせよ、Ｐ）ならばＰである。
②（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、）いづれにせよ、Ｐ）ならばＰである。
といふ「意味」になる。
然るに、
（13）
Peirce's law holds in classical propositional calculus, but not in intuitionistic propositional calculus. The precise axiom system that one chooses for classical propositional calculus determines whether Peirce's law is taken as an axiom or proven as a theorem.
パースの法則は、古典的な命題論理には当てはまりますが、直観主義的な命題論理には当てはまりません。古典的な命題論理のために選択する正確な公理システムは、パースの法則が公理と見なされるか、定理として証明されるかを決定します（Peirce's law - Wikiversity - Beta Wikiversity：グーグル翻訳）。
従って、
（12）（13）により、
（14）
「直観主義的な命題論理」からすると、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、）いづれにせよ、Ｐ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、「正しくはない」か、または、「正しいとも、正しくない」とも、言へない。
といふことになるが、私には、『そんなことは、有り得ない所の「不思議な話」である。』としか、思へない。
（01）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う（ウィキペディア）。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６ド・モルガンの法則
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ→～Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→～Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨～Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
１ （７） （Ｐ＆ Ｑ）∨Ｐ ６ド・モルガンの法則
８ （８） Ｐ＆ Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ７８９アア
（ウ）（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、すなはち、
①（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
に於いて、「両者」は、「恒真式（トートロジー）」であって、
① は、「パースの法則」である。
然るに、
（04）
①（（Ｐ→ 真）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～偽）→Ｐ）→Ｐ
であるならば、「両方」とも、
①（（Ｐ→ 真）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→ 真）→Ｐ）→Ｐ
である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「恒真式（トートロジー）」に於いて、すなはち、
①（（ＰならばＱである）ならばＰ）ならばＰである。
②（（ＰならばＱでない）ならばＰ）ならばＰである。
に於いて、「両者」を、「区別」する必要はない。
従って、
（05）により、
（06）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「パースの法則」は、「実質的」には、
①（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、）いづれにせよ、Ｐ）ならばＰである。
といふ「意味」になる。
然るに、
（07）
１（１） Ｐ Ａ
１（２）～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
といふ「計算」は、
Ｐ（１） Ｐ Ａ
Ｐ（２）～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
Ｐ（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
といふ「計算」に「等しい」。
（08）
Ｐ（１） Ｐ Ａ
Ｐ（２）～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
Ｐ（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
といふ「計算」は、
Ｐが「真」なので、 Ｐ は「真」である。
Ｐが「真」なので、～Ｑ∨Ｐ も「真」である。
Ｐが「真」なので、 Ｑ→Ｐ も「真」である。
といふ「意味」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
１（１） Ｐ Ａ
１（２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１（３） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
（４）Ｐ→（Ｑ→Ｐ） １３ＣＰ
といふ「計算（質料含意のパラドックス）」は、
真（１） 真 Ａ
真（２） ～Ｑ∨真 １∨Ｉ
真（３） Ｑ→真 ２含意の定義
（４）真→（Ｑ→真） １３ＣＰ
といふ「計算」に、他ならない。
然るに、
（10）
① 偽→（真→偽）
② 偽→（偽→偽）
③ 真→（真→真）
④ 真→（偽→真）
に於ける「４通り」は、「すべて、真」である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
真（１） 真 Ａ
真（２） ～Ｑ∨真 １∨Ｉ
真（３） Ｑ→真 ２含意の定義
（４）真→（Ｑ→真） １３ＣＰ
といふ「計算（質料含意のパラドックス）」は、
① 偽→（真→偽）
② 偽→（偽→偽）
③ 真→（真→真）
④ 真→（偽→真）
に於ける「４通り」に於ける、特に、
③ 真→（真→真）
④ 真→（偽→真）
といふ「２通り」が「真」である。
といふことを、示してゐる。
従って、
（11）により、
（12）
③ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
③ 真→（Ｑ→真）
といふ「質量含意のパラドックス」は、
③ Ｐならば（Ｑであらうと、Ｑでなかららうと、いづれにせよ、Ｐである。）
といふ「意味」になる。
然るに、
（13）
１ （１） Ｐ Ａ
１ （２） ～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１ （３） ～～Ｑ∨Ｐ １∨Ｉ
１ （４） Ｑ→Ｐ ２含意の定義
１ （５） ～Ｑ→Ｐ ３含意の定義
６ （６） Ｑ∨～Ｑ Ａ
７ （７） Ｑ Ａ
１ ７ （８） Ｐ ４７ＭＰＰ
９（９） ～Ｑ Ａ
１ ９（ア） Ｐ ５９ＭＰＰ
１６ （イ） Ｐ ６７８９ア∨Ｉ
１ （ウ） Ｑ∨～Ｑ→Ｐ ６イＣＰ
（エ）Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ→Ｐ） １ウＣＰ
（〃）Ｐならば（Ｑであるか、ＱでないならばＰである。）
（〃）Ｐならば（Ｑであらうと、Ｑでなかららうと、いづれにせよ、Ｐである。）
従って、
（09）～（13）により、
（14）
③ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
④ Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ→Ｐ）
といふ「２つの恒真式（トートロジー）」は、両方とも、
③ Ｐならば（Ｑであらうと、Ｑでなかららうと、いづれにせよ、Ｐである。）
④ Ｐならば（Ｑであらうと、Ｑでなかららうと、いづれにせよ、Ｐである。）
といふ「意味」になる。
従って、
（05）（06）（14）により、
（15）
①（（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③ Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
④ Ｐ→（Ｑ∨～Ｑ→Ｐ）
に於いて、
① は「パースの法則」であって、
② も「パースの法則」であって、
③ は「質量含意のパラドックス」であって、
④ も「質量含意のパラドックス」であって、これらは、
①（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、）いづれにせよ、Ｐ）ならばＰである。
②（（Ｐならば、Ｑであらうと、Ｑでなからうと、）いづれにせよ、Ｐ）ならばＰである。
③ Ｐならば（Ｑであらうと、Ｑでなかららうと、いづれにせよ、Ｐである。）
④ Ｐならば（Ｑであらうと、Ｑでなかららうと、いづれにせよ、Ｐである。）
といふ「意味」になる。
（01）
それゆえ、古典論理学は外延論理学ともいわれる。この、質料含意には、次のパラドックスがあることが知られている。
（８） Ａ→（Ｂ→Ａ）
（９）～Ａ→（Ａ→Ｂ）
ルイスはこの古典論理における含意の外延的解釈に不満を感じた。なぜならば、
含意文『「雪が白い」ならば「１＋１＝２」である。』の外延的意味は「真」である。
しかし、我々の素朴直観的な「含意：ならば」には「より強い意味」を示唆する、すなわち、
含意によって結合される２つの文には内容的な関連を要求するように思われる（北樹出版、論理学の方法、1994年、１９０頁）。
然るに、
（02）
たしかに、普通、我々は、
『「雪が白い」ならば「１＋１＝２」である。』
といふやうな「言ひ方」をしない。
然るに、
（03）
（ⅷ）
１（１） Ａ 仮定
１（２） ～Ｂ∨Ａ １選言導入
１（３） Ｂ→Ａ ２含意の定義
（４） Ａ→（Ｂ→Ａ） １３条件的証明
（ⅸ）
１（１） ～Ａ 仮定
１（２） ～Ａ∨Ｂ １選言導入
１（３） Ａ→Ｂ ２含意の定義
（４）～Ａ→（Ａ→Ｂ） １３条件的証明
従って、
（01）（03）により、
（04）
（２）１選言導入
（３）２含意の定義
といふ「計算」が、「妥当」であるからこそ、「古典論理学」に於いて、
① Ａ→（Ｂ→Ａ）：Ａであるならば（ＢであるならばＡである。）
② ～Ａ→（Ａ→Ｂ）：Ａでないならば（ＡであるならばＢである。）
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」となり、そのことに対して、ＣＩルイス は、不満に思ってゐる。
然るに、
（05）
（ⅷ）
１（１）～Ｂ∨Ａ 仮定
とは異なり、
１（２）～Ｂ∨Ａ １選言導入
の「前」に、
１（１） Ａ 仮定
といふ「仮定」が「先に有る」ことによって、
１（２）～Ｂ∨Ａ １選言導入
に於ける、
１（２）～Ｂ∨Ａ：Ｂでないか、または、Ａである。
といふ「論理式」は、実際には、
１（２）～Ｂ∨Ａ：Ａであるが（、Ｂでないか、Ｂであるか）は不明である。
といふ、「意味」になる。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１ （１） Ａ 仮定
１ （２） ～Ｂ∨Ａ １選言導入
１ （３） ～～Ｂ∨Ａ １選言導入
１ （４） Ｂ→Ａ ２含意の定義
１ （５） ～Ｂ→Ａ ３含意の定義
６ （６） Ｂ∨～Ｂ 仮定
７ （７） Ｂ 仮定
１ ７ （８） Ａ ４７肯定肯定式
９（９） ～Ｂ 仮定
１ ９（ア） Ａ ５９肯定肯定式
１６ （イ） Ａ ６７８９ア選言除去
１ （ウ） （Ｂ∨～Ｂ）→Ａ ６イ条件的証明
（エ）Ａ→｛（Ｂ∨～Ｂ）→Ａ｝ １ウ条件的証明
従って、
（06）により、
（07）
③ Ａ→｛（Ｂ∨～Ｂ）→Ａ｝
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（08）
③ Ａ→｛（Ｂ∨～Ｂ）→Ａ｝
といふことは、
③ Ａならば｛（Ｂであるか、または、Ｂでない）ならば、Ａである。｝
といふことであって、
③ Ａならば｛（Ｂであるか、または、Ｂでない）ならば、Ａである。｝
といふことは、要するに、
③ Ａならば｛（Ｂであらうと、Ｂでなからうと）、いづれにせよ、Ａである。｝
といふ、ことである。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
③ Ａ→｛（Ｂ∨～Ｂ）→Ａ｝：Ａならば｛（Ｂであらうと、Ｂでなからうと）、いづれにせよ、Ａである。｝
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（04）（09）により、
（10）
① Ａ→（Ｂ→Ａ） ：Ａであるならば（ＢであるならばＡである）。
③ Ａ→｛（Ｂ∨～Ｂ）→Ａ｝：Ａならば｛（Ｂであらうと、Ｂでなからうと）、いづれにせよ、Ａである。｝
といふ「論理式」は、２つとも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（11）
① Ａであるならば（ＢであるならばＡである。） ：Ａ→（Ｂ→Ａ）
③ Ａならば｛（Ｂであらうと、Ｂでなからうと）、いづれにせよ、Ａである。｝：Ａ→｛（Ｂ∨～Ｂ）→Ａ｝
に於いて、
① であれば、たしかに、「変」であるが、
③ であれば、少しも、 「変」ではない。
従って、
（01）（10）（11）により、
（12）
① Ａ→（Ｂ→Ａ）
といふ「論理式」を、
③ Ａならば｛（Ｂであらうと、Ｂでなからうと）、いづれにせよ、Ａである。｝
といふ風に、「解釈」する限り、
（８） Ａ→（Ｂ→Ａ）
（９）～Ａ→（Ａ→Ｂ）
ルイスはこの古典論理における含意の外延的解釈に不満を感じた。とする、
（８） Ａ→（Ｂ→Ａ）
は、「パラドックス」でも、何でもない。
ｃｆ.
（８） １→（真→１） は「真」であり、
（〃） １→（偽→１） も「真」である。
然るに、
（13）
（ⅳ）
１ （１） ～Ａ 仮定
１ （２） ～Ａ∨ Ｂ １選言導入
１ （３） ～Ａ∨～Ｂ １選言導入
１ （４） Ａ→ Ｂ ２含意の定義
１ （５） Ａ→～Ｂ ３含意の定義
６ （６） Ａ 仮定
１６ （７） Ｂ ４６肯定肯定式
１６ （８） ～Ｂ ５６肯定肯定式
１６ （９） Ｂ＆～Ｂ ７８連言導入
１ （ア） Ａ→（Ｂ＆～Ｂ） ６９条件的証明
（イ）～Ａ→｛Ａ→（Ｂ＆～Ｂ）｝ １ア条件的証明
ウ（ウ）（Ａ＆～Ａ） Ａ
ウ（エ）～Ａ ウ連言除去
ウ（オ） Ａ→（Ｂ＆～Ｂ） イエ肯定肯定式
ウ（カ） Ａ ウ連言除去
ウ（キ） （Ｂ＆～Ｂ） オカ肯定肯定式
（ク）（Ａ＆～Ａ）→（Ｂ＆～Ｂ） ウキ条件的証明
従って、
（13）により、
（14）
④（Ａ＆～Ａ）→（Ｂ＆～Ｂ）：（Ａであって、Ａでない）ならば、（Ｂであって、Ｂでない）。
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（15）
１（１） Ａ＆～Ａ 仮定
（２）～（Ａ＆～Ａ） １１背理法
従って、
（14）（15）により、
（16）
④（Ａ＆～Ａ）→（Ｂ＆～Ｂ）：（Ａであって、Ａでない）ならば、（Ｂであって、Ｂでない）。
といふ「論理式」は、
④（Ａ＆～Ａ）→（Ｂ＆～Ｂ）：（Ａであって、Ａでない）といふことは有り得ないので、（Ｂであって、Ｂでない）といふことも有り得ない。
といふ、「意味」である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
④（Ａ＆～Ａ）→（Ｂ＆～Ｂ）：（Ａであって、Ａでない）といふことは有り得ないので、（Ｂであって、Ｂでない）といふことも有り得ない。
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」であるが、
④（Ａであって、Ａでない）といふことは有り得ないので、（Ｂであって、Ｂでない）といふことも有り得ない。
といふことは、「当り前」であって、「パラドックス」ではない。
然るに、
（13）により、
（18）
（２）１選言導入
（３）１選言導入
（４）２含意の定義
（５）３含意の定義
といふ「計算」を、「認めない」限り、
④（Ａ＆～Ａ）→（Ｂ＆～Ｂ）：（Ａであって、Ａでない）といふことは有り得ないので、（Ｂであって、Ｂでない）といふことも有り得ない。
といふ「論理式」が、「恒真式（トートロジー）」であるといふことを、「証明」することは、出来ないが、それでは、困るはずである。
従って、
（01）～（18）により、
（19）
ＣＩルイス とは異なり、私自身は、「古典命題論理学」に於ける、「質量含意」に対して、「不満」を持っては、ゐない。