日本語の「は」と「が」について。

象は鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
とりあえず「三上文法」を「批判」します。

(1324)「ド・モルガンの法則(命題変数が3つで、∨と∧が混在する場合)」。

2024-02-26 19:53:57 | 論理

(01)
 ― 次に示す通り、例へば、―
①    P∨ Q
②   ¬P∧¬Q
③    P∨ Q∨ R
④ ¬(¬P∧¬Q∧¬R)
⑤   ¬P∧ Q∨¬R 
⑥ ¬( P∨¬Q∧ R)
に於いて、
①=② である。
③=④ である。
⑤=⑥ である。
(02)
(ⅰ)
1   (1)   P∨ Q  A
 2  (2)  ¬P∧¬Q  A
  3 (3)   P     A
 2  (4)  ¬P     2∧E
 23 (5)   P∧¬P  34∧I
  3 (6)¬(¬P∧¬Q) 25RAA
   7(7)      Q  A
 2  (8)     ¬Q  2∧E
 2 7(9)   Q∧¬Q  78∧I
   7(ア)¬(¬P∧¬Q) 29RAA
1   (イ)¬(¬P∧¬Q) 1367ア∨E
(ⅱ)
1   (1)¬(¬P∧¬Q)  A
 2  (2) ¬(P∨ Q)  A
  3 (3)   P      A
  3 (4)   P∨ Q   3∨I
 23 (5) ¬(P∨ Q)∧
         (P∨ Q)  24∧I
 2  (6)  ¬P      35RAA
   7(7)      Q   A
   7(8)   P∨ Q   7∨I
 2 7(9) ¬(P∨ Q)∧
         (P∨ Q)  28∧I
 2  (ア)     ¬Q   79RAA
 2  (イ)  ¬P∧¬Q   6ア∧I
12  (ウ)¬(¬P∧¬Q)∧
        (¬P∧¬Q)  1イ∧I
1   (エ)¬¬(P∨ Q)  2ウRAA
1   (オ)   P∨ Q   エDN
従って、
(02)により、
(03)
①    P∨ Q
② ¬(¬P∧¬Q)
により、
①=② である(命題変数が2つである場合の、ド・モルガンの法則)。
(04)
(ⅲ)
1     (1)   P∨ Q∨ R   A
 2    (2)  ¬P∧¬Q∧¬R   A
1     (3)  (P∨ Q)∨R   1結合法則
  4   (4)  (P∨ Q)     A
   5  (5)   P         A
 2    (6)  ¬P         2∧E
 2 5  (7)   P∧¬P      56∧I
   5  (8)¬(¬P∧¬Q∧¬R)  27RAA
    9 (9)      Q      A
 2    (ア)     ¬Q      2∧E
 2  9 (イ)   Q∧¬Q      9ア∧I
    9 (ウ)¬(¬P∧¬Q∧¬R)  29RAA
  4   (エ)¬(¬P∧¬Q∧¬R)  4589ウ∨E
     オ(オ)         R   A
 2    (カ)        ¬R   2∧E
 2   オ(キ)      R∧¬R   オカ∧I
     オ(ク)¬(¬P∧¬Q∧¬R)  2キRAA
1     (ケ)¬(¬P∧¬Q∧¬R)  34エオク∨E
12    (コ)¬(¬P∧¬Q∧¬R)∧
          (¬P∧¬Q∧¬R)  2ケ∧I
1     (サ)¬(¬P∧¬Q∧¬R)  2コRAA
(ⅳ)
1    (1) ¬(¬P∧¬Q∧¬R)  A
 2   (2) ¬( P∨ Q∨ R)  A
  3  (3)    P         A
  3  (4)    P∨ Q      3∨I
  3  (5)    P∨ Q∨ R   34∨I
 23  (6) ¬( P∨ Q∨ R)∧
          ( P∨ Q∨ R)  25∧I
 2   (7)   ¬P         36RAA
   8 (8)       Q      A
   8 (9)    P∨ Q      8∨I
   8 (ア)    P∨ Q∨ R   9∨I
 2 8 (イ) ¬( P∨ Q∨ R)∧
          ( P∨ Q∨ R)  2ア∧I
 2   (ウ)      ¬Q      8イ∧I
 2   (エ)   ¬P∧¬Q      7ウ∧I
    オ(オ)          R   A
    オ(カ)       Q∨ R   オ∨I
    オ(キ)    P∨ Q∨ R   ∨I
 2  オ(ク) ¬( P∨ Q∨ R)∧
          ( P∨ Q∨ R)  2キ∧I
 2   (ケ)         ¬R   オクRAA
 2   (コ)   ¬P∧¬Q∧¬R   エケ∧I
12   (サ) ¬(¬P∧¬Q∧¬R)∧
          (¬P∧¬Q∧¬R)  1コ∧I
1    (シ)¬¬( P∨ Q∨ R)  2サRAA
1    (ス)  ( P∨ Q∨ R)  シDN
従って、
(04)により、
(05)
③    P∨ Q∨ R
④ ¬(¬P∧¬Q∧¬R)
に於いて、
③=④ である(命題変数が3つである場合の、ド・モルガンの法則)。
然るに、
(06)
(ⅴ)
1       (1)  ¬P∧ Q ∨¬R   A
 2      (2)   P∨¬Q ∧ R   A
1       (3) (¬P∧ Q)∨¬R   1結合法則
 2      (4) ( P∨¬Q)∧ R   2結合法則
  5     (5) (¬P∧ Q)      A
 2      (6) ( P∨¬Q)      4∧E
  5     (7)  ¬P          5∧E
   8    (8)   P          A
  58    (9)  ¬P∧P        78∧I
   8    (ア)¬(¬P∧ Q)      59RAA
  5     (イ)      Q       5∧E
    ウ   (ウ)     ¬Q       A
  5 ウ   (エ)   Q∧¬Q       イウ∧I
    ウ   (オ)¬(¬P∧ Q)      5エRAA
 2      (カ)¬(¬P∧ Q)      28アウオ∨E
     キ  (キ)         ¬R   A
 2      (ク)          R   4∧E
 2   キ  (ケ)       ¬R∧R   キク∧I
 2      (コ)        ¬¬R   キケDN
 2      (サ)          R   コDN
 2      (シ)¬(¬P∧ Q)∧ R   カサ∧I
      ス (ス) (¬P∧ Q)      A(3の選言項左)
 2      (セ)¬(¬P∧ Q)      シ∧E
 2    ス (ソ) (¬P∧ Q)∧
           ¬(¬P∧ Q)      スセ∧I
      ス (タ) ¬(P∨¬Q ∧ R)  2ソRAA
       チ(チ)         ¬R   A(3の選言項右)
 2      (ツ)          R   シ∧E
 2     チ(テ)       ¬R∧R   チツ∧I
       チ(ト) ¬(P∨¬Q ∧ R)  2テRAA
1       (ナ) ¬(P∨¬Q ∧ R)  3スタチト∨E
12      (ニ) ¬(P∨¬Q ∧ R)∧
             (P∨¬Q ∧ R)  2ナ∧I
1       (ヌ) ¬(P∨¬Q ∧ R)  2ニRAA
(ⅵ)
1       (1)  ¬(P∨¬Q ∧ R)  A
1       (2) ¬((P∨¬Q)∧ R)  1結合法則
 3      (3) ¬(¬P∧ Q ∨¬R)  A
 3      (4)¬((¬P∧ Q)∨¬R)  3結合法則
  5     (5)  (¬P∧ Q)      A
  5     (6)  (¬P∧ Q)∨¬R   5∨I
 35     (7)¬((¬P∧ Q)∨¬R)∧
            ((¬P∧ Q)∨¬R)  46∧I
 3      (8) ¬(¬P∧ Q)      57RAA
   9    (9)  ¬(P∨¬Q)      A
    ア   (ア)    P          A
    ア   (イ)    P∨¬Q       ア∨I
   9ア   (ウ)  ¬(P∨¬Q)∧
              (P∨¬Q)      9イ∧I
   9    (エ)   ¬P          アウRAA
     オ  (オ)      ¬Q       A
     オ  (カ)    P∨¬Q       オ∨I
   9 オ  (キ)  ¬(P∨¬Q)∧
              (P∨¬Q)      9カ∧I
   9    (ク)     ¬¬Q       オキRAA
   9    (ケ)       Q       クDN
   9    (コ)   ¬P∧ Q       エケ∧I
 3 9    (サ) ¬(¬P∧ Q)∧
             (¬P∧ Q)      8コ∧I
 3      (シ) ¬¬(P∨¬Q)      9サRAA
 3      (ス)   (P∨¬Q)      シDN
      セ (セ)          ¬R   A
      セ (ソ)  (¬P∧ Q)∨¬R   セ∨I
 3    セ (タ)¬((¬P∧ Q)∨¬R)∧
            ((¬P∧ Q)∨¬R   3ソ∧I
 3      (チ)         ¬¬R   セタRAA
 3      (ツ)           R   チDN
 3      (テ)   (P∨¬Q)∧ R   スツ∧I
13      (ト)  ¬(P∨¬Q ∧ R)  1テ∧I
1       (ナ)¬¬(¬P∧ Q ∨¬R)  3トRAA
1       (ニ)  (¬P∧ Q ∨¬R)  ナDN
従って、
(06)により、
(07)
⑤   ¬P∧ Q∨¬R 
⑥ ¬( P∨¬Q∧ R)
に於いて、
⑤=⑥ である(命題変数が3つで、∨と∧が混在する場合のド・モルガンの法則)。
然るに、
(07)により、
(08)
特に、(ⅵ)の「計算」は、途中で、自分でも「何をやってゐるのか」分からなくなるくらひ、「メチャクチャ、めんどくさい」。
然るに、
(09)
(ⅵ)の「計算」も、「ド・モルガンの法則」を用ひて良いのであれば、
(ⅵ)
1       (1) ¬(P∨¬Q ∧ R)  A
1       (2)¬((P∨¬Q)∧ R)  1結合法則
1       (3) ¬(P∨¬Q)∨¬R   2(2項によるド・モルガンの法則)
 4      (4) ¬(P∨¬Q)      A
 4      (5)  ¬P∧ Q       4(2項によるド・モルガンの法則)
 4      (6)  ¬P∧ Q∨ ¬R   5∨I
  7     (7)         ¬R   A
  7     (8)  ¬P∧ Q∨ ¬R   7∨I
1       (9)  ¬P∧ Q∨ ¬R   34678∨E
といふ具合に、「メチャクチャ、簡単である」。
(10)
 ― お知らせ ―
しばらく(1週間、あるいは、2週間、あるいは、3週間ほど?)、ブログを、休みます。


(1323)「象の鼻が長い」の「述語論理」。

2024-02-25 12:47:14 | 象は鼻が長い、述語論理。

(01)
①{象の鼻、兎の鼻、馬の鼻}
②{象の耳、兎の耳、馬の耳}
③{象の耳、兎の耳、馬の耳}
であるならば、
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外(兎と馬)の鼻は長くはない
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外(象と馬)の耳は長くはない
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外(象と兎)の顔は長くはない
といふ「命題」は「真」である。
然るに、
(02)
① 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外(兎と馬)の鼻は長くはない
② 耳に関しては、兎の耳は長く、兎以外(象と馬)の耳は長くはない
③ 顏に関しては、馬の顔は長く、馬以外(象と兎)の顔は長くはない
といふことは、要するに、
① 鼻は象長い。
② 耳は兎長い。
③ 顔は馬長い。
といふ、ことである。
従って、
(01)(02)により、
(03)
「番号」を付け替へるとして、
① 鼻は象長い。
② 鼻に関しては、象の鼻は長く、象以外(兎と馬)の鼻は長くはない
に於いて、
①=② である。
然るに、
(04)
①{象の鼻、兎の鼻、馬の鼻}
②{象の耳、兎の耳、馬の耳}
③{象の耳、兎の耳、馬の耳}
といふ「3つの集合」ではなく
①{象の鼻、兎の鼻、馬の鼻}
といふ「1つの集合」だけに「注目」するならば、
① 象の鼻長い。
② 象の鼻は長く、象以外(兎と馬)の鼻は長くはない
に於いて、
①=② である。
従って、
(01)~(04)により、
(05)
①{象、兎、馬}
といふ「集合」の、
①{象の鼻、兎の鼻、馬の鼻}
といふ「部分集合」に「注目」すれば、
① 象の鼻長い。
といふことになり、
①{象、兎、馬}
といふ「集合」の、
①{象の鼻、兎の鼻、馬の鼻}
②{象の耳、兎の耳、馬の耳}
③{象の耳、兎の耳、馬の耳}
といふ「部分集合」に「注目」すれば、
② 鼻は象長い。
といふことになる。
従って、
(06)
① 象の鼻長い。
② 鼻は象長い。
といふ「日本語」は、「命題」としては、両方とも、
③ 象の鼻は長く、象の鼻以外(兎の鼻、馬の鼻)は長くない。
といふ「意味」になる。
然るに、
(07)
① ∀y∃x{(象x&鼻yx)→長y&(~象x&鼻yx)→~長y}。
② ∀x∃y{(鼻xy&象y)→長x&(~象y&鼻xy)→~長x}。
といふ「述語論理」の「読み方(意味)」は、
① すべてのyとあるxについて{(xが象であって、yがxの鼻である)ならば、yは長く、(xが象でなくて、yがxの鼻である)ならば、yは長くない}。
② すべてのxとあるyについて{(xがyの鼻であって、yが象である)ならば、xは長く、(yが象でなくて、xがyの鼻である)ならば、xは長くない}。
となるものの、この場合は、「語順が異なる」だけで、「真理値」からすれば、
①=② である。
従って、
(06)(07)により、
(08)
① 象の鼻長い。
② 鼻は象長い。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① ∀y∃x{(象x&鼻yx)→長y&(~象x&鼻yx)→~長y}。
② ∀x∃y{(鼻xy&象y)→長x&(~象y&鼻xy)→~長x}。
といふ「述語論理式」に、「対応」する。
然るに、
(09)
1       (1)∀y∃x{(象x&鼻yx)→長y&(~象x&鼻yx)→~長y} A
1       (2)  ∃x{(象x&鼻bx)→長b&(~象x&鼻bx)→~長b} 1UE
 3      (3)     (象a&鼻ba)→長b&(~象a&鼻ba)→~長b  A)
 3      (4)                 (~象a&鼻ba)→~長b  3&E
  5     (5)  ∀x{(兎x→~象x)&∃y(鼻yx)}          A
  5     (6)     (兎a→~象a)&∃y(鼻ya)           5UE
  5     (7)      兎a→~象a                    6&E
  5     (8)              ∃y(鼻ya)           6&E
   9    (9)                 鼻ba            A
    ア   (ア)      兎a                        A
  5 ア   (イ)         ~象a                    7アMPP
  59ア   (ウ)         ~象a&鼻ba                9イ&I
 359ア   (エ)                           ~長b  4ウMPP
 359ア   (オ)                 鼻ba&~長b        9エ&I
 359ア   (カ)              ∃y(鼻ya&~長b)       オEI
 35 ア   (キ)              ∃y(鼻ya&~長b)       89カEE
35     (ク)           兎a→∃y(鼻ya&~長b)       アキCP
1 5     (ケ)           兎a→∃y(鼻ya&~長b)       23クEE
     コ  (コ)        ∃x{兎x&∀y(鼻yx→ 長y)}      A
      サ (サ)           兎a&∀y(鼻ya→ 長y)       A
      サ (シ)           兎a                   サ&E
      サ (ス)              ∀y(鼻ya→ 長y)       サ&E
      サ (セ)                 鼻ba→ 長b        スUE
1 5   サ (ソ)              ∃y(鼻ya&~長b)       ケシMPP
       タ(タ)                 鼻ba&~長b        A
       タ(チ)                 鼻ba            タ&E
       タ(ツ)                     ~長b        タ&E
      サタ(テ)                      長b        セチMPP
      サタ(ト)                  ~長b&長b        ツテ&I
1 5   サ (ナ)                  ~長b&長b        ソタトEE
1 5  コ  (ニ)                  ~長b&長b        コサナEE
1 5     (ヌ)        ~∃x{兎x&∀y(鼻yx→長y)}      コニRAA
従って、
(09)により、
(10)
(ⅰ)∀y∃x{(象x&鼻yx)→長y&(~象x&鼻yx)→~長y}。然るに、
(ⅱ)  ∀x{(兎x→~象x)&∃y(鼻yx)}。従って、
(ⅲ) ~∃x{ 兎x&∀y(鼻yx→長y)}。
といふ『推論』、すなはち、
(ⅰ)すべてのyとあるxについて{(xが象であって、yがxの鼻である)ならば、yは長く、(xが象でなくて、yがxの鼻である)ならば、yは長くない}。然るに、
(ⅱ)    すべてのxについて{(xが兎であるならば、xは象ではなく)、あるyは(xの鼻である)}。従って、
(ⅲ)         あるxが{ 兎であって、すべてのyについて、(yがxの鼻ならば、yは長い)}といふことはない
といふ『推論』、すなはち、
(ⅰ)象の鼻長い。然るに、
(ⅱ)兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
(ⅲ)兎の鼻が長い、といふことはない
といふ『推論』は、「妥当」である。
従って、
(07)~(10)により、
(11)
(ⅰ)鼻は象長い。然るに、
(ⅱ)兎は象ではないが、兎には鼻がある。従って、
(ⅲ)兎の鼻が長い、といふことはない
といふ『推論』、「妥当」である。


(1322)「象は鼻が長い(動物である)」の「述語論理」の解説。

2024-02-24 14:50:15 | 象は鼻が長い、述語論理。

(01)
(ⅰ)象は鼻長い。然るに、
(ⅱ)兎は耳長い。従って、
(ⅲ)兎は象ではない
といふ『推論』は、「妥当」である。
然るに、
(02)
(ⅰ)象といふ動物のパーツ(部分)の中では、鼻は長く、 鼻以外は長くない。 然るに、
(ⅱ)兎といふ動物のパーツ(部分)の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
(ⅲ)象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
(〃)兎は象ではない。
といふ『推論(背理法)』は、「妥当」である。
従って、
(01)(02)により、
(03)
(ⅰ)象といふ動物のパーツ(部分)の中では、鼻は長く、 鼻以外は長くない。 然るに、
(ⅱ)兎といふ動物のパーツ(部分)の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
(ⅲ)象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
(〃)兎は象ではない。
といふ「推論(背理法)」が「妥当」であるが故に、
(ⅰ)象は鼻長い。然るに、
(ⅱ)兎は耳長い。従って、
(ⅲ)兎は象ではない
といふ『推論』は、「妥当」である。
然るに、
(04)
1      (1) ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)} A
 2     (2) ∀x{兎x→∃z(耳zx&~鼻zx&長z)}         A
  3    (3) ∃x(象x&兎x)                      A
1      (4)    象a→∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  1UE
 2     (5)    兎a→∃z(耳za&~鼻za&長z)          2UE
   6   (6)    象a&兎a                       A
   6   (7)    象a                          6&E
   6   (8)       兎a                       6&E
1  6   (9)       ∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)  47MPP
1  6   (ア)                  ∀z(~鼻za→~長z)  9&E
1  6   (イ)                     ~鼻ba→~長b   アUE
 2 6   (ウ)       ∃z(耳za&~鼻za&長z)          58MPP
    エ  (エ)          耳ba&~鼻ba&長b           A
    エ  (オ)              ~鼻ba              エ&E
    エ  (カ)                   長b           エ&E
1  6エ  (キ)                          ~長b   イオMPP
1  6エ  (ク)                   長b&~長b       カキ&I
12 6   (ケ)                   長b&~長b       ウエクEE
123    (コ)                   長b&~長b       36ケEE
12     (サ)~∃x(象x& 兎x)                     3コRAA
     シ (シ)  ~(象a→~兎a)                     A
     シ (ス) ~(~象a∨~兎a)                     シ含意の定義
     シ (セ)    象a& 兎a                      ス、ド・モルガンの法則
      シ (ソ) ∃x(象x& 兎x)                     セEI
12   シ (タ)~∃x(象x& 兎x)&∃x(象x& 兎x)          サソ&I
12     (チ) ~~(象a→~兎a)                     シタRAA
12     (ツ)   (象a→~兎a)                     チDN
      テ(テ)        兎a                      A
      テ(ト)      ~~兎a                      テDN
12    テ(ナ)   ~象a                          ツトMTT
12     (ニ)    兎a→~象a                      テナCP
12     (ヌ) ∀x(兎x→~象x)                     ニUI
従って、
(04)により、
(05)
(ⅰ)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。然るに、
(ⅱ)∀x{兎x→∃z(耳zx&~鼻zx&長z)}。従って、
(ⅲ)∀x(兎x→~象x)。
といふ『推論』、すなはち、
(ⅰ)すべてのxについて{xが象であるならば、あるyは(xの鼻であって、長く)、すべてのzについて(zがxの鼻ではないならば、zは長くない)}。然るに、
(ⅱ)すべてのxについて{xが兎であるならば、あるzは(xの鼻ではないが、zは長い)}。従って、
(ⅲ)すべてのxについて(xが兎であるならば、xは象ではない)。
といふ『推論』、すなはち、
(ⅰ)象といふ動物のパーツ(部分)の中では、鼻は長く、 鼻以外は長くない。 然るに、
(ⅱ)兎といふ動物のパーツ(部分)の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
(ⅲ)象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
(ⅳ)兎は象ではない。
といふ『推論』は「妥当」である。
従って、
(01)~(05)により、
(06)
(ⅰ)象は鼻長い。然るに、
(ⅱ)兎は耳長い。従って、
(ⅲ)兎は象ではない
といふ『推論』が、「妥当」であるならば、
(ⅰ)象といふ動物のパーツ(部分)の中では、鼻は長く、 鼻以外は長くない。 然るに、
(ⅱ)兎といふ動物のパーツ(部分)の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
(ⅲ)象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
(〃)兎は象ではない。
といふ『推論』は、「妥当」であり、
(ⅰ)象といふ動物のパーツ(部分)の中では、鼻は長く、 鼻以外は長くない。 然るに、
(ⅱ)兎といふ動物のパーツ(部分)の中では、耳は長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
(ⅲ)象が、兎であると「仮定」すると「矛盾」する。従って、
(〃)兎は象ではない。
といふ『推論』が、「妥当」であるならば、
(ⅰ)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。然るに、
(ⅱ)∀x{兎x→∃z(耳zx&~鼻zx&長z)}。従って、
(ⅲ)∀x(兎x→~象x)。
といふ『推論』は、「妥当」である。
従って、
(01)(06)により、
(07)
(ⅰ)象は鼻長い。然るに、
(ⅱ)兎は耳長い。従って、
(ⅲ)兎は象ではない
といふ『推論』は、
(ⅰ)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。然るに、
(ⅱ)∀x{兎x→∃z(耳zx&~鼻zx&長z)}。従って、
(ⅲ)∀x(兎x→~象x)。
といふ『推論』に「他ならない」。
従って、
(07)により、
(08)
① 象は鼻長い。
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
に於いて、
①=② である。
従って、
(08)により、
(09)
② 象は鼻長い動物である。
③ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&動物x}。
③ すべてのxについて{xが象であるならば、あるyは(xの鼻であって、長く)、すべてのzについて(zがxの鼻ではないならば、zは長くなく)、その上、xは動物である}。
に於いて、
②=③ である。
従って、
(09)により、
(10)
③ 象は動物である。
④ ∀x{象x→動物x}。
④ すべてのxについて{xが象であるなら、xは動物である}。
に於いて、
③=④ である。
従って、
(09)(10)により、
(11)
「番号」を付け直すとして、
① 象は動物である。
② 象は鼻長い。
③ 象は鼻長い動物である。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① ∀x{象x→動物x}。
② ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
③ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&動物x}。
といふ「述語論理式」に「対応」する。
然るに、
(11)により、
(12)
① 象は動物である。
② 象は鼻長い。
③ 象は鼻長い動物である。
といふ「日本語」に於ける、
① 象は
② 象は
③ 象は
といふ「主語主辞)」は、3つとも、「述語論理的」には、
① ∀x{象x→
② ∀x{象x→
③ ∀x{象x→
であって、「区別」は無い。
従って、
(13)
① 象は動物である。
に於ける、
① 象は が「主語」であるならば、
① 象は動物である。
② 象は鼻長い。
③ 象は鼻長い動物である。
といふ「日本語」に於ける、
① 象は
② 象は
③ 象は
は、3つとも、「主語主辞)」である。
然るに、
(14)
「象は鼻長い」はどれが主辞がわからないから、このままでは非論理的な構造の文である、と言う人がもしあった(沢田『入門』二九ペ)とすれば、その人は旧『論理学』を知らない人であろう、これはこのままで、
 象は 長い
 主辞 賓辞
とはっきりしている。速水式に簡単明リョウである。意味も、主辞賓辞の関係も小学生にもわかるはずの文である。これに文句をつけたり、それを取り次いだりするのは、人々が西洋文法に巻かれていることを語る以外の何物でもない。このまま定理扱いしてもよろしい。そしてこの定理の逆は真でないとして、鼻の長いもの例に、鞍馬山の天狗だの、池の尾の禅珍内供だのを上げるのも一興だろう。それでおしまいである(三上章、日本語の論理、1963年、13・14頁)。
従って、
(13)(14)により、
(15)
三上章 による、
 象は 長い
 主辞 賓辞
とはっきりしている。 といふ「意見」は、「述語論理的」には、「正しい」。
然るに、
(16)



といふ「タイトル」が示してゐる通り、に、三上章先生は、固より、「(日本語に於ける)主語」といふモノを、認めない


(1321)「(P&Q)→~P」の「対偶」について。

2024-02-23 13:52:06 | 論理

(01)
① (P&Q)→ P
② (P&Q)→~P
といふ「論理式」、すなはち、
① PであってQであるならば、Pである。
PであってQであるならば、Pでない
といふ「命題」に於いて、
① は、明らかに「真(トートロジー)」であるが、
② は、明らかに「偽(矛盾)」である(??)。
然るに、
(02)
① (P&Q)→P
に対する「否定」を「計算」すると、
(ⅰ)
1(1) ~{(P&Q)→ P} A
1(2)~{~(P&Q)∨ P} 1含意の定義
1(3)   (P&Q)&~P  2ド・モルガンの法則
1(4)    P&Q      3&E
1(5)    P        4&E
1(6)      Q      4&E
1(7)         ~P  3&E
1(8)    P&~P     57&I
1(9)   (P&~P)&Q  68&I
(〃)
1(1)   (P&~P)&Q  A
1(2)    P&~P     1&E
1(3)    P        2&E
1(4)      ~P     2&E
1(5)          Q  1&E
1(6)    P&Q      35&I
1(7)   (P&Q)&~P  46&I
1(8)~{~(P&Q)∨ P} 7ド・モルガンの法則
1(9) ~{(P&Q)→ P} 8含意の定義
従って、
(02)により、
(03)
① (P&Q)→P
に対する「否定」を「計算」すると、
①(P&~P)&Q
であるものの、
①(P&~P)&Q
であれば、
①(矛盾)&Q
であって、
①(矛盾)&Q
は、「」である。
然るに、
(04)
② (P&Q)→~P
に対する「否定」を「計算」すると、
(ⅱ)
1(1) ~{(P&Q)→~P} A
1(2)~{~(P&Q)∨~P} 1含意の定義
1(3)   (P&Q)& P  2ド・モルガンの法則
1(4)    P&Q      3&E
(ⅲ)
1(1)    P&Q      A
1(2)    P        1&E
1(3)   (P&Q)& P  12&I
1(4)~{~(P&Q)∨~P} 3ド・モルガンの法則
1(5) ~{(P&Q)→~P} 4含意の定義
従って、
(04)により、
(05)
② (P&Q)→~P
に対する「否定」を「計算」すると、
③  P&Q
であるものの、
③  P&Q
は、それ自体は、「真」でも、「偽」でもない。
然るに、
(04)により、
(06)
いづれにせよ、
② ~{(P&Q)→~P}
③    P&Q
に於いて、
②=③ である。
従って、
(06)により、
(07)
② ~~{(P&Q)→~P}
③   ~(P&Q)
に於いて、
②=③ である。
従って、
(07)により、
(08)
「二重否定律(DN)」により、
②  (P&Q)→~P
③ ~(P&Q)
然るに、
(09)
(ⅲ)
1  (1)~(P&Q)  A
 2 (2)  P     A
  3(3)    Q   A
 23(4)  P&Q   23&I
123(5)~(P&Q)&
       (P&Q)  13&I
12 (6)   ~Q   35RAA
1  (7) P→~Q   26CP
(ⅳ)
1  (1) P→~Q   A
 2 (2) P& Q   A
 2 (3) P      2&E
12 (4)   ~Q   13MPP
 2 (5)    Q   2&E
12 (6) ~Q&Q   45&I
1  (7)~(P&Q)  26RAA
従って、
(09)により、
(10)
③ ~(P&Q)
④  P→~Q
に於いて、
③=④ である。
従って、
(08)(09)(10)により、
(11)
②  (P&Q)→~P
③ ~(P&Q)
④   P→~Q
に於いて、
②=③=④ である。
然るに、
(12)
(ⅱ)
1  (1) (P&Q)→~P A
1  (2)~(P&Q)∨~P A
 3 (3)~(P&Q)    A
 3 (4)~P∨~Q     ド・モルガンの法則
 3 (5)~P∨~Q∨ ~P 4∨I
  6(6)       ~P A
  6(7) ~P∨~Q∨~P 7∨I
1  (8)~P∨~Q∨ ~P 13567∨E
1  (9)~P∨~P∨ ~Q 8交換法則
1  (ア)~P∨~Q     9冪等律
1  (イ) P→~Q     ア含意の定義
(ⅲ)
1  (1)  P→~Q     A
1  (2) ~P∨~Q     1含意の定義
1  (3) ~P∨~P∨ ~Q 2冪等律。
1  (4) ~P∨~Q∨ ~P 3交換法則
1  (5)(~P∨~Q)∨~P 4結合法則
 6 (6)(~P∨~Q)    A
 6 (7)~(P&Q)     6ド・モルガンの法則
 6 (8)~(P&Q)∨ ~P 7∨I
  9(9)        ~P A
  9(ア)~(P&Q)∨ ~P 9∨I
1  (イ) (P&Q)→ ~P  ア含意の定義
従って、
(12)により、
(13)
②(P&Q)→~P
③  P→~Q
に於いて、
②=③ である。
然るに、
(14)
(ⅱ)
1  (1) (P&Q)→~P A
 2 (2)        P A
 2 (3)      ~~P 2DN
12 (4)~(P&Q)    13MTT
12 (5)~P∨~Q     4ド・モルガンの法則
12 (6) P→~Q     5含意の定義
1  (7) P→(P→~Q) 26CP
  8(8) P        A
1 8(9)    P→~Q  78MPP
1 8(ア)      ~Q  89MPP
1  (イ) P→~Q     8アCP
(ⅲ)
1  (1) P→~Q     A
 2 (2) P& Q     A
 2 (3) P        2&E
12 (4)   ~Q     13MPP
 2 (5)    Q     2&E
12 (6)   ~Q&Q   45&I
1  (7)~(P&Q)    26RAA
1  (8)~(P&Q)∨~P 7∨I
1  (9) (P&Q)→~P 8含意の定義
従って、
(14)により、
(15)
②(P&Q)→~P
③  P→~Q
に於いて、
②=③ は「対偶」である。
従って、
(12)(15)により、
(16)
(ⅱ)
1  (1) (P&Q)→~P A
1  (2)~(P&Q)∨~P A
 3 (3)~(P&Q)    A
 3 (4)~P∨~Q     ド・モルガンの法則
 3 (5)~P∨~Q∨ ~P 4∨I
  6(6)       ~P A
  6(7) ~P∨~Q∨~P 7∨I
1  (8)~P∨~Q∨ ~P 13567∨E
1  (9)~P∨~P∨ ~Q 8交換法則
1  (ア)~P∨~Q     9冪等律
1  (イ) P→~Q     ア含意の定義
(ⅲ)
1  (1)  P→~Q     A
1  (2) ~P∨~Q     1含意の定義
1  (3) ~P∨~P∨ ~Q 2冪等律。
1  (4) ~P∨~Q∨ ~P 3交換法則
1  (5)(~P∨~Q)∨~P 4結合法則
 6 (6)(~P∨~Q)    A
 6 (7)~(P&Q)     6ド・モルガンの法則
 6 (8)~(P&Q)∨ ~P 7∨I
  9(9)        ~P A
  9(ア)~(P&Q)∨ ~P 9∨I
1  (イ) (P&Q)→ ~P  ア含意の定義
といふ「計算」は、結局は、「対偶の計算」であった。
といふことになる。
従って、
(11)~(16)により、
(17)
いづれにせよ、
②(P&Q)→~P
③  P→~Q
に於いて、すなはち、
② PであってQであるならば、Pでない。
③ Pであるならば、Qでない。
に於いて、
②=③ である。
然るに、
(17)により、
(18)
③ Pであるならば、Qでない。
といふ「命題」は、言ふまでもなく、「矛盾」ではない
従って、
(01)(18)により、
(19)
① (P&Q)→ P
② (P&Q)→~P
といふ「論理式」、すなはち、
① PであってQであるならば、Pである。
PであってQであるならば、Pでない
といふ「命題」に於いて、
① は、明らかに「真(トートロジー)」であるが、
② は、決して、「偽(矛盾)」ではない(!!)。


(1320)「恒真式(トートロジー」ではない「式」の作り方。

2024-02-22 20:07:48 | 論理

(01)
1(1)   P& Q& R A
1(2)         R 1&E
1(3)       Q∨R 2∨I
1(4)~(P&Q)∨Q∨R 3∨I
1(5)  P&Q→ Q∨R 4含意の定義
(ⅱ)
1(1)   P& Q&~R A
1(2)      Q    1&E
1(3)       Q∨R 2∨I
1(4)~(P&Q)∨Q∨R 3∨I
1(5)  P&Q→ Q∨R 4含意の定義
(ⅲ
1(1)   P&~Q& R A
1(2)         R 1&E
1(3)       Q∨R 2∨I
1(4)~(P&Q)∨Q∨R 3∨I
1(5)  P&Q→ Q∨R 4含意の定義
(ⅳ
1 (1)   P&~Q&~R A
1 (2)     ~Q    1&E
 2(3)   P& Q    A
 2(4)      Q    3&E
12(5)   ~Q&Q    34&I
1 (6)~(P&Q)     25RAA
1 (7)~(P&Q)∨Q   6∨I
1 (8)~(P&Q)∨Q∨R 7∨I
1 (9)  P&Q→ Q∨R 8含意の定義
(ⅴ
1(1)  ~P& Q& R A
1(2)         R 1&E
1(3)       Q∨R 2∨I
1(4)~(P&Q)∨Q∨R 3∨I
1(5)  P&Q→ Q∨R 4含意の定義
(ⅵ
1(1)  ~P& Q&~R A
1(2)      Q    1&E
1(3)       Q∨R 2∨I
1(4)~(P&Q)∨Q∨R 3∨I
1(5)  P&Q→ Q∨R 4含意の定義
(ⅶ
1(1)  ~P&~Q& R A
1(2)         R 1&E
1(3)       Q∨R 2∨I
1(4)~(P&Q)∨Q∨R 3∨I
1(5)  P&Q→ Q∨R 4含意の定義
(ⅷ
1 (1)  ~P&~Q& R A
1 (2)     ~Q    1&E
 2(3)   P& Q    A
 2(4)      Q    3&E
12(5)   ~Q&Q    34&I
1 (6)~(P&Q)     25RAA
1 (7)~(P&Q)∨Q   6∨I
1 (8)~(P&Q)∨Q∨R 7∨I
1 (9)  P&Q→ Q∨R 8含意の定義
従って、
(01)により、
(02)
①  P& Q& R├ P&Q→Q∨R
②  P& Q&~R├ P&Q→Q∨R
③  P&~Q& R├ P&Q→Q∨R
④  P&~Q&~R├ P&Q→Q∨R
⑤ ~P& Q& R├ P&Q→Q∨R
⑥ ~P& Q&~R├ P&Q→Q∨R
⑦ ~P&~Q& R├ P&Q→Q∨R
⑧ ~P&~Q&~R├ P&Q→Q∨R
従って、
(01)(02)により、
(03)
① P&Q→Q∨R
といふ「論理式」、すなはち、
① PであってQであるならば、Qであるか、または、Rである。
といふ「命題」は、
① 命題変数(P、Q、R)の「真偽」に関はらず、「恒に真」である。
従って、
(03)により、
(04)
① P&Q→Q∨R
といふ「論理式」は、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(05)
①  P& Q& R
②  P& Q&~R
③  P&~Q& R
④  P&~Q&~R
⑤ ~P& Q& R
⑥ ~P& Q&~R
⑦ ~P&~Q& R
⑧ ~P&~Q&~R
に於ける、例へば、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ~( P& Q&~R)は、「ド・モルガンの法則」により、
⑥  (~P∨~Q∨ R)に、「等しい」。
然るに、
(06)
(ⅱ)
1(1)~P∨ ~Q∨R  A
1(2)~P∨(~Q∨R) 1結合法則
1(3) P→(~Q∨R) 2含意の定義
(〃)
1(1) P→(~Q∨R) A
1(2)~P∨(~Q∨R) 1含意の定義
1(3)~P∨ ~Q∨R  2結合法則
従って、
(05)(06)により、
(07)
①  P& Q& R
②  P& Q&~R
③  P&~Q& R
④  P&~Q&~R
⑤ ~P& Q& R
⑥ ~P& Q&~R
⑦ ~P&~Q& R
⑧ ~P&~Q&~R
に於ける、例へば、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ~(~P& Q&~R)は、「ド・モルガンの法則」により、
⑥  ( P∨~Q∨ R)に、「等しく」、
⑥  ( P∨~Q∨ R)は、「含意の定義」により、
⑥   ~P→(~Q∨R)に、「等しい」。
従って、
(07)により、
(08)
①  P& Q& R
②  P& Q&~R
③  P&~Q& R
④  P&~Q&~R
⑤ ~P& Q& R
⑥ ~P& Q&~R
⑦ ~P&~Q& R
⑧ ~P&~Q&~R
に於ける、
⑥ を「否定」すると、
⑥   ~P→(~Q∨R)
であるため、「否定」をする前の、
⑥ 自体は、 「二重否定」により、
⑥ ~(~P→(~Q∨R))
でなければ、ならない。
従って、
(02)(08)により、
(09)
この場合は、
①  P& Q& R├ P&Q→Q∨R
②  P& Q&~R├ P&Q→Q∨R
③  P&~Q& R├ P&Q→Q∨R
④  P&~Q&~R├ P&Q→Q∨R
⑤ ~P& Q& R├ P&Q→Q∨R
⑥ ~P& Q&~R├ P&Q→Q∨R
⑦ ~P&~Q& R├ P&Q→Q∨R
⑧ ~P&~Q&~R├ P&Q→Q∨R
のやうに、
①  P& Q& R├ P→(~Q∨R)
②  P& Q&~R├ P→(~Q∨R)
③  P&~Q& R├ P→(~Q∨R)
④  P&~Q&~R├ P→(~Q∨R)
⑤ ~P& Q& R├ P→(~Q∨R)
⑥ ~P& Q&~R├ P→(~Q∨R)
⑦ ~P&~Q& R├ P→(~Q∨R)
⑧ ~P&~Q&~R├ P→(~Q∨R)
といふ風には、ならずに、
①  P& Q& R├   P→(~Q∨R)
②  P& Q&~R├   P→(~Q∨R)
③  P&~Q& R├   P→(~Q∨R)
④  P&~Q&~R├   P→(~Q∨R)
⑤ ~P& Q& R├   P→(~Q∨R)
⑥ ~P& Q&~R├ ~(P→(~Q∨R))
⑦ ~P&~Q& R├   P→(~Q∨R)
⑧ ~P&~Q&~R├   P→(~Q∨R)
といふ風に、なるに「違ひない」。
然るに、
(10)
(ⅰ)
1(1)   P& Q& R A
1(2)         R 1&E
1(3)    ~Q∨R 2∨I
1(4)~~P∨~Q∨R 3∨I
1(5) ~P→~Q∨R 4含意の定義
(ⅱ)
1(1)  P& Q&~R A
1(2)  P       1&E
1(3)~~P       2DN
1(4)~~P∨Q     3∨I
1(5)~~P∨Q∨R   4∨I
1(6) ~P→Q∨R   5∨I
(ⅲ)
1(1)   P&~Q& R A
1(2)         R 1&E
1(3)    ~Q∨R 2∨I
1(4)~~P∨~Q∨R 3∨I
1(5) ~P→~Q∨R 4含意の定義
(ⅳ)
1(1)  P&~Q&~R A
1(2)  P       1&E
1(3)~~P       2DN
1(4)~~P∨Q     3∨I
1(5)~~P∨Q∨R   4∨I
1(6) ~P→Q∨R   5∨I
(ⅴ)
1(1)  ~P& Q& R A
1(2)         R 1&E
1(3)    ~Q∨R 2∨I
1(4)~~P∨~Q∨R 3∨I
1(5) ~P→~Q∨R 4含意の定義
(ⅵ)
1   (1)  ~P& Q&~R  A
 2  (2)  ~P→~Q∨ R  A
1   (3)  ~P        1&E
12  (4)     ~Q∨ R  23MPP
  5 (5)     ~Q     A
1   (6)      Q     1&E
1 5 (7)     ~Q&Q   56&I
  5 (8)~(~P& Q&~R) 17RAA
   9(9)         R  A
1   (ア)        ~R  1&E
1  9(イ)      R&~R  9ア&I
   9(ウ)~(~P& Q&~R) 1イRAA
12  (エ)~(~P& Q&~R) 4589ウ∨E
12  (オ) (~P& Q&~R)&
       ~(~P& Q&~R) 1エ&I
1   (カ)~(~P→~Q∨ R) 2オRAA
(ⅶ)
1(1)  ~P&~Q& R A
1(2)         R 1&E
1(3)    ~Q∨R   2∨I
1(4)~~P∨~Q∨R   3∨I
1(5) ~P→~Q∨R   4含意の定義
(ⅷ)
1(1) ~P&~Q&~R A
1(2)    ~Q    1&E
1(3)    ~Q∨R  2∨I
1(4)~~P∨~Q∨R  3∨I
1(5) ~P→~Q∨R  4含意の定義
従って、
(09)(10)により、
(11)
果たして、
①  P& Q& R├   P→(~Q∨R)
②  P& Q&~R├   P→(~Q∨R)
③  P&~Q& R├   P→(~Q∨R)
④  P&~Q&~R├   P→(~Q∨R)
⑤ ~P& Q& R├   P→(~Q∨R)
⑥ ~P& Q&~R├ ~(P→(~Q∨R))
⑦ ~P&~Q& R├   P→(~Q∨R)
⑧ ~P&~Q&~R├   P→(~Q∨R)
である。
然るに、
(12)
(ⅵ)
1   (1)  ~P& Q&~R   A
 2  (2)  ~P→~Q∨ R   A
1   (3)  ~P         1&E
12  (4)     ~Q∨ R   23MPP
  5 (5)     ~Q      A
1   (6)      Q      1&E
1 5 (7)     ~Q&Q    67&I
  5 (8)~(~P& Q&~R)  17RAA
   9(9)         R   A
1   (ア)        ~R   1&E
1  9(イ)      R&~R   9ア&I
   9(ウ)~(~P& Q&~R)  1イRAA
12  (エ)~(~P& Q&~R)  4589ウ∨I
12  (オ) (~P& Q&~R)&
       ~(~P& Q&~R)  1エ&I
1   (カ)~(~P→~Q∨ R)  2オRAA
(〃)
1   (1)~(~P→~Q∨ R)  A
1   (2)~( P∨~Q∨ R)  1含意の定義
 3  (3)   P         A
 3  (4)   P∨~Q      3∨I
 3  (5)   P∨~Q∨ R   4∨I
13  (6)~( P∨~Q∨ R)& 
        ( P∨~Q∨ R)  25&I
1   (7)  ~P         56RAA
  8 (8)     ~Q      A
  8 (9)   P∨~Q      8∨I
  8 (ア)   P∨~Q∨ R   9∨I
1 8 (イ)~( P∨~Q∨ R)& 
        ( P∨~Q∨ R)  2ア&I
1   (ウ)    ~~Q      8RAA
1   (エ)      Q      ウDN
   オ(オ)         R   A
   オ(カ)     ~Q∨ R   オ∨I
   オ(キ)   P∨~Q∨ R   ∨I
1  オ(ク)~( P∨~Q∨ R)& 
        ( P∨~Q∨ R)  2キ&I
1   (ケ)        ~R   オクRAA
1   (コ)  ~P& Q      7エ&I
1   (サ)  ~P& Q&~R   ケコ&I
従って、
(12)により、
(13)
⑥ ~P&Q&~R  ├ ~(~P→~Q∨R)
であるだけではなく、
⑥ ~P&Q&~R ┤├ ~(~P→~Q∨R)
である。
従って、
(11)(13)により、
(14)
①  P& Q& R├ P→(~Q∨R)
②  P& Q&~R├ P→(~Q∨R)
③  P&~Q& R├ P→(~Q∨R)
④  P&~Q&~R├ P→(~Q∨R)
⑤ ~P& Q& R├ P→(~Q∨R)
⑦ ~P&~Q& R├ P→(~Q∨R)
⑧ ~P&~Q&~R├ P→(~Q∨R)
である一方で、
⑥ ~P& Q&~R ┤├ ~(P→(~Q∨R))
であるため、
⑥ ~P→(~Q∨R)
といふ「論理式」、
⑥ Pでないならば、Qでないか、または、Rである。
といふ「命題」は、
⑥ 命題変数(P、Q、R)の「真偽」に関はらず、「恒に真」である。
といふことには、ならない
従って、
(03)(14)により、
(15)
① PであってQであるならば、Qであるか、または、Rである。
⑥ Pでないならば、Qでないか、または、Rである。
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
⑥ は、「恒真式(トートロジー)」ではない


(1319)「ある入門書」にある「述語論理」の「例題」(Ⅱ)。

2024-02-20 09:50:04 | 論理

(01)
たとえ名辞が三つに限られていても、ヴェン図形では処理できない推論がある。
たとえば、以下の推論を考えよう。
  もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
  しかし、ある受講者は単位がもらえない。
∴ 論理学の問題はどれもやさしくない。
第一の前提では、特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
結合子については、われわれの推論の方法をすでに習得している。
結合子で結ばれた命題については、ヴェン図で処理できるだろう。
しかし、この二つ混ざった命題については、われわれはどう処理してよいのかまだわからないのである。
われわれは本格的な述語論理へすすまなければならない。
(昭和堂入門選書25、論理学基礎、1994年、114頁)
然るに、
(02)
「昭和堂入門選書25、論理学基礎」には、
  もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
  しかし、ある受講者は単位がもらえない。
∴ 論理学の問題はどれもやさしくない。
に対する、「述語論理」よる「証明(解答)」が、示されてゐない。
加へて、
(03)
第一の前提では、特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
とすると、私には、「証明(解答)」が書けない。
従って、
(04)
もしある論理学の問題がやさしければ、すべての受講者は単位がもらえる。
といふ「第一の前提」に関しては、
特称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
とはせずに、
全称肯定命題と全称肯定命題が「→」で結ばれている。
としたいものの、その場合、「証明(解答)」は、次(05)の通りとなる。
すなはち、
(05)
論理=論理学の問題である。
容易=易しい。
学生=受講者である。
単位=論理学の単位がもらえる。
であるとして、
1   (1)   ∀x{論理x&容易x→∀y(学生y→単位yx)} A
 2  (2)   ∃y(学生y&~単位ya)            A
1   (3)      論理a&容易a→∀y(学生y→単位ya)  1UE
  4 (4)      学生b&~単位ba             A
   5(5)      論理a&容易a               A
1  5(6)              ∀y(学生y→単位ya)  35MPP
1  5(7)                 学生b→単位ba   6UE
  4 (8)                 学生b        4&E
1 45(9)                     単位ba   78MPP
1 45(ア)               ~単位ba        4&E
1 45(イ)               ~単位ba&単位ba   9ア&I
1 4 (ウ)    ~(論理a&容易a)              5イRAA
1 4 (エ)    ~論理a∨~容易a               ウ、ド・モルガンの法則
1 4 (オ)     論理a→~容易a               エ含意の定義
1 4 (カ)  ∀x(論理x→~容易x)              オUI
12  (キ)  ∀x(論理x→~容易x)              24カEE
といふ風に、書くことが出来る(はずである)。
従って、
(01)~(05)により、
(06)
  もし論理学の問題がやさしければ、すべての学生は単位がもらえる。
  しかし、ある学生は単位がもらえない。
∴ 論理学の問題はどれもやさしくない。
といふ「推論」は、正しい(はずである?)。


(1318)「ある入門書」にある「論理学」の「例題」。

2024-02-19 13:30:56 | 論理

(01)
他方、ヴェン図は、三段論法の枠にはまらない推論にも使える。
たとえば、次の推論を考えてみよう。
  哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
  すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
(昭和堂入門選書25、論理学基礎、1994年、112頁)
然るに、
(02)
① 哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
② 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
① すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
に於いて、
①=② である。
従って、
(02)(03)により、
(04)
① 哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
② すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
といふことは、
① 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
(05)
① 嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
② 嘘つきでない哲学者がゐる。
といふことは、
③ 嘘つきでない哲学者がゐるが、嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
といふことである。
然るに、
(06)
③ 嘘つきでない哲学者がゐるが、嘘つきでない哲学者はエゴイストである。
といふことは、
③ 嘘つきでない哲学者がゐて、その哲学者はエゴイストである。
といふことである。
然るに、
(07)
③ 嘘つきでない者がゐて、その者はエゴイストである。
といふのであれば、
② あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ、ことになる。
従って、
(01)~(07)により、
(08)
「日本語」で考へる限り、たしかに、
  哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
  すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
(09)
1  (1) ∀x(哲学者x→ エゴイストx∨嘘つきx) A
 2 (2)~∀x(哲学者x→ 嘘つきx)        A
1  (3)    哲学者a→ エゴイストa∨嘘つきa  1UE
 2 (4)∃x~(哲学者x→ 嘘つきx)        2量化子の関係
  5(5)  ~(哲学者a→ 嘘つきa)        A
  5(6) ~(~哲学者a∨ 嘘つきa)        5含意の定義
  5(7)    哲学者a&~嘘つきa         6ド・モルガンの法則
  5(8)    哲学者a               7&E
  5(9)         ~嘘つきa         7&E
1 5(ア)          エゴイストa∨嘘つきa  38MPP
1 5(イ)          嘘つきa∨エゴイストa  ア交換法則
1 5(ウ)        ~~嘘つきa∨エゴイストa  イDN
1 5(エ)         ~嘘つきa→エゴイストa  ウ含意の定義
1 5(オ)               エゴイストa  9エMPP
1 5(カ)         エゴイストa&~嘘つきa  9オ&I
1 5(キ)      ∃x(エゴイストx&~嘘つきx) カEI
12 (ク)      ∃x(エゴイストx&~嘘つきx) 45キEE
従って、
(09)により、
(10)
(ⅰ) ∀x(哲学者x→ エゴイストx∨嘘つきx)。然るに、
(ⅱ)~∀x(哲学者x→ 嘘つきx)。 従って、
(ⅲ) ∃x(エゴイストx&~嘘つきx)。
といふ「推論」、すなはち、
(ⅰ)すべてのxについて(xが哲学者であるならば、xはエゴイストであるか、または、xは嘘つきである)。然るに、
(ⅱ)すべてのxについて(xが哲学者であるならば、xは嘘つきである)といふわけではない。従って、
(ⅲ)  あるxについて(xはエゴイストであるが、xは嘘つきではない)。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
(08)(09)(10)により、
(11)
  哲学者はみなエゴイストであるか嘘つきである。
  すべての哲学者は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」は、「日本語」で考へても、「述語論理」で「計算」しても、「妥当」である。
然るに、
(12)
法律家、つまり弁護士とか裁判官とか検事などは、
自分たちが論理を得意とすると思っているようです。
(横浜の弁護士のブログ)
従って、
(11)(12)により、
(13)
「弁護士とか裁判官とか検事」などは、
  原告はみなエゴイストであるか嘘つきである。
  すべての原告は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」に接した際に、「この推論は妥当」である。
といふことを、「直ちに判定」出来ることが「期待」される。
然るに、
(14)
でも、他分野の学問にそれなりに触れた人にとっては、
法律家が論理を理解しているようには思えないと思います。
むしろ、法律学というのは極めて非論理的なものという印象を抱くのではないでしょうか
然るに、
(15)
短答式試験の試験科目は、民法、憲法、刑法の計3科目です。
論文式試験の試験科目は、憲法、行政法、民法、商法、民事訴訟法、刑法、刑事訴訟法、選択科目の系8科目です。
といふ風に、「司法試験の試験科目」に「論理学」は無い
従って、
(13)(14)(15)により、
(16)
大変、「由々しきこと」ではあるものの、恐らくは、ある裁判官は、
  原告はみなエゴイストであるか嘘つきである。
  すべての原告は嘘つきであるとは限らない。
∴ あるエゴイストは嘘つきではない。
といふ「推論」に接した際に、「この推論は妥当」である。
といふことを、「直ちに判定」出来るとは、限らない(!?)。


(1317)「恒真式(トートロジー)」の「研究」の続き。

2024-02-18 18:01:35 | 論理

―「昨日(令和6年2月17日)」の「続き」を書きます。―
然るに、
(27)
(ⅰ)
1  (1)(~P∨P)&Q     A
1  (2) ~P∨P        1&E
1  (3)       Q     1&E
 4 (4) ~P          A
14 (5) ~P&Q        34&I
14 (6)(~P&Q)∨(P&Q) 5∨I
  7(7)    P        A
  7(8)        P&Q  37&I
1 7(9)(~P&Q)∨(P&Q) 8∨I
1  (ア)(~P&Q)∨(P&Q) 24679∨E
(ⅱ)
1  (1)(~P&Q)∨(P&Q) A
 2 (2) ~P&Q        A
 2 (3) ~P          2&E
 2 (4)    Q        2&E
 2 (5) ~P∨P        3∨I
 2 (6)(~P∨P)&Q     45&I
  7(7)        P&Q  A
  7(8)        P    7&E
  7(9)          Q  7&E
  7(ア)     ~P∨P    8∨I
  7(イ)   (~P∨P)&Q  9ア&I
1  (ウ)(~P∨P)&Q     1267イ∨E
従って、
(27)により、
(28)
①(~P∨P)&Q
②(~P&Q)∨(P&Q)
に於いて、
①=② である(分配法則)。
然るに、
(29)
①(~P∨P)&Q
②(~P&Q)∨(P&Q)
が「真」であるならば、
① Pであろうと、Pでなかろうと、いづれにせよ、Qである。
② Pであろうと、Pでなかろうと、いづれにせよ、Qである。
然るに、
(30)
① Pであろうと、Pでなかろうと、いづれにせよ、Qである。
② Pであろうと、Pでなかろうと、いづれにせよ、Qである。
といふことは、要するに、
① Qである。
② Qである。
といふことに、「他ならない」。
従って、
(29)(30)により、
(31)
①(~P∨P)&Q
②(~P&Q)∨(P&Q)
といふ「論理式」は、
① Q
② Q
といふ「命題変数」に「等しい」が、言ふまでもなく、
① Q
② Q
といふ「命題変数」は「恒真式(トートロジー)」ではない
従って、
(18)(31)により、
(32)
①(~P∨P)∨Q
②(~P∨P)&Q
に於いて、
① は「恒真式(トートロジー)」であるが、
② は「恒真式(トートロジー)」ではない


(1316)「恒真式(トートロジー)」の「研究」。

2024-02-17 17:13:57 | 論理

(01)
(ⅰ)
1   (1) ~P∨ P  A
 2  (2)  P&~P  A
  3 (3) ~P     A
 2  (4)  P     2&E
 23 (5) ~P& P  34&I
  3 (6)~(P&~P) 25RAA
   7(7)     P  A
 2  (8)    ~P  2&E
 2 7(9)  P&~P  78&I
   7(ア)~(P&~P) 29RAA
1   (イ)~(P&~P) 1367ア∨E
(ⅱ)
1   (1) ~(P&~P)  A
 2  (2) ~(~P∨P)  A
  3 (3)   ~P     A
  3 (4)   ~P∨P   3∨I
 23 (5) ~(~P∨P)&
         (~P∨P)  24&I
 2  (6)  ~~P     35RAA
 2  (7)    P     6DN
   8(8)      P   A
   8(9)   ~P∨P   8∨I
 2 8(ア) ~(~P∨P)&
         (~P∨P)  28&I
 2  (イ)     ~P   8アRAA
 2  (ウ)   P&~P   7イ&I
12  (エ) ~(P&~P)&
         (P&~P)  1ウ&I
1   (オ)~~(~P∨P)  2エRAA
1   (カ)   ~P∨P   オDN
従って、
(01)により、
(02)
①  ~P∨ P
② ~(P&~P)
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
然るに、
(03)
(ⅱ)
1  (1) ~(P&~P)  A
 2 (2)   P      A
  3(3)     ~P   A
 23(4)   P&~P   23&I
123(5) ~(P&~P)&
        (P&~P)  15&I
12 (6)    P   35RAA
12 (7)      P   6DN
1  (8)  (P→ P)  27CP
(ⅲ)
1  (1)  (P→ P) A
 2 (2)   P&~P  A
 2 (3)   P     A
12 (4)      P  13MPP
 2 (5)     ~P  2&E
12 (6)   P&~P  45&I
1  (7) ~(P&~P) 26RAA
従って、
(03)により、
(04)
② ~(P&~P)
③   P→ P
に於いて、
②=③ である。
従って、
(02)(04)により、
(05)
①  (~P∨P)は「排中律」。
② ~(P&~P)は「矛盾律」。
③  (P→ P)は「同一律」。
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(06)
(ⅰ)
1(1)   P A
1(2)~P∨P 1∨I
(ⅱ)
1(1)~P   A
1(2)~P∨P 1∨I
従って、
(06)により、
(07)
①  P├ ~P∨P
② ~P├ ~P∨P
従って、
(05)(06)(07)により、
(08)
①  (~P∨P)は「排中律」であって、「命題変数Pの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
② ~(P&~P)は「矛盾律」であって、「命題変数Pの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
③  (P→ P)は「同一律」であって、「命題変数Pの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
然るに、
(09)
(ⅰ)
1(1)  P& Q   A
1(2)  P      1&E
1(3) ~P∨P    2∨I
1(4)(~P∨P)∨Q 3∨I
(ⅱ)
1(1)  P&~Q   A
1(2)  P      1&E
1(3) ~P∨P    2∨I
1(4)(~P∨P)∨Q 3∨I
(ⅲ)
1(1) ~P& Q   A
1(2) ~P      1&E
1(3) ~P∨P    2∨I
1(4)(~P∨P)∨Q 3∨I
(ⅳ)
1(1) ~P&~Q   A
1(2) ~P      1&E
1(3) ~P∨P    2∨I
1(4)(~P∨P)∨Q 3∨I
従って、
(09)により、
(10)
①  P& Q├(~P∨P)∨Q
②  P&~Q├(~P∨P)∨Q
③ ~P& Q├(~P∨P)∨Q
④ ~P&~Q├(~P∨P)∨Q
従って、
(08)(09)(10)により、
(11)
①  (~P∨P)∨Q は、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
② ~(P&~P)∨Q は、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
③  (P→ P)∨Q は、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
然るに、
(12)
(ⅰ)
1(1)(~P∨P)∨Q  A
1(2) ~P∨(P∨Q) 1結合法則
1(3)  P→(P∨Q) 2含意の定義
(ⅳ)
1(1)  P→(P∨Q) A
1(2) ~P∨(P∨Q) 1含意の定義
1(3)(~P∨P)∨Q  2結合法則
従って、
(12)により、
(13)
①(~P∨P)∨Q
②  P→(P∨Q)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(14)
(ⅲ)
1(1)(~P∨P)∨~Q A
1(2) ~P∨P ∨~Q 1結合法則
1(3) ~P∨~Q∨ P 2交換法則
1(4)(~P∨~Q)∨P 3結合法則
1(5)~(P&Q)∨ P 4ド・モルガンの法則
1(6) (P&Q)→ P 5含意の定義
(ⅳ)
1(1) (P&Q)→ P A
1(2)~(P&Q)∨ P 1含意の定義
1(3) ~P∨~Q∨ P 2ド・モルガンの法則
1(4) ~P∨P ∨~Q 3交換法則
1(5)(~P∨P)∨~Q 結合法則
従って、
(14)により、
(15)
③(~P∨P)∨~Q
④ (P&Q)→ P
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(16)
(ⅰ)
1(1)  P& Q    A
1(2)  P       1&E
1(3) ~P∨P     2∨I
1(4)(~P∨P)∨~Q 3∨I
(ⅱ)
1(1)  P&~Q    A
1(2)  P       1&E
1(3) ~P∨P     2∨I
1(4)(~P∨P)∨~Q 3∨I
(ⅲ)
1(1) ~P& Q    A
1(2) ~P       1&E
1(3) ~P∨P     2∨I
1(4)(~P∨P)∨~Q 3∨I
(ⅳ)
1(1) ~P&~Q    A
1(2) ~P       1&E
1(3) ~P∨P     2∨I
1(4)(~P∨P)∨~Q 3∨I
従って、
(16)により、
(17)
①  P& Q├(~P∨P)∨~Q
②  P&~Q├(~P∨P)∨~Q
③ ~P& Q├(~P∨P)∨~Q
④ ~P&~Q├(~P∨P)∨~Q
従って、
(10)(11)(13)(15)(17)により、
(18)
①(~P∨P)∨ Q は、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
②   P→(P∨ Q)は、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
③(~P∨P)∨~Q は、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
④ (P&Q)→ P は、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」である。
といふ「意味」では、
①=②=③=④ である。
然るに、
(18)により、
(19)
①(~P∨P)∨ Q
③(~P∨P)∨~Q
に於いて、
① は、「 Q」であるが、
③ は、「~Q」であるため、
①=③ ではない
従って、
(13)(15)(19)により、
(20)
②「選言導入(∨I)」である所の、 P→(P∨Q)は、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」であって、
④「連言除去(&E)」である所の、(P&Q)→P も、「命題変数PとQの真偽」に関はらず、「恒に真(トートロジー)」であるものの、
②=④ ではない
然るに、
(21)
(ⅰ)
1(1)  P& Q   A
1(2)  P      1&E
1(3)     Q   1&E
1(4) ~P∨P    3∨I
1(5)(~P∨P)&Q 34&I
といふ「推論」は「妥当」である。
(ⅱ)
1(1)  P&~Q   A
1(2)  P      1&E
1(3)    ~Q   1&E
1(4) ~P∨P    3∨I
1(5)(~P∨P)&Q 34&I
といふ「推論」は「妥当」ではない
(ⅲ)
1(1) ~P& Q   A
1(2) ~P      1&E
1(3)     Q   1&E
1(4) ~P∨P    3∨I
1(5)(~P∨P)&Q 34&I
といふ「推論」は「妥当」である。
(ⅳ)
1(1) ~P&~Q   A
1(2) ~P      1&E
1(3)    ~Q   1&E
1(4) ~P∨P    3∨I
1(5)(~P∨P)&Q 34&I
といふ「推論」は「妥当」ではない
従って、
(21)により、
(22)
①  P& Q├(~P∨P)&Q
②  P&~Q├(~P∨P)&Q
③ ~P& Q├(~P∨P)&Q
④ ~P&~Q├(~P∨P)&Q
に於いて、
①と③ は「妥当」であるが、
②と④ は「妥当」ではなく、それ故、
①(~P∨P)&Q は、「恒に真(トートロジー)」ではない
従って、
(18)(22)により、
(23)
①(~P∨P)∨Q は、「恒に、真(トートロジー)」であるが、
②(~P∨P)&Q は、「恒に真(トートロジー)」ではない
従って、
(23)により、
(24)
「結合法則・含意の定義」として、
①(~P∨P)∨Q ≡~P∨(P∨Q)≡P→(P∨Q)。
②(~P∨P)&Q ≡~P∨(P&Q)≡P→(P&Q)。
であるものの、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない
従って、
(24)により、
(25)
① Pであるならば(Pであるか、または、Qである)。
② Pであるならば(Pであって、尚且つ、Qである)。
に於いて、
① は「妥当」であるが、
② は「妥当」ではない
(26)
仮に、
②(~P∨P)&Q ≡~P∨(P&Q)≡P→(P&Q)。
であるならば、すなはち、
② Pであるならば(Pであって、尚且つ、Qである)。
とするならば、
②「任意の命題」が「真」であるならば、「全ての命題」は「真」である。
といふことになるものの、
②「そのやうなこと」は、「有っては、ならない」。


(1315)「恒真式(トートロジー)」の「意味」について。

2024-02-14 19:56:47 | 論理

(01)
① A,B├ C
②   A├ B→C
③    ├ A→(B→C)
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、③ である。
従って、
(01)により、
(02)
① Aが真で、Bも真、なので、Cは真である。
②      Aが真、なので、Bが真ならば、Cは真である。
③          なので、Aが真ならば(Bが真ならば、Cは真である)。
に於いて、
① ならば、② であり、
② ならば、③ である。
従って、
(01)(02)により、
(03)
① A,B├ C
②   A├ B→C
③    ├ A→(B→C)
であれば、
① 真,真├ 真
②   真├ 真→真
③    ├ 真→(真→真)
である。
然るに、
(04)
③ ├ 真→(真→真)
であれば、
③    真→(真→真)
である。
然るに、
(05)
「真理表(Truth table)」により、
① 真→(真→真)
② 真→(真)
③ 真
に於いて、
① ならば、② であって、
② ならば、③ である。
従って、
(01)~(05)により、
(06)
① A,B├ C
②   A├ B→C
③    ├ A→(B→C)
であるならば、
④ A→(B→C)
は「真」である。
然るに、
(07)
1 (1) P           A
 2(2) P→Q         A
12(3)   Q         12MPP
1 (4)(P→Q)→Q      23CP
  (5) P→((P→Q)→Q) 14CP
従って、
(06)(07)により、
(08)
① P,P→Q├ Q
②     P├(P→Q)→Q
③      ├ P→((P→Q)→Q)
であるため、
④ P→((P→Q)→Q)
は「真」である。
然るに、
(09)
「番号」を付け直すとして、
①   P→((P→Q)→Q)
② ~{P→((P→Q)→Q)}
に於いて、
② は、① の「否定」である。
従って、
(08)(09)により、
(10)
①   P→((P→Q)→Q)
② ~{P→((P→Q)→Q)}
に於いて、
① が「」である以上、その「否定」である、
② は、必然的に、「」である。
然るに、
(11)
(ⅰ)
1(1) P→( ( P→Q)→Q) A
1(2)~P∨( ( P→Q)→Q) 1含意の定義
1(3)~P∨( (~P∨Q)→Q) 2含意の定義
1(4)~P∨(~(~P∨Q)∨Q) 2含意の定義
(ⅱ)
1(1)~P∨(~(~P∨Q)∨Q) A
1(2)~P∨( (~P∨Q)→Q) 1含意の定義
1(3)~P∨( ( P→Q)→Q) 2含意の定義
1(4) P→( ( P→Q)→Q) 3含意の定義
従って、
(11)により、
(12)
①  P→((P→Q)→Q)
と いふ「論理式」は、
① ~P∨(~(~P∨Q)∨Q)
と いふ「論理式」に「等しい」。
従って、
(10)(12)により、
(13)
①   P→((P→Q)→Q)
② ~{P→((P→Q)→Q)}
に於いて、すなはち、
①   ~P∨(~(~P∨Q)∨Q)
② ~{~P∨(~(~P∨Q)∨Q)}
に於いて、
① が「」である以上、その「否定」である、
② は、必然的に、「」である。
然るに、
(14)
(ⅱ)
1(1)~{~P∨(~(~P∨Q)∨ Q)} A
1(2)  P&~(~(~P∨Q)∨ Q)  1ド・モルガンの法則
1(3)  P                2&E
1(4)    ~(~(~P∨Q)∨ Q)  2&E
1(5)       (~P∨Q)&~Q   4ド・モルガンの法則
1(6)       (~P∨Q)      5&E
1(7)         P→Q       6含意の定義
1(8)           Q       37MPP
1(9)              ~Q   5&E
1(ア)            Q&~Q   89&I
1(イ)         P&(Q&~Q)  3ア&I
(ⅲ)
1(1)         P&(Q&~Q)  A
1(2)         P         1&E
1(3)           (Q&~Q)  1&E
1(4)            Q      3&E
1(5)              ~Q   3&E
1(6)         ~P∨Q      4∨I
1(7)       (~P∨Q)&~Q   56&I
1(8)    ~(~(~P∨Q)∨ Q)  7ド・モルガンの法則
1(9)  P&~(~(~P∨Q)∨ Q)  28&I
1(ア)~{~P∨(~(~P∨Q)∨ Q)} 9ド・モルガンの法則
従って、
(14)により、
(15)
② ~{~P∨(~(~P∨Q)∨Q)}
③    P&(Q&~Q
に於いて、すなはち、
② ~{~P∨(~(~P∨Q)∨Q)}
③    P&(矛盾
に於いて、すなはち、
② ~{~P∨(~(~P∨Q)∨Q)}
③    P&(
に於いて、すなはち、
② ~{~P∨(~(~P∨Q)∨Q)}
③       
に於いて、すなはち、
②=③ である。
従って、
(10)~(15)により、
(16)
①   P→((P→Q)→Q)
② ~{P→((P→Q)→Q)}
に於いて、
① が「」である以上、その「否定」である、
② は、必然的 に、「」である。
といふ「命題」は、「」である。
然るに、
(17)
(ⅰ)
1(1)       P& Q  A
1(2)          Q  A
1(3)   ~(P→Q)∨Q  2∨I
1(4)    (P→Q)→Q  3含意の定義
1(5)~P∨((P→Q)→Q) 4∨I
1(6) P→((P→Q)→Q) 5含意の定義
(ⅱ)
1 (1)     P&~Q    A
 2(2)     P→ Q    A
1 (3)     P       1&E
12(4)        Q    23MPP
1 (5)       ~Q    1&E
12(6)     Q&~Q    45&I
1 (7)   ~(P→Q)    2RAA
1 (8)   ~(P→Q)∨Q  7∨I
1 (9)    (P→Q)→Q  8含意の定義
1 (ア)~P∨((P→Q)→Q) 9∨I
1 (イ) P→((P→Q)→Q) ア含意の定義
(ⅲ)
1(1)      ~P& Q  A
1(2)          Q  A
1(3)   ~(P→Q)∨Q  2∨I
1(4)    (P→Q)→Q  3含意の定義
1(5)~P∨((P→Q)→Q) 4∨I
1(6) P→((P→Q)→Q) 5含意の定義
(ⅳ)
1(1)      ~P&~Q  A
1(2)~P           1&E
1(3)~P∨((P→Q)→Q) 2∨I
1(4) P→((P→Q)→Q) 3含意の定義
従って、
(17)により、
(18)
①  P& Q├ P→((P→Q)→Q)
②  P&~Q├ P→((P→Q)→Q)
③ ~P& Q├ P→((P→Q)→Q)
④ ~P&~Q├ P→((P→Q)→Q)
といふ「連式」は、4つとも「正しい」。
従って、
(18)により、
(19)
① Pが真で、Qが真である、としても、
② Pが真で、Qが偽である、としても、
③ Pが偽で、Qが真である、としても、
④ Pが偽で、Qが偽である、としても、
いづれにしても、
① Pならば((PならばQである)ならばQである)。
といふ「命題」は、「恒に真」である。
従って、
(08)(16)(19)により、
(20)
① P,P→Q├ Q
②     P├(P→Q)→Q
③      ├ P→((P→Q)→Q)
であるため、
④ P→((P→Q)→Q)
は「真」である。
といふことは、
④ の「否定」は「」であり、
④ は「命題変数(PとQ)の真偽」に関はらず、「恒に真」である。
といふことに、「他ならない」。


(1314)「命題論理」の「完全性定理」。

2024-02-13 21:57:52 | 論理

 ―「文字数制限」をオバーするため、(01)~(14)を「省略」します。― 
(15)
1   (1) P→Q A
 2  (2) R∨P A
  3 (3) R   A
  3 (4) R∨Q 3∨I
   5(5)   P A
1  5(6)   Q 15MPP
1  5(7) R∨Q 6∨I
12  (8) R∨Q 23457∨E
という「計算」に於ける、
       ① P→Q
       ② R∨P
       ③ R∨Q
という「論理式」に於いて、
① は「仮定」により「真」であり、
② も「仮定」により「真」であり、
③ は『規則』により「真」である。
従って、
(15)により、
(16)
1   (1) P→Q                A
 2  (2) R∨P                A
  3 (3) R                  A
  3 (4) R∨Q                3∨I
   5(5)   P                A
1  5(6)   Q                15MPP
1  5(7) R∨Q                6∨I
12  (8) R∨Q                23457∨E
1   (9)(R∨P)→(R∨Q)         28CP
    (ア)(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 19CP
という「計算」は「妥当」であり、それ故、
① P→Q,R∨P├ R∨Q
②     P→Q├(R∨P)→(R∨Q)
③        ├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
という「連式(Sequents)」は、「妥当」ある。
然るに、
(16)により、
(17)
③├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
に於ける、
③ (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
という「論式」は、「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」であって、「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」は、「恒真式(トートロジー)である。
従って、
(15)(16)(17)により、
(18)
③├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
という風に、
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」がそうであるように、
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の「論理式」は「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(19)
1(1) ~(( P→Q)→  ((R∨P)→(R∨Q))) A
1(2) ~((~P∨Q)→  ((R∨P)→(R∨Q))) 1含意の定義
1(3)~(~(~P∨Q)∨  ((R∨P)→(R∨Q))) 2含意の定義
1(4)~(~(~P∨Q)∨ (~(R∨P)∨(R∨Q))) 3含意の定義
1(5)   (~P∨Q)&~(~(R∨P)∨(R∨Q))  4ド・モルガンの法則
1(6)   (~P∨Q)                  5&E
1(7)          ~(~(R∨P)∨(R∨Q))  5&E
1(8)            (R∨P)&~(R∨Q)   7ド・モルガンの法則
1(9)             R∨P           8&E
1(ア)                  ~(R∨Q)   8&E
1(イ)                  ~R&~Q    ア、ド・モルガンの法則
1(ウ)                  ~R       イ&E
1(エ)                     ~Q    イ&E
1(オ)     P→Q                   6含意の定義
1(カ)    ~P                     エオMTT
1(キ)   ~R&~P                   ウカ&I
1(ク)  ~(R∨P)                   キ、ド・モルガンの法則
1(ケ)  ~(R∨P)&(R∨P)             9ク&I
従って、
(18)(19)により、
(20)
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」がそうであるように、
(ⅱ)「恒真式(トートロジー)」の「否定」は、「恒偽式(矛盾)」である。
然るに、
(21)
1(1)  P& Q& R            A
1(2)        R            A
1(3)               R∨Q   2∨I
1(4)       ~(R∨P)∨(R∨Q)  3∨I
1(5)        (R∨P)→(R∨Q)  4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅱ)
1(1)  P& Q&~R             A
1(2)     Q                A
1(3)               R∨Q   2∨I
1(4)       ~(R∨P)∨(R∨Q)  3∨I
1(5)        (R∨P)→(R∨Q)  4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅲ)
(ⅰ)
1(1)  P&~Q& R            A
1(2)        R            A
1(3)               R∨Q   2∨I
1(4)       ~(R∨P)∨(R∨Q)  3∨I
1(5)        (R∨P)→(R∨Q)  4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅳ)
1 (1) P&~Q&~R             A
 2(2) P→ Q                A
1 (3) P                   1&E
12(4)    Q                23MPP
1 (5)   ~Q                1&E
12(6)    Q&~Q             45&I
1 (7)~(P→Q)               26RAA
1 (8)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 7∨I
1 (9)( P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 1含意の定義
(ⅴ)
1(1) ~P& Q& R            A
1(2)     Q               A
1(3)               R∨Q   2∨I
1(4)       ~(R∨P)∨(R∨Q)  3∨I
1(5)        (R∨P)→(R∨Q)  4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅵ)
1(1) ~P& Q&~R            A
1(2)     Q               A
1(3)               R∨Q   2∨I
1(4)       ~(R∨P)∨(R∨Q)  3∨I
1(5)        (R∨P)→(R∨Q)  4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
1(3)               R∨Q   2∨I
1(4)       ~(R∨P)∨(R∨Q)  3∨I
1(5)        (R∨P)→(R∨Q)  4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅶ)
1(1) ~P&~Q& R            A
1(2)     Q               A
1(3)               R∨Q   2∨I
1(4)       ~(R∨P)∨(R∨Q)  3∨I
1(5)        (R∨P)→(R∨Q)  4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅷ)
1 (1) ~P&~Q&~R            A
1 (2) ~P                  1&E
 3(3)      ~((R∨P)→(R∨Q)) A
 3(4)     ~(~(R∨P)∨(R∨Q)) 3含意の定義
 3(5)       (R∨P)&~(R∨Q)  4ド・モルガンの法則
 3(6)        R∨P          5&E
 3(7)             ~(R∨Q)  5&E
 3(8)             ~R&~Q   7ド・モルガンの法則
 3(9)       ~R            8&E
13(ア)       ~R&~P         29&I
13(イ)      ~(R∨P)         ア、ド・モルガンの法則
13(ウ)       (R∨P)&~(R∨P)  6イ&I
1 (エ)     ~~((R∨P)→(R∨Q)) 3ウRAA
1 (オ)       ((R∨P)→(R∨Q)) DN
1 (カ)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) オ∨I
1 (キ) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) カ含意の定義
従って、
(21)により、
(22)
①  P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
②  P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
③  P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④  P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑤ ~P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑥ ~P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑦ ~P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
然るに、
(23)
(ⅰ)
1    (1)  (P→Q)→( (R∨P)→(R∨Q)) A
1    (2) ~(P→Q)∨( (R∨P)→(R∨Q)) 1含意の定義
1    (3)~(~P∨Q)∨( (R∨P)→(R∨Q)) 2含意の定義
1    (4)~(~P∨Q)∨(~(R∨P)∨(R∨Q)) 3含意の定義
 5   (5)~(~P∨Q)                A
 5   (6)  P&~Q                 5ド・モルガンの法則
 5   (7) (P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)  6∨I
  8  (8)         ~(R∨P)∨(R∨Q)  A
   9 (9)         ~(R∨P)        A
   9 (ア)        (~R&~P)        9ド・モルガンの法則
   9 (イ)        (~R&~P)∨(R∨Q)  ア∨I
    ウ(ウ)                (R∨Q)  A
    ウ(エ)        (~R&~P)∨(R∨Q)  ウ∨I
  8  (オ)        (~R&~P)∨(R∨Q)  89イウエ∨E
  8  (カ) (P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)  オ∨I
1    (キ) (P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)  1578カ∨E
(ⅱ)
1    (1) (P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)  A
 2   (2) (P&~Q)                A
 2   (3)~(~P∨Q)                2ド・モルガンの法則
 2   (4) ~(P→Q)                3含意の定義
 2   (5) ~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q))  4∨I
  6  (6)        (~R&~P)∨(R∨Q)  A
   7 (7)        (~R&~P)        A
   7 (8)         ~(R∨P)        7ド・モルガンの法則
   7 (9)         ~(R∨P)∨(R∨Q)  8∨I
    ア(ア)                (R∨Q)  A
    ア(イ)         ~(R∨P)∨(R∨Q)  ア∨I
  6  (ウ)         ~(R∨P)∨(R∨Q)  679アイ∨E
  6  (エ)        ((R∨P)→(R∨Q))  ウ含意の定義
  6  (オ) ~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q))  エ∨I
1    (カ) ~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q))  1256オ∨E
1    (キ)  (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))  カ含意の定義
従って、
(23)により、
(24)
①(P→ Q)→((R∨ P)→(R∨Q))
②(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(25)
)に対する「選言導入(DI)」により、
①  P& Q& R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(∨Q)
③  P&~Q& R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(∨Q)
⑤ ~P& Q& R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(∨Q)
⑦ ~P&~Q& R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(∨Q)
という「連式(sequents)」は、4つとも、「妥当」である。
(26)
)に対する「選言導入(DI)」により、
②  P& Q&~R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨
⑥ ~P& Q&~R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨
という「連式(sequents)」は、2つとも、「妥当」である。
(27)
P&~Q)に対する「選言導入(DI)」により、
④  P&~Q&~R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
という「連式(sequent)」は、「妥当」である。
(28)
~R&~P)に対する「選言導入(DI)」により、
⑧ ~P&~Q&~R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
という「連式(sequent)」は、「妥当」である。
従って、
(24)~(29)により、
(29)
いずれにせよ、
①  P& Q& R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
②  P& Q&~R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
③  P&~Q& R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
④  P&~Q&~R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
⑤ ~P& Q& R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
⑥ ~P& Q&~R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
⑦ ~P&~Q& R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
⑧ ~P&~Q&~R├(P&~Q)∨(~R&~P)∨(R∨Q)
という「連式(sequents)」は、「妥当」である。
従って、
(22)(24)(29)により、
(30)
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」がそうであるように、
(ⅲ)「命題変数(P,Q,R)」の「真理値(真偽)」に関わらず、「恒真式(トートロジー)」の「真理値(真偽)」は、「恒に真」である。
従って、
(18)(20)(30)により、
(31)
例えば、「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」がそうであるように、
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の「論理式」は「恒真式(トートロジー)」である。
(ⅱ)「恒真式(トートロジー)」の「否定」は、「恒偽式(矛盾)」である。
(ⅲ)「命題変数(P,Q,R)」の「真理値(真偽)」に関わらず、「恒真式(トートロジー)」の「真理値(真偽)」は、「恒に真」である。
従って、
(14)(31)により、
(32)
例えば、「同一律」と「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」がそうであるように、
(ⅲ)「命題変数」の「真理値(真偽)」に関わらず、「恒真式(トートロジー)」の「真理値(真偽)」は、「恒に真」である。
従って、
(32)により、
(33)
①  P& Q├(P→Q)→(P→Q)
②  P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
③ ~P& Q├(P→Q)→(P→Q)
④ ~P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
という「連式(Sequents)」が「妥当」であり、
①  P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
②  P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
③  P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④  P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑤ ~P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑥ ~P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑦ ~P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
という「連式(Sequents)」が「妥当」であるからこそ、
「同一律」は、「恒に真」であって、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」も、「恒に真」である。
然るに、
(34)
例えば、
~P&Q&~R ┤├ ~(~P→~Q∨R)
(ⅰ)
1   (1)  ~P& Q&~R   A
 2  (2)  ~P→~Q∨ R   A
1   (3)  ~P         1&E
12  (4)     ~Q∨ R   23MPP
  5 (5)     ~Q      A
1   (6)      Q      1&E
1 5 (7)     ~Q&Q    67&I
  5 (8)~(~P& Q&~R)  17RAA
   9(9)         R   A
1   (ア)        ~R   1&E
1  9(イ)      R&~R   9ア&I
   9(ウ)~(~P& Q&~R)  1イRAA
12  (エ)~(~P& Q&~R)  4589ウ∨I
12  (オ) (~P& Q&~R)&
       ~(~P& Q&~R)  1エ&I
1   (カ)~(~P→~Q∨ R)  2オRAA
(ⅱ)
1   (1)~(~P→~Q∨ R)  A
1   (2)~( P∨~Q∨ R)  1含意の定義
 3  (3)   P         A
 3  (4)   P∨~Q      3∨I
 3  (5)   P∨~Q∨ R   4∨I
13  (6)~( P∨~Q∨ R)& 
        ( P∨~Q∨ R)  25&I
1   (7)  ~P         56RAA
  8 (8)     ~Q      A
  8 (9)   P∨~Q      8∨I
  8 (ア)   P∨~Q∨ R   9∨I
1 8 (イ)~( P∨~Q∨ R)& 
        ( P∨~Q∨ R)  2ア&I
1   (ウ)    ~~Q      8RAA
1   (エ)      Q      ウDN
   オ(オ)         R   A
   オ(カ)     ~Q∨ R   オ∨I
   オ(キ)   P∨~Q∨ R   ∨I
1  オ(ク)~( P∨~Q∨ R)& 
        ( P∨~Q∨ R)  2キ&I
1   (ケ)        ~R   オクRAA
1   (コ)  ~P& Q      7エ&I
1   (サ)  ~P& Q&~R   ケコ&I
従って、
(34)により、
(35)
①   ~P&Q&~R
② ~(~P→~Q∨R)
に於いて、
①=② である。
従って、
(35)により、
(36)
例えば、
⑥ ~P& Q&~R├ ~(~P→~Q∨R)
という「連式(Sequent)」が「妥当」であるため、
⑥ ~(~P→~Q∨R)
という「論理式」の「否定」である所の、
⑥   ~P→~Q∨R
という「論理式」に関しては、
⑥ ~P& Q&~R├ ~P→~Q∨R
という「連式」の場合は、
(ⅲ)「命題変数」の「真理値(真偽)」に関わらず、「恒に真」である。
ということには「ならない」。
従って、
(33)(36)により、
(37)
⑥ ~P→~Q∨R
という「論理式」は、「恒真式(トートロジー)」ではない。
然るに、
(38)
〈練習問題2〉
仮定がすべて真になり、結論が偽になるような、変数への付値を見出すことによって、つぎの論証のパターンが不妥当(トートロジー的)であることを示せ。
(E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、105頁)
〔私による、解答〕
(a)
① P&Q→R├ P→R
② P&Q→R├ 真→偽
③ 真&Q→偽├ 真→偽
④ 真&偽→偽├ 真→偽
⑤  偽 →偽├  偽
⑥    真 ├  偽
(b)
① P→Q∨R├ P→Q
② P→Q∨R├ 真→偽
③ 真→偽∨R├ 真→偽
④ 真→偽∨真├ 真→偽
⑤ 真→ 真 ├  偽
⑥  真   ├  偽
(c)
① P→Q,P→R├ Q→R
② P→Q,P→R├ 真→偽
③ P→真,P→偽├ 真→偽
④ 偽→真,偽→偽├ 真→偽
⑤  真 , 真 ├  偽
(d)
① P→R,Q→R├ P→Q
② P→R,Q→R├ 真→偽
③ 真→R,偽→R├ 真→偽
④ 真→真,偽→真├ 真→偽
⑤  真 , 真 ├  偽
(e)
① P→(Q→R),Q,~R├ P
② P→(Q→R),Q,~R├ 偽
③ 偽→(Q→R),Q,~R├ 偽
④ 偽→(真→偽),真,~偽├ 偽
⑤ 偽→偽    ,真,真 ├ 偽
⑥  真     ,真,真 ├ 偽
(f)
① P⇔~Q,Q⇔~R,R⇔~S├ P⇔S
② P⇔~Q,Q⇔~R,R⇔~S├ 真⇔偽
③ 真⇔~Q,Q⇔~R,R⇔~偽├ 真⇔偽
④ 真⇔~偽,偽⇔~真,真⇔~偽├ 真⇔偽
⑤ 真⇔真 ,偽⇔真 ,真⇔真 ├ 真⇔偽
従って、
従って、
(33)(37)(38)により、
(39)
(P、Q、Rを、変数として持つ所の、任意の論理式A)は、
①  P& Q& R├(任意の論理式A)
②  P& Q&~R├(任意の論理式A)
③  P&~Q& R├(任意の論理式A)
④  P&~Q&~R├(任意の論理式A)
⑤ ~P& Q& R├(任意の論理式A)
⑥ ~P& Q&~R├(任意の論理式A)
⑦ ~P&~Q& R├(任意の論理式A)
⑧ ~P&~Q&~R├(任意の論理式A)
であるか、または、「そうではない」。
然るに、
(40)
1  (1)           P→(Q→R)      A
 2 (2)           P→ Q         A
  3(3)           P            A
1 3(4)              Q→R       13MPP
 23(5)              Q         23MPP
123(6)                    R   45MPP
12 (7)                  P→R   36CP
1  (8)           (P→Q)→(P→R)  27CP
   (9)(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) 18CP
であるものの(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))は、「岩波書店、現代論理学入門(1962年)」によると、「ルカジェヴィッツの公理(2)」である。
従って、
(39)(40)により、
(41)
①  P& Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
②  P& Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
③  P&~Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
④  P&~Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑤ ~P& Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑥ ~P& Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑦ ~P&~Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
であるに、「違いない」。
然るに、
(42)
①  P& Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
③  P&~Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑤ ~P& Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑦ ~P&~Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
に関しては、「4つまとめて」、
1(1)                     R   A
1(2)                  ~P∨R   1∨I
1(3)                   P→R   2含意の定義
1(4)           ~(P→Q)∨(P→R)  3∨I
1(6)            (P→Q)→(P→R)  4含意の定義
1(7)~(P→(Q→R))∨((P→Q)→(P→R)) 6∨I
という風に、「証明」出来る。
然るに、
(43)
⑥ ~P& Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
に関しては、「2つまとめて」、
1(1)                  ~P     A
1(2)                  ~P∨R   1∨I
1(3)                   P→R   2含意の定義
1(4)           ~(P→Q)∨(P→R)  3∨I
1(6)            (P→Q)→(P→R)  4含意の定義
1(7)~(P→(Q→R))∨((P→Q)→(P→R)) 6∨I
という風に、「証明」出来る。
然るに、
(44)
②  P& Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
に関しては、
1 (1)  P& Q&~R                 A
 2(2)  P→(Q→ R)                A
1 (3)  P                       1&E
12(4)     Q→ R                 23MPP
1 (5)     Q                    1&E
12(6)        R                 45MPP
1 (7)       ~R                 1&E
12(8)     R&~R                 67&I
1 (9)~(P→(Q→ R))               28RAA
1 (ア)~(P→(Q→ R))∨((P→Q)→(P→R)) 9∨I
1 (イ) (P→(Q→ R))→((P→Q)→(P→R)) ア含意の定義
という風に、「証明」出来る。
然るに、
(45)
④  P&~Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
に関しては、
1 (1)  P&~Q&~R                A
 2(2)  P→ Q                   A
1 (3)  P                      1&E
12(4)     Q                   23MPP
1 (5)    ~Q                   1&E
12(6)  Q&~Q                   45&I
1 (7)           ~(P→Q)        26RAA
1 (8)           ~(P→Q)∨(P→R)  7∨I
1 (9)            (P→Q)→(P→R)  8含意の定義
1 (ア)~(P→(Q→R))∨((P→Q)→(P→R)) 9∨I
1 (イ) (P→(Q→R))∨((P→Q)→(P→R)) ア含意の定義
従って、
(41)~(45)により、
(46)
果たして、
①  P& Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
②  P& Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
③  P&~Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
④  P&~Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑤ ~P& Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑥ ~P& Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑦ ~P&~Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
という「連式(Sequents)」は「妥当」である。
従って、
(32)(33)(46)により、
(47)
①  P& Q├(P→Q)→(P→Q)
②  P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
③ ~P& Q├(P→Q)→(P→Q)
④ ~P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
という「連式(Sequents)」が「(4つとも)妥当」であり、
①  P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
②  P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
③  P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④  P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑤ ~P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑥ ~P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑦ ~P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
という「連式(Sequents)」が「(8つとも)妥当」であり、
①  P& Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
②  P& Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
③  P&~Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
④  P&~Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑤ ~P& Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑥ ~P& Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑦ ~P&~Q& R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
という「連式(Sequents)」が「(8つとも)妥当」であるからこそ、
      「同一律(Law of identity)」は「恒真式(トートロジー)」であって、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」は「恒真式(トートロジー)」であって、
    「ルカジェヴィッツの公理(2)」は「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(48)
1 (1) ~(P∨~P)  A
 2(2)   P      A
 2(3)   P∨~P   2∨I
12(4) ~(P∨~P)&
       (P∨~P)  13&I
1 (5)  ~P      24RAA
1 (6)   P∨~P   5∨I
1 (7) ~(P∨~P)&
       (P∨~P)  16&I
  (8)~~(P∨~P)  17RAA
  (9)   P∨~P   8DN
従って、
(47)(48)により、
(49)
        (1)  P∨~P       TI(排中律
        (2)  Q∨~Q       TI(排中律
3       (3)  P          A
 4      (4)  Q          A
34      (5)  P& Q       34&I
34      (6)    Q        5&E
34      (7) ~P∨Q        6∨I
34      (8)  P→Q        7含意の定義
34      (9)~(P→Q)∨(P→Q) 8∨I
  ア     (ア)    ~Q       A
3 ア     (イ)  P&~Q       3ア&I
   ウ    (ウ)  P→ Q       A
3 ア     (エ)  P          イ&E
3 アウ    (オ)     Q       ウエMPP
3 ア     (カ)    ~Q       イ&E
3 アウ    (キ)  Q&~Q       オカ&I
3 ア     (ク)~(P→Q)       ウキRAA
3 ア     (ケ)~(P→Q)∨(P→Q) ク∨I
3       (コ)~(P→Q)∨(P→Q) 249アケ∨E
    サ   (サ)    ~P       A
 4  サ   (シ) ~P& Q       4サ&I
 4  サ   (ス) ~P          シ&E
 4  サ   (セ) ~P∨Q        ス∨I
 4  サ   (ソ)  P→Q        セ含意の定義
 4  サ   (タ)~(P→Q)∨(P→Q) ソ∨I
  ア サ   (ツ) ~P&~Q       アサ&I
  ア サ   (テ)    ~P       ツ&E
  ア サ   (ト)    ~P∨Q     テ∨I
  ア サ   (ナ)     P→Q     ト含意の定義
  ア サ   (ニ)~(P→Q)∨(P→Q) ナ∨I
    サ   (ヌ)~(P→Q)∨(P→Q) 24タアニ∨E
        (ネ)~(P→Q)∨(P→Q) 13コサヌ∨E
        (ノ) (P→Q)→(P→Q) ネ含意の定義
従って、
(49)により、
(50)
    (1)P∨~P     TI(排中律)
    (2)Q∨~Q     TI(排中律)
3   (3)P        A
 4  (4)  ~P     A
  5 (5)Q        A
   6(6)  ~Q     A
3 5 (7)(任意の恒真式) 35SI(ⅰ)
3  6(8)(任意の恒真式) 36SI(ⅱ)
 45 (9)(任意の恒真式) 37SI(ⅲ)
 4 6(ア)(任意の恒真式) 38SI(ⅳ)
5   (イ)(任意の恒真式) 13749∨E
   6(ウ)(任意の恒真式) 1384ア∨E
    (エ)(任意の恒真式) 25イ6ウ∨E
という「計算」により、例えば、
①  P& Q├(P→Q)→(P→Q)
②  P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
③ ~P& Q├(P→Q)→(P→Q)
④ ~P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
という「連式」は、
①├(P→Q)→(P→Q)
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
(47)~(50)により、
(51)
    (1)P∨~P     TI(排中律)
    (2)Q∨~Q     TI(排中律)
    (3)R∨~R     TI(排中律)
によって、例えば、
①  P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
②  P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
③  P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④  P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑤ ~P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑥ ~P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑦ ~P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
という「連式」は、
①├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
(51)により、
(52)
(P、Q、Rを、変数として持つ所の、任意の論理式A)に対して、
①  P& Q& R├(任意の論理式A)
②  P& Q&~R├(任意の論理式A)
③  P&~Q& R├(任意の論理式A)
④  P&~Q&~R├(任意の論理式A)
⑤ ~P& Q& R├(任意の論理式A)
⑥ ~P& Q&~R├(任意の論理式A)
⑦ ~P&~Q& R├(任意の論理式A)
⑧ ~P&~Q&~R├(任意の論理式A)
という「連式(Sequents)」が「(8つとも)妥当」であるならば、
①├(任意の論理式A)
という「連式」に「書き換える」ことが出来る。
従って、
(16)(40)(52)により、
(53)
①├(任意の論理式A)
という「連式(Sequents)」が、
②├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
③├(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))
という「連式」であるならば、これらの「連式」は、
② P→Q,R∨P├ R∨Q
③ P→(Q→R),P→Q├ P→R
  という「連式」に「書き換える」ことが出来るものの、「これらの連式」は、「妥当」である。
従って、
(51)(52)(53)により、
(54)
①  P& Q& R├(任意の論理式A)
②  P& Q&~R├(任意の論理式A)
③  P&~Q& R├(任意の論理式A)
④  P&~Q&~R├(任意の論理式A)
⑤ ~P& Q& R├(任意の論理式A)
⑥ ~P& Q&~R├(任意の論理式A)
⑦ ~P&~Q& R├(任意の論理式A)
⑧ ~P&~Q&~R├(任意の論理式A)
の中の、「一つの例(instance)」として、
①  P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
②  P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
③  P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④  P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑤ ~P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑥ ~P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑦ ~P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
といふ「連式(Sequents)」が「妥当」であるが故に、
②        ├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
② P→Q,R∨P├ R∨Q
という「連式(ヒルベルト・アッカーマンの公理4)」が「妥当」となる。


(1313)「恒真式」が「恒真(トートロジー)」である所以。

2024-02-12 15:03:57 | 論理

(01)
1   (1) P→Q                A
 2  (2) R∨P                A
  3 (3) R                  A
  3 (4) R∨Q                3∨I
   5(5)   P                A
1  5(6)   Q                15MPP
1  5(7) R∨Q                6∨I
12  (8) R∨Q                23457∨E
1   (9)(R∨P)→(R∨Q)         28CP
    (ア)(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 19CP
従って、
(01)により、
(02)
① P→Q,R∨P├ R∨Q
②     P→Q├(R∨P)→(R∨Q)
③        ├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
といふ「3つの連式」は、「恒真(トートロジー)的」である。
然るに、
(03)
(ⅰ)
1(1)~(R∨Q) A
1(2)~R&~Q  1ド・モルガンの法則
(ⅱ)
1(1)~( (R∨P)→(R∨Q)) A
1(2)~(~(R∨P)∨(R∨Q)) 1含意の定義
1(3)  (R∨P)&~(R∨Q)  2ド・モルガンの法則
1(4)  (R∨P)         3&E
1(5) ~~R∨P          4DN
1(6)  ~R→P          5含意の定義
1(7)         ~R&Q   3&E
1(8)         ~R     7&E
1(9)            Q   7&E
1(ア)     P          68MPP
1(イ)     P&Q        9ア&I
(ⅲ)
1(1)~( ( P→Q)→ ( (R∨P)→(R∨Q))) A
1(2)~( (~P∨Q)→ ( (R∨P)→(R∨Q))) 1含意の定義
1(3)~(~(~P∨Q)∨ ( (R∨P)→(R∨Q))) 2含意の定義
1(4)~(~(~P∨Q)∨ (~(R∨P)∨(R∨Q))) 3含意の定義
1(5)   (~P∨Q)&~(~(R∨P)∨(R∨Q))  4ド・モルガンの法則
1(6)   (~P∨Q)                  5&E
1(7)          ~(~(R∨P)∨(R∨Q))  5&E
1(8)            (R∨P)&~(R∨Q)   7ド・モルガンの法則
1(9)             R∨P           8&E
1(ア)                  ~(R∨Q)   8&E
1(イ)                  ~R&~Q    ア、ド・モルガンの法則
1(ウ)                  ~R       イ&E
1(エ)                     ~Q    イ&E
1(オ)     P→Q                   6含意の定義
1(カ)    ~P                     エオMTT
1(キ)   ~R&~P                   ウカ&I
1(ク)  ~(R∨P)                   キ、ド・モルガンの法則
1(ケ)  ~(R∨P)&(R∨P)             9ク&I
従って、
(02)(03)により、
(04)
① P→Q,R∨P├ R∨Q
②     P→Q├(R∨P)→(R∨Q)
③        ├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
に於ける、
①  R∨Q
②(R∨P)→(R∨Q)
③(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
に対する、それぞれの「否定」である所の、
①  ~(R∨Q)
② ~((R∨P)→(R∨Q))
③ ~((P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)))
に於いて、
① は「矛盾」ではなく
② も「矛盾」ではなく
③ は「矛盾」であるが、「矛盾」は「」である。
従って、
(04)により、
(05)
①  R∨Q
②(R∨P)→(R∨Q)
③(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
に於いて、
① は、その「否定」が「偽」でないが故に、それ自体は、「真」でも「偽」でもなく、
② も、その「否定」が「偽」でないが故に、それ自体は、「真」でも「偽」でもなく、
③ は、その「否定」が「偽」であるが故に、それ自体が、「」である。
従って、
(05)により、
(06)
例えば、
「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」である所の、
③(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
といふ「論理式」は、それ自体が「」である。
然るに、
(07)
(ⅰ)
1(1)  P& Q& R            A
1(2)        R            A
1(3)               R∨Q   2∨I
1(4)       ~(R∨P)∨(R∨Q)  3∨I
1(5)        (R∨P)→(R∨Q)  4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅱ)
1(1)  P& Q&~R             A
1(2)     Q                A
1(3)               R∨Q   2∨I
1(4)       ~(R∨P)∨(R∨Q)  3∨I
1(5)        (R∨P)→(R∨Q)  4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅲ)
(ⅰ)
1(1)  P&~Q& R            A
1(2)        R            A
1(3)               R∨Q   2∨I
1(4)       ~(R∨P)∨(R∨Q)  3∨I
1(5)        (R∨P)→(R∨Q)  4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅳ)
1 (1) P&~Q&~R             A
 2(2) P→ Q                A
1 (3) P                   1&E
12(4)    Q                23MPP
1 (5)   ~Q                1&E
12(6)    Q&~Q             45&I
1 (7)~(P→Q)               26RAA
1 (8)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 7∨I
1 (9)( P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 1含意の定義
(ⅴ)
1(1) ~P& Q& R            A
1(2)     Q               A
1(3)               R∨Q   2∨I
1(4)       ~(R∨P)∨(R∨Q)  3∨I
1(5)        (R∨P)→(R∨Q)  4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅵ)
1(1) ~P& Q&~R            A
1(2)     Q               A
1(3)               R∨Q   2∨I
1(4)       ~(R∨P)∨(R∨Q)  3∨I
1(5)        (R∨P)→(R∨Q)  4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
1(3)               R∨Q   2∨I
1(4)       ~(R∨P)∨(R∨Q)  3∨I
1(5)        (R∨P)→(R∨Q)  4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅶ)
1(1) ~P&~Q& R            A
1(2)     Q               A
1(3)               R∨Q   2∨I
1(4)       ~(R∨P)∨(R∨Q)  3∨I
1(5)        (R∨P)→(R∨Q)  4含意の定義
1(6)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) 5∨I
1(7) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 6含意の定義
(ⅷ)
1 (1) ~P&~Q&~R            A
1 (2) ~P                  1&E
 3(3)      ~((R∨P)→(R∨Q)) A
 3(4)     ~(~(R∨P)∨(R∨Q)) 3含意の定義
 3(5)       (R∨P)&~(R∨Q)  4ド・モルガンの法則
 3(6)        R∨P          5&E
 3(7)             ~(R∨Q)  5&E
 3(8)              ~R&~Q  7ド・モルガンの法則
 3(9)       ~R            8&E
13(ア)       ~R&~P         29&I
13(イ)      ~(R∨P)         ア、ド・モルガンの法則
13(ウ)       (R∨P)&~(R∨P)  6イ&I
1 (エ)     ~~((R∨P)→(R∨Q)) 3ウRAA
1 (オ)       ((R∨P)→(R∨Q)) エ、ド・モルガンの法則
1 (カ)~(P→Q)∨((R∨P)→(R∨Q)) オ∨I
1 (キ) (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) カ含意の定義
従って、
(07)により、
(08)
①  P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
②  P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
③  P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④  P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑤ ~P& Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑥ ~P& Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑦ ~P&~Q& R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑧ ~P&~Q&~R├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
従って、
(08)により、
(09)
① P(真)&Q(真)&R(真)├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
② P(真)&Q(真)&R(偽)├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
③ P(真)&Q(偽)&R(真)├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④ P(真)&Q(偽)&R(偽)├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑤ P(偽)&Q(真)&R(真)├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑥ P(偽)&Q(真)&R(偽)├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑦ P(偽)&Q(偽)&R(真)├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
⑧ P(偽)&Q(偽)&R(偽)├(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
従って、
(06)(09)により、
(10)
「ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)」である所の、
③(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
といふ「論理式」が、それ自体が「」である。
といふことは、
③「命題変数(P・Q・R)」の「真偽」とは「無関係」に「」である。
といふことに、「他ならない」。


(1312)「恒真式」の「否定」は「矛盾」である(conjecture?)。

2024-02-08 13:08:58 | 論理

(01)
(ⅰ)
1(1)P   A
 (2)P→P 11CP
(ⅱ)
1  (1)  (P→Q)→P   A
1  (2) ~(P→Q)∨P   1含意の定義
1  (3)~(~P∨Q)∨P   1含意の定義
 4 (4)~(~P∨Q)     A
 4 (5)  P&~Q      4ド・モルガンの法則
 4 (6)  P         5&E
  7(7)        P   A
1  (8)  P         34677∨E
   (9)((P→Q)→P)→P 18CP
(ⅲ)
1   (1) P→Q                A
 2  (2) R∨P                A
  3 (3) R                  A
  3 (4) R∨Q                3∨I
   5(5)   P                A
1  5(6)   Q                15MPP
1  5(7) R∨Q                6∨I
12  (8) R∨Q                23457∨E
1   (9)(R∨P)→(R∨Q)         28CP
    (ア)(P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)) 19CP
従って、
(01)により、
(02)
①├  P→P
②├((P→Q)→P)→P
③├ (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
従って、
(02)により、
(03)
① 同一律。
② パースの法則。
④ ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)。
に於いて、
① は「恒真式(トートロジー)」であって、
② も「恒真式(トートロジー)」であって、
③ も「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(04)
(ⅰ)
1(1) ~(P→P) A
1(2)~(~P∨P) 1含意の定義
1(3)  P&~P   2ド・モルガンの法則
(ⅱ)
1  (1)   ~(((P→Q)→P)→ P) A
1  (2)  ~(((~P∨Q)→P)→ P) 1含意の定義
1  (3) ~((~(~P∨Q)∨P)→ P) 2含意の定義
1  (4)~(~(~(~P∨Q)∨P)∨ P) 3含意の定義
1  (5)   (~(~P∨Q)∨P)&~P  4ド・モルガンの法則
1  (6)    ((P&~Q)∨P)&~P  5ド・モルガンの法則
1  (7)     (P&~Q)∨P      6&E
 8 (8)      P&~Q         A
 8 (9)      P            8&E
  ア(ア)            P      A
1  (イ)      P            789アア∨E
1  (ウ)               ~P  6&E
1  (エ)      P&~P         イウ&I
(ⅲ)
1(1)~( ( P→Q)→ ( (R∨P)→(R∨Q))) A
1(2)~( (~P∨Q)→ ( (R∨P)→(R∨Q))) 1含意の定義
1(3)~(~(~P∨Q)∨ ( (R∨P)→(R∨Q))) 2含意の定義
1(4)~(~(~P∨Q)∨ (~(R∨P)∨(R∨Q))) 3含意の定義
1(5)   (~P∨Q)&~(~(R∨P)∨(R∨Q))  4含意の定義
1(6)   (~P∨Q)                  5&E
1(7)          ~(~(R∨P)∨(R∨Q))  5&E
1(8)            (R∨P)&~(R∨Q)   7ド・モルガンの法則
1(9)             R∨P           8&E
1(ア)                  ~(R∨Q)   8&E
1(イ)                  ~R&~Q    ア、ド・モルガンの法則
1(ウ)                  ~R       イ&E
1(エ)                     ~Q    イ&E
1(オ)     P→Q                   6含意の定義
1(カ)    ~P                     エオMTT
1(キ)   ~R&~P                   ウカ&I
1(ク)  ~(R∨P)                   キ、ド・モルガンの法則
1(ケ)  ~(R∨P)&(R∨P)             9ク&I
従って、
(03)(04)により、
(05)
① 同一律。
② パースの法則。
④ ヒルベルト・アッカーマンの公理(4)。
に於いて、
① の「否定」は「矛盾」であり、
② の「否定」も「矛盾」であり、
③ の「否定」も「矛盾」である。
然るに、
(06)
1(1)~(~P→~Q∨R) A
1(2)~( P∨~Q∨R) 1含意の定義
1(3)  ~P&Q&~R  2ド・モルガンの法則
従って、
(06)により、
(07)
例へば、
④ ~P→~Q∨R
の「否定」は、「矛盾」ではない
然るに、
(08)
~(~P→~Q∨R) ┤├ ~P&Q&~R
(ⅳ)
1   (1)~(~P→~Q∨ R)  A
1   (2)~( P∨~Q∨ R)  1含意の定義
 3  (3)   P         A
 3  (4)   P∨~Q      3∨I
 3  (5)   P∨~Q∨ R   4∨I
13  (6)~( P∨~Q∨ R)& 
        ( P∨~Q∨ R)  25&I
1   (7)  ~P         56RAA
  8 (8)     ~Q      A
  8 (9)   P∨~Q      8∨I
  8 (ア)   P∨~Q∨ R   9∨I
1 8 (イ)~( P∨~Q∨ R)& 
        ( P∨~Q∨ R)  2ア&I
1   (ウ)    ~~Q      8RAA
1   (エ)      Q      ウDN
   オ(オ)         R   A
   オ(カ)     ~Q∨ R   オ∨I
   オ(キ)   P∨~Q∨ R   ∨I
1  オ(ク)~( P∨~Q∨ R)& 
        ( P∨~Q∨ R)  2キ&I
1   (ケ)        ~R   オクRAA
1   (コ)  ~P& Q      7エ&I
1   (サ)  ~P& Q&~R   ケコ&I
(ⅴ)
1   (1)  ~P& Q&~R   A
 2  (2)  ~P→~Q∨ R   A
1   (3)  ~P         1&E
12  (4)     ~Q∨ R   23MPP
  5 (5)     ~Q      A
1   (6)      Q      1&E
1 5 (7)     ~Q&Q    67&I
  5 (8)~(~P& Q&~R)  17RAA
   9(9)         R   A
1   (ア)        ~R   1&E
1  9(イ)      R&~R   9ア&I
   9(ウ)~(~P& Q&~R)  1イRAA
12  (エ)~(~P& Q&~R)  4589ウ∨I
12  (オ) (~P& Q&~R)&
        ~(~P& Q&~R)  1エ&I
1   (カ)~(~P→~Q∨ R)  2オRAA
従って、
(08)により、
(09)
④ ~(~P→~Q∨R)
⑤   ~P&Q&~R
に於いて、
④=⑤ である。
従って、
(09)により、
(10)
⑤ P(偽),Q(真),R(偽)
であるときに限って、
④ ~P→~Q∨R
といふ「論理式」は、「偽」になる。
従って、
(10)により、
(11)
④ ~P→~Q∨R
といふ「論理式」は、「恒真式(トートロジー)」ではない
従って、
(01)~(11)により、
(12)
①   P→P
②((P→Q)→P)→P
③  (P→Q)→((R∨P)→(R∨Q))
④  ~P→~Q∨R
に於いて、
④ だけが、「恒真式(トートロジー)」ではなく、
①     ~(P→P)
② ~(((P→Q)→P)→P)
③   ~((P→Q)→((R∨P)→(R∨Q)))
④   ~(~P→~Q∨R)
に於いて、
④ だけが、「矛盾」ではない
従って、
(12)により、
(13)
(a)「恒真式(トートロジー)」とは、
(b)「否定」をすると、「矛盾」になる所の「論理式」である。
 に、「違ひない」


(1311)「恒真式(トートロジー)」の「3つの定義」。

2024-02-07 14:37:31 | 論理

 ―「含意の定義(Df.→)」―
(01)
1    (1)   P→ Q   A
 2   (2)   P&~Q   A
 2   (3)   P      2&E
12   (4)      Q   12MPP
 2   (5)     ~Q   2&E
12   (6)   Q&~Q   45&I
1    (7) ~(P&~Q)  26RAA
  8  (8) ~(~P∨Q)  A
   9 (9)   ~P     A
   9 (ア)   ~P∨Q   9∨I
  89 (イ) ~(~P∨Q)&
          (~P∨Q)  8ア&I
  8  (ウ)  ~~P     9イRAA
  8  (エ)    P     ウDN
    オ(オ)      Q   A
    オ(カ)   ~P∨Q   オ∨I
  8 オ(キ) ~(~P∨Q)&
          (~P∨Q)  8カ&I
  8  (ク)     ~Q   オキRAA
  8  (ケ)   P&~Q   エク&I
1 8  (コ) ~(P&~Q)&
          (P&~Q)  7ケ&I
1    (サ)~~(~P∨Q)  8コRAA
1    (シ)   ~P∨Q   サDN
(02)
1     (1) ~P∨ Q   A
 2    (2)  P&~Q   A
  3   (3) ~P      A
 23   (4)  P      2&E
 23   (5) ~P&P    34&I
  3   (6)~(P&~Q)  25RAA
   7  (7)     Q   A
 2    (8)    ~Q   2&E
 2 7  (9)  Q&~Q   78&I
   7  (ア)~(P&~Q)  29RAA
1     (イ)~(P&~Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  P      A
     エ(エ)    ~Q   A
    ウエ(オ)  P&~Q   ウエ&I
1   ウエ(カ)~(P&~Q)&
          (P&~Q)  イオ&I
1   ウ (キ)   ~~Q   エカDN
1   ウ (ク)     Q   キDN
1     (ケ)  P→ Q   ウクCP
従って、
(01)(02)により、
(03)
(a) P→ Q
(b) P&~Q
(c)~P∨ Q
に於いて、
(a)と(b)は『矛盾』し、
(b)と(c)も『矛盾』し、それ故、
(a)と(c)は『等しい』。
従って、
(03)により、
(04)
①   P→Q(Pであるならば、Qである)。
②  ~P∨Q(Pでないか、または、Qである)。
③ ~~P→Q(Pでない、でないならば、Qである)。
に於いて、
①=②=③ である(含意の定義)。


例へば、
(05)
① P→Q,P├ Q
に於いて、
① P→QとP を   「連式の仮定」と言ひ。
①       Q を「連式の結論」と言ふ。
然るに、
(06)
(a)「連式の仮定」に「偽」が「1つも無く(0個であって)」、
(b)「連式の結論」が「偽」でないならば、そのときに限って、その「連式」は「トートロジー的(tautologous)」である。
然るに、
(07)
(ⅰ)
1 (1) P→Q        A
 2(2) P          A
12(3)   Q        12MPP
1 (4) P→Q        23CP
  (5)(P→Q)→(P→Q) 14CP
(ⅱ)
 1(1) P&Q     A
 1(2) P       1&E
  (3)(P&Q)→P 12CP
(ⅲ)
 1(1)P       A
 1(2)P∨Q     1∨I
  (3)P→(P∨Q) 12CP
従って、
(06)(07)により、
(08)
① P→Q,P├ Q
②   P&Q├ P
③     P├ P∨Q
は「トートロジー的連式(sequents)」であるため、
      ①├(P→Q)→(P→Q)
      ②├(P&Q)→P
      ③├ P→(P∨Q)
も「トートロジー的連式(sequents)」である。
然るに、
(09)
①├(P→Q)→(P→Q)
②├(P&Q)→P
③├ P→(P∨Q)
といふ「トートロジー的連式(sequents)」に於ける、
①(P→Q)→(P→Q)
②(P&Q)→P
③ P→(P∨Q)
といふ「結論」は、それぞれ、
①「同一律 (トートロジー)」であって、
②「連言除去(トートロジー)」であって、
③「選言導入(トートロジー)」である。
従って、
(06)(09)により、
(10)
①├(P→Q)→(P→Q)
②├(P&Q)→P
③├ P→(P∨Q)
のやうに、
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の「連式の結論」は、「恒真式(トートロジー)」である。
cf.
   「仮定の個数」が「0個」であるならば、固より、「偽なる仮定の個数」も「0個」である。
然るに、
(11)
(ⅰ)
1(1) ~{(P→Q)→(P→Q)} A
1(2)~{~(P→Q)∨(P→Q)} 1含意の定義
1(3)  (P→Q)&~(P→Q)  2ド・モルガンの法則
1(4)  (P→Q)         3&E
1(5)        ~(P→Q)  3&E
1(6)       ~(~P∨Q)  5含意の定義
1(7)         P&~Q   6ド・モルガンの法則
1(8)         P      7&E
1(9)     Q          48MPP
1(ア)           ~Q   7&E
1(イ)     Q&~Q       89&I
 (ウ)~~{(P→Q)→(P→Q)} 1RAA
 (エ)   (P→Q)→(P→Q)  ウDN
(ⅱ)
1(1) ~{(P&Q)→ P} A
1(2)~{~(P&Q)∨ P} 1含意の定義
1(3)   (P&Q)&~P  2ド・モルガンの法則
1(4)    P&Q      3&E
1(5)    P        4&E
1(6)         ~P  3&E
1(7)    P&~P     56&I
 (8)~~{(P&Q)→ P} 17RAA
 (9)   (P&Q)→ P  8DN
(ⅲ)
1(1) ~{P→(P∨Q)} A
1(2)~{~P∨(P∨Q)} 1含意の定義
1(3)  P&~(P∨Q)  2ド・モルガンの法則
1(4)  P         3&E
1(5)    ~(P∨Q)  3&E
1(6)    ~P&~Q   5ド・モルガンの法則
1(7)    ~P      6&E
1(8)  P&~P      47&I
 (9)  P→(P∨Q)   18RAA
従って、
(11)により、
(12)
① ~{(P→Q)→(P→Q)}├ Q&~Q
②     ~{(P&Q)→P}├ P&~P
③     ~{P→(P∨Q)}├ P&~P
のやうに、
(ⅱ)「否定」をすると「矛盾」が生じる所の「論理式」は、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(10)(12)により、
(13)
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の、「連式の結論(恒真式)」は、その一方で、
(ⅱ)「否定」をすると「矛盾」が生じる所の「論理式」である。
然るに、
(14)
(ⅰ)
1(1)  P&Q        A
1(2)    Q        1&E
1(3) ~P∨Q        2∨I
1(4)  P→Q        3含意の定義
1(5)~(P→Q)∨(P→Q) 4∨I
1(6) (P→Q)→(P→Q) 5含意の定義
(ⅱ)
1 (1) P&~Q        A
 2(2) P→ Q        A
1 (3) P           1&E
12(4)    Q        23MPP
1 (5)   ~Q        1&E
12(6) Q&~Q        45&I
1 (7)~(P→Q)       26RAA
1 (8)~(P→Q)∨(P→Q) 7∨I
1 (9) (P→Q)→(P→Q) 8含意の定義
(ⅲ)
1(1) ~P&Q        A

1(2) ~P          1&E
1(3) ~P∨Q        2∨I
1(4)  P→Q        3含意の定義
1(5)~(P→Q)∨(P→Q) 4∨I
1(6) (P→Q)→(P→Q) 5含意の定義
(ⅳ)
1(1) ~P&~Q       A

1(2) ~P          1&E
1(3) ~P∨Q        2∨I
1(4)  P→Q        3含意の定義
1(5)~(P→Q)∨(P→Q) 4∨I
1(6) (P→Q)→(P→Q) 5含意の定義
然るに、
(15)
(ⅰ)
1(1)  P&Q    A
1(2)  P      1&E
1(3)~(P&Q)∨P 2∨I
1(4) (P&Q)→P 3含意の定義
(ⅱ)
1(1)  P&~Q   A
1(2)  P      1&E
1(3)~(P&Q)∨P 2∨I
1(4) (P&Q)→P 3含意の定義
(ⅲ)
1 (1) ~P&Q    A
 2(2)  P&Q    A
1 (3) ~P      1&E
 2(4)  P      2&E
12(5) ~P&P    34&I
1 (6)~(P&Q)   25RAA
1 (7)~(P&Q)∨P 6∨I
1 (8) (P&Q)→P 7含意の定義
(ⅳ)
1 (1) ~P&~Q   A
 2(2)  P& Q   A
1 (3)     Q   1&E
 2(4)    ~Q   2&E
12(5)  ~Q&Q   34&I
1 (6)~(P&Q)   25RAA
1 (7)~(P&Q)∨P 6∨I
1 (8) (P&Q)→P 7含意の定義
然るに、
(16)
(ⅰ)
1(1)    P& Q A
1(2)    P    1&E
1(3)    P∨Q  2∨I
1(4)~P∨(P∨Q) 3∨I
1(5) P→(P∨Q) 4含意の定義
(ⅱ)
1(1)    P&~Q A
1(2)    P    1&E
1(3)    P∨Q  2∨I
1(4)~P∨(P∨Q) 3∨I
1(5) P→(P∨Q) 4含意の定義
(ⅲ)
1(1)   ~P& Q A
1(2)   ~P    1&E
1(3)~P∨(P∨Q) 2∨I
1(4) P→(P∨Q) 3含意の定義
(ⅳ)
1(1)   ~P&~Q A
1(2)   ~P    1&E
1(3)~P∨(P∨Q) 2∨I
1(4) P→(P∨Q) 3含意の定義
従って、
(14)により、
(17)
①  P& Q├(P→Q)→(P→Q)
②  P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
③ ~P& Q├(P→Q)→(P→Q)
④ ~P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
然るに、
(15)により、
(18)
①  P& Q├(P&Q)→P
②  P&~Q├(P&Q)→P
③ ~P& Q├(P&Q)→P
④ ~P&~Q├(P&Q)→P
然るに、
(16)により、
(19)
①  P& Q├ P→(P∨Q)
②  P&~Q├ P→(P∨Q)
③ ~P& Q├ P→(P∨Q)
④ ~P&~Q├ P→(P∨Q)
従って、
(17)により、
(20)
① P(真)&Q(真)├(P→Q)→(P→Q)
② P(真)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
③ P(偽)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
④ P(偽)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
然るに、
(18)により、
(21)
① P(真)&Q(真)├(P&Q)→P
② P(真)&Q(偽)├(P&Q)→P
③ P(偽)&Q(偽)├(P&Q)→P
④ P(偽)&Q(偽)├(P&Q)→P
然るに、
(19)により、
(22)
① P(真)&Q(真)├ P→(P∨Q)
② P(真)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
③ P(偽)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
④ P(偽)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
然るに、
(23)
1(1)~P    A
 (2)~P→~P 11CP
 (3) P∨~P 2含意の定義
(ⅱ)
1 (1) ~(P∨~P)  A
 2(2)   P      A
 2(3)   P∨~P   2∨I
12(4) ~(P∨~P)&
       (P∨~P)  13&I
1 (5)  ~P      24RAA
1 (6)   P∨~P   5∨I
1 (7) ~(P∨~P)&
       (P∨~P)  16&I
  (8)~~(P∨~P)  17RAA
  (9)   P∨~P   8DN
然るに、
(24)
        (1)  P∨~P       TI(排中律
        (2)  Q∨~Q       TI(排中律
3       (3)  P          A
 4      (4)  Q          A
34      (5)  P&Q        34&I
34      (6)    Q        5&E
34      (7) ~P∨Q        6∨I
34      (8)  P→Q        7含意の定義
34      (9)~(P→Q)∨(P→Q) 8∨I
  ア     (ア)    ~Q       A
3 ア     (イ)  P&~Q       3ア&I
   ウ    (ウ)  P→ Q       A
3 ア     (エ)  P          イ&E
3 アウ    (オ)     Q       ウエMPP
3 ア     (カ)    ~Q       イ&E
3 アウ    (キ)  Q&~Q       オカ&I
3 ア     (ク)~(P→Q)       ウキRAA
3 ア     (ケ)~(P→Q)∨(P→Q) ク∨I
3       (コ)~(P→Q)∨(P→Q) 249アケ∨E
    サ   (サ)    ~P       A
 4  サ   (シ) ~P&Q        4サ&I
 4  サ   (ス) ~P          シ&E
 4  サ   (セ) ~P∨Q        ス∨I
 4  サ   (ソ)  P→Q        セ含意の定義
 4  サ   (タ)~(P→Q)∨(P→Q) ソ∨I
  ア サ   (ツ) ~P&~Q       アサ&I
  ア サ   (テ)    ~P       ツ&E
  ア サ   (ト)    ~P∨Q     テ∨I
  ア サ   (ナ)     P→Q     ト含意の定義
  ア サ   (ニ)~(P→Q)∨(P→Q) ナ∨I
    サ   (ヌ)~(P→Q)∨(P→Q) 24タアニ∨E
        (ネ)~(P→Q)∨(P→Q) 13コサヌ∨E
        (ノ) (P→Q)→(P→Q) ネ含意の定義
従って、
(24)により、
(25)
①  P& Q├(P→Q)→(P→Q)
②  P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
③ ~P& Q├(P→Q)→(P→Q)
④ ~P&~Q├(P→Q)→(P→Q)
といふ「連式」、すなはち、
① P(真)&Q(真)├(P→Q)→(P→Q)
② P(真)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
③ P(偽)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
④ P(偽)&Q(偽)├(P→Q)→(P→Q)
といふ「連式」は、4とつも、
①├(P→Q)→(P→Q)
②├(P→Q)→(P→Q)
③├(P→Q)→(P→Q)
④├(P→Q)→(P→Q)
といふ風に、
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の、「連式」に、「書き換へる」ことが出来る。
従って、
(20)~(25)により、
(26)
「同様」にして、
① P(真)&Q(真)├(P&Q)→P
② P(真)&Q(偽)├(P&Q)→P
③ P(偽)&Q(偽)├(P&Q)→P
④ P(偽)&Q(偽)├(P&Q)→P
といふ「連式」と、
① P(真)&Q(真)├ P→(P∨Q)
② P(真)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
③ P(偽)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
④ P(偽)&Q(偽)├ P→(P∨Q)
といふ「連式」も、
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の、「連式」に、「書き換へる」ことが出来る。
従って、
(10)(25)(26)により、
(27)
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の、「連式の結論(恒真式)」は、その一方で、
(ⅲ)「命題変数(PとQ)の真偽」に関わらず、「恒に真」である所の「論理式」である。
従って、
(13)(27)により、
(28)
(ⅰ)「恒真式(トートロジー)」とは、
(ⅱ)「仮定の個数」が「0個」である所の、 「連式の結論」であって、
(ⅲ)「否定」をすると「矛盾」が生じる所の 「論理式」であって、その上、
(ⅳ)「命題変数(PとQ)の真偽」に関はらず「恒に真」である所の「論理式」である。
然るに、
(29)
1  (1)   ~(((P→Q)→P)→ P) A
1  (2)  ~(((~P∨Q)→P)→ P) 1含意の定義
1  (3) ~((~(~P∨Q)∨P)→ P) 2含意の定義
1  (4)~(~(~(~P∨Q)∨P)∨ P) 3含意の定義
1  (5)   (~(~P∨Q)∨P)&~P  4ド・モルガンの法則
1  (6)    ((P&~Q)∨P)&~P  5ド・モルガンの法則
1  (7)     (P&~Q)∨P      6&E
 8 (8)      P&~Q         A
 8 (9)      P            8&E
  ア(ア)            P      A
1  (イ)      P            789アア∨E
1  (ウ)               ~P  6&E
1  (エ)      P&~P(矛盾)     イウ&I
   (オ)  ~~(((P→Q)→P)→ P) 1エRAA
   (カ)     ((P→Q)→P)→ P  オDN
従って、
(30)
⑤├((P→Q)→P)→P
といふ「(仮定の個数が0である所の)連式」は「妥当」である。
然るに、
(31)
 (ⅰ)
 1(1)   P&Q       A
 1(2)   P         1&E
 1(3)~((P→Q)→P)∨P 2∨I
 1(4) ((P→Q)→P)→P 3含意の定義
(ⅱ)
 1(1)   P&~Q      A
 1(2)   P         1&E
 1(3)~((P→Q)→P)∨P 2∨I
 1(4) ((P→Q)→P)→P 3含意の定義
(ⅲ)
1 (1)  ~P&Q       A
 2(2)  (P→Q)→P    A
1 (3)     Q       1&E
1 (4)  ~P∨Q       3∨I
1 (5)   P→Q       4含意の定義
12(6)        P    25MPP
1 (7)  ~P         1&E
12(8)  ~P&P       67&I
1 (9)~((P→Q)→P)   28RAA
1 (ア)~((P→Q)→P)∨P 9∨I
1 (イ) ((P→Q)→P)→P ア含意の定義
(ⅳ)
1 (1)  ~P&~Q      A
1 (2)  ~P         1&E
1 (3)  ~P∨Q       2∨I
1 (4)   P→Q       3含意の定義
 2(5)  (P→Q)→P    A
12(6)        P    45MPP
12(7)  ~P&P       26&I
1 (8)~((P→Q)→P    27RAA
1 (9)~((P→Q)→P)∨P 8∨I
1 (ア) ((P→Q)→P)→P 8含意の定義
従って、
(20)~(25)、(31)により、
(32)
    (1)P∨~P        TI(排中律)
    (2)Q∨~Q        TI(排中律)
3   (3)P           A
 4  (4)  ~P        A
  5 (5)Q           A
   6(6)  ~Q        A
3 5 (7)((P→Q)→P)→P 35SI(ⅰ)
3  6(8)((P→Q)→P)→P 36SI(ⅱ)
 45 (9)((P→Q)→P)→P 37SI(ⅲ)
 4 6(ア)((P→Q)→P)→P 38SI(ⅳ)
5   (イ)((P→Q)→P)→P 13749∨E
   6(ウ)((P→Q)→P)→P 1384ア∨E
    (エ)((P→Q)→P)→P 25イ6ウ∨E
(E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、113頁改)
といふ「(排中律を用いた)計算」によって、
①├((P→Q)→P)→P
②├((P→Q)→P)→P
③├((P→Q)→P)→P
④├((P→Q)→P)→P
といふ風に、
(ⅰ)「仮定の個数」が「0個」である所の、「連式(パースの法則)」に、「書き換へる」ことが出来る。
従って、
(09)(28)(32)により、
(33)
(ⅰ)「恒真式(トートロジー)」とは、
(ⅱ)「同一律・連言除去・選言導入・パースの法則」等がそうであるやうに、
(ⅲ)「仮定の個数」が「0個」である所の、 「連式の結論」であって、
(ⅳ)「否定」をすると「矛盾」が生じる所の 「論理式」であって、その上、
(ⅴ)「命題変数(PとQ)の真偽」に関はらず「恒に真」である所の「論理式」である。
従って、
(33)により、
(34)
トートロジー(英: tautology, 希: ταυτολογία, 語源はギリシャ語で「同じ」を意味するταυτοから)とは、ある事柄を述べるのに、同義語[1]または類語[2]または同語[3]を反復させる修辞技法のこと。同義語反復、類語反復、同語反復等と訳される。関連した概念に冗語があり、しばしば同じ意味で使われることもある。また、撞着語法はトートロジーの反対の技法である(ウィキペディア)。
といふ「説明」は、「恒真式(トートロジー)」の「説明」としては、「表面的」であって、「正しい」とは言へない。


然るに、
(04)により、
(35)
もう一度、確認すると、
①  P→Q(Pであるならば、Qである)。
② ~P∨Q(Pでないか、または、Qである)。
に於いて、
①=② である(含意の定義)。
然るに、
(36)
1  (1)~P∨Q A
 2 (2)~P   A
 2 (3)~P∨Q 2∨I
 2 (4) P→Q 3含意の定義
  5(5)   Q A
  5(6)~P∨Q 5∨I
  5(7) P→Q 6含意の定義
1  (8) P→Q 12457∨E
従って、
(36)により、
(37)
1  (1)~P∨Q A
ではなく、
1  (2)P&~Q A
であるならば、
 2 (3)~P∨Q 2∨I
 2 (4) P→Q 3含意の定義
  5(5)   Q A
  5(6)~P∨Q 5∨I
  5(7) P→Q 6含意の定義
1  (8) P→Q 12457∨E
といふことには、「ならない」。
従って、
(36)により、
(37)
①  P& Q├   P→Q
②  P&~Q├ ~(P→Q)
③ ~P& Q├   P→Q
④ ~P&~Q├   P→Q
然るに、
(38)
1(1) ~(P→Q) A
1(2)~(~P∨Q) 1含意の定義
1(3)  P&~Q  2ド・モルガンの法則
然るに、
(39)
① P&~P
② P&~Q
に於いて、言ふまでもなく、
① は「矛盾」であるが、
② は「矛盾」ではない
従って、
(38)(39)により、
(40)
(ⅰ)
1(1) ~(P→P) A
1(2)~(~P∨P) 1含意の定義
1(3)  P&~P  2ド・モルガンの法則
 (4)~~(P→P) 13RAA
 (5)   P→P  4DN
に対して、
(ⅱ)
1(1) ~(P→Q) A
1(2)~(~P∨Q) 1含意の定義
1(3)  P&~Q  2ド・モルガンの法則
 (4)~~(P→Q) 13RAA
 (5)   P→Q  4DN
ではない。
従って、
(33)~(40)により、
(41)
例へば、
① P→P(Pであるならば、Pである)。
② P→Q(Pであるならば、Qである)。
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であるが、
② は、「恒真式(トートロジー)」ではない


(1310)「排中律」を使って「恒真式(トートロジー)」を証明する。

2024-02-04 16:27:35 | 論理

(01)
① P∨~P (Pであるか、または、Qである)。
② P&Q→P(PであってQであるならば、Pである)。
に於いて、すなはち、
①「排中律」。
②「連言除去」。
に於いて、
① は「恒真式(トートロジー)」であって、
② も「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(02)
(ⅰ)
1 (1) ~(P∨~P)  A
 2(2)   P      A
 2(3)   P∨~P   2∨I
12(4) ~(P∨~P)&
       (P∨~P)  13&I
1 (5)  ~P      24RAA
1 (6)   P∨~P   5∨I
1 (7) ~(P∨~P)&
       (P∨~P)  16&I
  (8)~~(P∨~P)  17RAA
  (9)   P∨~P   8DN
(ⅱ)
1(1) P&Q    A
1(2) P      1&E
 (3)(P&Q)→P 12CP
(〃)
1(1) ~{(P&Q)→ P} A
1(2)~{~(P&Q)∨ P} 1含意の定義
1(3)   (P&Q)&~P  2ド・モルガンの法則
1(4)    P&Q      3&E
1(5)    P        4&E
1(6)         ~P  3&E
1(7)    P&~P     56&I
 (8)~~{(P&Q)→ P} 17RAA
 (9)   (P&Q)→ P  8DN
従って、
(02)により、
(03)
①├  P∨~P  (Pであるか、または、Qである)。
②├(P&Q)→P(PであってQであるならば、Pである)。
といふ「連式(Sequents)」は、2つとも「妥当(Valid)」である。
然るに、
(04)
③ A├ B
に於いて、
③ A は、「連式の仮定」であって、
③ B は、「連式の結論」である。
従って、
(03)(04)により、
(05)
①├ P∨~P
②├(P&Q)→P
といふ「連式」に於いては、
①  P∨~P
② (P&Q)→P
といふ「連式の結論」だけが有って、「連式の仮定」は「無い」。
従って、
(01)(05)により、
(06)
(a)「恒真式(トートロジー)」とは、
(b)「仮定の数が0個」であると所の、
(c)「連式の結論」である。
然るに、
(07)
(ⅱ)
1(1)  P&Q    A
1(2)  P      1&E
1(3)~(P&Q)∨P 2∨I
1(4) (P&Q)→P 3含意の定義
(ⅲ)
1(1)  P&~Q   A
1(2)  P      1&E
1(3)~(P&Q)∨P 2∨I
1(4) (P&Q)→P 3含意の定義
(ⅳ)
1 (1) ~P&Q    A
 2(2)  P&Q    A
1 (3) ~P      1&E
 2(4)  P      2&E
12(5) ~P&P    34&I
1 (6)~(P&Q)   25RAA
1 (7)~(P&Q)∨P 6∨I
1 (8) (P&Q)→P 7含意の定義
(ⅴ)
1 (1) ~P&~Q   A
 2(2)  P& Q   A
1 (3)     Q   1&E
 2(4)    ~Q   2&E
12(5)  ~Q&Q   34&I
1 (6)~(P&Q)   25RAA
1 (7)~(P&Q)∨P 6∨I
1 (8) (P&Q)→P 7含意の定義
従って、
(07)により、
(08)
③  P& Q├(P&Q)→P
④  P&~Q├(P&Q)→P
⑤ ~P& Q├(P&Q)→P
⑥ ~P&~Q├(P&Q)→P
といふ「4つの連式」は、すべて「妥当」であって、
尚且つ「4つの連式」の「仮定の個数」は、すべて「2個」である。
従って、
(05)(06)(08)により、
(09)
(a)「恒真式(トートロジー)」とは、
(b)「仮定の数が0個」である所の、
(c)「連式の結論」である。
とするならば、その場合は、
②      ├(P&Q)→P
③  P& Q├(P&Q)→P
④  P&~Q├(P&Q)→P
⑤ ~P& Q├(P&Q)→P
⑥ ~P&~Q├(P&Q)→P
に於ける、
②(P&Q)→P
は、「恒真式(トートロジー)」であるが、
③(P&Q)→P
④(P&Q)→P
⑤(P&Q)→P
⑥(P&Q)→P
は、「恒真式(トートロジー)」ではない
といふことになって、『』する。
然るに、
(10)
        (1)P∨~P     TI(排中律
        (2)Q∨~Q     TI(排中律
3       (3)P        A
 4      (4)Q        A
34      (5)P&Q      34&I
34      (6)P        5&E
34      (7)~(P&Q)∨P 5∨I
34      (8) (P&Q)→P 7含意の定義
  9     (9)  ~Q     A
3 9     (ア)P&~Q     39&I
3 9     (イ)P        ア&E
3 9     (ウ)~(P&Q)∨P イ∨I
3 9     (エ) (P&Q)→P ウ含意の定義
3       (オ) (P&Q)→P 2489エ∨E
   カ    (カ)   ~P    A
    キ   (キ)Q        A
   カキ   (ク) ~P&Q    カキ&I
     ケ  (ケ)  P&Q    A
   カキ   (コ) ~P      ク&E
     ケ  (ケ)  P      ケ&E
   カキケ  (サ) ~P&P    コサ&I
   カキ   (シ)~(P&Q)   ケサRAA
   カキ   (ス)~(P&Q)∨P シ∨I
   カキ   (セ) (P&Q)→P ス含意の定義
      ソ (ソ)   ~Q    A
   カ  ソ (タ)~P&~Q    カソ&I
       チ(チ) P& Q    A
   カ  ソ (ツ)   ~Q    タ&E
        チ(テ)    Q    チ&E
    カ  ソチ(ト) ~Q&Q    ツテ&I
   カ  ソ (ナ)~(P&Q)   チトRAA
   カ  ソ (ニ)~(P&Q)∨P ナ∨I
   カ  ソ (ヌ) (P&Q)→P ニ含意の定義
   カ    (ネ) (P&Q)→P 2キセソヌ∨E
        (ノ) (P&Q)→P 13オカネ∨E
従って、
(09)(10)により、
(11)
①├ P∨~P(排中律
②├ Q∨~Q(排中律
といふ「恒真式(トートロジー)」によって、
③  P& Q├(P&Q)→P
④  P&~Q├(P&Q)→P
⑤ ~P& Q├(P&Q)→P
⑥ ~P&~Q├(P&Q)→P
といふ「4つの連式」は、「4つとも」、
③├(P&Q)→P
④├(P&Q)→P
⑤├(P&Q)→P
⑥├(P&Q)→P
といふ「恒真式(トートロジー)」に「置き換へ」ることが出来る。
然るに、
(12)
③  P& Q├(P&Q)→P
④  P&~Q├(P&Q)→P
⑤ ~P& Q├(P&Q)→P
⑥ ~P&~Q├(P&Q)→P
といふ「4つの連式」が、「4つとも妥当」であるといふことは、「(P&Q)→P」といふ「論理式」は、「真理値表」で「真理値」を「確認」した際に、
(ⅰ)P(真)& Q(真)
(ⅱ)P(真)& Q(偽)
(ⅲ)P(偽)& Q(真)
(ⅳ)P(偽)& Q(偽)
といふ「4つのパターン」で「すべて真」になるといふことであり、
(ⅰ)P(真)& Q(真)
(ⅱ)P(真)& Q(偽)
(ⅲ)P(偽)& Q(真)
(ⅳ)P(偽)& Q(偽)
といふ「4つのパターン」で「すべて真」になるのであれば、「恒真(トートロジー)」である。
cf.
真理値表(しんりちひょう、Truth table)は、論理関数(真理関数)の、入力の全てのパターンとそれに対する結果の値を、表にしたものである(ウィキペディア)。
従って、
(10)(11)(12)により、
(13)
「番号」を付け替へるとして、
①  P& Q├(P&Q)→P
②  P&~Q├(P&Q)→P
③ ~P& Q├(P&Q)→P
④ ~P&~Q├(P&Q)→P
ではなくて、
①  P& Q├(任意の式A)
②  P&~Q├(任意の式A)
③ ~P& Q├(任意の式A)
④ ~P&~Q├(任意の式A)
であったとしても、
①  P& Q├(任意の式A)
②  P&~Q├(任意の式A)
③ ~P& Q├(任意の式A)
④ ~P&~Q├(任意の式A)
といふ「連式」が「妥当」であるならば、すなはち、「任意の式A」が、「恒真(トートロジー)」であるならば、そのとき限って、
    (1)P∨~P    TI(排中律)
    (2)Q∨~Q    TI(排中律)
3   (3)P       A
 4  (4)  ~P    A
  5 (5)Q       A
   6(6)  ~Q    A
3 5 (7)(任意の式A) 35SI(ⅰ)
3  6(8)(任意の式A) 36SI(ⅱ)
 45 (9)(任意の式A) 37SI(ⅲ)
 4 6(ア)(任意の式A) 38SI(ⅳ)
5   (イ)(任意の式A) 13749∨E
   6(ウ)(任意の式A) 1384ア∨E
    (エ)(任意の式A) 25イ6ウ∨E
といふ「(排中律を用いた)計算」によって、
①├(任意の式A)
②├(任意の式A)
③├(任意の式A)
④├(任意の式A)
といふ「恒真式(トートロジー)」を、すなはち、
①├(任意の式A)
は、「証明」出来る。
従って、
(01)~(13)により、
(14)
以上の「説明」は、「十分」ではないが、概ね、「以上のような考え方」で、
すべてのトートロジー的連式は導出可能(deribable)である。
といふことが「証明(納得)」出来る。