日本語の「は」と「が」について。

象は鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
とりあえず「三上文法」を「批判」します。

(947)「冪等律」と「パースの法則」。

2021-07-23 18:45:26 | 論理

(01)
(ⅰ)
1  (1) P∨P    A
 2 (2) P      A
  3(3)   P    A
1  (4) P      12233∨E
   (5)(P∨P)→P 14CP
(ⅱ)
  1(1)P       A
  1(2)P∨P     1∨I
   (3)P→(P∨P) 12CP
従って、
(01)により、
(02)
①(P∨P)⇔P
といふ「論理式」、すなはち、「冪等律」は、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(03)
(ⅱ)
1  (1) (P& Q)∨P    A
 2 (2)  P& Q       A
 2 (3)  P          2&E
  4(4)       P     A
1  (5)  P          12344∨E
   (6)((P& Q)∨P)→P 15CP
(ⅲ)
1  (1) (P&~Q)∨P    A
 2 (2)  P&~Q       A
 2 (3)  P          2&E
  4(4)       P     A
1  (5)  P          12344∨E
   (6)((P&~Q)∨P)→P 15CP
従って、
(03)により、
(04)
②((P& Q)∨P)→P
③((P&~Q)∨P)→P
といふ「2つの論理式」は、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(05)
(ⅲ)
1   (1)((P&~Q)∨P)→P A
 2  (2) (P→ Q)→P    A
 2  (3)~(P→ Q)∨P    2含意の定義
  4 (4)~(P→ Q)      A
  4 (5)~(~P∨Q)      4含意の定義
  4 (6)  P&~Q       5ド・モルガンの法則
  4 (7) (P&~Q)∨P    6∨I
   8(8)        P    A
   8(9) (P&~Q)∨P    8∨I
 2  (ア) (P&~Q)∨P    34789∨E
12  (イ)           P 1アMPP
1   (ウ)((P→ Q)→P)→P 2イCP
(ⅳ)
1   (1)((P→ Q)→P)→P A
 2  (2) (P&~Q)∨P    A
  3 (3)  P&~Q       A
  3 (4)~(~P∨Q)      3ド・モルガンの法則
  3 (5)~(~P∨Q)∨P    4∨I
   6(6)        P    A
   6(7)~(~P∨Q)∨P    6∨I
 2  (8)~(~P∨Q)∨P    23567∨E
 2  (9)~(P→ Q)∨P    8含意の定義
 2  (ア) (P→ Q)→P    9含意の定義
12  (イ)           P 1アMPP
1   (ウ)((P&~Q)∨P)→P 2イCP
従って、
(05)により、
(06)
③((P&~Q)∨P)→P
④((P→ Q)→P)→P
に於いて、
③=④ である。
従って、
(04)(05)(06)により、
(07)
②((P& Q)∨P)→P
③((P&~Q)∨P)→P
④((P→ Q)→P)→P
に於いて、
② は、「恒真式(トートロジー)」であって、
③ も、「恒真式(トートロジー)」であって、
③=④ である。
従って、
(07)により、
(08)
②((P& Q)∨P)→P
③((P&~Q)∨P)→P
④((P→ Q)→P)→P
⑤((P→~Q)→P)→P
に於いて、
② は、「恒真式(トートロジー)」であって、
③ も、「恒真式(トートロジー)」であって、
③=④ であって、
②=⑤ である。
従って、
(02)(08)により、
(09)
① (P∨ P)⇔P
②((P& Q)∨P)→P
③((P&~Q)∨P)→P
④((P→ Q)→P)→P
⑤((P→~Q)→P)→P
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
② は、「恒真式(トートロジー)」であって、
③ も、「恒真式(トートロジー)」であって、
③=④ であって、
②=⑤ である。
従って、
(09)により、
(10)
P=奇数である。
Q=素数である。
として、
① (奇数であるか、        または、奇数である)ならば、奇数である。
②((奇数であって、素数であるか)、または、奇数である)ならば、奇数である。
③((奇数であって、素数でないか)、または、奇数である)ならば、奇数である。
④((奇数であるならば、素数である)ならば、奇数である)ならば、奇数である。
⑤((奇数であるならば、素数でない)ならば、奇数である)ならば、奇数である。
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
② は、「恒真式(トートロジー)」であって、
③ も、「恒真式(トートロジー)」であって、
③=④ であって、
②=⑤ である。
然るに、
(11)
パースの法則(パースのほうそく)は哲学者であり論理学者であるチャールズ・サンダース・パースにちなむ論理学における法則である。彼の最初の命題論理の公理化において、この法則を公理に採用した。この公理は、含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における排中律であると考えることもできる。
命題計算では、パースの法則は ((P→Q)→P)→P のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Pについて、命題Qが存在して、「PならばQ」からPが真であることが従うときには、Pは真でなければならないとなる。とりわけ、Qとして偽を選んだ場合には、Pから偽が従うときは常にPが真であるならば、Pは真であるとなる。
(ウィキペディア)
従って、
(10)(11)により、
(12)
① (奇数であるか、        または、奇数である)ならば、奇数である。
②((奇数であって、素数であるか)、または、奇数である)ならば、奇数である。
③((奇数であって、素数でないか)、または、奇数である)ならば、奇数である。
④((奇数であるならば、素数である)ならば、奇数である)ならば、奇数である。
⑤((奇数であるならば、素数でない)ならば、奇数である)ならば、奇数である。
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
② は、「恒真式(トートロジー)」であって、
③ も、「恒真式(トートロジー)」であって、
③=④ であって、
②=⑤ であって、
④ は、「パースの法則」であって、
⑤ も、「パースの法則」である。
従って、
(12)により、
(13)
④((奇数であるならば、素数である)ならば、奇数である)ならば、奇数である。
⑤((奇数であるならば、素数でない)ならば、奇数である)ならば、奇数である。
といふ「パースの法則」は、
②((奇数であって、素数であるか)、または、奇数である)ならば、奇数である。
③((奇数であって、素数でないか)、または、奇数である)ならば、奇数である。
といふ「恒真式(トートロジー)」に、「等しい」。
然るに、
(14)
②((奇数であって、素数であるか)、または、奇数である)ならば、奇数である。
③((奇数であって、素数でないか)、または、奇数である)ならば、奇数である。
といふことは、
① (奇数であるか、        または、奇数である)ならば、奇数である。
といふことに、他ならない。
従って、
(01)~(14)により、
(15)
④((P→ Q)→P)→P
⑤((P→~Q)→P)→P
といふ「パースの法則」は、
①(P∨P)⇔P
といふ「冪等律」に、由来する。


(946)「パースの法則」が「恒真式」であることは「当然」である。

2021-07-22 19:23:17 | 論理

(01)
(ⅰ)
1   (1)((P&~Q)∨P)→P A
 2  (2) (P→ Q)→P    A
 2  (3)~(P→ Q)∨P    2含意の定義
  4 (4)~(P→ Q)      A
  4 (5)~(~P∨Q)      4含意の定義
  4 (6)  P&~Q       5ド・モルガンの法則
  4 (7) (P&~Q)∨P    6∨I
   8(8)        P    A
   8(9) (P&~Q)∨P    8∨I
 2  (ア) (P&~Q)∨P    34789∨E
12  (イ)          P  1アMPP
1   (ウ)((P→Q)→P)→P  2イCP
(ⅱ)
1   (1)((P→ Q)→P)→P A
 2  (2) (P&~Q)∨P    A
  3 (3)  P&~Q       A
  3 (4)~(~P∨Q)      3ド・モルガンの法則
  3 (5)~(~P∨Q)∨P    4∨I
   6(6)        P    A
   6(7)~(~P∨Q)∨P    6∨I
 2  (8)~(~P∨Q)∨P    23567∨E
 2  (9)~(P→ Q)∨P    8含意の定義
 2  (ア) (P→ Q)→P    9含意の定義
12  (イ)           P 1アMPP
1   (ウ)((P&~Q)∨P)→P 2イCP
従って、
(01)により、
(02)
①((P&~Q)∨P)→P
②((P→ Q)→P)→P
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
(ⅰ)
1  (1) (P&Q)∨P     A
 2 (2)  P&Q        A
 2 (3)  P          2&E
  4(4)       P     A
1  (5)  P          12344∨E
   (6)((P&~Q)∨P)→P 15CP
従って、
(03)により、
(04)
①((P&~Q)∨P)→P
は、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(02)(03)(04)により、
(05)
①((P&~Q)∨P)→P
②((P→ Q)→P)→P
に於いて、
①=② であって、
① は、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(05)により、
(06)
①((P&~Q)∨P)→P
②((P→ Q)→P)→P
に於いて、
①=② であって、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
② も、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(06)により、
(07)
P=奇数である。
Q=素数である。
として、
①((P&~Q)∨P)→P
②((P→ Q)→P)→P
といふ「命題」、すなはち、
①((奇数であって、素数でない)か、または、奇数である)ならば、奇数である。
②((奇数であるならば、素数である)ならば、奇数である)ならば、素数である。
という「命題」は、両方とも、「恒真(トートロジー)」であって、尚且つ、
①=② である。
然るに、
(08)
例へば、
①((9である)か、または、3である)ならば、奇数である。
といふ「命題」は、明らかに、「真(本当)」である。
従って、
(07)(08)により、
(09)
①((奇数であって、素数でない)か、または、奇数である)ならば、奇数である。
②((奇数であるならば、素数である)ならば、奇数である)ならば、素数である。
という「命題」は、両方とも、「恒真(トートロジー)」であって、尚且つ、
①=② であって、尚且つ、
①((奇数であって、素数でない)か、または、奇数である)ならば、奇数である。
といふ「命題」は、明らかに、「真(本当)」である。
従って、
(09)により、
(10)
②((奇数であるならば、素数である)ならば、奇数である)ならば、素数である。
といふ「命題」は、「偽(ウソ)」では、有り得ない。
然るに、
(11)
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題P, Qについて、
((P→Q)→P)→P
が成り立つ
『「PならばQ」ならばP』ならばP
なんか、パズルのような命題ですね
(排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita)
(07)~(11)により、
(12)
P=奇数である。
Q=素数である。
として、
②((P→Q)→P)→P
②((奇数であるならば、素数である)ならば、奇数である)ならば、素数である。
といふ「命題(パースの法則)」は、「偽(ウソ)」では、有り得ない。


(945)「パースの法則」は「変な命題」ではない。

2021-07-20 16:56:10 | 論理

(01)
5 原始的規則あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理をでも用いて、証明せよ。
(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、80頁)
(a)├ P∨(P→Q)
(b)├(P→Q)∨(Q→R)
(c)├((P→Q)→P)→P
(02)
〔解答例〕
(a)
  (1)~P∨P    A(排中律
2 (2)~P      A
2 (3)~P∨Q    2∨I
2 (4) P→Q    3含意の定義
2 (5)P∨(P→Q) 4∨I
 6(6)P       A
 6(7)P∨(P→Q) 6∨I
  (8)P∨(P→Q) 12567∨E
(b)
1  (1)Q∨~Q        A(排中律
 2 (2)Q           A
 2 (3)~P∨Q        2∨I
 2 (4) P→Q        3含意の定義
 2 (5)(P→Q)∨(Q→R) 4∨I
  6(6)  ~Q        A
  6(7)  ~Q∨R      6∨I
  6(8)   Q→R      7含意の定義
  6(9)(P→Q)∨(Q→R) 8∨I
1  (ア)(P→Q)∨(Q→R) 12569∨E
(c)
1  (1)  (P→Q)→P   A
1  (2) ~(P→Q)∨P   1含意の定義
 3 (3) ~(P→Q)     A
 3 (4)~(~P∨Q)     3含意の定義
 3 (5)  P&~Q      4ド・モルガンの法則
 3 (6)  P         5&E
  7(7)        P   A
1  (8)        P   13677∨E
   (9)((P→Q)→P)→P 18CP
従って、
(01)(02)により、
(03)
(a)├ P∨(P→Q)
(b)├(P→Q)∨(Q→R)
(c)├((P→Q)→P)→P
といふ「3つの連式」は、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(04)
(c)
1   (1)((P→ Q)→P)→P A
 2  (2) (P&~Q)∨P    A
  3 (3)  P&~Q       A
  3 (4)~(~P∨Q)      3ド・モルガンの法則
  3 (5)~(~P∨Q)∨P    4∨I
   6(6)        P    A
   6(7)~(~P∨Q)∨P    6∨I
 2  (8)~(~P∨Q)∨P    23567∨E
 2  (9)~(P→ Q)∨P    8含意の定義
 2  (ア) (P→ Q)→P    9含意の定義
12  (イ)           P 1アMPP
1   (ウ)((P&~Q)∨P)→P 2イCP
(d)
1   (1)((P&~Q)∨P)→P A
 2  (2) (P→ Q)→P    A
 2  (3)~(P→ Q)∨P    2含意の定義
  4 (4)~(P→ Q)      A
  4 (5)~(~P∨Q)      4含意の定義
  4 (6)  P&~Q       5ド・モルガンの法則
  4 (7) (P&~Q)∨P    6∨I
   8(8)        P    A
   8(9) (P&~Q)∨P    8∨I
 2  (ア) (P&~Q)∨P    34789∨E
12  (イ)          P  1アMPP
1   (ウ)((P→Q)→P)→P  2イCP
従って、
(04)により、
(05)
①   P∨(P→Q)
② (P→Q)∨(Q→R)
③((P→ Q)→P)→P
④((P&~Q)∨P)→P
といふ「4つの連式」は、「恒真式(トートロジー)」であって、
③=④ である。
然るに、
(06)
パースの法則
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとしてパースの法則があります。
任意の命題P, Qについて、
((P→Q)→P)→P
が成り立つ
『「PならばQ」ならばP』ならばP
なんか、パズルのような命題ですね。
従って、
(05)(06)により、
(07)
③((P→ Q)→P)→P
④((P&~Q)∨P)→P
に於いて、
③=④ であって、
③ は、「パースの法則」といふ、「変な命題」である。
従って、
(07)により、
(08)
P=日本人である。
Q=男性である。
として、
③((日本人であるならば、男性である)ならば、日本人である)ならば、日本人である。
④((日本人であって、男性でない)か、または、日本人である)ならば、日本人である。
に於いて、
③=④ であって、
③ は、「パースの法則」といふ、「変な命題」である。
然るに、
(09)
④((日本人であって、男性でない)か、または、日本人である)ならば、いづれにせよ、日本人である。
といふことは、「当然」である。
従って、
(06)~(09)により、
(10)
③((P→ Q)→P)→P
④((P&~Q)∨P)→P
に於いて、
③ は、「パースの法則」といふ、「変な命題」であるとしても、
④ は、「普通の命題」であって、尚且つ、
④ は、③ に、「等しい」。
従って、
(05)(10)により、
(11)
③((P→ Q)→P)→P
④((P&~Q)∨P)→P
に於いて、
③=④ である。
といふことからすれば、「パースの法則」は、「普通の、恒真式(トートロジー)」である。


(944)「ド・モルガンの法則」に対する「代入例」。

2021-07-17 17:50:04 | 論理

(01)
①(PとRが、同時に本当である)といふことはない
といふことは、
② PとRの、少なくとも一方はウソである
といふことである。
従って、
(01)により、
(02)
①(PとRが、同時に真であるといふことはない
② PとRの、少なくとも一方は偽である
に於いて、
①=② である。
従って、
(02)により、
(03)
「記号」で書くと、
① ~(P& R)
②  ~P∨~R
に於いて、
①=② である(ド・モルガンの法則)。
然るに、
(04)
① ~(P& R)
②  ~P∨~R
に於いて、
① の Pに、
② を「代入(Substitution)」をすると、
③ ~{(~P∨~Q)&R}
然るに、
(05)
(ⅲ)
1  (1)~{(~P∨~Q)& R} A
1  (2) ~(~P∨~Q)∨~R  1ド・モルガンの法則
 3 (3) ~(~P∨~Q) A
 3 (4)    P& Q      3ド・モルガンの法則
 3 (5)   (P& Q)∨~R  4∨I
  6(6)          ~R  A
  6(7)   (P& Q)∨~R  6∨I
1  (8)   (P& Q)∨~R  23567∨E
(ⅳ)
1  (1)   (P& Q)∨~R  A
 2 (2)   (P& Q)     A
 2 (3) ~(~P∨~Q)     2ド・モルガンの法則
 2 (4) ~(~P∨~Q)∨~R  3∨I
  5(5)          ~R  A
  5(6) ~(~P∨~Q)∨~R  5∨I
1  (7) ~(~P∨~Q)∨~R  12456∨E
1  (8)~{(~P∨~Q)& R} 7ド・モルガンの法則
従って、
(05)により、
(06)
ド・モルガンの法則」により、
③ ~{(~P∨~Q)& R}
④    (P& Q)∨~R 
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(07)
(ⅲ)
1       (1)~{(~P∨~Q)& R}  A
 2      (2)~{( P& Q)∨~R}  A
  3     (3)  ( P& Q)      A
  3     (4)  ( P& Q)∨~R   3∨I
 23     (5)~{( P& Q)∨~R}&
            {( P& Q)∨~R}  24&I
 2      (6) ~( P& Q)      35RAA
   7    (7) ~(~P∨~Q)      A
    8   (8)   ~P          A
    8   (9)   ~P∨~Q       8∨I
   78   (ア) ~(~P∨~Q)&
             (~P∨~Q)      79&I
   7    (イ)  ~~P          8アRAA
   7    (ウ)    P          イDN
     エ  (エ)      ~Q       A
     エ  (オ)   ~P∨~Q       エ∨I
   7 エ  (カ) ~(~P∨~Q)&
             (~P∨~Q)      7オ&I
   7    (キ)     ~~Q       エカRAA
   7    (ク)       Q       キDN
   7    (ケ)    P& Q       ウク&I
 2 7    (コ)  ~(P& Q)&
              (P& Q)      6ケ&I
 2      (サ)~~(~P∨~Q)      7コRAA
 2      (シ)   ~P∨~Q       サDN
      ス (ス)          ~R   A
      ス (セ)  ( P& Q)∨~R   ス∨I
 2    ス (ソ)~{( P& Q)∨~R}&
            {( P& Q)∨~R}  2ス&I
 2      (タ)         ~~R   スソRAA
 2      (チ)           R   タDN
 2      (ツ)  (~P∨~Q)& R   シチ&I
12      (テ)~{(~P∨~Q)& R}&
            {(~P∨~Q)& R}  1ツ&I
1       (ト)~~{(P& Q)∨~R}  2テRAA
1       (ナ)   (P& Q)∨~R   トDN
(ⅳ)
1       (1)   (P& Q)∨~R  A
 2      (2)  (~P∨~Q)& R  A
  3     (3)    P& Q      A
 2      (4)   ~P∨~Q      2&E
  3     (5)    P         3&E
   6    (6)   ~P         A
  36    (7)    P&~P      56&I
   6    (8)  ~(P& Q)     37RAA
  3     (9)       Q      3&E
    ア   (ア)      ~Q      A
  3 ア   (イ)    Q&~Q      9ア&I
    ア   (ウ)  ~(P& Q)     3イRAA
 2      (エ)  ~(P& Q)     468アウ∨E
     オ  (オ)          ~R  A
 2      (カ)           R  2&E
 2   オ  (キ)        ~R&R  オカ&I
 2      (ク)         ~~R  オRAA
 2      (ケ)           R  クDN
 2      (コ)  ~(P& Q)& R  エケ&I
      サ (サ)   (P& Q)     A
 2      (シ)  ~(P& Q)     コ&E
 2    サ (ス) (P&Q)&~(P&Q) サシ&I
      サ (セ)~{(~P∨~Q)& R} 2スRAA
       ソ(ソ)          ~R  A
 2      (タ)           R  コ&E
 2     ソ(チ)        ~R&R  ソタ&I
       ソ(ツ)~{(~P∨~Q)& R} 2チRAA
1       (テ)~{(~P∨~Q)& R} 1サセソツ∨E
従って、
(07)により、
(08)
ド・モルガンの法則」を用ひずとも、
③ ~{(~P∨~Q)& R}
④    (P& Q)∨~R
に於いて、
③=④ である。
従って、
(05)~(08)により、
(09)
ド・モルガンの法則(定理)」を用ひても、
ド・モルガンの法則(定理)」を用ひなくとも、
③ ~{(~P∨~Q)& R}
④    (P& Q)∨~R
に於いて、
③=④ である。
然るに、
(10)
「交換法則」により、
④ (P&Q)∨~R
⑤ ~R∨(P&Q)
に於いて、
④=⑤ である。
然るに、
(11)
「含意の定義」により、
④ (P&Q)∨~R
⑤  R→(P&Q)
に於いて、
④=⑤ である。
従って、
(09)(10)(11)により、
(12)
③ ~{(~P∨~Q)&R}
④     R→(P&Q)
に於いて、
③=④ である。
(12)により。
(13)
いづれにせよ、
③{(Pでないか、または、Qでなくて)、その上、Rである}といふことはない。
④  Rであるならば、(Pであって、その上、Qである)。
といふ「日本語」に於いても、
③=④ でなければ、ならない。


(943)「矛盾」と「ド・モルガンの法則(の定義)」。

2021-07-12 19:21:01 | 論理

(01)
①   P(Pである)
② ~P(Pでない)
に於いて、
(ⅰ)①と② は、「同時に、真」にはならないし、
(ⅱ)①と② は、「同時に、偽」にもならない。
然るに、
(02)
③  P&Q
④ ~P&Q
に於いて、
(ⅰ)③と④ は、「同時に、真」にはならないにしても、
(ⅱ)③と④ は、「同時に、」にはなる
然るに、
(03)
⑤  P& Q
⑥ ~P&~Q
に於いて、
(ⅰ)③と④ は、「同時に、真」にはならないにしても、
(ⅱ)③と④ は、「同時に、」にはなる
然るに、
(04)
(ⅶ)
1   (1)   P&~Q   A
 2  (2)  ~P∨ Q   A
1   (3)   P      1&E
  4 (4)  ~P      A
1 4 (5)   P&~P   34&I
  4 (6) ~(P&~Q)  15RAA
1   (7)     ~Q   1&E
   8(8)      Q   A
1  8(9)   ~Q&Q   78&I
   8(ア) ~(P&~Q)  19RAA
 2  (イ) ~(P&~Q)  2468ア∨E
12  (ウ)  (P&~Q)&
        ~(P&~Q)  1イ&I
1   (エ)~(~P∨ Q)  2ウRAA
(ⅷ)
1   (1)~(~P∨ Q)  A
 2  (2) ~(P&~Q)  A
  3 (3)  ~P      A
  3 (4)  ~P∨ Q   3∨I
1 3 (5)~(~P∨ Q)&
        (~P∨ Q)  14&I
1   (6) ~~P      35RAA
1   (7)   P      6DN
   8(8)      Q   A
   8(9)  ~P∨ Q   8∨I
1  8(ア)~(~P∨ Q)&
        (~P∨ Q)  19&I
1   (イ)     ~Q   8アRAA
1   (ウ)   P&~Q   7イ&I
12  (エ) ~(P&~Q)&
         (P&~Q)  2ウ&I
1   (オ)~~(P&~Q)  2エRAA
1   (カ)   P&~Q   オDN
従って、
(04)により、
(05)
⑦  P&~Q
⑧ ~P∨ Q
に於いて、
(ⅰ)⑦と⑧ は、「同時に、真」にはならないし、
(ⅱ)⑦と⑧ は、「同時に、偽」にもならない。
従って、
(01)~(05)により、
(06)
①   P
② ~P
③  P&Q
④ ~P&Q
⑤  P& Q
⑥ ~P&~Q
⑦  P&~Q
⑧ ~P∨ Q
に於いて、
①と② は、「矛盾」する
③と④ は、「矛盾」しない。
⑤と⑥ は、「矛盾」しない。
⑦と⑧ は、「矛盾」する
従って、
(06)により、
(07)
「番号」を付け直すと、
①   P
② ~P
③  P&~Q
④ ~P∨ Q
に於いて、
①と② は、「矛盾」する
③と④ は、「矛盾」する
従って、
(07)により、
(08)
①     P
② ~(~P)
③    P&~Q
④ ~(~P∨ Q)
に於いて、
①=② であって、
③=④ であるが、
①=② は、「二重否定律」であって、
③=④ は、「ド・モルガンの法則」である。
(09)
「ド・モルガンの法則」とは、
「二つの式」が「矛盾」するならば、「一方の式の否定」は、「もう一方の式の肯定」に「等しい」。
といふことを、言ふ。
といふ風に、「定義」する。
従って、
(08)(09)により、
(10)
①     P
② ~(~P)
③    P&~Q
④ ~(~P∨ Q)
に於いて、
①=② は、「ド・モルガンの法則」であって、
③=④ も、「ド・モルガンの法則」である。


(942)├ (P&~P)→Q は、「恒真式(トートロジー)」である。

2021-07-10 14:58:33 | 論理

(01)
1     (1)   P&~P       A
      (2) ~(P&~P)      1RAA
      (3) ~(P&~P)∨ Q   3∨I
 4    (4)  (P&~P)&~Q   A
  5   (5) ~(P&~P)      A
 4    (6)  (P&~P)      4&E
 45   (7) ~(P&~P)&
           (P&~P)      56&I
  5   (8)~{(P&~P)&~Q}  47RAA
   9  (9)          Q   A
 4    (ア)         ~Q   4&E
 4 9  (イ)       Q&~Q   9ア&I
   9  (ウ)~{(P&~P)&~Q}  4イRAA
      (エ)~{(P&~P)&~Q}  3589ウ∨E
    オ (オ)  (P&~P)      A
     カ(カ)         ~Q   A
    オカ(キ)  (P&~P)&~Q   オカ&I
    オ (ク)        ~~Q   カキRAA
    オ (ケ)          Q   クDN
      (コ)  (P&~P)→ Q   オケCP
従って、
(01)により、
(02)
①(P&~P)→Q
は、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(03)
(ⅰ)
  (1) (P&~P)→Q TI
  (2)~(P&~P)∨Q 1含意の定義
3 (3)~(P&~P)   A
3 (4) ~P∨ P    3ド・モルガンの法則
3 (5)(~P∨ P)∨Q 4∨I
 6(6)        Q A
 6(7)(~P∨ P)∨Q 6∨I
  (8)(~P∨ P)∨Q 23567∨I
(ⅱ)
  (1)(~P∨ P)∨Q A
2 (2)(~P∨ P)   A
2 (3)~(P&~P)   2ド・モルガンの法則
2 (4)~(P&~P)∨Q 3∨I
 5(5)        Q A
 5(6)~(P&~P)∨Q 5∨I
  (7)~(P&~P)∨Q 12456∨E
  (8) (P&~Q)→Q 7含意の定義
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
①(P&~P)→Q
②(~P∨P)∨Q
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、尚且つ、
①=② である。
従って、
(04)により、
(05)
①(P&~P)→Q
②(~P∨P)∨Q
に於いて、すなはち、
①( 矛盾 )→Q
②(排中律)∨Q
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
② も、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(05)により、
(06)
①(偽)→Q
②(真)∨Q
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
② も、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(05)(06)により、
(07)
P=バカボンのパパは天才である。
Q=太陽は西から昇る。
として、
①(バカボンのパパが天才であって、バカボンのパパが天才でないならば)太陽は西から昇る。
②(バカボンのパパが天才でないか、または、バカボンのパパが天才である)ならば太陽は西から昇る。
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
② も、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(04)(07)により、
(08)
①(バカボンのパパが天才であって、バカボンのパパが天才でないならば)太陽は西から昇る。
②(バカボンのパパが天才でないか、または、バカボンのパパが天才であるか、)または、太陽は西から昇る。
に於いて、
①=② であって、尚且つ、
③ 太陽が、西から昇っても、①と② は「真」であり、
④ 太陽が、東から昇っても、②と① は「真」である。


(941)├ P∨(P→Q)は、「恒真式(トートロジー)」である。

2021-07-09 17:27:04 | 論理

(01)
5 原始的な規則(Primitive rules)あるいは導出された規則を、既に証明されたどのような連式あるいは定理とでも用いて、証明せよ。
とはせずに、
5 原始的な規則(Primitive rules)のみを用いて、次の連式を証明せよ。
(a)├ P∨(P→Q)
(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、80頁改)
〔解答〕
1        (1) ~(P∨~P)    A
 2       (2)   P        A
 2       (3)   P∨~P     2∨I
12       (4) ~(P∨~P)&
              (P∨~P)    13&I
1        (5)     ~P     A
1        (6)   P∨~P     5∨I
1        (7) ~(P∨~P)&
              (P∨~P)    16&I
         (8)~~(P∨~P)    17RAA
         (9)   P∨~P     8DN
  ア      (ア)   P        A
  ア      (イ)   P∨(P→Q)  ア∨I
   ウ     (ウ)     ~P     A
   ウ     (エ)     ~P∨Q   A
    オ    (オ)     P&~Q   A
     カ   (カ)     ~P     A
    オ    (キ)     P      カ&E
    オカ   (ク)     ~P&P   カキ&I
     カ   (ケ)   ~(P&~Q)  オクRAA
      コ  (コ)        Q   A
    オ    (サ)       ~Q   オ&E
    オ コ  (シ)     Q&~Q   コサ&I
      コ  (ス)   ~(P&~Q)  オシRAA
   ウ     (セ)   ~(P&~Q)  エカケコス∨E
       ソ (ソ)     P      A
        タ(タ)       ~Q   A
       ソタ(チ)     P&~Q   ソタ&I
   ウ   ソタ(ツ)   ~(P&~Q)&
                (P&~Q)  カチ&I
   ウ   ソ (テ)      ~~Q   タツRAA
   ウ   ソ (ト)        Q   テDN
   ウ     (ナ)      P→Q   ソトCP
   ウ     (ヌ)   P∨(P→Q)  ナ∨I
         (ネ)   P∨(P→Q)  9アイウヌ∨E
従って、
(01)により、
(02)
① P∨(P→Q)
といふ「連式」は、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(03)
(ⅰ)
1    (1) P∨( P→Q)  A
 2   (2) P         A
 2   (3) P∨(~P∨Q)  2∨I
  4  (4)     P→Q   A
   5 (5)  ~(~P∨Q)  A
    6(6)    ~P     A
    6(7)    ~P∨Q   6∨I
   56(8)  ~(~P∨Q)&
           (~P∨Q)  57&I
   5 (9)   ~~P     68RAA
   5 (ア)     P     9DN
  45 (イ)       Q   4アMPP
  45 (ウ)    ~P∨Q   イ∨I
  45 (エ)  ~(~P∨Q)&
           (~P∨Q)  5ウ&I
  4  (オ) ~~(~P∨Q)  5エRAA
  4  (カ)   (~P∨Q)  オDN
  4  (キ) P∨(~P∨Q)  ∨I
1    (ク) P∨(~P∨Q)  1243キ∨E
1    (ケ)(P∨~P)∨Q   ク結合法則
(ⅱ)
1       (1)(P∨~P)∨Q   A
1       (2) P∨(~P∨Q)  1結合法則
 2      (3) P         A
 2      (4) P∨( P→Q)  3∨I
  5     (5)    ~P∨Q   A
   6    (6)    P&~Q   A
    7   (7)    ~P     A
   6    (8)     P     6&E
   67   (9)    ~P&P   78&I
    7   (ア)  ~(P&~Q)  69RAA
     イ  (イ)       Q   A
   6    (ウ)      ~Q   6&E
   6 イ  (エ)    Q&~Q   イウ&I
     イ  (オ)  ~(P&~Q)  6エRAA
  5     (カ)  ~(P&~Q)  57アイオ∨E
      キ (キ)    P      A
       ク(ク)      ~Q   A
      キク(ケ)    P&~Q   キク&I
  5   キク(コ)  ~(P&~Q)&
              (P&~Q)  カケ&I
  5   キ (サ)     ~~Q   クコRAA
  5   キ (シ)       Q   サDN
  5     (ス)     P→Q   キシCP
  5     (セ) P∨( P→Q)  ス∨I
1       (ソ) P∨( P→Q)  1245セ∨E
従って、
(03)により、
(04)
① P∨(P→ Q)
②(P∨~P)∨Q
に於いて、
①=② である。
従って、
(04)により、
(05)
① P∨(P→Q)
②(排中律)∨Q
に於いて、
①=② である。
従って、
(02)(05)により、
(06)
① P∨(P→Q)
②(排中律)∨Q
に於いて、
①=② であって、
① は、「恒真式(トートロジー)」であって、
② も、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(06)により、
(07)
① P∨(P→Q)
②(排中律)∨Q
に於いて、
Qの「真偽」に拘はらず、
①と② は、「恒に、真」である。
従って、
(07)により、
(08)
P=バカボンのパパは天才である。
Q=太陽は西から昇る。
として、
① バカボンのパパは天才であるか、または(バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る)。
②(バカボンのパパは天才であるか、または、バカボンのパパは天才でないか)、または、太陽は西から昇る。
に於いて、
①=② であって、尚且つ、
③ 太陽が、西から昇っても、①と② は「真」であり、
④ 太陽が、東から昇っても、②と① は「真」である。


(940)「交換法則」としての「対偶」。

2021-07-08 11:38:06 | 論理

(01)
(ⅰ)
1(1)P&~Q A
1(2)  ~Q 1UE
1(3)P    1UE
1(4)~Q&P 23&I
(ⅱ)
1(1)~Q&P A
1(2)~Q   1UE
1(3)   P 1UE
1(4)P&~Q 23&I
従って、
(01)により、
(02)
① P&~Q≡PであってQでない。
② ~Q&P≡QでなくてPである。
に於いて、
①=② は、「交換の法則」である。
従って、
(02)により、
(03)
① ~(P&~Q)≡(PであってQでない)といふことはない。
② ~(~Q&P)≡(QでなくてPである)といふことはない。
に於いて、
①=② は、「交換の法則」である。
然るに、
(04)
(ⅰ)
1  (1)~(P&~Q)  A
 2 (2)  P      A
  3(3)    ~Q   A
 23(4)  P&~Q   23&I
123(5)~(P&~Q)&
       (P&~Q)  14&I
12 (6)   ~~Q   35RAA
12 (7)     Q   6DN
1  (8)  P→ Q   27CP
(ⅲ)
1  (1)  P→ Q  A
 2 (2)  P&~Q  A
 2 (3)  P     2&I
12 (4)     Q  13MPP
 2 (5)    ~Q  2&I
12 (6)  Q&~Q  45&I
1  (7)~(P&~Q) 26RAA
従って、
(04)により、
(05)
① ~(P&~Q)≡(PであってQでない)といふことはない。
③   P→ Q ≡ Pであるならば、Qである。
に於いて、
①=③ である。
従って、
(03)(04)(05)により、
(06)
① ~(P&~Q)≡(PであってQでない)といふことはない。
② ~(~Q&P)≡(QでなくてPである)といふことはない。
③   P→ Q ≡ Pであるならば、Qである。
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(07)
(ⅲ)
1  (1) P→ Q A
 2 (2)   ~Q A
  3(3) P    A
1 3(4)    Q 13MPP
123(5) ~Q&Q 24&I
12 (6)   ~P 35RAA
1  (7)~Q→~P 26CP
(ⅳ)
1  (1)~Q→~P A
 2 (2)    P A
  3(3)~Q    A
1 3(4)   ~P 13MPP
123(5) P&~P 24&I
12 (6)  ~~Q 35RAA
12 (7)    Q 6DN
1  (8) P→ Q 27CP
従って、
(07)により、
(08)
③  P→ Q≡Pであるならば、Qである。
④ ~Q→~P≡Qでないならば、Pでない。
に於いて、
③=④ は、「対偶」である。
従って、
(06)(07)(08)により、
(09)
① ~(P&~Q)≡(PであってQでない)といふことはない。
② ~(~Q&P)≡(QでなくてPである)といふことはない。
③   P→ Q ≡ Pであるならば、Qである。
④ ~Q→~P ≡ Qでないならば、Pでない。
に於いて、
①=②=③=④ である。
従って、
(02)(08)(09)により、
(10)
① ~(P&~Q)≡(PであってQでない)といふことはない。
② ~(~Q&P)≡(QでなくてPである)といふことはない。
③   P→ Q ≡ Pであるならば、Qである。
④    ~Q→~P ≡  Qでないならば、Pでない。
に於いて、
①=②=③=④ であって、尚且つ、
①=② は、「交換の法則」であって、
③=④ は、「対偶」である。
従って、
(10)により、
(11)
「交換の法則」が「当然」である以上、「対偶」も「当然」である。
といふ、ことになる。


(939)「無象非動物」といふ「漢文」の「述語論理」。

2021-07-04 14:38:52 | 漢文・述語論理

(01)
① 無象非動物=
① 無象非動物
① 無〔象非(動物)〕⇒
① 〔象(動物)非〕無=
① 〔象にして(動物に)非ざる〕無し=
① いかなる象であっても、動物でない象は、存在しない。
然るに、
(02)
① 動物でない象は、存在しない。
といふことは、
② 存在し得る象は、すべて動物である。
といふことであって、
② 存在し得る象は、すべて動物である。
といふことは、
② すべての象は、動物である。
といふ、ことである。
然るに、
(03)
(ⅰ)
1(1)~∃x(象x&~動物x) A
1(2)∀x~(象x&~動物x) 1量化子の関係
1(3)  ~(象a&~動物a) 2UE
1(4)   ~象a∨ 動物a  3ド・モルガンの法則
1(5)    象a→ 動物a  含意の定義
1(6) ∀x(象x→ 動物x) 5UI
(ⅱ)
1(1) ∀x(象x→ 動物x) A
1(2)    象a→ 動物a  1UE
1(3)   ~象a∨ 動物a  2含意の定義
1(4)  ~(象a&~動物a) 3ド・モルガンの法則
1(5)∀x~(象a&~動物a) 4UI
1(6)~∃x(象x&~動物x) 5量化子の関係
従って、
(03)により、
(04)
① ~∃x(象x&~動物x)
②  ∀x(象x→ 動物x)
に於いて、すなはち、
①(xが象であって、xが動物ではないといふ)そのやうなxは存在しない。
② すべてのxについて、xが象であるならば、xは動物である。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(05)
①(xが象であって、xが動物ではないといふ)そのやうなxは存在しない。
② すべてのxについて、xが象であるならば、xは動物である。
といふことは、
① 動物でない象は、存在しない。
② すべての象は、動物である。
といふ、ことである。
従って、
(01)~(05)により、
(06)
① 無象非動物。
といふ「漢文」は、
① ~∃x(象x&~動物x)
といふ「述語論理式」に、「等しい」。
(07)
{すべてのx}が、
{a、b、c}であるとして、
① ~∃x(象x&~動物x)
②  ∀x(象x→ 動物x)
といふ「述語論理式」は、
①~{(象a&~動物a)∨(象b&~動物b)∨(象c&~動物c)}
②  (象a→ 動物a)&(象b→ 動物b)&(象c→ 動物c)}
といふ「論理式」に、「相当」する。
然るに、
(08)
(ⅰ)
1(1)~{(象a&~動物a)∨ (象b&~動物b)∨ (象c&~動物c)} A
1(2) ~(象a&~動物a)&~(象b&~動物b)&~(象c&~動物c)  1ド・モルガンの法則
(ⅲ)
1(1) ~(象a&~動物a)&~(象b&~動物b)&~(象c&~動物c)  A
1(2)~{(象a&~動物a)∨ (象b&~動物b)∨ (象c&~動物c)} 1ド・モルガンの法則
従って、
(08)により、
(09)
① ~{(象a&~動物a)∨ (象b&~動物b)∨ (象c&~動物c)}
③   ~(象a&~動物a)&~(象b&~動物b)&~(象c&~動物c)
に於いて、
①=③ である。
従って、
(09)により、
(10)
③ ~(象a&~動物a)&~(象b&~動物b)&~(象c&~動物c)
といふことは、
③(aが象であって、そのaが動物でない)といふことはないし、
③(bが象であって、そのbが動物でない)といふことはないし、
③(cが象であって、そのcが動物でない)といふことはない。
といふことであって、そのため、
{すべてのx}が、
{a、b、c}であるとして、
③{(象が動物でない)といふことはない。}といふことに、例外は無い。
といふ「意味」になる。
然るに、
(11)
③{(象が動物でない)といふことはない。}といふことに、例外は無い。
といふことは、
③ ∀x~(象x&~動物x)
といふことに、他ならない。
従って、
(07)~(11)により、
(12)
① ~∃x(象x&~動物x)
②  ∀x(象x→ 動物x)
③ ∀x~(象x&~動物x)
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(13)
① ~∃x(象x&~動物x)
③ ∀x~(象x&~動物x)
に於いて、
①=③ は、「量化子の関係」である。
従って、
(01)~(13)により、
(14)
① 無象非動物=
① 無象非動物
① 無〔象非(動物)〕⇒
① 〔象(動物)非〕無=
① 〔象にして(動物に)非ざる〕無し=
① いかなる象であっても、動物でない象は、存在しない。
といふ「漢文訓読」は、
① ~∃x(象x&~動物x)
②  ∀x(象x→ 動物x)
③ ∀x~(象x&~動物x)
といふ「述語論理式」に、「等しい」。


(938)(P&Q)⇔R と、(P&Q)→R。

2021-07-03 16:58:16 | 論理

(01)
①  (P&Q)⇔R
②{(P&Q)→R}&{R→(P&Q)}
に於いて、
①=② である(相互条件法の定義)。
然るに、
(02)
(ⅰ)
1   (1)       R→(P& Q) A
 2  (2)         ~P∨~Q  A
 2  (3)        ~(P& Q) 2ド・モルガンの法則
12  (4)     ~R         13MTT
1   (5)    (~P∨~Q)→~R  24CP
  6 (6)     ~P         A
  6 (7)     ~P∨~Q      6∨I
1 6 (8)            ~R  57MPP
1   (9)     ~P→~R      68CP
   ア(ア)        ~Q      A
   ア(イ)     ~P∨~Q      ア∨I
1  ア(ウ)            ~R  5イMPP
1   (エ)         ~Q→~R  アウCP
1   (オ)(~P→~R)&(~Q→~R) 9エ&I
(ⅱ)
1   (1)(~P→~R)&(~Q→~R) A
 1  (2) ~P→~R          1&E
1   (3)         ~Q→~R  1&E
  4 (4)     R          A
  4 (5)   ~~R          4DN
14  (6)~~P             15MTT
14  (7)  P             6DN
14  (8)        ~~Q     35MTT
14  (9)          Q     8DN
14  (ア)   P&Q          79&I
1   (イ)R→(P&Q)         4アCP
従って、
(02)により、
(03)
② R→(P&Q)
③(~P→~R)&(~Q→~R)
に於いて、
②=③ である。
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
① (P&Q)⇔R
②{(P&Q)→R}&{R→(P&Q)}
③{(P&Q)→R}&{(~P→~R)&(~Q→~R)}
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(04)により、
(05)
①(P&Q)⇔R
であるならば、
③(~P→~R)&(~Q→~R)
であるため、
③ Pでないならば、Rではないし、
③ Qでないならば、Rでない。
従って、
(05)により、
(06)
①(P&Q)⇔R
であるならば、
③ Pであることは、Rであるための、「必要条件」であって、
③ Qであることも、Rであるための、「必要条件」である。
然るに、
(07)
(ⅰ)
1   (1) (P&Q)→R    A
1   (2)~(P&Q)∨R    1含意の定義
 3  (3)~(P&Q)      A
 3  (4)~P∨~Q       3ド・モルガンの法則
 3  (5)~P∨~Q∨R     4∨I
  6 (6)       R    A
  6 (7) ~P∨~Q∨R    6∨I
1   (8) ~P∨~Q∨R    13567∨E
1   (9)~P∨(~Q∨R)   3結合法則
 ア  (ア)~P          A
 ア  (イ)~P∨R        ア∨I
 ア  (ウ) P→R        イ含意の定義
 ア  (エ)(P→R)∨(Q→R) ウ∨I
   オ(オ)     (~Q∨R) A
   オ(カ)       Q→R  オ含意の定義
   オ(キ)(P→R)∨(Q→R) カ∨I
1   (ク)(P→R)∨(Q→R) 2アエオキ∨I
(ⅱ)
1   (1)(P→R)∨(Q→R) A
 2  (2) P&Q        A
  3 (3) P→R        A
 2  (4) P          2&E
 23 (5)   R        34MPP
   6(6)       Q→R  A
 2  (7)   Q        2&E
 2 6(8)         R  67MPP
12  (9)   R        13568∨E
1   (ア)(P&Q)→R     29CP
従って、
(07)により、
(08)
①(P&Q)→R
②(P→R)∨(Q→R)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(08)により、
(09)
①(P&Q)→R
②(P→R)∨(Q→R)
に於いて、
①=② である。
といふことは、
(ⅰ)Pが、Rの原因であるか、または、
(ⅱ)Qが、Rの原因であるか、または、
(ⅲ)PとQの「連言」が、Rの原因である。
といふ、ことである。
然るに、
(10)
(ⅰ)Pが、Rの原因である。
とするならば、
(ⅱ)Qでなくとも、Rである。
といふことになり、
(ⅱ)Qでなくとも、Rである。
といふことは、
③ Qであることは、Rであるための、「必要条件」でない。
といふことに、他ならないし、同様に、
③ Pであることも、Rであるための、「必要条件」でない。
従って、
(06)~(10)により、
(11)
①(P&Q)⇔R
②(P&Q)→R
に於いて、
① ではなく、
② であるならば、
② PかつQ、2つの前提からRが導かれるんだったら実はそれ、1つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。
といふことであっても、「不都合」は無い
然るに、
(12)
①(P&Q)→R
といふ「論理式」に関して、
大西拓郎先生(京都大学)は、
[厳密含意の論理(1) [修正版](ユーチューブ:9分10秒頃)]に於いて、
PかつQ、2つの前提からRが導かれるんだったら実はそれ、1つで十分ですよ、みたいな、そういう推論なんですね。まぁこれ、をかしい。実質含意にはこういう変な推論がどうしてもつきまとうんですが、厳密含意になると、それがちゃんと妥当ではなくなってくれるという、ことです。
といふ風に、述べてゐる。
従って、
(11)(12)により、
(13)
大西拓郎先生は、
①(P&Q)⇔R
といふ「論理式」と、
①(P&Q)→R
といふ「論理式」とを、「混同」してゐる。