日本語の「は」と「が」について。

象は鼻が長い=∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}。
とりあえず「三上文法」を「批判」します。

(535)「師の説(韓愈)」の「述語論理」(改)。

2020-02-29 16:02:36 | 漢文・述語論理

(01)
① 弟子不必不如師=
① 弟子不必不一レ師=
① 弟子不[必不〔如(師)〕]⇒
① 弟子[必〔(師)如〕不]不=
① 弟子は[必ずしも〔(師に)如か〕ずんば]あらず=
① 弟子は、必ずしも、師匠に及ばない。といふわけではない(師の説、韓愈)。
然るに、
(02)
(ⅱ)
1 (1)~∀x{弟子x→ ∃y(師yx&~如xy)} A
1 (2)∃x~{弟子x→ ∃y(師yx&~如xy)} 1量化子の関係
 3(3)  ~{弟子a→ ∃y(師ya&~如ay)} A(2の代表的選言項)
 3(4)  ~{~弟子a∨∃y(師ya&~如ay)} 3含意の定義
 3(5)    弟子a&~∃y(師ya&~如ay)  4ド・モルガンの法則
 3(6)    弟子a                5&E
 3(7)        ~∃y(師ya&~如ay)  5&E
 3(8)        ∀y~(師ya&~如ay)  6量化子の関係
 3(9)          ~(師ba&~如ab)  7UE
 3(ア)           ~師ba∨ 如ab   8ド・モルガンの法則
 3(イ)            師ba→ 如ab   9含意の定義
 3(ウ)         ∀y(師ya→ 如ay)  イUI
 3(エ)    弟子a& ∀y(師ya→ 如ay)  5ウ&I
 3(オ) ∃x{弟子x& ∀y(師yx→ 如xy)} エEI
1 (カ) ∃x{弟子x& ∀y(師yx→ 如xy)} 23オEE
(ⅲ)
1  (1) ∃x{弟子x& ∀y(師yx→ 如xy)} A
 2 (2)    弟子a& ∀y(師ya→ 如ay)  A(1の代表的選言項)
 2 (3)    弟子a                2&E
 2 (4)         ∀y(師ya→ 如ay)  2&E
 2 (5)            師ba→ 如ab   4UE
 2 (6)           ~師ba∨ 如ab   5含意の定義
 2 (7)          ~(師ba&~如ab)  6ド・モルガンの法則
 2 (8)        ∀y~(師ya&~如ay)  7UI
 2 (9)        ~∃y(師ya&~如ay)  8量化子の関係
  ア(ア)    弟子a→ ∃y(師ya&~如ay)  A(エのRAAを目指す)
 2ア(イ)         ∃y(師ya&~如ay)  3アMPP
 2ア(ウ)        ~∃y(師ya&~如ay)&
               ∃y(師ya&~如ay)  9イ&I
 2 (エ)  ~{弟子a→ ∃y(師ya&~如ay)  アウRAA
 2 (オ)∃x~{弟子x→ ∃y(師yx&~如xy)} エEI
1  (カ)∃x~{弟子x→ ∃y(師yx&~如xy)} 12オEE
1  (キ)~∀x{弟子x→ ∃y(師yx&~如xy)} カ量化子の関係
従って、
(02)により、
(03)
② ~∀x{弟子x→∃y(師yx&~如xy)}
③   ∃x{弟子x&∀y(師yx→ 如xy)}
に於いて、すなはち、
②{すべてのxについて、xが弟子であるならば、あるyはxの師匠であって、 xはyに及ばない。}といふことはない。
③ ある{xは弟子であって、すべてのyについて、yがxの師匠であるならば、xはyに及んでゐる}。
に於いて、
②=③ である。
然るに、
(04)
③ ある{xは弟子であって、すべてのyについて、yがxの師匠であるならば、xはyに及んでゐる}。
といふことは、
③ 自分の師匠に対して、劣ることことが無い、弟子が存在する。
といふことである。
然るに、
(05)
③ 自分の師匠に対して、劣ることことが無い、弟子が存在する。
といふことは、
① 弟子は、必ずしも、師匠に及ばない。といふわけではない(師の説、韓愈)。
といふことである。
然るに、
(06)
②{すべてのxについて、xが弟子であるならば、あるyはxの師匠であって、 xはyに及ばない。}といふことはない。
③ ある{xは弟子であって、すべてのyについて、yがxの師匠であるならば、xはyに及んでゐる}。
といふ「意味」である所の
② ~∀x{弟子x→∃y(師yx&~如xy)}
③   ∃x{弟子x&∀y(師yx→ 如xy)}
といふ「式」は、
② その弟子は、自分の、すべての師匠に対して、劣らない。
③ その弟子は、自分の、すべての師匠に対して、劣らない。
といふ「意味」である。
然るに、
(07)
② その弟子は、自分の、すべての師匠に対して、劣らない。
③ その弟子は、自分の、すべての師匠に対して、劣らない。
といふことは、
② その弟子の師匠は、一人ではなく、複数である。
③ その弟子の師匠は、一人ではなく、複数である。
といふことを、「否定」しない。
然るに、
(08)
① 弟子不必不如師=
① 弟子不必不一レ師=
① 弟子不[必不〔如(師)〕]⇒
① 弟子[必〔(師)如〕不]不=
① 弟子は[必ずしも〔(師に)如か〕ずんば]あらず=
① 弟子は、必ずしも、師匠に及ばない。といふわけではない(師の説 韓愈)。
といふ「漢文」は、「師匠」は、「一人」であるとする方が、「自然」である。
然るに、
(09)
② ~∀x{弟子x→∃y(師yx&~如xy)}
に対して、
② ~∀x{弟子x→[∃y(師yx&~如xy)&∀z(師zx→z=y)]}
とするならば、すなはち、
②{すべてのxについて、xが弟子であるならば、あるyはxの師匠であって、 xはyに及ばず、すべてのzについて、zがxの師匠であるならば、zはyと同一人物である}といふことはない。
とするならば、
② 弟子xの、師匠yは、一人しかゐない。
然るに、
(10)
(ⅱ)
1    (1)~∀x{弟子x→[∃y(師yx&~如xy)&∀z(師zx→z=y)]} A
1    (2)∃x~{弟子x→[∃y(師yx&~如xy)&∀z(師zx→z=y)]} 1量化子の関係
 3   (3)  ~{弟子a→[∃y(師ya&~如ay)&∀z(師za→z=y)]} A(2の代表的選言項)
 3   (4) ~{~弟子a∨[∃y(師ya&~如ay)&∀z(師za→z=y)]} 3含意の定義
 3   (5)   弟子a&~[∃y(師ya&~如ay)&∀z(師za→z=y)]  4ド・モルガンの法則
 3   (6)   弟子a                              5&E
 3   (7)       ~[∃y(師ya&~如ay)&∀z(師za→z=y)]  5&E
 3   (8)       ~∃y(師ya&~如ay)∨~∀z(師za→z=y)   7ド・モルガンの法則
  9  (9)       ~∃y(師ya&~如ay)                A(8選言項L)
  9  (ア)       ∀y~(師ya&~如ay)                9量化子の関係
  9  (イ)         ~(師ba&~如ab)                アUE
  9  (ウ)          ~師ba∨ 如ab                 イ、ド・モルガンの法則
  9  (エ)           師ba→ 如ab                 ウ含意の定義
  9  (オ)        ∀y(師ya→ 如ay)                エUI
  9  (カ)       ~∀z(師za→ z=y)∨∀y(師ya→如ay)    オ∨I
  9  (キ)        ∀z(師za→ z=y)→∀y(師ya→如ay)    カ含意の定義
   ク (ク)       ~∀z(師za→ z=y)                A(8選言項R)
   ク (ケ)       ~∀z(師za→ z=y)∨∀y(師ya→如ay)    ク∨I
   ク (コ)        ∀z(師za→ z=y)→∀y(師ya→如ay)    ケ含意の定義
 3   (サ)        ∀z(師za→ z=y)→∀y(師ya→如ay)    89キクコ∨E
    シ(シ)       ~∃z(師za& z≠y)                A(テのCPを目指す)
    シ(ス)       ∀z~(師za& z≠y)                シ含意の定義
    シ(セ)         ~(師ca& c≠y)                スUE
    シ(ソ)          ~師ca∨ c=y                 セ、ド・モルガンの法則
    シ(タ)           師ca→ c=y                 ソ含意の定義
    シ(チ)        ∀z(師za→ z=y)                タUI
 3  シ(ツ)                     ∀y(師ya→如ay)    サチMPP
 3   (テ)        ~∃z(師za&z≠y)→∀y(師ya→如ay)    シツCP
 3   (ト)   弟子a&[~∃z(師za&z≠y)→∀y(師ya→如ay)]   6テ&I(目標達成)
 3   (ナ)∃x{弟子x&[~∃z(師zx&z≠y)→∀y(師yx→如xy)]}  トEI
1    (ニ)∃x{弟子x&[~∃z(師zx&z≠y)→∀y(師yx→如xy)]}  23ナEE
(ⅲ)
1     (1)∃x{弟子x&[~∃z(師zx&z≠y)→∀y(師yx→如xy)]}  A
 2    (2)   弟子a&[~∃z(師za&z≠y)→∀y(師ya→如ay)]   A(1の代表的選言項)
 2    (3)   弟子a                              2&E
 2    (4)       [~∃z(師za&z≠y)→∀y(師ya→如ay)]   2&E
  3   (5)         ∀z(師za→z=y)                A(ウのCPを目指す)
  3   (6)            師ca→c=y                 5UE
  3   (7)           ~師ca∨c=y                 6含意の定義
  3   (8)          ~(師ca&c≠y)                7ド・モルガンの法則
  3   (9)        ∀z~(師za&z≠y)                8UI
  3   (ア)        ~∃z(師za&z≠y)                9量化子の関係
 23   (イ)                     ∀y(師ya→如ay)    4アMPP
 2    (ウ)         ∀z(師za→z=y)→∀y(師ya→如ay)    3イCP
   エ  (エ)                    ∃y(師ya&~如ay)    A(ウでMTT、シでCPがしたい)
    オ (オ)                       師ba&~如ab     A(エの代表的選言項)
    オ (カ)                     ~(~師ba∨如ab)    オ、ド・モルガンの法則
    オ (キ)                      ~(師ba→如ab)    カ含意の定義
    オ (ク)                    ∃y~(師ya→如ay)    キEI
   エ  (ケ)                    ∃y~(師ya→如ay)    エオクEE
   エ  (コ)                    ~∀y(師ya→如ay)    ケ量化子の関係
 2 エ  (サ)                    ~∀z(師za→z=y)    ウコMTT
 2    (シ)         ∃y(師ya&~如ay)→~∀z(師za→z=y)  エサCP
 2    (ス)        ~∃y(師ya&~如ay)∨~∀z(師za→z=y)  含意の定義
 2    (セ)       ~[∃y(師ya&~如ay)&∀z(師za→z=y)]  ス、ド・モルガンの法則
     ソ(ソ)    弟子x→[∃y(師yx&~如xy)&∀z(師zx→z=y)]  A(ツのRAAがしたい)
 2   ソ(タ)        [∃y(師yx&~如xy)&∀z(師zx→z=y)]  2ソMPP
 2   ソ(チ)       ~[∃y(師ya&~如ay)&∀z(師za→z=y)]&
                 [∃y(師ya&~如ay)&∀z(師za→z=y)]  セタ&I
 2    (ツ)  ~{弟子x→[∃y(師yx&~如xy)&∀z(師zx→z=y)]} ソチRAA(目標達成)
 2    (テ)∃x~{弟子x→[∃y(師yx&~如xy)&∀z(師zx→z=y)]} ツEI
1     (ト)∃x~{弟子x→[∃y(師yx&~如xy)&∀z(師zx→z=y)]} 12テEE
1     (ナ)~∀x{弟子x→[∃y(師yx&~如xy)&∀z(師zx→z=y)]} ト量化子の関係
従って、
(10)により、
(11)
② ~∀x{弟子x→[ ∃y(師yx&~如xy)&∀z(師zx→z=y)]}
③  ∃x{弟子x&[~∃z(師zx& z≠y)→∀y(師yx→如xy)]}
に於いて、すなはち、
②{すべてのxについて、xが弟子であるならば、あるyはxの師匠であって、 xはyに及ばず、すべてのzについて、zがxの師匠であるならば、zとyは同一である。}といふことはない。
③ ある{xは弟子であって、xの師匠は、y以外にはゐないものの、すべてのyについて、yがxの師匠であるならば、xはyに及んでゐる}。
に於いて、
②=③ である。
然るに、
(12)
③ ある{xは弟子であって、xの師匠は、y以外にはゐないものの、すべてのyについて、yがxの師匠であるならば、xはyに及んでゐる}。
といふことは、
③ yといふ、一人の師匠の弟子の中には、そのyに劣らない、xといふ、弟子がゐる。
といふことである。
従って、
(08)(11)(12)により、
(13)
① 弟子不必不如師=
① 弟子不必不一レ師=
① 弟子不[必不〔如(師)〕]⇒
① 弟子[必〔(師)如〕不]不=
① 弟子は[必ずしも〔(師に)如か〕ずんば]あらず=
① 弟子は、必ずしも、師匠に及ばない。といふわけではない(師の説 韓愈)。
といふ「漢文」は、
② ~∀x{弟子x→[ ∃y(師yx&~如xy)&∀z(師zx→z=y)]}
③  ∃x{弟子x&[~∃z(師zx& z≠y)→∀y(師yx→如xy)]}
といふ「述語論理(Predicate logic)」に、対応する。
然るに、
(14)
「昨日(令和02年02月28日)」で説明した通り、例へば、
① 學而不思則罔(学びて思はざれば、すなはち、罔し)。
② 學&~思→罔(學であって、思でないならば、罔である)。
に於いて、
① の「 漢文 」と、
② の「論理式」は、「完全に等しい」。
然るに、
(15)
① 弟子不必不如師。
② ~∀x{弟子x→[∃y(師yx&~如xy)&∀z(師zx→z=y)]}
に於いて、
① の「 漢文 」と、
② の「論理式」は、「全く、見た目が違ふ」。
然るに、
(16)
それでは、狭義の述語論理において究極的な主語となるものは何であろうか。それは「人間」というような一般的なものではない。また「ソクラテス」も述語になりうるし、「これ」すらも「これとは何か」という問に対して「部屋の隅にある机がこれです」ということができる。
そこで私たちは主語を示す変項x、yを文字通りに解釈して、「或るもの」(英語で表現するならば something)とか、「他の或るもの」というような不定代名詞にあたるものを最も基本的な主語とする。そこで「ソクラテスは人間である」といふ一つの文は、
 (xはソクラテスである)(xは人間である)
という、もっとも基本的な 主語-述語 からなる二つの文の特定の組み合わせと考えることができる。すなわち、
 SはPである。
という一般的な 主語-述語文は、
 Fx Gx
という二つの文で構成されていると考える。そしてこの場合、Fx はもとの文の主語に対応し、Gx は述語に対応していることがわかる。
(沢田充茂、現代論理学入門、1962年、118・119頁)
従って、
(16)により、
(17)
述語論理(Predicate logic)」の場合は、一つには
 SはPである。
という一般的な 主語-述語文であっても、
 Fx(xはFである)
 Gx(xはGである)
という二つの文で構成されていると考える。が故に、
① 弟子不必不如師。
② ~∀x{弟子x→[∃y(師yx&~如xy)&∀z(師zx→z=y)]}
に於いて、
① の「 漢文 」と、
② の「論理式」は、「全く、見た目が違ふ」。
といふ、ことになる。
(18)
以前に書いた、{「師の説(韓愈)」の「述語論理」}に関しては、無かったことに、して貰へると、助かります。


(534)「漢文」と「命題論理」。

2020-02-28 18:07:14 | 訓読・論理学

(01)
① 學而不思則罔=
① 學而不(思)則罔⇒
① 學而(思)不則罔=
① 学びて思はざれば則ち罔し=
① 学んでも、考へなければ、〔物事は〕ハッキリしない(論語、爲政、十五)。
然るに、
(02)
「而」は「&」であって、
「不」は「~」であって、
「則」は「→」であって、
① 學而不思則罔。といふ「 漢文 」は、まさに、
② 學&~思→罔。といふ「論理式」そのものである。
然るに、
(03)
「~」の「結合力」は、
「&」の「結合力」よりも強く、
「&」の「結合力」は、
「→」の「結合力」よりも強い。
従って、
(02)(03)により、
(04)
① 學而不思則罔。
② 學&~思→罔。
に於いて、
①=② であるならば、
①(學而不思)則罔。
②(學&~思)→罔。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(05)
(ⅰ)
1  (1) (學&~思)→罔 A
 2 (2)       ~罔 A
12 (3)~(學&~思)   12MTT
12 (4) ~學∨ 思    3ド・モルガンの法則
12 (5)  學→ 思    4含意の定義
1  (6)~罔→(學→思)  25CP
  7(7)(學&~罔)    7A
  7(8)  ~罔      7&E
1 7(9)    學→思   78MPP
  7(ア)    學     7&E
1 7(イ)      思   9アMPP
1  (ウ)(學&~罔)→思  7イCP
(ⅱ)
1  (1) (學&~罔)→思 A
 2 (2)       ~思 A
12 (3)~(學& 罔)   12MTT
12 (4) ~學∨ 罔    3ド・モルガンの法則
12 (5)  學→ 罔    4含意の定義
1  (6)~思→(學→ 罔) 25CP
  7(7)(學&~思)    A
  7(8)~思        7&E
1 7(9)    學→ 罔  78MPP
  7(ア)    學     7&E
1 7(イ)       罔  9アMPP
1  (ウ)(學&~思)→罔  7イCP
従って、
(05)により、
(06)
①(學&~思)→罔
②(學&~罔)→思
に於いて、
①=② である。
① 学びて思はざれば則ち罔し。
② 学びて罔かざれば、則ち思ふ。
従って、
(01)(06)により、
(07)
① 学んでも、考えなければ、(物事)はハッキリしない。
② 学んでゐて、その上、(物事)がハッキリするのであれば、考へてゐる。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(08)
魯の人。孔門十哲の一人で、随一の秀才。孔子にその将来を嘱望されたが、孔子に先立って没した。顏回は名誉栄達を求めず、ひたすら孔子の教えを理解し実践することを求めた。その暮らしぶりは極めて質素であったという。このことから老荘思想発生の一源流とみなす説もある(ウィキペディア)。
従って、
(01)(07)(08)により、
(09)
② 顏回は、学んでゐて、その上、(物事)がハッキリしてゐるので、考へてゐる。
従って、
(04)~(09)により、
(10)
①(學而不思)則罔。
②(學&~思)→罔。
に於いて、
①=② である。
cf.
① 学びて思はざれば則ち罔し。
② 学びて思はざれば則ち罔し。
然るに、
(11)
「~」の「結合力」は、
「&」の「結合力」よりも強く、
「&」の「結合力」は、
「→」の「結合力」よりも強い。
と決めたのは、「むやみに括弧が多くなるのが、我慢できないからである(E.J.レモン)。」
従って、
(10)(11)により、
(12)
①(學而不思)則罔。
②(學&~思)→罔。
は、「普通」は、
① 學而不思則罔。
② 學&~思→罔。
といふ風に、書く。
従って、
(10)(12)により、
(13)
① 學而不思則罔。 といふ「 漢文 」は、
② 學&~思→罔。 といふ「論理式」そのものである。
然るに、
(14)
ジョ【如】[接続詞]
2もシクハ
A如シクハB [読み]AもシクハB : A・Bは体言 [訳]AあるいはB、Aまたは
(天野成之、漢文基本語辞典、1999年、206頁)
従って、
(14)により、
(15)
「∨(または)」=「如」である。
従って、
(05)(13)(15)により、
(16)
「計算(05)」は、
(ⅰ)
1  (1) 學而不思則罔 A
 2 (2)     不罔 A
12 (3)不學而不思   12MTT
12 (4)不學如 思   3ド・モルガンの法則
12 (5) 學則 思   4含意の定義
1  (6)不罔則學則思  25CP
  7(7)學而不罔    7A
  7(8)  不罔    7而E
1 7(9)   學則思  8MPP
  7(ア)   學    7而E
1 7(イ)     思  9アMPP
1  (ウ)學而不罔則思  7イCP
(ⅱ)
1  (1) 學而不罔則思 A
 2 (2)     不思 A
12 (3)不學而 罔   12MTT
12 (4) 不學如 罔  3ド・モルガンの法則
12 (5)  學則 罔  4含意の定義
1  (6)不思則學則 罔 25CP
  7(7)學而不思    A
  7(8)不思      7而E
1 7(9)   學則 罔 78MPP
  7(ア)   學    7而E
1 7(イ)      罔 9アMPP
1  (ウ)學而不思則罔  7イCP
といふ「計算(16)」と、「完全に、同じ」である。
然るに、
(17)
(ⅰ)
1  (1)    P→Q   A
 2 (2) ~(~P∨Q)  A
  3(3)   ~P     A
  3(4)   ~P∨Q   3∨I
 23(5) ~(~P∨Q)&
        (~P∨Q)  24&I
 2 (6)  ~~P     35RAA
 2 (7)    P     6DN
12 (8)      Q   17MPP
12 (9)   ~P∨Q   8∨I
12 (ア) ~(~P∨Q)&
        (~P∨Q)  29&I
1  (イ)~~(~P∨Q)  2アRAA
1  (ウ)   ~P∨Q   イDN
(ⅱ)
1     (1) ~P∨ Q   A
 2    (2)  P&~Q   A
  3   (3) ~P      A
 2    (4)  P      2&E
 23   (5) ~P&P    34&I
  3   (6)~(P&~Q)  25RAA
   7  (7)     Q   A
 2    (8)    ~Q   2&E
 2 7  (9)  Q&~Q   67&I
   7  (ア)~(P&~Q)  29RAA
1     (イ)~(P&~Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  P      A
     エ(エ)    ~Q   A
    ウエ(オ)  P&~Q   ウエ&I
1   ウエ(カ)~(P&~Q)&
          (P&~Q)  イオ&I
1   ウ (キ)   ~~Q   エカRAA
1   ウ (ク)     Q   キDN
1     (ケ)  P→ Q   ウクCP
従って、
(17)により、
(18)
「計算(17)」は、
(ⅰ)
1  (1)    甲則乙   A
 2 (2) 不(不甲如乙)  A
  3(3)   不甲     A
  3(4)   不甲如乙   3如I
 23(5) 不(不甲如乙)而
        (不甲如乙)  24而I
 2 (6)  不不甲     35RAA
 2 (7)    甲     6DN
12 (8)      乙   17MPP
12 (9)   不甲如乙   8如I
12 (ア) 不(不甲如乙)而
        (不甲如乙)  29而I
1  (イ)不不(不甲如乙)  2アRAA
1  (ウ)   不甲如乙   イDN
(ⅱ)
1     (1) 不甲如 乙   A
 2    (2)  甲而不乙   A
  3   (3) 不甲      A
 2    (4)  甲      2而E
 23   (5) 不甲而甲    34而I
  3   (6)不(甲而不乙)  25RAA
   7  (7)     乙   A
 2    (8)    不乙   2而E
 2 7  (9)  乙而不乙   67而I
   7  (ア)不(甲而不乙)  29RAA
1     (イ)不(甲而不乙)  1367ア如E
    ウ (ウ)  甲      A
     エ(エ)    不乙   A
    ウエ(オ)  甲而不乙   ウエ而I
1   ウエ(カ)不(甲而不乙)而
          (甲而不乙)  イオ而I
1   ウ (キ)   不不乙   エカRAA
1   ウ (ク)     乙   キDN
1     (ケ)  甲則 乙   ウクC甲
といふ「計算(18)」と、「完全に、同じ」である。
従って、
(17)(18)により、
(19)
①  甲則乙(甲ならば、乙である)。
② 不甲如乙(甲でないか乙である)。
に於いて、
①=② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。
従って、
(01)~(19)により、
(20)
漢文」といふ「集合」は、「命題論理」を、その「部分集合」として、含んでゐる
従って、
(21)
明治以前の日本人は、漢文を読むことで論理的な考えを身につけました。漢文は論理的な構文をたくさん含んでいるからです(山下正男、論理的に考えること、1985年、ⅲ)。
といふ「言ひ方」は、「正しい」。
従って、
(20)(21)により、
(22)
「中国語」は学んでも、「漢文」を学ぼうとしない、令和時代の日本人が、明治以前の日本人よりも、「論理的に考えること」が苦手であることは、「已むを得ない」。


(533)「ド・モルガンの法則」:「連言(∩)と選言(∪)」が混在する場合(Ⅲ)。

2020-02-26 18:13:09 | 論理

(01)
―「昨日(2020年2月25日)」は、「半分」しか「計算」しなかったものの、「今回」は、「もう半分を、計算」する。―
―「昨日の計算」は、次の通りである。―
(ⅰ)
1      (1) ~{ P&( Q∨ R)}  A
      (2) ~(~P∨(~Q&~R)}  A
  3    (3)   ~P           A
 23    (4)   ~P∨(~Q&~R)   3∨I
 23    (5) ~(~P∨(~Q&~R)}&
            (~P∨(~Q&~R)}  24&I
 2     (6)  ~~P           3RAA
 2     (7)               6DN(半分ゲット)
   8   (8)      (~Q&~R)   A
   8   (9)   ~P∨(~Q&~R)   8∨I
 2 8   (ア) ~(~P∨(~Q&~R)}&
            (~P∨(~Q&~R)}  29&I
 2     (イ)     ~(~Q&~R)   8RAA
      (ウ)     ~( Q∨ R)   A(RAAを目指す)
     エ (エ)        Q       A
     エ (オ)        Q∨ R    エ∨I
    ウエ (カ)     ~( Q∨ R)&
                ( Q∨ R)   イオ&I
    ウ  (キ)       ~Q       エカRAA
      ク(ク)           R    A
      ク(ケ)        Q∨ R    ク∨I
    ウ ク(コ)     ~( Q∨ R)&
                ( Q∨ R)   ウケ&
    ウ  (サ)          ~R    クコRAA
    ウ  (シ)       ~Q&~R    キサ&I
 2  ウ  (ス)     ~(~Q&~R)&
                (~Q&~R)   イシ&I
 2     (セ)    ~~( Q∨ R)   スRAA
 2     (ソ)      ( Q∨ R)   セDN(残りもゲット)
 2     (タ)    ( Q∨ R)   7ソ&I
12     (チ)  ~{P&( Q∨ R)}&   
             {P&( Q∨ R)}  1タ&I
1      (ツ)~~(~P∨(~Q&~R)}  チRAA
1      (テ)   ~P∨(~Q&~R)   ツDN
(ⅱ)
1      (1)   ~P∨(~Q&~R)   A
      (2)    P&( Q∨ R)   A
      (3)   ~P           A(1選言項L)
 2     (4)    P           2&E
 23    (5)   ~P&P         34&I
      (6)  ~{P&( Q∨ R)}  5RAA
 2     (7)        Q∨ R    2&E
      (8)       ~Q&~R    A(1選言項R)
      (9)        Q       A
   8   (ア)       ~Q       8&E
   89  (イ)        Q&~Q    9ア&I
    9  (ウ)     ~(~Q&~R)   8イRAA
      (エ)           R    A
   8   (オ)          ~R    8&E
   8 エ (カ)        R&~R    エオ&I
     エ (キ)     ~(~Q&~R)   カRAA
 2     (ク)     ~(~Q&~R)   7キ∨E
 2 8   (ケ)      (~Q&~R)&
               ~(~Q&~R)   8ク&I
      (コ)  ~{P&( Q∨ R)}  ケRAA
1      (サ)  ~{P&( Q∨ R)}  1コ∨E
従って、
(01)により、
(02)
① ~{ P&( Q∨ R)}
②     ~P∨(~Q&~R)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
(ⅲ)
1     (1)  ( P& Q)∨ R   A
     (2)  (~P∨~Q)&~R   A
  3   (3)  ( P& Q)      A(1選言項L)
 2    (4)  (~P∨~Q)      2&E
     (5)   ~P          A(4選言項L)
  3   (6)    P          3&E
  35  (7)   ~P&P        56&I
   5  (8) ~( P& Q)      37RAA
     ()      ~Q       A(4選言項R)
  3   (ア)       Q       3&E
  3 9 (イ)    ~Q&Q       9ア&I
    9 (ウ) ~( P& Q)      3イRAA
 2    (エ) ~( P& Q)      4ウ∨E
 23   (オ) ~(P&Q)&(P&Q)  3エ&I
     (カ)~{(~P∨~Q)&~R}  2オRAA
     キ(キ)              A(1選言項R)
 2    (ク)          ~R   2&E
 2   キ(ケ)        R&~R   キク&I
     (コ)~{(~P∨~Q)&~R}  ケRAA
1     (サ)~{(~P∨~Q)&~R}  1コ∨E
(ⅳ)
1      (1) ~{(~P∨~Q)&~R}  A
      (2) ~{( P& Q)∨ R}  A
  3    (3)   ( P& Q)      A
  3    (4)   ( P& Q)∨ R   3∨I
 23    (5) ~{( P& Q)∨ R}&
 2     (6)  ~( P& Q)      35RAA
      (7)  ~(~P∨~Q)      A
    8  (8)    ~P          A
    8  (9)    ~P∨~Q       8∨I
   78  (ア)  ~(~P∨~Q)&
             (~P∨~Q)      79&I
   7   (イ)   ~~P          8アRAA
   7   (ウ)               イDN
     エ (エ)       ~Q       A
     エ (オ)    ~P∨~Q       エ∨I
   7 エ (カ)  ~(~P∨~Q)&
             (~P∨~Q)      7オ&I
   7   (キ)      ~~Q       エカRAA
   7   (ク)               キDN
   7   (ケ)     &        ウク&I
 2 7   (コ)  ~( P& Q)
             ( P& Q)      6ケ&I
 2     (サ) ~~(~P∨~Q)      コRAA
 2     (シ)   (~P∨~Q)      サDN(半分ゲット)
      ス(ス)            R   A
      ス(セ)   ( P& Q)∨ R   ス∨I
 2    ス(ソ) ~{( P& Q)∨ R}&
            {( P& Q)∨ R}  2セ&I
 2     (タ)           ~R   スソRAA(残りもゲット)
 2     (チ)   (~P∨~Q)~R   シタ&I
12     (ツ) ~{(~P∨~Q)&~R}&
            {(~P∨~Q)&~R}  1チ&I
1      (テ)~~{( P& Q)∨ R}  ツRAA
1      (ト)   ( P& Q)∨ R   テDN
従って、
(03)により、
(04)
③   {( P& Q)∨ R}
④ ~{(~P∨~Q)&~R}
に於いて、
③=④ である。
従って、
(04)により、
(05)
 (2+2)= (2×2)= 4
ならば、
-(2+2)=-(2×2)=-4
であることと、「同じやうな理屈」で、
③ ~{( P& Q)∨ R}
④   (~P∨~Q)&~R
に於いて、
③=④ である。
従って、
(02)(05)により、
(06)
①   ~{ P&( Q∨  R)}
②       ~P∨(~Q&~R)
③ ~{( P& Q)∨ R}
④   (~P∨~Q)&~R
に於いて、
①=② であって、
③=④ である。
従って、
(06)により、
(07)
いづれにせよ、
① ~{ P& Q∨ R}
②     ~P∨~Q&~R
③ ~{ P& Q∨ R}
④   ~P∨~Q&~R
に於いて、
①=② であって、
③=④ である。
然るに、
(08)
① ~{P&(Q∨R)}≡~{(P&Q)∨(P∨R)}
③ ~{(P&Q)∨R}≡~{(P∨R)&(Q∨R)}
cf.
分配法則(Distributive property)。
従って、
(07)(08)により、
(09)
①  ~{ P&( Q∨ R)}
②      ~P∨(~Q&~R)
③ ~{( P& Q)∨ R}
④   (~P∨~Q)&~R
に於いて、
①=②=③=④ ではない
然るに、
(10)
(a)
1   (1) ~( P& Q)  A
 2  (2) ~(~P∨~Q)  A
  3 (3)   ~P      A
  3 (4)   ~P∨~Q   3∨I
 23 (5) ~(~P∨~Q)&
 23 (6)  (~P∨~Q)  24&I
 2  (7)  ~~P      3RAA
 2  (8)    P      7DN
   9(9)      ~Q   A
   9(ア)   ~P∨~Q   9∨I
 2 9(イ) ~(~P∨~Q)&
         (~P∨~Q)  2ア&I
 2  (ウ)     ~~Q   9イRAA
 2  (エ)       Q   ウDN
 2  (オ)    P& Q   8エ&I
12  (カ) ~( P& Q)&
         ( P& Q)
1   (キ)~~(~P∨~Q)  2カRAA
1   (ク)   ~P∨~Q   キDN
(b)
1   (1) ~P∨~Q  A
 2  (2)  P& Q  A
  3 (3) ~P     A
 2  (4)  P     2&E
 23 (5) ~P&P   34&I
  3 (6)~(P& Q) 25RAA
   7(7)    ~Q  A
 2  (8)     Q  2&E
 2 7(9)  ~Q&Q  78&I
   7(ア)~(P& Q) 29RAA
1   (イ)~(P& Q) 1367ア∨E
(c)
1  (1)~(P∨Q)  A
 2 (2)  P     A
 2 (3)  P∨Q   2∨I
12 (4)~(P∨Q)&
       (P∨Q)  13&I
1  (5) ~P     24RAA
  6(6)    Q   A
  6(7)  P∨Q   6∨I
1 6(8)~(P∨Q)&
       (P∨Q)  16&I
1  (9)   ~Q   68RAA
1  (ア)~P&~Q   59&I
(d)
1   (1)  ~P&~Q   A
 2  (2)   P∨ Q   A
1   (3)  ~P      1&E
  4 (4)   P      A
1 4 (5)  ~P& P   34&I
  4 (6)~(~P&~Q)  15RAA
1   (7)     ~Q   1&E
   8(8)      Q   A
1  8(9)   Q&~Q   78&I
   8(ア)~(~P&~Q)  19RAA
 2  (イ)~(~P&~Q)  2468ア∨E
12  (ウ) (~P&~Q)&
       ~(~P&~Q)  1イ&I
1   (エ) ~(P∨ Q)  2ウRAA
従って、
(10)により、
(11)
(ⅰ)~(P&Q)⇔ ~P∨~Q
(ⅱ)~(P∨Q)⇔ ~P&~Q
といふ「等式(ド・モルガンの法則)」が、成立する。
然るに、
(12)
(ⅰ)
1  (1)~{P&(Q∨ R)} A
1  (2)~P∨~(Q∨ R)  1ド・モルガンの法則
 3 (3)~P          A
 3 (4)~P∨(~Q&~R)  3∨I
  5(5)   ~(Q∨ R)  A
  5(6)    ~Q&~R   5ド・モルガンの法則
  5(7)~P∨(~Q&~R)    6∨I
1  (8)~P∨(~Q&~R)  23467∨E
(ⅱ)
1  (1)~P∨(~Q&~R)  1
 2 (2)~P          A
 2 (3)~P∨~(Q∨ R)  2∨I
  4(4)   (~Q&~R)  A
  4(5)   ~(Q∨ R)  4ド・モルガンの法則
  4(6)~P∨~(Q∨ R)  5∨I
1  (7)~P∨~(Q∨ R)  12346∨E
1  (8)~{P&(Q∨ R)} 7ド・モルガンの法則
(ⅲ)
1(1)~{(P& Q)∨ R} A
1(2) ~(P& Q)&~R  1ド・モルガンの法則
1(3) ~(P& Q)     2&E
1(4)  ~P∨~Q      3ド・モルガンの法則
1(5)         ~R  2&E
1(6) (~P∨~Q)&~R  45&I
(ⅳ)
1(1) (~P∨~Q)&~R  45&I
1(2) (~P∨~Q)     1&E
1(3) ~(P& Q)     2ド・モルガンの法則
1(4)         ~R  1&E
1(5) ~(P& Q)&~R  34&I
1(6)~{(P& Q)∨ R} 5ド・モルガンの法則
従って、
(12)により、
(13)
①   ~{ P&( Q∨  R)}
②       ~P∨(~Q&~R)
③ ~{( P& Q)∨ R}
④   (~P∨~Q)&~R
に於いて、
①=② であって、
③=④ である。
従って、
(01)(13)により、
(14)
例へば、
(ⅰ)
1      (1) ~{ P&( Q∨ R)}  A
 2     (2) ~(~P∨(~Q&~R)}  A
  3    (3)   ~P           A
 23    (4)   ~P∨(~Q&~R)   3∨I
 23    (5) ~(~P∨(~Q&~R)}&
            (~P∨(~Q&~R)}  24&I
 2     (6)  ~~P           3RAA
 2     (7)    P           6DN
   8   (8)      (~Q&~R)   A
   8   (9)   ~P∨(~Q&~R)   8∨I
 2 8   (ア) ~(~P∨(~Q&~R)}&
            (~P∨(~Q&~R)}  29&I
 2     (イ)     ~(~Q&~R)   8RAA
    ウ  (ウ)     ~( Q∨ R)   A
     エ (エ)        Q       A
     エ (オ)        Q∨ R    エ∨I
    ウエ (カ)     ~( Q∨ R)&
                ( Q∨ R)   イオ&I
    ウ  (キ)       ~Q       エカRAA
      ク(ク)           R    A
      ク(ケ)        Q∨ R    ク∨I
    ウ ク(コ)     ~( Q∨ R)&
                ( Q∨ R)   ウケ&
    ウ  (サ)          ~R    クコRAA
    ウ  (シ)       ~Q&~R    キサ&I
 2  ウ  (ス)     ~(~Q&~R)&
                (~Q&~R)   イシ&I
 2     (セ)    ~~( Q∨ R)   ウス
 2     (ソ)      ( Q∨ R)   セDN
 2     (タ)    P&( Q∨ R)   7ソ&I
12     (チ)  ~{P&( Q∨ R)}&   
             {P&( Q∨ R)}  1タ&I
1      (ツ)~~(~P∨(~Q&~R)}  2チRAA
1      (テ)   ~P∨(~Q&~R)   ツDN
といふ「29行の計算」は、
(ⅰ)
1  (1)~{P&(Q∨ R)} A
1  (2)~P∨~(Q∨ R)  1ド・モルガンの法則
 3 (3)~P          A
 3 (4)~P∨(~Q&~R)  3∨I
  5(5)   ~(Q∨ R)  A
  5(6)    ~Q&~R   5ド・モルガンの法則
  5(7)~P∨(~Q&~R)    6∨I
1  (8)~P∨(~Q&~R)  23467∨E
といふ「8行の計算」に、「置き換へ」ることが、出来る。
従って、
(15)
29行の計算」は、「無駄」であると言へば、「無駄」であるが、
① ~(P&Q)
といふ「式」に於いて、
Q=(Q∨R)
といふ「代入(Substitution)」を行った「式」が、
① ~{P&(Q∨R)}
といふ「式」である。
従って、
(14)(15)により、
(16)
(ⅰ)
1      (1) ~{ P&( Q∨ R)}  A
 2     (2) ~(~P∨(~Q&~R)}  A
  3    (3)   ~P           A
 23    (4)   ~P∨(~Q&~R)   3∨I
 23    (5) ~(~P∨(~Q&~R)}&
            (~P∨(~Q&~R)}  24&I
 2     (6)  ~~P           3RAA
 2     (7)    P           6DN
   8   (8)      (~Q&~R)   A
   8   (9)   ~P∨(~Q&~R)   8∨I
 2 8   (ア) ~(~P∨(~Q&~R)}&
            (~P∨(~Q&~R)}  29&I
 2     (イ)     ~(~Q&~R)   8RAA
    ウ  (ウ)     ~( Q∨ R)   A
     エ (エ)        Q       A
     エ (オ)        Q∨ R    エ∨I
    ウエ (カ)     ~( Q∨ R)&
                ( Q∨ R)   イオ&I
    ウ  (キ)       ~Q       エカRAA
      ク(ク)           R    A
      ク(ケ)        Q∨ R    ク∨I
    ウ ク(コ)     ~( Q∨ R)&
                ( Q∨ R)   ウケ&
    ウ  (サ)          ~R    クコRAA
    ウ  (シ)       ~Q&~R    キサ&I
 2  ウ  (ス)     ~(~Q&~R)&
                (~Q&~R)   イシ&I
 2     (セ)    ~~( Q∨ R)   ウス
 2     (ソ)      ( Q∨ R)   セDN
 2     (タ)    P&( Q∨ R)   7ソ&I
12     (チ)  ~{P&( Q∨ R)}&   
             {P&( Q∨ R)}  1タ&I
1      (ツ)~~(~P∨(~Q&~R)}  2チRAA
1      (テ)   ~P∨(~Q&~R)   ツDN
といふ「計算」は、
① ~(P&Q)
といふ「式」に於いて、
Q=(Q∨R)
といふ「代入(Substitution)」を行っても、「ド・モルガンの法則」は「有効である」。といふことに対する、「証明(証拠)」になってゐる。


(532)「ド・モルガンの法則」:「連言(∩)と選言(∪)」が混在する場合(Ⅱ)。

2020-02-25 20:15:05 | 論理

(01)
―「前回(2020年2月23日)」は、「代入」で求めたものの、「今回」は、「直接計算」する。―
(ⅰ)
1      (1) ~{ P&( Q∨ R)}  A
      (2) ~(~P∨(~Q&~R)}  A
  3    (3)   ~P           A
 23    (4)   ~P∨(~Q&~R)   3∨I
 23    (5) ~(~P∨(~Q&~R)}&
            (~P∨(~Q&~R)}  24&I
 2     (6)  ~~P           3RAA
 2     (7)               6DN
   8   (8)      (~Q&~R)   A
   8   (9)   ~P∨(~Q&~R)   8∨I
 2 8   (ア) ~(~P∨(~Q&~R)}&
            (~P∨(~Q&~R)}  29&I
 2     (イ)     ~(~Q&~R)   8RAA
    ウ  (ウ)     ~( Q∨ R)   A
     エ (エ)        Q       A
     エ (オ)        Q∨ R    エ∨I
    ウエ (カ)     ~( Q∨ R)&
                ( Q∨ R)   イオ&I
    ウ  (キ)       ~Q       エカRAA
      ク(ク)           R    A
      ク(ケ)        Q∨ R    ク∨I
    ウ ク(コ)     ~( Q∨ R)&
                ( Q∨ R)   ウケ&
    ウ  (サ)          ~R    クコRAA
    ウ  (シ)       ~Q&~R    キサ&I
 2  ウ  (ス)     ~(~Q&~R)&
                (~Q&~R)   イシ&I
 2     (セ)    ~~( Q∨ R)   ウスRAA
 2     (ソ)      ( Q∨ R)   セDN
 2     (タ)    ( Q∨ R)   7ソ&I
12     (チ)  ~{P&( Q∨ R)}&   
             {P&( Q∨ R)}  1タ&I
1      (ツ)~~(~P∨(~Q&~R)}  チRAA
1      (テ)   ~P∨(~Q&~R)   ツDN
(ⅱ)
1      (1)   ~P∨(~Q&~R)   A
      (2)    P&( Q∨ R)   A
  3    (3)   ~P           A
 2     (4)    P           2&E
 23    (5)   ~P&P         34&I
  3    (6)  ~{P&( Q∨ R)}  5RAA
 2     (7)        Q∨ R    2&E
   8   (8)       ~Q&~R    A
    9  (9)        Q       A
   8   (ア)       ~Q       8&E
   89  (イ)        Q&~Q    9ア&I
    9  (ウ)     ~(~Q&~R)   8イRAA
     エ (エ)           R    A
   8   (オ)          ~R    8&E
   8 エ (カ)        R&~R    エオ&I
     エ (キ)     ~(~Q&~R)   8カRAA
 2     (ク)     ~(~Q&~R)   79ウエキ∨E
 2 8   (ケ)      (~Q&~R)&
               ~(~Q&~R)   8ク&I
   8   (コ)  ~{P&( Q∨ R)}  ケRAA
1      (サ)  ~{P&( Q∨ R)}  1368コ∨E
従って、
(01)により、
(02)
① ~{ P&( Q∨ R)}
②     ~P∨(~Q&~R)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)
「演算子」としての「&」と、
「演算子」としての「∨」の「結合力」は「等しい」。
従って、
(02)(03)により、
(04)
① ~{ P&( Q∨ R} 
②     ~P∨(~Q&~R)
に於いて、
①=② であるならば、
③ ~{(P& Q)∨ R} 
④   (~P∨~Q)&~R
に於いて、
③=④
でなければ、ならない。
然るに、
(05)
(ⅲ)
1(1)~{(P& Q)∨ R} A
1(2) ~(P& Q)&~R  1ド・モルガンの法則
1(3) ~(P& Q)     2&E
1(4)  ~P∨~Q      3ド・モルガンの法則
1(5)         ~R  2&E
1(6) (~P∨~Q)&~R  45&I
(ⅳ)
1(1) (~P∨~Q)&~R  45&I
1(2) (~P∨~Q)     1&E
1(3) ~(P& Q)     2ド・モルガンの法則
1(4)         ~R  1&E
1(5) ~(P& Q)&~R  34&I
1(6)~{(P& Q)∨ R} 5ド・モルガンの法則
従って、
(04)(05)により、
(06)
① ~{ P&( Q∨ R)} 
②     ~P∨(~Q&~R)
に於いて、
①=② であるならば、果たして、
③ ~{(P& Q)∨ R} 
④   (~P∨~Q)&~R
に於いて、
③=④ である。
従って、
(01)~(06)により、
(07)
① ~{ P&( Q∨ R)}
②     ~P∨(~Q&~R)
③ ~{(P& Q)∨ R} 
④   (~P∨~Q)&~R
に於いて、
①=② であって、
③=④ である。
従って、
(07)により、
(08)
Q=~Q
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
① ~{ P&( ~Q∨ R)}
②     ~P∨(~~Q&~R)
③ ~{(P& ~Q)∨ R} 
④   (~P∨~~Q)&~R
従って、
(08)により、
(09)
「二重否定律(DN)」により、
① ~{ P&(~Q∨ R)}
②     ~P∨( Q&~R)
③ ~{(P&~Q)∨ R}
④   (~P∨ Q)&~R
に於いて、
①=② であって、
③=④ である。
従って、
(09)により、
(10)
「連言(&)と選言(∨)」が混在する場合の「ド・モルガンの法則」は、例へば、
① ~{ P&(~Q∨ R)}
②     ~P∨( Q&~R)
③ ~{(P&~Q)∨ R}
④   (~P∨ Q)&~R
に於いて、
①=② であって、
③=④ である。
然るに、
(11)
「君子不以其所以養人者害人」と「その対偶」の「述語論理」(2020年2月23日)。でも書いたものの、
あるいは、探し方が悪いのかもしれませんが、
① ~{ P&(~Q∨ R)}
②     ~P∨( Q&~R)
③ ~{(P&~Q)∨ R}
④   (~P∨ Q)&~R
のやうに、「連言(&)と選言(∨)」が混在する場合の「ド・モルガンの法則」に関する「説明」は、少なくとも、「グーグルの1ページ目」では、見付けることが出来ません。


(531)「ド・モルガンの法則」と「含意の定義」と「命題計算」。

2020-02-25 12:37:10 | 論理

(01)
(a)
 1   (1) ~( P& Q)  A
  2  (2) ~(~P∨~Q)  A
   3 (3)   ~P      A
   3 (4)   ~P∨~Q   3∨I
  23 (5) ~(~P∨~Q)&
  23 (6)  (~P∨~Q)  24&I
  2  (7)  ~~P      3RAA
  2  (8)    P      7DN
    9(9)      ~Q   A
    9(ア)   ~P∨~Q   9∨I
  2 9(イ) ~(~P∨~Q)&
          (~P∨~Q)  2ア&I
  2  (ウ)     ~~Q   9イRAA
  2  (エ)       Q   ウDN
  2  (オ)    P& Q   8エ&I
 12  (カ) ~( P& Q)&
          ( P& Q)
 1   (キ)~~(~P∨~Q)  2カRAA
 1   (ク)   ~P∨~Q   キDN
(b)
1    (1) ~( P& Q& R)  A
 2   (2) ~(~P∨~Q∨~R)  A
  3  (3)   ~P         A
  3  (4)   ~P∨~Q      3∨I
  3  (5)   ~P∨~Q∨~R   4∨I
 23  (6) ~(~P∨~Q∨~R)&
          (~P∨~Q∨~R)  25&I
 2   (7)  ~~P         3RAA
 2   (8)    P         7DN
   9 (9)      ~Q      A
   9 (ア)   ~P∨~Q      9∨I
   9 (イ)   ~P∨~Q∨~R   ア∨I
 2 9 (ウ) ~(~P∨~Q∨~R)&
          (~P∨~Q∨~R)  2イ&I
 2   (エ)     ~~Q      9ウRAA
 2   (オ)       Q      エDN
    カ(カ)         ~R   A
    カ(キ)      ~Q∨~R   カ∨I
    カ(ク)   ~P∨~Q∨~R   キ∨I
 2  カ(ケ) ~(~P∨~Q∨~R)&
          (~P∨~Q∨~R)  2ク&I
 2   (コ)        ~~R   カケDN
 2   (サ)          R   コDN
 2   (シ)    P& Q      8オ&I
 2   (ス)    P& Q& R   サシ&I
12   (セ) ~( P& Q& R)&
          ( P& Q& R)  1ス&I
1    (ソ)~~(~P∨~Q∨~R)  2セRAA
1    (タ)   ~P∨~Q∨~R   ソDN
(02)
(c)
 1   (1) ~P∨~Q  A
  2  (2)  P& Q  A
   3 (3) ~P     A
  2  (4)  P     2&E
  23 (5) ~P&P   34&I
   3 (6)~(P& Q) 25RAA
    7(7)    ~Q  A
  2  (8)     Q  2&E
  2 7(9)  ~Q&Q  78&I
    7(ア)~(P& Q) 29RAA
 1   (イ)~(P& Q) 1367ア∨E
(d)
1    (1) ~P∨~Q∨~R  A
 2   (2)  P& Q& R  A
  3  (3) ~P        A
 2   (4)  P        2&E
 23  (5) ~P&P      34&I
  3  (6)~(P& Q& R) 25RAA
   7 (7)    ~Q     A
 2   (8)     Q     2&E
 2 7 (9)    ~Q&Q   78&I
   7 (ア)~(P& Q& R) 29RAA      
    イ(イ)       ~R  A
 2   (ウ)        R  2&E
 2  イ(エ)     ~R&R  イウ&
    イ(オ)~(P& Q& R) 2エRAA
1    (カ)~(P& Q& R) 1367アイオ∨E
従って、
(01)(02)により、
(03)
(ⅰ)~(P&Q)  ⇔ ~P∨~Q
(〃)~(P&Q&R)⇔ ~P∨~Q∨~R
といふ「等式(ド・モルガンの法則)」が、成立する。
(04)
(e)
  1  (1)~(P∨Q)  A
   2 (2)  P     A
   2 (3)  P∨Q   2∨I
  12 (4)~(P∨Q)&
         (P∨Q)  13&I
  1  (5) ~P     24RAA
    6(6)    Q   A
    6(7)  P∨Q   6∨I
  1 6(8)~(P∨Q)&
         (P∨Q)  16&I
  1  (9)   ~Q   68RAA
  1  (ア)~P&~Q   59&I
(f)
1   (1) ~(P∨Q∨R)  A
 2  (2)   P       A
 2  (3)   P∨Q     2∨I
 2  (4)   P∨Q∨R
12  (5) ~(P∨Q∨R)&
         (P∨Q∨R)  14&I
1   (6)  ~P       2RAA
  7 (7)     Q     A
  7 (8)   P∨Q     7∨I
  7 (9)   P∨Q∨R   8∨I
1 7 (ア) ~(P∨Q∨R)&
         (P∨Q∨R)  19&I
1   (イ)    ~Q     7アRAA
   ウ(ウ)       R   A
   ウ(エ)     Q∨R   ウ∨I
   ウ(オ)   P∨Q∨R   エ∨I
1  ウ(カ) ~(P∨Q∨R)&
         (P∨Q∨R)  1オ&I
1   (キ)      ~R   ウカRAA
1   (ク)~P&~Q      6イ&I
1   (ケ)~P&~Q&~R   キク&I
(05)
(g)
 1   (1)  ~P&~Q   A
  2  (2)   P∨ Q   A
 1   (3)  ~P      1&E
   4 (4)   P      A
 1 4 (5)  ~P& P   34&I
   4 (6)~(~P&~Q)  15RAA
 1   (7)     ~Q   1&E
    8(8)      Q   A
 1  8(9)   Q&~Q   78&I
    8(ア)~(~P&~Q)  19RAA
  2  (イ)~(~P&~Q)  2468ア∨E
 12  (ウ) (~P&~Q)&
       ~(~P&~Q)  1イ&I
 1   (エ) ~(P∨ Q)  2ウRAA
(h)
1    (1)  ~P&~Q&~R   A
 2   (2)   P∨ Q∨ R   A
1    (3)  ~P         1&E
  4  (4)   P         A
1 4  (5)  ~P& P      34&I
  4  (6)~(~P&~Q&~R)  15RAA
1    (7)     ~Q      1&E
   8 (8)      Q      A
1  8 (9)   Q&~Q      A
   8 (ア)~(~P&~Q&~R)  19RAA
1    (イ)        ~R   1&E
    ウ(ウ)         R   A
1   ウ(エ)      ~R&R   イウ&I
    ウ(オ)~(~P&~Q&~R)  1エRAA
 2   (カ)~(~P&~Q&~R)  1368アウオイウ∨E
従って、
(04)(05)により、
(06)
(ⅱ)~(P∨Q)  ⇔ ~P&~Q
(〃)~(P∨Q∨R)⇔ ~P&~Q&~Q
といふ「等式(ド・モルガンの法則)」が、成立する。
従って、
(03)(06)により、
(07)
(ⅰ)~(P&Q)  ⇔ ~P∨~Q
(〃)~(P&Q&R)⇔ ~P∨~Q∨~R
(ⅱ)~(P∨Q)  ⇔ ~P&~Q
(〃)~(P∨Q∨R)⇔ ~P&~Q&~Q
といふ「等式(ド・モルガンの法則)」が、成立する。
然るに、
(01)(02)(04)(05)により、
(08)
(ⅰ)~(P&Q)  ⇔ ~P∨~Q
(ⅱ)~(P∨Q)  ⇔ ~P&~Q
といふ「等式」と、
(ⅰ)~(P&Q&R)⇔ ~P∨~Q∨~R
(ⅱ)~(P∨Q∨R)⇔ ~P&~Q&~Q
といふ「等式」は、「計算」としては、「命題の数」が、一方は「2つ」で、一方が「3つ」であるといふことに、過ぎない。
従って、
(09)
(ⅰ)~(P&Q)  ⇔ ~P∨~Q
(〃)~(P&Q&R)⇔ ~P∨~Q∨~R
(ⅱ)~(P∨Q)  ⇔ ~P&~Q
(〃)~(P∨Q∨R)⇔ ~P&~Q&~Q
といふ「等式」が成立する以上、当然、
(ⅰ)~(P&Q)    ⇔ ~P∨~Q
(〃)~(P&Q&R)  ⇔ ~P∨~Q∨~R
(〃)~(P&Q&R&S)⇔ ~P∨~Q∨~R∨~S
(ⅱ)~(P∨Q)    ⇔ ~P&~Q
(〃)~(P∨Q∨R)  ⇔ ~P&~Q&~Q
(〃)~(P∨Q∨R∨S)⇔ ~P&~Q&~Q&~S
といふ「等式」が成立する。
然るに、
(10)
右の「等式」は、
(ⅰ)~(0&1)    ⇔ ~0∨~1
(〃)~(0&1&2)  ⇔ ~0∨~1∨~2
(〃)~(0&1&2&3)⇔ ~0∨~1∨~2∨~3
(ⅱ)~(0∨1)    ⇔ ~0&~1
(〃)~(0∨1∨2)  ⇔ ~0&~1&~2
(〃)~(0∨1∨2∨3)⇔ ~0&~1&~2&~3
といふ風に、書くことが出来る。
従って、
(09)(10)により、
(11)
「ド・モルガンの法則」は、「(2以上の)自然数」と「同じ個数(無限個)」の「命題」に於いても、成立する。
cf.
数学的帰納法(mathematical induction)。
然るに、
(12)
(ⅰ)
 1  (1)    P→~Q   A
  2 (2) ~(~P∨~Q)  A
   3(3)   ~P      A
   3(4)   ~P∨~Q   3∨I
  23(5) ~(~P∨~Q)&
         (~P∨~Q)  24&I
  2 (6)  ~~P      35RAA
  2 (7)    P      6DN
 12 (8)      ~Q   17MPP
 12 (9)   ~P∨~Q   8∨I
 12 (ア) ~(~P∨~Q)&
         (~P∨~Q)  29&I
 1  (イ)~~(~P∨~Q)  2アRAA
 1  (ウ)   ~P∨~Q   イDN
(ⅱ)
1     (1) ~P∨ ~Q   A
 2    (2)  P&~~Q   A
  3   (3) ~P       A
 2    (4)  P       2&E
 23   (5) ~P&P     34&I
  3   (6)~(P&~~Q)  25RAA
   7  (7)     ~Q   A
 2    (8)    ~~Q   2&E
 2 7  (9) ~Q&~~Q   67&I
   7  (ア)~(P&~~Q)  29RAA
1     (イ)~(P&~~Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  P       A
     エ(エ)    ~~Q   A
    ウエ(オ)  P&~~Q   ウエ&I
1   ウエ(カ)~(P&~~Q)&
          (P&~~Q)  イオ&I
1   ウ (キ)   ~~~Q   エカRAA
1   ウ (ク)     ~Q   キDN
1     (ケ)  P→ ~Q   ウクCP
従って、
(12)により、
(13)
①  P→~Q
② ~P∨~Q
に於いて、
①=② である。
然るに、
(03)により、
(14)
② ~P∨~Q
③ ~(P&Q)
に於いて、
②=③ である。
従って、
(13)(14)により、
(15)
①  P→~Q
② ~P∨~Q
③ ~(P&Q)
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(16)
Q=~Q
といふ「代入(Substitutuion)」を行ふと、
①  P→~~Q
② ~P∨~~Q
③ ~(P&~Q)
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(17)
「二重否定律(DN)」により、
①   P→ Q
②  ~P∨ Q
③ ~(P&~Q)
に於いて、
①=②=③ であるが、
①=② を称して、「含意の定義」といひ、
①=③ を称して、「含意の定義」といふ。
然るに、
(18)
(ⅰ)
1  (1) (P& Q)→R A
1  (2)~(P& Q)∨R 1含意の定義
 3 (3)~(P& Q)   A
 3 (4) ~P∨~Q    3ド・モルガンの法則
 3 (5) ~P∨~Q ∨R 4∨I
  6(6)        R A
  6(7)    ~Q ∨R 6∨I
  6(8) ~P∨~Q ∨R 7∨I
1  (9) ~P∨~Q ∨R 23568∨E
1  (ア)(~P∨~Q)∨R 9結合法則
(ⅱ)
1  (1)(~P∨~Q)∨R A
 2 (2)(~P∨~Q)   A
 2 (3)~(P& Q)   3ド・モルガンの法則
 2 (4)~(P& Q)∨R 3∨I
  5(5)        R A
  5(6)~(P& Q)∨R 5∨I
1  (7)~(P& Q)∨R 12456∨E
1  (8) (P& Q)→R 7含意の定義
従って、
(18)により、
(19)
①  (P& Q)→R
② (~P∨~Q)∨R
に於いて、
①=② である。
然るに、
(20)
(ⅰ)
1  (1)  (P&Q)→ R  A
 2 (2)  (P&Q)&~R  A
 2 (3)  (P&Q)     2&E
12 (4)         R  13MPP
 2 (5)        ~R  2&E
12 (6)      R&~R   45&I
1  (7)~{(P&Q)&~R} 26RAA
(ⅲ)
1  (1)~{(P&Q)&~R} A
1  (2) ~(P&Q)∨ R  1ド・モルガンの法則
1  (3)  (P&Q)→ R  2含意の定義
従って、
(20)により、
(21)
①   (P&Q)→R
③ ~{(P&Q)&~R}
に於いて、
①=③ である。
従って、
(19)(21)により、
(22)
①   (P& Q)→ R
②  (~P∨~Q)∨ R
③ ~{(P& Q)&~R}
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(23)
同じこと」なので、敢へて、一つだけ「計算」すると、
(ⅰ)
1  (1) (P& Q& R)→S A
1  (2)~(P& Q& R)∨S 1含意の定義
 3 (3)~(P& Q& R)   A
 3 (4) ~P∨~Q∨~R    3ド・モルガンの法則
 3 (5) ~P∨~Q∨~R ∨S 4∨I
  6(6)           S A
  6(7)       ~Q ∨S 6∨I
  6(8)    ~Q∨~R ∨S 7∨I
  6(9) ~P∨~Q∨~R ∨S 8∨I
1  (ア) ~P∨~Q∨~R ∨S 23569∨E
1  (イ)(~P∨~Q∨~R)∨S ア結合法則
従って、
(17)(22)(23)により、
(24)
①   (P& Q& R)→ S
②  (~P∨~Q∨~R)∨ S
③ ~{(P& Q& R)&~S}
に於いて、
①=②=③ である。
然るに、
(25)
①   (P& Q)→ R
②  (~P∨~Q)∨ R
③ ~{(P& Q)&~R}
に於いて、
①=②=③ であること覚えてゐれば、
①   P→ Q
②  ~P∨ Q
③ ~(P&~Q)
に於いて、
①=②=③ ことも、
①   (P& Q& R)→ S
②  (~P∨~Q∨~R)∨ S
③ ~{(P& Q& R)&~S}
に於いて、
①=②=③ であることも、両方とも、思ひだすことが、出来る。
然るに、
(26)
①   P→ R
②  ~P∨ R
③ ~{P&~R}
に於いて、
P=(P&Q)
といふ「代入(Substitutuion)」を行ふと、
①   (P&Q)→ R
②  ~(P&Q)∨ R
③ ~{(P&Q)&~R}
然るに、
(27)
「ド・モルガンの法則」により、
②  ~(P&Q)=(~P∨~Q)
であるため、
①   (P&Q)→ R
②  ~(P&Q)∨ R
③ ~{(P&Q)&~R}
であるならば、
①   (P& Q)→ R
②  (~P∨~Q)∨ R
③ ~{(P& Q)&~R}
である。
従って、
(01)~(27)により、
(28)
以上に於いて、「計算ミス」は無い。
然るに、
(29)
「命題計算(Propositional calculus)」は、「1(真)と0(偽)」だけを、「値(value)」とする「計算」である。
従って、
(30)
①   P→ R
②  ~P∨ R
③ ~{P&~R}
に於いて、
P=(P&Q)
といふ「代入(Substitutuion)」を行ふといふことは、
①   P→ R
②  ~P∨ R
③ ~{P&~R}
に於いて、
P=1(真) または、
P=0(偽) といふ「代入(Substitutuion)」を行ふ。といふことである。
然るに、
(31)
①   P→ R
②  ~P∨ R
③ ~{P&~R}
に於いて、
①=②=③ であるならば、当然、
①   1→ R
②  ~1∨ R
③ ~{1&~R}
に於いても、
①=②=③ であるし、
①   0→ R
②  ~0∨ R
③ ~{0&~R}
に於いても、
①=②=③ である。
従って、
(01)~(31)により、
(32)
以上の「内容」は、
①   P→ R
②  ~P∨ R
③ ~{P&~R}
に於いて、
①=②=③ であるならば、当然、
①   1→ R
②  ~1∨ R
③ ~{1&~R}
に於いても、
①=②=③ であるし、
①   0→ R
②  ~0∨ R
③ ~{0&~R}
に於いても、
①=②=③ である。
といふことに対する、「確認」である。
といふ風に、言へないこともない。
(33)
(S1)証明された定理の任意の代入例に対して、証明が見出されうる。
(S1)A proof can be found for any substitution-instance of a proved theorem.
(E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、69頁と原文)
といふことは、「実感」としても、確かに、「正しい」。


(530)「ド・モルガンの法則」は、「自然数」と「同じ個数(無限個)」の「命題」に於いても、成立する。

2020-02-24 18:52:26 | 論理

(01)
(a)
1   (1) ~( P& Q)  A
 2  (2) ~(~P∨~Q)  A
  3 (3)   ~P      A
  3 (4)   ~P∨~Q   3∨I
 23 (5) ~(~P∨~Q)&
 23 (6)  (~P∨~Q)  24&I
 2  (7)  ~~P      3RAA
 2  (8)    P      7DN
   9(9)      ~Q   A
   9(ア)   ~P∨~Q   9∨I
 2 9(イ) ~(~P∨~Q)&
         (~P∨~Q)  2ア&I
 2  (ウ)     ~~Q   9イRAA
 2  (エ)       Q   ウDN
 2  (オ)    P& Q   8エ&I
12  (カ) ~( P& Q)&
         ( P& Q)
1   (キ)~~(~P∨~Q)  2カRAA
1   (ク)   ~P∨~Q   キDN
(b)
1   (1) ~P∨~Q  A
 2  (2)  P& Q  A
  3 (3) ~P     A
 2  (4)  P     2&E
 23 (5) ~P&P   34&I
  3 (6)~(P& Q) 25RAA
   7(7)    ~Q  A
 2  (8)     Q  2&E
 2 7(9)  ~Q&Q  78&I
   7(ア)~(P& Q) 29RAA
1   (イ)~(P& Q) 1367ア∨E
(c)
1  (1)~(P∨Q)  A
 2 (2)  P     A
 2 (3)  P∨Q   2∨I
12 (4)~(P∨Q)&
       (P∨Q)  13&I
1  (5) ~P     24RAA
  6(6)    Q   A
  6(7)  P∨Q   6∨I
1 6(8)~(P∨Q)&
       (P∨Q)  16&I
1  (9)   ~Q   68RAA
1  (ア)~P&~Q   59&I
(d)
1   (1)  ~P&~Q   A
 2  (2)   P∨ Q   A
1   (3)  ~P      1&E
  4 (4)   P      A
1 4 (5)  ~P& P   34&I
  4 (6)~(~P&~Q)  15RAA
1   (7)     ~Q   1&E
   8(8)      Q   A
1  8(9)   Q&~Q   78&I
   8(ア)~(~P&~Q)  19RAA
 2  (イ)~(~P&~Q)  2468ア∨E
12  (ウ) (~P&~Q)&
       ~(~P&~Q)  1イ&I
1   (エ) ~(P∨ Q)  2ウRAA
従って、
(01)により、
(02)
(ⅰ)~(P&Q)⇔ ~P∨~Q
(ⅱ)~(P∨Q)⇔ ~P&~Q
といふ「等式(ド・モルガンの法則)」が、成立する。
然るに、
(03)
(e)
1    (1) ~( P& Q& R)  A
 2   (2) ~(~P∨~Q∨~R)  A
  3  (3)   ~P         A
  3  (4)   ~P∨~Q      3∨I
  3  (5)   ~P∨~Q∨~R   4∨I
 23  (6) ~(~P∨~Q∨~R)&
          (~P∨~Q∨~R)  25&I
 2   (7)  ~~P         3RAA
 2   (8)    P         7DN
   9 (9)      ~Q      A
   9 (ア)   ~P∨~Q      9∨I
   9 (イ)   ~P∨~Q∨~R   ア∨I
 2 9 (ウ) ~(~P∨~Q∨~R)&
          (~P∨~Q∨~R)  2イ&I
 2   (エ)     ~~Q      9ウRAA
 2   (オ)       Q      エDN
    カ(カ)         ~R   A
    カ(キ)      ~Q∨~R   カ∨I
    カ(ク)   ~P∨~Q∨~R   キ∨I
 2  カ(ケ) ~(~P∨~Q∨~R)&
          (~P∨~Q∨~R)  2ク&I
 2   (コ)        ~~R   カケDN
 2   (サ)          R   コDN
 2   (シ)    P& Q      8オ&I
 2   (ス)    P& Q& R   サシ&I
12   (セ) ~( P& Q& R)&
          ( P& Q& R)  1ス&I
1    (ソ)~~(~P∨~Q∨~R)  2セRAA
1    (タ)   ~P∨~Q∨~R   ソDN
(f)
1    (1) ~P∨~Q∨~R  A
 2   (2)  P& Q& R  A
  3  (3) ~P        A
 2   (4)  P        2&E
 23  (5) ~P&P      34&I
  3  (6)~(P& Q& R) 25RAA
   7 (7)    ~Q     A
 2   (8)     Q     2&E
 2 7 (9)    ~Q&Q   78&I
   7 (ア)~(P& Q& R) 29RAA      
    イ(イ)       ~R  A
 2   (ウ)        R  2&E
 2  イ(エ)     ~R&R  イウ&
    イ(オ)~(P& Q& R) 2エRAA
1    (カ)~(P& Q& R) 1367アイオ∨E
(g)
1   (1) ~(P∨Q∨R)  A
 2  (2)   P       A
 2  (3)   P∨Q     2∨I
 2  (4)   P∨Q∨R
12  (5) ~(P∨Q∨R)&
         (P∨Q∨R)  14&I
1   (6)  ~P       2RAA
  7 (7)     Q     A
  7 (8)   P∨Q     7∨I
  7 (9)   P∨Q∨R   8∨I
1 7 (ア) ~(P∨Q∨R)&
         (P∨Q∨R)  19&I
1   (イ)    ~Q     7アRAA
   ウ(ウ)       R   A
   ウ(エ)     Q∨R   ウ∨I
   ウ(オ)   P∨Q∨R   エ∨I
1  ウ(カ) ~(P∨Q∨R)&
         (P∨Q∨R)  1オ&I
1   (キ)      ~R   ウカRAA
1   (ク)~P&~Q      6イ&I
1   (ケ)~P&~Q&~R   キク&I
(h)
1    (1)  ~P&~Q&~R   A
 2   (2)   P∨ Q∨ R   A
1    (3)  ~P         1&E
  4  (4)   P         A
1 4  (5)  ~P& P      34&I
  4  (6)~(~P&~Q&~R)  15RAA
1    (7)     ~Q      1&E
   8 (8)      Q      A
1  8 (9)   Q&~Q      A
   8 (ア)~(~P&~Q&~R)  19RAA
1    (イ)        ~R   1&E
    ウ(ウ)         R   A
1   ウ(エ)      ~R&R   イウ&I
    ウ(オ)~(~P&~Q&~R)  1エRAA
 2   (カ)~(~P&~Q&~R)  1368アウオイウ∨E
従って、
(03)により、
(04)
(ⅲ)~(P&Q&R)⇔ ~P∨~Q∨~R
(ⅳ)~(P∨Q∨R)⇔ ~P&~Q&~Q
といふ「等式(ド・モルガンの法則)」が、成立する。
従って、
(02)(04)により、
(05)
(ⅰ)~(P&Q)  ⇔ ~P∨~Q
(ⅱ)~(P∨Q)  ⇔ ~P&~Q
(ⅲ)~(P&Q&R)⇔ ~P∨~Q∨~R
(ⅳ)~(P∨Q∨R)⇔ ~P&~Q&~Q
といふ「等式(ド・モルガンの法則)」が、成立する。
然るに、
(01)(03)により、
(06)
(a)~(d)の「計算」と、
(e)~(h)の「計算」は、
(P,Q)  といふ「2つの命題」が、
(P,Q,R)といふ「3つの命題」に変はっただけで、「計算」としては、「やってゐること」は、「全く同じ」である。
従って、
(06)により、
(07)
(P,Q,R)  が、
(P,Q,R,R)に変はったとしても、「証明(計算)」は書けるものの、「面倒くさいし切りがない」ので、ただ単に、「書かない」だけである。
然るに、
(08)
(a)であれば、
1   (1) ~( 1& 2)  A
 2  (2) ~(~1∨~2)  A
  3 (3)   ~1      A
  3 (4)   ~1∨~2   3∨I
 23 (5) ~(~1∨~2)&
 23 (6)  (~1∨~2)  24&I
 2  (7)  ~~1      3RAA
 2  (8)    1      7DN
   9(9)      ~2   A
   9(ア)   ~1∨~2   9∨I
 2 9(イ) ~(~1∨~2)&
         (~1∨~2)  2ア&I
 2  (ウ)     ~~2   9イRAA
 2  (エ)       2   ウDN
 2  (オ)    1& 2   8エ&I
12  (カ) ~( 1& 2)&
         ( 1& 2)
1   (キ)~~(~1∨~2)  2カRAA
1   (ク)   ~1∨~2   キDN
といふ風に、書くことが出来き、
(e)であれば、
1    (1) ~( 1& 2& 3)  A
 2   (2) ~(~1∨~2∨~3)  A
  3  (3)   ~1         A
  3  (4)   ~1∨~2      3∨I
  3  (5)   ~1∨~2∨~3   4∨I
 23  (6) ~(~1∨~2∨~3)&
          (~1∨~2∨~3)  25&I
 2   (7)  ~~1         3RAA
 2   (8)    1         7DN
   9 (9)      ~2      A
   9 (ア)   ~1∨~2      9∨I
   9 (イ)   ~1∨~2∨~3   ア∨I
 2 9 (ウ) ~(~1∨~2∨~3)&
          (~1∨~2∨~3)  2イ&I
 2   (エ)     ~~2      9ウRAA
 2   (オ)       2      エDN
    カ(カ)         ~3   A
    カ(キ)      ~2∨~3   カ∨I
    カ(ク)   ~1∨~2∨~3   キ∨I
 2  カ(ケ) ~(~1∨~2∨~3)&
          (~1∨~2∨~3)  2ク&I
 2   (コ)        ~~3   カケDN
 2   (サ)          3   コDN
 2   (シ)    1& 2      8オ&I
 2   (ス)    1& 2& 3   サシ&I
12   (セ) ~( 1& 2& 3)&
          ( 1& 2& 3)  1ス&I
1    (ソ)~~(~1∨~2∨~3)  2セRAA
1    (タ)   ~1∨~2∨~3   ソDN
といふ風に、書くことが出来る。
然るに、
(09)
数学的帰納法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(WiKipedia)』
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数学的帰納法(すうがくてききのうほう、英: mathematical induction)は自然数に関する命題 P(n) が全ての自然数 n に対して成り立っている事を証明するための、次のような証明手法である[注 1]。
・P(1) が成り立つ事を示す。
・任意の自然数 K に対して、「P(K)⇒P(K+1)」が成り立つ事を示す。
・以上の議論から任意の自然数nについて P(n)が成り立つ事を結論づける。
・上で1と2から3を結論づける所が数学的帰納法に当たる。自然数に関するペアノの公理の中に、ほぼ等価なものが含まれている。
(01)~(09)により、
(10)
数学的帰納法」によって、
ド・モルガンの法則」は、「(2以上の)自然数」と「同じ個数(無限個)」の「命題」に於いても、成立する。
然るに、
(11)
ドモルガンの法則はベン図を書けば簡単に理解できます。
メリット
ベン図を書けば誰もが納得できる,分かりやすい。基本的には困ったらベン図を書くべし。
集合が3つ以下ならどんな集合の等式もベン図で証明できる。
デメリット
・集合が4つ以上だと通用しない
(ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語)
然るに、
(12)
・集合が4つ以上だと通用しない。
といふことは、
・集合が「自然数同じ個数無限個)」の場合も、通用しない
然るに、
(13)
ドモルガンの法則について
ドモルガンの法則は入試で必要になることは少ないですが,式変形の途中にしれっと登場したりするので覚えておきましょう。
以下ではドモルガンの法則を通じて集合の等式の証明について解説します。日本語による解説,ベン図による解説,真理値表(総当り)による解説。
(ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語)
従って、
(13)により、
(14)
(ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語)に於いては、
(a)日本語による解説
(b)ベン図による解説
(c)真理値表(総当り)による解説
は行はれていても、惜しむらくは、
(d)命題計算(今、私が示したそれ)による解説
を行はれゐないし、そのやうな「方法」があることにも、触れてゐない。
(15)
(ⅰ)
1  (1)    P→Q   A
 2 (2) ~(~P∨Q)  A
  3(3)   ~P     A
  3(4)   ~P∨Q   3∨I
 23(5) ~(~P∨Q)&
        (~P∨Q)  24&I
 2 (6)  ~~P     35RAA
 2 (7)    P     6DN
12 (8)      Q   17MPP
12 (9)   ~P∨Q   8∨I
12 (ア) ~(~P∨Q)&
        (~P∨Q)  29&I
1  (イ)~~(~P∨Q)  2アRAA
1  (ウ)   ~P∨Q   イDN
(ⅱ)
1     (1) ~P∨ Q   A
 2    (2)  P&~Q   A
  3   (3) ~P      A
 2    (4)  P      2&E
 23   (5) ~P&P    34&I
  3   (6)~(P&~Q)  25RAA
   7  (7)     Q   A
 2    (8)    ~Q   2&E
 2 7  (9)  Q&~Q   67&I
   7  (ア)~(P&~Q)  29RAA
1     (イ)~(P&~Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  P      A
     エ(エ)    ~Q   A
    ウエ(オ)  P&~Q   ウエ&I
1   ウエ(カ)~(P&~Q)&
          (P&~Q)  イオ&I
1   ウ (キ)   ~~Q   エカRAA
1   ウ (ク)     Q   キDN
1     (ケ)  P→ Q   ウクCP
従って、
(15)により、
(16)
①  P→Q(Pならば、Qである)。
② ~P∨Q(PでないかQである)。
に於いて、
①=② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。
従って、
(16)により、
(17)
Q=~Q
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
①  P→~Q(Pならば、Qでない)。
② ~P∨~Q(PでないかQである)。
に於いて、
①=② であって、この「等式」も「含意の定義」である。
然るに、
(01)により、
(18)
② ~P∨~Q
③ ~(P&Q)
に於いて、
②=③ である。
従って、
(17)(18)により、
(19)
①  P→~Q
② ~P∨~Q
③ ~(P&Q)
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(19)により、
(20)
Q=~Q
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
①  P→~~Q
② ~P∨~~Q
③ ~(P&~Q)
に於いて、
①=②=③ である。
従って、
(20)により、
(21)
二重否定律(DN)」により、
①   P→ Q
②  ~P∨ Q
③ ~(P&~Q)
に於いて、すなはち、
① Pならば、 Qである。
② Pでないか、Qである。
③ Pであって、Qでない。といふことはない。
に於いて、
①=②=③ である。


(529)「PなのでQである」と「PならばQである」:「已然形と未然形」。

2020-02-24 14:35:47 | 論理

(01)
② 風邪を引いたので会社を休む。
と言へるためには、
① 風邪を引いたならば会社を休む。
といふ「命題」が、「でなければならない
従って、
(01)により、
(02)
② PなのでQである(PなばQなり)。
と言へるためには、
① PならばQである(PなばQなり)。
といふ「命題」が、「でなければならない
然るに、
(03)
1 (1)PならばQである。 仮定
 2(2)Pである。     仮定
12(3)    Qである。 12前件肯定
従って、
(03)により、
(04)
1 (1)P→Q A
 2(2)P   A
12(3)  Q 12MPP
然るに、
(05)
「・・・・・という仮定が与えられるならば、・・・・・と正しく結論することができる」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号(assertion-sign)、
 
を導入する。これは「故に」(therefore)と読むのが便利であろう。
(E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、16頁)
従って、
(01)~(05)により、
(06)
② P→Q,P├ Q
② PならばQである。Pである。ので、Qである。
といふ「連式」に於ける、
② P→Q
② PならばQである。
といふ「仮言命題」が、「省略」された形が、
② P├ Q
② PなのでQである。
といふ「連式」である。
然るに、
(07)
① PならばQである。
② PなのでQである。
といふ「口語」は、
① Pなら然形)ばQなり。
② Pなれ然形)ばQなり。
といふ「語」に相当し、
然形
(c)
「ば」に続いて「仮定条件」を表す。
然―「未だ然からず」、すなわち「まだ、そうなっていない」の意である。
然形
(a)「ば」「ども」に続いて「確定条件」を表す。
然―前の「然」の反対で、「已に然り」、すなわち、「すでにそうなっている」の意である。
(中村菊一、基礎からわかる古典文法、1978年、23・24頁)
従って、
(01)~(07)により、
(08)
① 風邪を引いたならば会社を休む。
② 風邪を引いたので会社を休む。
といふ「口語」は、
① 風邪引然形)ば会社を休む。
② 風邪引然形)ば会社を休む。
といふ「語」に訳すことが出来、
① 風邪引然形)ば会社を休む。
② 風邪引然形)ば会社を休む。
といふ「語」は、
① 風邪を引いた会社を休む。
② 風邪を引いた会社を休む。
といふ風に、書くことが出来る。
従って、
(06)(08)により、
(09)
② 風邪引然形)ば会社を休む。
といふ「日本語」は、
②(風邪引ば会社を休む、)風引き 会社を休む。
といふ「意味」である。


(528)「仮言命題の前件」としての「~が」(其の?)。

2020-02-24 11:51:40 | 「は」と「が」

(01)
① 明日晴れならば、釣りに行く。
とは、言ふものの、
① 明日晴れならば、釣りに行く。
とは、言はない
cf.
もしも明日晴れならば
愛する人よあの場所で、
もしも明日晴れならば
愛する人よそばにいて、
(もしも明日が、作詞 荒木とよひさ、作曲 三木たかし、唄 わらべ)
然るに、
(02)
その一方で、
② 明日休みなので、釣りに行く。
とは、言ふ。
然るに、
(03)
①「明日晴れ」であることは「定」であるが、
②「明日休み」であることは「定」である。
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
①(ABである)ならば、Cである。
②(AはBである)ならば、Cである。
といふ「仮言命題」に於いて、
①(ABである)に対して、
②(AはBである)とは言はないし、
①(ABである)ことは、「定」である。
然るに、
(05)
(ⅰ)
1  (1)    P→Q   A
 2 (2) ~(~P∨Q)  A
  3(3)   ~P     A
  3(4)   ~P∨Q   3∨I
 23(5) ~(~P∨Q)&
        (~P∨Q)  24&I
 2 (6)  ~~P     35RAA
 2 (7)    P     6DN
12 (8)      Q   17MPP
12 (9)   ~P∨Q   8∨I
12 (ア) ~(~P∨Q)&
        (~P∨Q)  29&I
1  (イ)~~(~P∨Q)  2アRAA
1  (ウ)   ~P∨Q   イDN
(ⅱ)
1     (1) ~P∨ Q   A
 2    (2)  P&~Q   A
  3   (3) ~P      A
 2    (4)  P      2&E
 23   (5) ~P&P    34&I
  3   (6)~(P&~Q)  25RAA
   7  (7)     Q   A
 2    (8)    ~Q   2&E
 2 7  (9)  Q&~Q   67&I
   7  (ア)~(P&~Q)  29RAA
1     (イ)~(P&~Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  P      A
     エ(エ)    ~Q   A
    ウエ(オ)  P&~Q   ウエ&I
1   ウエ(カ)~(P&~Q)&
          (P&~Q)  イオ&I
1   ウ (キ)   ~~Q   エカRAA
1   ウ (ク)     Q   キDN
1     (ケ)  P→ Q   ウクCP
従って、
(05)により、
(06)
①  P→Q(Pならば、Qである)。
② ~P∨Q(PでないQである)。
に於いて、
①=② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。
従って、
(06)により、
(07)
①  P→Q(Pならば、Qである)。
② ~P∨Q(PでないかQである)。
に於いて、
P=AがBである。
Q=Cである。
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
①(ABである)ならば(Cである)。
②(ABでない)、 (Cである)。
に於いて、
①=② である。
然るに、
(08)
②(ABでない)か(Cである)。
といふ「選言命題」は、
②(ABでない)か、
②(Cである)    か、といふ、二つの内の、
少なくとも一方は、「真(本当)」である。
といふ「意味」である。
従って、
(08)により、
(09)
②(ABでない)か(Cである)。
といふ「選言命題」は、
②(Aでないでない。ならば、(Cであり)、
②(Cである)  でない。ならば、(AはBでない)。
といふ「意味」である。
然るに、
(10)
②(Aでないでない
といふことは、
②(Aである)。
といふことである。
従って、
(06)(09)(10)により、
(11)
②(ABでない(Cである)。
といふ「選言命題」は、
①(ABである)ならば(Cである)。
といふ「仮言命題」に「等しい」。
然るに、
(12)
①(AがBである)ならば(Cである)。
②(AがBでない)か、 (Cである)。
といふことは、
③(がBである)
④(がBでない)
といふ場合については、何も述べてはゐない
従って、
(12)により、
(13)
①(AがBである)ならば(Cである)。
②(AがBでない)か、 (Cである)。
といふことは、
③(がBである)ならば(Cである)。
④(がBでない)か、 (Cである)。
といふことでは、決してない
従って、
(14)
「聞き手」の側が、
③(がBである)
と「誤解」してゐるならば、
③(Cでない)といふことが「確定」した場合には、
「聞き手」からすれば、「話し手」が、「ウソ」を付いたことになる。
従って、
(13)(14)により、
(15)
① (ABである)ならば(Cである)。
といふ場合には、
①{(DBである)ならば}ではなく
といふ「気持ち」をこめた上での、
①{(ABである)ならば}そのときには(Cである)。
といふ「意味」であることは、「不自然」ではない。
従って、
(15)により、
(16)
①(ABである)ならば(Cである)。
といふ場合には、
①(A以外ではない、ABである)ならば(Cである)。
といふ「意味」であることは、「不自然」ではない。
然るに、
(17)
①(A以外ではない、ABである)ならば、
と言ひたいのであれば、
①(A_Bである)ならば(Cである)。
に於いて、
① _ を「強調」すれば良い。
然るに、
(18)
音の方は、小さくきれいで速い感じで、コロコロと言うと、ハスの上を水玉がころがるような時の形容である。ゴロゴロと言うと、大きく荒い感じで、力士が土俵でころがる感じである(金田一春彦、日本語(上)、1988年、131頁)。もし濁音を発音するときの物理的・身体的な口腔の膨張によって「音=大きい」とイメージがつくられているのだとしたら、面白いですね。この仮説が正しいとすると、なぜ英語話者や中国語話者も濁音に対して「大きい」というイメージを持っているか説明がつきます(川原繁人、音とことばの不思議な世界、2015年、13頁)。
従って、
(18)により、
(19)
① A音)
② Aは(清音)
に於いて、
① の「心理的な音量」の方が、
② の「心理的な音量」よりも、大きい
従って、
(17)(18)(19)により、
(20)
①(ABである)ならば(Cである)。
②(AはBである)ならば(Cである)。
に於いて、
③ If A・B then C.
といふ「仮言命題」として、「ふさわしい」のは、
① であって、
② ではない
といふ、ことになる。


(527)「ド・モルガンの法則」の「日本語」による「証明」(其の?)。

2020-02-23 19:06:18 | 論理

(01)
(ⅰ)~(A&B)⇔ ~A∨~B
(ⅱ)~(A∨B)⇔ ~A&~B
といふ「等式」を「ド・モルガンの法則」といふ。
従って、
(02)
① ~(A&B)
② ~A∨~B
に於いて、
①=② であって、
③ ~(A∨B)
④ ~A&~B
に於いて、
③=④ であり、これらの「等式」を、「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
(03)
① ~(A&B)
② ~A∨~B
といふ「論理式」は、順番に、
①(Aが本当であって、その上、Bも本当である)といふことはない。
②(AとBの内の、少なくとも一方は、ウソである)。
といふ「意味」である。
然るに、
(04)
①(Aが本当であって、その上、Bも本当である)といふことはない。
といふことは、
②(AとBの内の、少なくとも一方は、ウソである)。
といふことであって、
②(AとBの内の、少なくとも一方は、ウソである)。
といふことは、
①(Aが本当であって、その上、Bも本当である)といふことはない。
といふ、ことである。
従って、
(03)(04)により、
(05)
① ~(A&B)=(Aが本当であって、その上、Bも本当である)といふことはない。
② ~A∨~B =(AとBの内の、少なくとも一方は、ウソである)。
に於いて、
①=② である。
(06)
③ ~(A∨B)
④ ~A&~B
といふ「論理式」は、順番に、
③(AとBの、少なくとも一方は、本当である)といふことはない。
④(AとBは、両方とも、ウソである)。
といふ「意味」である。
然るに、
(07)
③(AとBの、少なくとも一方は、本当である)といふことはない。
といふことは、
④(AとBは、両方とも、ウソである)。
といふことであり、
④(AとBは、両方とも、ウソである)。
といふことは、
③(AとBの、少なくとも一方は、本当である)といふことはない。
といふことである。
従って、
(06)(07)により、
(08)
③ ~(A∨B)=(AとBの、少なくとも一方は、本当である)といふことはない。
④ ~A&~B =(AとBは、両方とも、ウソである)。
に於いて、
③=④ である。
従って、
(01)~(08)により、
(09)
①(Aが本当であって、その上、Bも本当である)といふことはない。
②(AとBの内の、少なくとも一方は、ウソである)。
③(AとBの、少なくとも一方は、本当である)といふことはない。
④(AとBは、両方とも、ウソである)。
に於いて、
①=② であり、
③=④ である。
といふことを「理解できる」のであれば、その人は、すでに、
(ⅰ)~(A&B)⇔ ~A∨~B
(ⅱ)~(A∨B)⇔ ~A&~B
といふ「等式(ド・モルガンの法則)」を、理解してゐる。
といふ、ことになる。
然るに、
(10)
① ~(A&B)
② ~A∨~B
③ ~(A∨B)
④ ~A&~B
に於いて、
B=~B
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
① ~(A&~B)
② ~A∨~~B
③ ~(A∨~B)
④ ~A&~~B
然るに、
(11)
「二重否定律(DN)」により、
① ~(A&~B)
②  ~A∨ B
③ ~(A∨~B)
④  ~A& B
然るに、
(12)
① ~(A&~B)は、
①(Aが本当であって、その上、Bもウソである)といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
(13)
①(Aが本当であって、その上、Bもウソである)といふことはない。
といふ「言ひ方」を、
②(AとBの内の、少なくとも一方は、・・である)。
といふ風に、表現することは、出来ない。
従って、
(11)(12)(13)により、
(14)
① ~(A&~B)
②  ~A∨ B
に於いて、
①=② である。
といふことを、「言葉」で説明するのは「難しい」。
然るに、
(15)
(ⅰ)
1   (1) ~( A& ~B)  A
 2  (2) ~(~A∨~~B)  A
  3 (3)   ~A       A
  3 (4)   ~A∨~~B   3∨I
 23 (5) ~(~A∨~~B)&
 23 (6)  (~A∨~~B)  24&I
 2  (7)  ~~A       3RAA
 2  (8)    A       7DN
   9(9)      ~~B   A
   9(ア)   ~A∨~~B   9∨I
 2 9(イ) ~(~A∨~~B)&
         (~A∨~~B)  2ア&I
 2  (ウ)     ~~~B   9イRAA
 2  (エ)       ~B   ウDN
 2  (オ)    A& ~B   8エ&I
12  (カ) ~( A& ~B)&
         ( A& ~B)
1   (キ)~~(~A∨~~B)  2カRAA
1   (ク)   ~A∨~~B   キDN
(ⅱ)
1   (1) ~A∨~~B  A
 2  (2)  A& ~B  A
  3 (3) ~A      A
 2  (4)  A      2&E
 23 (5) ~A&A    34&I
  3 (6)~(A& ~B) 25RAA
   7(7)    ~~B  A
 2  (8)     ~B  2&E
 2 7(9) ~~B&~B  78&I
   7(ア)~(A& ~B) 29RAA
1   (イ)~(A& ~B) 1367ア∨E
(ⅲ)
1  (1)~(A∨~B)  A
 2 (2)  A      A
 2 (3)  A∨~B   2∨I
12 (4)~(A∨~B)&
       (A∨~B)  13&I
1  (5) ~A      24RAA
  6(6)    ~B   A
  6(7)  A∨~B   6∨I
1 6(8)~(A∨~B)&
       (A∨~B)  16&I
1  (9)   ~~B   68RAA
1  (ア)~A&~~B   59&I
(ⅳ)
1   (1)  ~A&~~B   A
 2  (2)   A∨ ~B   A
1   (3)  ~A       1&E
  4 (4)   A       A
1 4 (5)  ~A&A     34&I
  4 (6)~(~A&~~B)  15RAA
   5(7)      ~B   A
1   (8)     ~~B   1&E
1  5(9)  ~B&~~B   78&I
   5(ア)~(~A&~~B)  19RAA
 2  (イ)~(~A&~~B)  2467ア∨E
12  (ウ) (~A&~~B)&
       ~(~A&~~B)  1イ&I
1   (エ) ~(A∨ ~B)  2ウRAA
従って、
(15)により、
(16)
①  ~(A& ~B)
②     ~A∨~~B
③   ~(A∨  ~B)
④     ~A&~~B
に於いて、
①=② であって、
③=④ である。
従って、
(16)により、
(17)
「二重否定律(DN)」により、
①  ~(A&~B)
②     ~A∨ B
③   ~(A∨~B)
④     ~A& B
に於いて、
①=② であって、
③=④ である。
(01)(17)により、
(ⅰ)~(A& B)⇔ ~A∨~B
(ⅱ)~(A∨ B)⇔ ~A&~B
(ⅲ)~(A&~B)⇔ ~A∨ B
(ⅳ)~(A∨~B)⇔ ~A& B
といふ「等式」等を「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
(18)
「今日(令和02年02月23日)」の「最初の記事(この記事は3番目)」でも「証明」した、
(ⅴ)~(A& B∨C)⇔ ~A∨~B&~C
(ⅵ)~(A∨ B&C)⇔ ~A&~B∨~C
(ⅶ)~(A&~B∨C)⇔ ~A∨ B&~C
(ⅷ)~(A∨~B&C)⇔ ~A& B∨~C
といふ「等式」等も、「ド・モルガンの法則」といふ、はずである。


(526)「君子不以其所以養人者害人」と「その対偶」の「述語論理」。

2020-02-23 13:55:51 | 漢文・述語論理

(01)
① 君子於所不知、蓋蓋闕如也=
① 君子於一レ知、蓋闕如也=
① 君子於[所〔不(知)〕]、蓋闕如也⇒
① 君子於[〔(知)不〕所]、蓋闕如也=
① 君子は[其の〔(知ら)不る〕所に]於いて、蓋し闕如す。
然るに、
(02)
君子於所不知、蓋蓋闕如也。
君子は自分のわからないことではだまっているものだ。
(金谷治 訳注、論語、1963年、249頁)
然るに、
(03)
 そノ そレ
[指示形容詞]《人・物・事などを指し、単数・複数のどちらをも指す》
① 連体修飾格
(ⅱ)〈人を指し、主語と一致する場合〉「自分の
(天野成之、漢文基本語辞典、1999年、75頁)
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
① 君子於[其所〔不(知)〕]、蓋闕如也⇒
① 君子於[其〔(知)不〕所]、蓋闕如也=
① 君子は[其の〔(知ら)不る〕所に]於いて、蓋し闕如す。
に於いて、
其の自分の
である。
然るに、
(05)
② 君子不以所以養人者害人=
② 君子不以 養一レ人者甲レ人=
② 君子不{以[所-以〔養(人)〕者]害(人)}⇒
② 君子{[〔(人)養〕所-以者]以(人)害}不=
② 君子は{[其の〔(人を)養ふ〕所-以の者を]以て(人を)害せ}ず。
従って、
(04)(05)により、
(06)
② 君子不{以[其所-以〔養(人)〕者]害(人)}⇒
② 君子{[其〔(人)養〕所-以者]以(人)害}不=
② 君子は{[其の〔(人を)養ふ〕所-以の者を]以て(人を)害せ}ず。
に於いても、
其の自分の
である。
然るに、
(07)
君子不以其所以養人者害人
君子は人間が生きてゆく手段である土地が惜しさに争って、大切な人間そのものを犠牲にはしないものだ。
(小林勝人 訳注、孟子 上、1968年、104頁)
従って、
(07)により、
(08)
② 所以養人者=
② 人間が生きてゆく手段=
土地
である。
然るに、
(09)
滕文公問曰、滕小國也、竭力以事大國、則不得免焉、如之何則可、孟子對曰、昔者大王居邠、狄人侵之、事之以皮幣、不得免焉、事之以犬馬、不得免焉、事之以珠玉、不得免焉、乃屬其耆老而告之曰、狄人之所欲者、吾土地也、吾聞之也、君子不以其所以養人者害人、
滕文の公問ひて曰く、滕は小國なり、力を竭して以て大國に事うるとも、則ち免るるを得じ。如之何にせば則ち可ならん、孟子對へて曰く、昔者大王邠に居りしとき、狄人之を侵せり。之に事うる皮幣を以てするも、免かるるを得ず。之に事うるに犬馬を以てするも、免かるるを得ず。之に事うる珠玉を以てするも、免かるるを得ず。乃ち其の耆老を屬めて之に告げて曰く、狄人の欲する所の者は、吾が土地なり、吾之を聞く、君子は其の人を養ふ所以の者を以て人を害せず(小林勝人 訳注、孟子 上、1968年、104頁改)。
従って、
(09)により、
(10)
② 君子不以其所以養人者害人。
に於いて、
=王の人民
である。
従って、
(01)~(10)により、
(11)
② 君子不以其所以養人者害人=
② 君子不其所以 養一レ人者甲レ人=
② 君子不{以[其所-以〔養(人)〕者]害(人)}⇒
② 君子{[其〔(人)養〕所-以者]以(人)害}不=
② 君子は{[其の〔(人を)養ふ〕所-以の者を]以て(人を)害せ}ず。
といふ「漢文・訓読」は、突き詰めて言へば、
② 君子は、自分の土地、自分の人民を害さない。
といふ「意味」になる。
然るに、
(12)
② 君子は、自分の土地で、自分の人民を害さない。⇔
② ∀x{君子x→∃y∃z(人yx&地zx&~害zy)}⇔
② すべてのxについて、xが君子であるならば、あるyとあるzについて、yはxの人民であり、zはxの土地であり、zはyを害さない。
従って、
(11)(12)により、
(13)
② 君子不以其所以養人者害人。
といふ「漢文」は、
② ∀x{君子x→∃y∃z(人yx&地zx&~害zy)}
といふ風に、訳すことが、出来る。
然るに、
(14)
(ⅱ)
1   (1)∀x{君子x→∃y∃z(人yx&地zx&~害zy)}   A
1   (2)   君子a→∃y∃z(人ya&地za&~害zy)    1UE
 3  (3)      ∀y∀z[(人ya&地za)→害zy]    A
 3  (4)        ∀z[(人ba&地za)→害zb]    3UE
 3  (5)           (人ba&地ca)→害cb     4UE
 3  (6)          ~(人ba&地ca)∨害cb     5含意の定義
  7 (7)          ~(人ba&地ca)         A
  7 (8)          ~人ba∨~地ca          7ド・モルガンの法則
  7 (9)          ~人ba∨~地ca∨ 害cb     8∨I
   ア(ア)                     害cb     A
   ア(イ)          ~人ba∨~地ca∨ 害cb     ア∨I
 3  (ウ)          ~人ba∨~地ca∨ 害cb     679アイ∨E
 3  (エ)          ~(人ba&地ca&~害cb)    ウ、ド・モルガンの法則
 3  (オ)        ∀z~(人ba&地za&~害zb)    エUI
 3  (カ)        ~∃z(人ba&地za&~害zb)    オ量化子の関係
 3  (キ)      ∀y~∃z(人ba&地za&~害zb)    カUI
 3  (ク)      ~∃y∃z(人ya&地za&~害zy)    キ量化子の関係
13  (ケ)  ~君子a                       2クMTT
1   (コ)   ∀y∀z[(人ya&地za)→害zy]→~君子a  3ケCP
1   (サ)∀x{∀y∀z[(人yx&地zx)→害zy]→~君子x} コUI
(ⅲ)
1   (1)∀x{∀y∀z[(人yx&地zx)→害zy]→~君子x} A
1   (2)   ∀y∀z[(人ya&地za)→害zy]→~君子a  1UE
 3  (3)                        君子a  A
 3  (4)                      ~~君子a  3DN
13  (5)  ~∀y∀z[(人ya&地za)→害zy]       24MTT
13  (6)  ∃y~∀z[(人ya&地za)→害zy]       5量化子の関係
13  (7)  ∃y∃z~[(人ya&地za)→害zy]       6量化子の関係
  8 (8)    ∃z~[(人ba&地za)→害zb]       A
   9(9)      ~[(人ba&地ca)→害cb]       A
   9(ア)     ~[~(人ba&地ca)∨害cb]       9含意の定義
   9(イ)       (人ba&地ca)&~害cb        ア、ド・モルガンの法則
   9(ウ)        人ba&地ca&~害cb         イ結合法則
   9(エ)     ∃z(人ba&地ca&~害cb)        ウEI
  8 (オ)     ∃z(人ba&地ca&~害cb)        89エEE
  8 (カ)   ∃y∃z(人ba&地ca&~害cb)        オEI
13  (キ)   ∃y∃z(人ba&地ca&~害cb)        78カEE
1   (ク)   君子a→∃y∃z(人ya&地za&~害zy)    3キCP
1   (ケ)∀x{君子x→∃y∃z(人yx&地zx&~害zy)}   クUI
従って、
(14)により、
(15)
② ∀x{君子x→∃y∃z(人yx&地zx&~害zy)}⇔
② すべてのxについて、xが君子であるならば、あるyとあるzについて、yはxの人民であり、zはxの土地であり、zはyを害さない。
の「対偶(Contraposition)」は、
③ ∀x{∀y∀z[(人yx&地zx)→害zy]→~君子x}⇔
③ すべての、xとyとzについて、yがxの人民であって、zがxの土地ならば、zがyを害するならば、xは君子でない。
である。
然るに、
(16)
③ ∀x{∀y∀z[(人yx&地zx)→害zy]→~君子x}⇔
③ すべての、xとyとzについて、yがxの人民であって、zがxの土地ならば、zがyを害するならば、xは君子でない。
といふことは、
③ 自分の土地が、自分の人民を害するならば、君子ではない。
といふことである。
然るに、
(17)
③ 自分の土地が、自分の人民を害するならば、君子ではない。
であるならば、
③ 如其地害其人則非君子=
③ 如其地害(其人)則非(君子)⇒
③ 如其地(其人)害則(君子)非=
③ 如し其の地(其の人を)害さ則ち(君子に)非ず。
といふ風に、書くことが出来る。
従って、
(08)(10)(17)により、
(18)
② 君子不以其所以養人者害人。
③ 如其所以人者害人則非君子。
に於いて、
②=③ は、「対偶(Contraposition)」である。
(19)
先ほどの、「ド・モルガンの法則」に関する「記事(令和02年02月23日)」は、
② 君子不以其所以養人者害人。
といふ「漢文」を「述語論理」に翻訳してゐる際に、
(ⅰ)~(P&Q∨R)⇔ ~P∨~Q&~R
(ⅱ)~(P∨Q&R)⇔ ~P&~Q∨~R
といふ「等式(ド・モルガンの法則)」が、成立する。
といふことを、ネットで確認しようとしても、「確認できなかった」ので、「自分で証明」したものです。
(20)
あるいは、探し方が悪いのかもしれませんが、「連言()と選言()」が混在する場合の「ド・モルガンの法則」に関する「説明」は、少なくとも、「グーグルの1ページと2ページ」では、見付けることが出来ません。


(525)「ド・モルガンの法則」:「連言(∩)と選言(∪)」が混在する場合。

2020-02-23 08:36:39 | 論理

(01)
(a)
1   (1) ~( P& Q)  A
 2  (2) ~(~P∨~Q)  A
  3 (3)   ~P      A
  3 (4)   ~P∨~Q   3∨I
 23 (5) ~(~P∨~Q)&
 23 (6)  (~P∨~Q)  24&I
 2  (7)  ~~P      3RAA
 2  (8)    P      7DN
   9(9)      ~Q   A
   9(ア)   ~P∨~Q   9∨I
 2 9(イ) ~(~P∨~Q)&
         (~P∨~Q)  2ア&I
 2  (ウ)     ~~Q   9イRAA
 2  (エ)       Q   ウDN
 2  (オ)    P& Q   8エ&I
12  (カ) ~( P& Q)&
         ( P& Q)
1   (キ)~~(~P∨~Q)  2カRAA
1   (ク)   ~P∨~Q   キDN
(b)
1   (1) ~P∨~Q  A
 2  (2)  P& Q  A
  3 (3) ~P     A
 2  (4)  P     2&E
 23 (5) ~P&P   34&I
  3 (6)~(P& Q) 25RAA
   7(7)    ~Q  A
 2  (8)     Q  2&E
 2 7(9)  ~Q&Q  78&I
   7(ア)~(P& Q) 29RAA
1   (イ)~(P& Q) 1367ア∨E
cf.
12  (ウ)  (P& Q)&
        ~(P& Q) 2イ&I
 2  (エ)~(~P∨~Q) 1ウRAA
(c)
1  (1)~(P∨Q)  A
 2 (2)  P     A
 2 (3)  P∨Q   2∨I
12 (4)~(P∨Q)&
       (P∨Q)  13&I
1  (5) ~P     24RAA
  6(6)    Q   A
  6(7)  P∨Q   6∨I
1 6(8)~(P∨Q)&
       (P∨Q)  16&I
1  (9)   ~Q   68RAA
1  (ア)~P&~Q   59&I
(d)
1   (1)  ~P&~Q   A
 2  (2)   P∨ Q   A
1   (3)  ~P      1&E
  4 (4)   P      A
1 4 (5)  ~P& P   34&I
  4 (6)~(~P&~Q)  15RAA
   7(7)      Q   A
1   (8)     ~Q   1&E
1  7(9)   Q&~Q   78&I
   7(ア)~(~P&~Q)  19RAA
 2  (イ)~(~P&~Q)  2467ア∨E
12  (ウ) (~P&~Q)&
       ~(~P&~Q)  1イ&I
1   (エ) ~(P∨ Q)  2ウRAA
従って、
(01)により、
(02)
(ⅰ)~(P&Q)⇔ ~P∨~Q
(ⅱ)~(P∨Q)⇔ ~P&~Q
といふ「等式(ド・モルガンの法則)」が、成立する。
従って、
(02)により、
(03)
「二重否定律(DN)」により、
(ⅰ)~(~P&~Q)⇔ ~~P∨~~Q ⇔ P∨Q
(ⅱ)~(~P∨~Q)⇔ ~~P&~~Q ⇔ P&Q
といふ「等式」と、
(ⅰ)~(~P& Q)⇔ ~~P∨ ~Q ⇔ P∨~Q
(ⅱ)~(~P∨ Q)⇔ ~~P& ~Q ⇔ P& Q
といふ「等式」と、
(ⅰ)~( P&~Q)⇔  ~P∨~~Q ⇔ ~P∨Q
(ⅱ)~( P∨~Q)⇔  ~P&~~Q ⇔ ~P&Q
といふ「等式」が成立し、これはすべて、「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
(02)により、
(04)
(ⅰ)~(P&Q)⇔ ~P∨~Q
に於いて、
Q=Q∨R
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
(ⅰ)~(P&Q∨R)⇔ ~P∨~(Q∨R)
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(05)
(ⅱ)
1  (1)~P∨~(Q∨R) A
 2 (2)~P        A
 2 (3)~P∨~Q&~R  2∨I
  4(4)   ~(Q∨R) A
  4(5)   ~Q&~R  4ド・モルガンの法則
  4(6)~P∨~Q&~R  5∨I
1  (7)~P∨~Q&~R  12346∨E
(ⅲ)
1  (1)~P∨ ~Q&~R  A
1  (2)~P∨(~Q&~R) 1結合法則
 3 (3)~P         A
 3 (4)~P∨~(Q∨R)  3∨I
  5(5)    ~Q&~R  A
  5(6)   ~(Q∨R)  5ド・モルガンの法則
  5(7)~P∨~(Q∨R)  6∨I
1  (8)~P∨~(Q∨R)  23457∨E
従って、
(05)により、
(06)
(ⅱ)~P∨~(Q∨R)
(ⅲ)~P∨~Q&~R
に於いて、
(ⅱ)=(ⅲ) である。
従って、
(04)(05)(06)により、
(07)
(ⅱ)~P∨~(Q∨R)⇔ ~P∨~Q&~R
といふ「等式」が、成立する。
従って、
(04)(07)により、
(08)
(ⅰ)  ~(P&Q∨R)⇔ ~P∨~(Q∨R)
(ⅱ)~P∨~(Q∨R)⇔ ~P∨~Q&~R
といふ「等式」が、成立する。
従って、
(08)により、
(09)
(ⅰ)~(P&Q∨R)⇔ ~P∨~Q&~R
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(02)により、
(10)
(ⅱ)~(P∨Q)⇔ ~P&~Q
に於いて、
Q=Q&R
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
(ⅱ)~(P∨Q&R)⇔ ~P&~(Q&R)
といふ「等式(ド・モルガンの法則)」が、成立する。
然るに、
(11)
(ⅱ)
1(1)~P&~(Q&R) A
1(2)~P        1&E
1(3)   ~(Q&R) 1&E
1(4)   ~Q∨~R  3ド・モルガンの法則
1(5)~P&~Q∨~R  24&I
(ⅲ)
1(1)~P& ~Q∨~R  A
1(2)~P&(~Q∨~R) 1結合法則
1(3)~P         2&E
1(4)   (~Q∨~R) 2&E
1(5)   ~(Q&R)  4ド・モルガンの法則
1(6)~P&~(Q&R)  35&I
従って、
(11)により、
(12)
(ⅲ)~P&~(Q&R)⇔ ~P&~Q∨~R 
といふ「等式(ド・モルガンの法則)」が、成立する。
従って、
(10)(11)(12)により、
(13)
(ⅱ)~(P∨Q&R) ⇔ ~P&~(Q&R)
(ⅲ)~P&~(Q&R)⇔ ~P&~Q∨~R
従って、
(13)により、
(ⅱ)~(P∨Q&R) ⇔ ~P&~Q∨~R
といふ「等式」が、成立する。
従って、
(09)(13)により、
(14)
(ⅰ)~(P&Q∨R)⇔ ~P∨~Q&~R
(ⅱ)~(P∨Q&R)⇔ ~P&~Q∨~R
といふ「等式」が、成立する。
従って、
(14)により、
(15)
「二重否定律(DN)」により、例へば、
(ⅰ)~(P&~Q∨R)⇔ ~P∨~~Q&~R ⇔ ~P∨Q&~R
(ⅱ)~(P∨~Q&R)⇔ ~P&~~Q∨~R ⇔ ~P&Q∨~R
といふ「等式」、すなはち、
(ⅰ)~(P&~Q∨R)⇔ ~P∨Q&~R
(ⅱ)~(P∨~Q&R)⇔ ~P&Q∨~R
といふ「等式」が、成立する。
従って、
(15)により、
(16)
誰かがその気になれば、「数学的帰納法」により、「可算個の命題と、可算個の&・∨」に於いて、
(ⅰ)~(P&~Q∨R・・・・・)⇔ ~P∨Q&~R・・・・・・
(ⅱ)~(P∨~Q&R・・・・・)⇔ ~P&Q∨~R・・・・・・
といふ「等式」を、「証明」出来る。
然るに、
(17)
―ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語―
ドモルガンの法則の日本語による解説
ドモルガンの法則を日本語で表現すると以下のようになります。
1:「A または B」でない,という状況は
「A でない」かつ「B でない」という状況と同じ
2:「A かつ B」でない,という状況は
「A でない」または「B でない」という状況と同じ
多くの人はよく分からないと思いますが,この日本語を見ただけで納得できる人にとってはこの説明のみで十分でしょう。
メリット
・日本語にただなおすだけで集合の等式が理解できる。理解できると面白い。
デメリット
・みんなが納得できる説明ではない(数学的に厳密でない)。
然るに、
(18)
①「Aが本当であって、尚且つ、Bも本当である。」といふことはない。
といふことは、
②「AとBの内の、少なくとも一方は、ウソである。」
といふことである。
然るに、
(19)
① ~(A&B)⇔「Aが本当であって、尚且つ、Bも本当である。」といふことはない。
② ~A∨~B ⇔「AとBの内の、少なくとも一方は、ウソである。」
従って、
(18)(19)により、
(20)
①「Aが本当であって、尚且つ、Bも本当である。」といふことはない。
といふことは、
②「AとBの内の、少なくとも一方は、ウソである。」
といふことである。
といふ「日本語」を、「理解できる」のであれば、その人は、すでに、
① ~(A&B)⇔ ~A∨~B
といふ「ド・モルガンの法則」を、「日本語で、理解」してゐる。
然るに、
(21)
―ドモルガンの法則の解説 | 高校数学の美しい物語― 
ドモルガンの法則のベン図による解説
ドモルガンの法則
ドモルガンの法則はベン図を書けば簡単に理解できます。
メリット
ベン図を書けば誰もが納得できる,分かりやすい。基本的には困ったらベン図を書くべし。
集合が3つ以下ならどんな集合の等式もベン図で証明できる。
デメリット
集合4つ以上だと通用しない。
然るに、
(22)
「ベン図」の場合、
・集合が4つ以上だと通用しない。
といふのであれば、
集合無限個だと通用しない。
従って、
(23)
誰かがその気になれば、「数学的帰納法」により、「可算個の命題と、可算個の&・∨」に於いて、
(ⅰ)~(P&~Q∨R・・・・・)⇔ ~P∨Q&~R・・・・・・
(ⅱ)~(P∨~Q&R・・・・・)⇔ ~P&Q∨~R・・・・・・
といふ「等式」を、「証明」出来るとしても、「ベン図」を用ひる限り、「証明」は出来ない
従って、
(01)~(23)により、
(24)
ドモルガンの法則はベン図を書けば簡単に理解できます。
とは言ふものの、
「ド・モルガンの法則」を「理解」する際に、「ベン図」を用ひることは、好ましいとは、言へない、はずである。
因みに、
(24)
「&、∨」に対して、
「∩、∪」の場合は、「どっちが、積で、どっちが、和なのか」が、分かりにくいし、
「∧、∨」の場合も、「どっちが、積で、どっちが、和なのか」が、分かりにくい。
然るに、
(25)
el」は「OR(ラテン語)」なので、
」と書けば、「ANDOR」で迷うことはないし、そのため、私は、
「∧、∨」といふ「記号」を、使はない


(524)「矛盾」からは何も「演繹」出来ない(其の?)。

2020-02-22 16:37:19 | 論理

(01)
① 風邪を引いたので会社を休む。
と言へるためには、
② 風邪を引いたならば会社を休む。
といふ「命題」が、「」でなければならない。
従って、
(01)により、
(02)
① PなのでQである(PなばQなり)。
と言へるためには、
② PならばQである(PなばQなり)。
といふ「命題」が、「」でなければならない。
従って、
(02)により、
(03)
① PなのでQである(PなばQなり)。
といふ風に、言へたのであれば、
② PならばQである(PなばQなり)
といふ風に、言っても良い
従って、
(03)により、
(04)
① PなのでPである(PなばPなり)。
といふ風に、言へたのであれば、
② PならばPである(PなばPなり)。
といふ風に、言っても良い
然るに、
(05)
29 P├ P
 1(1)P   A
これ以上短い式は証明できないし、またその証明は可能な最も短い証明であり。しかしそれはくわしく注意するに値する。(1)の行は(1)が与えられたならばPが導かれることを主張している。では(1)と何であろうか―命題Pそのものである。
No shorter sequent than this can be proved, and its proof is the shortest possible proof: yet it is worth close attention. Line(1)affirms that given(1), P follows; what is(1)―the proposition itself.
(E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、44頁と、原文)
従って、
(05)により、
(06)
① P├ P
といふ「連式(sequent)」は、
① PなのでPである(PなばPなり)。
といふ「意味」である。
然るに、
(07)
 38 ├ P→P(連式29を参照)
 1(1)P   A
  (2)P→P 11CP
従って、
(04)(06)(07)により、
(08)
① P├ P
① PなのでPである(PなばPなり)。
といふ風に、言へたので、
②├ P→P
② PならばPである(PなばPなり)。
といふ風に、言っても良い
然るに、
(09)
(ⅰ)
1  (1)    P→Q   A
 2 (2) ~(~P∨Q)  A
  3(3)   ~P     A
  3(4)   ~P∨Q   3∨I
 23(5) ~(~P∨Q)&
        (~P∨Q)  24&I
 2 (6)  ~~P     35RAA
 2 (7)    P     6DN
12 (8)      Q   17MPP
12 (9)   ~P∨Q   8∨I
12 (ア) ~(~P∨Q)&
        (~P∨Q)  29&I
1  (イ)~~(~P∨Q)  2アRAA
1  (ウ)   ~P∨Q   イDN
(ⅱ)
1     (1) ~P∨ Q   A
 2    (2)  P&~Q   A
  3   (3) ~P      A
 2    (4)  P      2&E
 23   (5) ~P&P    34&I
  3   (6)~(P&~Q)  25RAA
   7  (7)     Q   A
 2    (8)    ~Q   2&E
 2 7  (9)  Q&~Q   67&I
   7  (ア)~(P&~Q)  29RAA
1     (イ)~(P&~Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  P      A
     エ(エ)    ~Q   A
    ウエ(オ)  P&~Q   ウエ&I
1   ウエ(カ)~(P&~Q)&
          (P&~Q)  イオ&I
1   ウ (キ)   ~~Q   エカRAA
1   ウ (ク)     Q   キDN
1     (ケ)  P→ Q   ウクCP
従って、
(09)により、
(10)
①  P→Q(Pなば、Qである)。
② ~P∨Q(PでないかQである)。
に於いて、
①=② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。
然るに、
(10)により、
(11)
①  P→Q(Pならば、Qである)。
② ~P∨Q(PでないかQである)。
に於いて、
①=② であるため、
①  P→P(Pならば、Pである)。
② ~P∨P(PでないかPである)。
に於いても、
①=② である。
然るに、
(12)
② ~P∨P(PでないかPである)。
といふことは、
②(Pであるか、Pでないか)は、「定」である。
といふ、ことである。
従って、
(05)(06)(07)(12)により、
(13)
29 P├ P
 1(1)P   A
38  ├ P→P(連式29を参照)
 1(1)P   A
  (2)P→P 11CP
に於いて、
 1(1) P   の「P(Pである)は、定である」が、
  (2) P→P の「P(Pである)は、定である」。
  (〃)~P∨P の「P(Pである)は、定である」。
従って、
(13)により、
(14)
1(1)~P A
に於いて、
1(1)~P(Pでない)は、「定」である。
従って、
(13)(14)により、
(15)
1(1)~P   A
1(2)~P∨Q 1∨I
1(3) P→Q 2含意の定義
に於いて、
1(1)~P(Pでない)は「定」である。
1(2)~P(Pでない)は「定」である。
1(3)~P(Pでない)は「定」である。
従って、
(15)により、
(16)
1 (1)~P   A
1 (2)~P∨Q 1∨I
1 (3) P→Q 2含意の定義
に続けて、
 4(4) P   A
とするならば、すなはち、
1 (1)~P   A
1 (2)~P∨Q 1∨I
1 (3) P→Q 2含意の定義
 4(4) P   A
とするならば、
1 (3)~P(Pでない)は「定」であるにも拘らず、それと「同時」に、
 4(4) P(Pである)も「定」である」。
従って、
(16)により、
(17)
1 (1)~P   A
1 (2)~P∨Q ∨I
1 (3) P→Q 2含意の定義
 4(4) P   A
14(5)   Q 34MPP
とするならば、
14(5)   Q 34MPP
に於いて、
14(5)~P(Pでない)は「定」であって、「同時」に、
14(〃) P(Pである)も「定」である。
然るに、
(18)
「・・・・・という仮定が与えられるならば、・・・・・と正しく結論することができる」という煩雑な表現の略記法があれば好都合であろう。このためわたしは、論理学の文献のなかでしばしば、しかし誤解を招きやすい仕方で、断定記号(assertion-sign)、
 ├
を導入する。これは「故に」(therefore)と読むのが便利であろう。
(E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、16頁)
従って、
(05)(06)(18)により、
(19)
(ⅲ)
1 (1)~P   A
1 (2)~P∨Q ∨I
1 (3) P→Q 2含意の定義
 4(4) P   A
14(5)   Q 34MPP
といふ「計算」により、
③ ~P,P├ Q
といふ「連式」、すなはち、
③ Pでなくて、Pなので、Qである。
といふ「連式」が「証明」されたことになる(?)。
従って、
(19)により、
(20)
③ ~P,P├ Q
に於いて、
P=バカボンのパパは天才である。
Q=太陽は西から昇る。
であるならば、
③ バカボンのパパは天才であって、天才でないので、太陽は西から昇る。
といふ「推論」は、「妥当」である(?)。
然るに、
(21)
(ⅳ)
1(1)~P&P A
1(2)~P   1&E
1(3)~P∨Q 2∨I
1(4) P→Q 2含意の定義
1(5) P   1&E
1(6)   Q 45MPP
といふ「計算」により、
④ ~P&P├ Q
に於いても、
P=バカボンのパパは天才である(?)。
Q=太陽は西から昇る。
であるならば、
④ バカボンのパパは天才であって、天才でないので、太陽は西から昇る。
といふ「推論」は、「妥当」である(?)。
然るに、
(22)
2 推論の規則
論理式「P」と「P→Q」が共に真ならば、論理式「Q」も真である。
(沢田允茂、現代論理学入門、1962年、173・4頁改)
従って、
(22)により、
(23)
2 推論の規則
論理式「~P&P」と「~P&P→Q」が共に真ならば、論理式「Q」も真である。
然るに、
(24)
~P&P矛盾)は、「恒に」である。
従って、
(23)(24)により、
(25)
論理式「~P&P」と「~P&P→Q」が共に真になることはない
従って、
(21)(22)(25)により、
(26)
③ ~P,P├ Q
③ バカボンのパパは天才であって、天才でないので、太陽は西から昇る。
といふ「推論」も、
④ ~P&P├ Q
④ バカボンのパパは天才であって、天才でないので、太陽は西から昇る。
といふ「推論」も、
2 推論の規則
論理式「P」と「P→Q」が共に真ならば、論理式「Q」も真である。
といふ「規則」に、「違反」してゐる。
従って、
(27)
矛盾からは、どのやうな命題でも、演繹できる。」といふ「言ひ方」は、「マチガイ」であって、
矛盾に気付かない場合は、どのやうな命題でも、演繹できたやうな気になってしまふ。」といふのが、「正しい」。
然るに、
(28)
④ ~P&P├ Q
④ バカボンのパパは天才であって、天才でないので、太陽は西から昇る。
といふ「結論」であれば、
④ バカボンのパパは天才であって、天才でない。
といふ「矛盾」に気付かないことは、有り得ない
然るに、
(29)
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sgx********さん 編集あり2006/6/1016:19:35
四色問題の最終証明は100ページの概要と100ページの詳説、
700ページの予備的成果らしいです。
ワイルズの証明したフェルマーの最終定理は109ページ
フィールズ賞を受賞した廣中平祐の「代数多様体の特異点解消」の
論文は、論文の中身としてはこれらより長くて217ページです。
従って、
(27)(29)により、
(30)
そのやうな「ページ数の証明」であれば、「矛盾に気付かないまま、証明できたやうな気になってしまふ。」といふことは、有り得る、ことになる。


(523)「象も動物である」の「述語論理」。

2020-02-21 19:30:31 | 象は鼻が長い、述語論理。

(01)
①{、机、車}であれば、
①{象動物であり}、
②{}であれば、
②{象動物である}。
従って、
(01)により、
(02)
① 象が動物である=象は動物であり、象以外(机、車)は動物でない
② 象動物である=象は動物であり、象以外(兎、馬)も動物である
に於いて、①と②は、
① 象以外は動物でない
② 象以外も動物である
の「部分」が、「矛盾」する。
然るに、
(03)
① 象動物である=象は動物であり、象以外は動物でない
といふ「命題」は、
① ∀x(象x→動物x&~象x→~動物x)
① すべてのxについて(xが象であるならば、xは動物であり、xが動物でなければ、xは動物ではない)。
といふ風に、書くことが出来る。
従って、
(02)(03)により、
(04)
① 象が動物である=象は動物であり、象以外は動物でない。
② 象も動物である=象は動物であり、象以外も動物である。
に於いて①と②は、
①   ~象x→~動物x
② ~(~象x→~動物x)
の「部分論理式」が、「矛盾」する。
従って、
(03)(04)により、
(05)
① 象が動物である=象は動物であり、象以外は動物でない。
② 象も動物である=象は動物であり、象以外も動物である。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① ∀x{象x→動物x&    ~象x→~動物x}
② ∀x{象x→動物x&~(~象x→~動物x)}
といふ「述語論理」に、相当する。
然るに、
(06)
109 ∀x(Fx&Gx)┤├ ∀xFx&∀xGx
(a) 1(1)∀x(Fx&Gx) A
1(2)   Fa&Ga  1UE
1(3)   Fa     2&E
1(4) ∀xFx     3UI
1(5)      Ga  2&E
1(6)    ∀xGx  5UI
1(7)∀xFx&∀xGx 46&I
(b)
1(1)∀xFx&∀xGx A
1(2)∀xFx      1&E
1(3)  Fa      2UE
1(4)     ∀xGx 1&E
1(5)       Ga 4UE
1(6)   Fa&Ga  35&I
1(7)∀x(Fx&Gx) 6UI
109の、相互導出可能性の結果は、普遍量記号連言の仲間であることからすれば、全く予想されることである。
(E.J.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、151・153頁改)。
従って、
(05)(06)により、
(07)
① ∀x{象x→動物x&    ~象x→~動物x}
② ∀x{象x→動物x&~(~象x→~動物x)}
といふ「式」は、
① ∀x(象x→動物x)& ∀x(~象x→~動物x)
② ∀x(象x→動物x)&∀x~(~象x→~動物x)
といふ「式」に「等しい」。
然るに、
(08)
(ⅱ)
1(1)∀x~(~象x→~動物x) A
1(2)  ~(~象a→~動物a) 1UE
1(3)   ~(象a∨~動物a) 2含意の定義
1(4)    ~象a& 動物a  3ド・モルガンの法則
1(5) ∀x(~象x& 動物x) 4UI
(ⅲ)
1(1) ∀x(~象x& 動物x) A
1(2)    ~象a& 動物a  1UE
1(3)   ~(象a∨~動物a) 2ド・モルガンの法則
1(4)   ~(象a→~動物a) 3含意の定義
1(5) ∀x~(象a→~動物a) 4UI
従って、
(08)により、
(09)
② ∀x~(~象x→~動物x)
③   ∀x(~象x& 動物x)
に於いて、
②=③ である。
従って、
(06)~(09)により、
(10)
② ∀x{象x→動物x & ~(~象x→~動物x)}
③ ∀x(象x→動物x)&∀x(~象x& 動物x)
に於いて、
②=③ である。
然るに、
(11)
③ ∀x(象x→動物x)&∀x(~象x& 動物x)
に於いて、
③ ∀x(~象x&動物x)
といふ「論理式」は、
③ すべてのxは、象以外の動物である。
といふ「意味」である。
従って、
(10)(11)により、
(12)
② ∀x{象x→動物x & ~(~象x→~動物x)}
③ ∀x(象x→動物x)&∀x(~象x& 動物x)
といふ「論理式(命題)」は、
③ すべてのxについて、xが象であるならば、xは動物であり、すべてのxは象以外の動物である。
といふ「意味」である。
然るに、
(13)
③ すべてのxについて、xが象であるならば、xは動物であり、すべてのxは象以外の動物である
といふことは、
②{象、兎、馬}ではなく、例へば、
③{、兎、馬}でなければ、ならない。
然るに、
(14)
③ すべてのxについて、xが象であるならば、xは動物であり、すべてのxは象以外の動物である。
ではなく、
③ すべてのxについて、xが象であるならば、xは動物であり、あるyは象以外の動物である。
であるならば、
③{象、兎、馬}であるため、「問題」は無い
然るに、
(15)
③ すべてのxについて、xが象であるならば、xは動物であり、あるyは象以外の動物である。
であるならば、
③ ∀x{象x→動物x&∃y(~象y&動物y)}
である。
従って、
(01)~(15)により、
(16)
③{象、兎、馬}であれば、
③{象動物である}であるため、
③「象動物である。」といふ「日本語」は、
② ∀x{象x→動物x&~(~象x→~動物x)}
といふ「論理式」ではなく、
③ ∀x{象x→動物x&∃y(~象y&動物y)}
といふ「論理式」に、相当する。
然るに、
(17)
(ⅱ)
1   (1) ∀x{象x→動物x&~(~象x→~動物x)} A
1   (2)    象a→動物a&~(~象a→~動物a)  1UE
1   (3)    象a→動物a              2&E
1   (4)           ~(~象a→~動物a)  2&E
 5  (5)           ~(~象a& 動物a)  A
  6 (6)             ~象a        A
   7(7)                  動物a   A
  67(8)             ~象a& 動物a   67&I
 567(9)           ~(~象a& 動物a)&
                   (~象a& 動物a)  58&I
 56 (ア)                 ~動物a   79RAA
 5  (イ)             ~象a→~動物a   6アCP
15  (ウ)           ~(~象a→~動物a)
                   (~象a→~動物a)  4イ&I
1   (エ)          ~~(~象a& 動物a)  5ウRAA
1   (オ)             ~象a& 動物a   エDN
1   (カ)          ∃y(~象y& 動物y)  オEI
1   (キ)   象a→動物a&∃y(~象y& 動物y)  3カ&I
1   (ク)∀x{象x→動物x&∃y(~象y& 動物y)} キUI
(ⅲ)
1   (1)∀x{象x→動物x&∃y(~象y& 動物y)} A
1   (2)   象a→動物a&∃y(~象y& 動物y)  1UR
1   (3)   象a→動物a               2&E
1   (4)          ∃y(~象y& 動物y)  2&E
 5  (5)             ~象a& 動物a   A
  6 (6)             ~象a→~動物a   A
 5  (7)             ~象a        5&E
  6 (8)                  動物a   5&E
 56 (9)                 ~動物a   67MPP
 56 (ア)             動物a&~動物a   89&I
 5  (イ)           ~(~象a→~動物a)  6アRAA
1   (ウ)           ~(~象a→~動物a)  45イEE
1   (エ)    象a→動物a&~(~象a→~動物a)  3ウ&I
1   (オ) ∀x{象x→動物x&~(~象x→~動物x)} エUI
従って、
(17)により、
(18)
② ∀x{象x→動物x&  ~(~象x→~動物x)}
③ ∀x{象x→動物x&∃y(~象y& 動物y)}
に於いて、
②=③ である(?)。
従って、
(16)(17)(18)により、
(19)
③「象も動物である。」といふ「日本語」は、
② ∀x{象x→動物x&~(~象x→~動物x)}といふ「論理式」ではなく
③ ∀x{象x→動物x&∃y(~象y&動物y)}といふ「論理式」に、相当する。
と言ってゐるにも拘らず、実際には、
②=③ である。
といふことになってしまい、「お前の言ってゐることは、矛盾である」。
といふ、ことになる。
然るに、
(20)
 1 (1)∃xFx A
  2(2)  Fa A
 1 (3)  Fa 122EE
 1 (4)∀xFx 3UI
UIの適用は正しい。なぜならば、1は「a」を含まないからである。しかし、EEの適用は正しくない。
(E.J.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、147頁)
従って、
(17)(20)により、
(21)
(ⅲ)
1   (ウ)           ~(~象a→~動物a)  45イEE
1   (エ)    象a→動物a&~(~象a→~動物a)  3ウ&I
1   (オ) ∀x{象x→動物x&~(~象x→~動物x)} エUI
といふ「3行」も、「マチガイ」である。
従って、
(17)(18)(21)により、
(22)
② ∀x{象x→動物x&  ~(~象x→~動物x)}
③ ∀x{象x→動物x&∃y(~象y& 動物y)}
に於いて、
②=③ ではなく、実際には、
③ である。
従って、
(19)(22)により、
(23)
③「象動物である。」といふ「日本語」は、
② ∀x{象x→動物x&~(~象x→~動物x)}といふ「論理式」ではなく、
③ ∀x{象x→動物x&∃y(~象y&動物y)}といふ「論理式」に、相当する。
といふ「主張」は、「矛盾しない
従って、
(23)により、
(24)
③ 象動物である。⇔
③ ∀x{象x→動物x&∃y(~象y&動物y)}⇔
③ すべてのxについて、xが象であるならば、xは動物であり、あるyは象以外の動物である。
といふ「等式」が、成立する。


(522)「任意の命題」は「任意の仮言命題の後件」であるが、「真」であるとは限らない(其の?)。

2020-02-21 13:23:12 | 論理

(01)
(ⅰ)
1     (1) ~P∨ Q   A
 2    (2)  P&~Q   A
  3   (3) ~P      A
 2    (4)  P      2&E
 23   (5) ~P&P    34&I
  3   (6)~(P&~Q)  25RAA
   7  (7)     Q   A
 2    (8)    ~Q   2&E
 2 7  (9)  Q&~Q   67&I
   7  (ア)~(P&~Q)  29RAA
1     (イ)~(P&~Q)  1367ア∨E
    ウ (ウ)  P      A
     エ(エ)    ~Q   A
    ウエ(オ)  P&~Q   ウエ&I
1   ウエ(カ)~(P&~Q)&
          (P&~Q)  イオ&I
1   ウ (キ)   ~~Q   エカRAA
1   ウ (ク)     Q   キDN
1     (ケ)  P→ Q   ウクCP
(ⅱ)
1  (1)    P→Q   A
 2 (2) ~(~P∨Q)  A
  3(3)   ~P     A
  3(4)   ~P∨Q   3∨I
 23(5) ~(~P∨Q)&
        (~P∨Q)  24&I
 2 (6)  ~~P     35RAA
 2 (7)    P     6DN
12 (8)      Q   17MPP
12 (9)   ~P∨Q   8∨I
12 (ア) ~(~P∨Q)&
        (~P∨Q)  29&I
1  (イ)~~(~P∨Q)  2アRAA
1  (ウ)   ~P∨Q   イDN
従って、
(01)により、
(02)
① ~P∨Q(PでないかQである)。
②  P→Q(Pならば、Qである)。
に於いて、
①=② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。
然るに、
(03)
(ⅲ)
1(1)   Q A
1(2)~P∨Q 1∨I
1(3) P→Q 2含意の定義
従って、
(03)により、
(04)
③ Q├ P→Q
といふ「連式(Sequent)」は「妥当」であり、このことは、
③「任意命題(Q)は、任意仮言命題(P→Q)の後件(Q)である。」
といふことを、示してゐる。
然るに、
(05)
(ⅲ)
1(1)     Q A
1(2)  ~P∨Q 1∨I
1(3)   P→Q 2含意の定義
 (4)Q→(P→Q)
然るに、
(06)
系Ⅰ:任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
(E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、114頁)
従って、
(05)(06)により、
(07)
③ Q→(P→Q)
③ Qならば(PならばQである)。
は「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(07)により、
(08)
③ 任意のQとPに於いて、
③ Q→(P→Q)
③ Qならば(PならばQである)。
は、「恒に、真(本当)」である。
従って、
(08)により、
(09)
P=太陽は東から昇る。
Q=バカボンのパパは天才である。
として、
③ バカボンのパパが天才であるならば(太陽が東から昇るならば、バカボンのパパは天才である)。
といふ「仮言命題」は、「恒に、真(本当)」である。
然るに、
(10)
③ 太陽は東から昇る。
といふ「命題」は「真(本当)」である。
然るに、
(11)
③ Q→(P→Q)
が、「恒真式(トートロジー)」であるといふことは、
③ Q→(真→Q) であっても、
③ Q→(偽→Q) であっても、いづれにせよ、「真(本当)」である。
といふ、ことである。
然るに、
(12)
③ Q→(P→Q)
に於いて、
③ Q→(真→Q) であっても、
③ Q→(偽→Q) であっても、いづれにせよ、「真(本当)」である。
といふことは、
③ Qならば(Pであろうと、Pでなかろうと)Qである。
といふことである。
然るに、
(13)
③ Qならば(Pであろうと、Pでなかろうと)Qである。
といふことは、
③ QならばQである(同一律)。
と、「同じ」である。
従って、
(09)(13)により、
(14)
③ バカボンのパパが天才であるならば(太陽が東から昇るならば、バカボンのパパは天才である)。
といふ「恒真式(トートロジー)」は、
③ バカボンのパパが天才であるならば、バカボンのパパは天才である。
といふ「同一律(Q→Q)」と「同じ」である。
然るに、
(15)
(ⅲ)
(1) Q→Q 定理導入の規則(TI)
(2)~Q∨Q 含意の定義
(ⅳ)
(1)~Q∨Q 定理導入の規則(TI)
(2) Q→Q 含意の定義
従って、
(15)により、
(16)
③  Q→Q (同一律)
④ ~Q∨Q (排中律)
に於いて、
③=④ である。
従って、
(14)(15)(16)により、
(17)
③ バカボンのパパが天才であるならば(太陽が東から昇るならば、バカボンのパパは天才である)。
といふ「恒真式(トートロジー)」は、
③ バカボンのパパが天才であるならば、バカボンのパパは天才である。
といふ「同一律(Q→Q)」と「同じ」であって、
③ バカボンのパパが天才であるならば、バカボンのパパは天才である。
といふ「同一律(Q→Q)」は、
③ バカボンのパパは天才でないか、もしくは、バカボンのパパは天才である。
といふ「排中律(~Q∨Q)」と、「同じ」である。
然るに、
(18)
③ バカボンのパパは天才でないか、もしくは、バカボンのパパは天才である
といふのであれば、
③ バカボンのパパは天才である
とは、言へない
従って、
(17)(18)により、
(19)
P=太陽は東から昇る。
Q=バカボンのパパは天才である。
として、
③ バカボンのパパが天才であるならば(太陽が東から昇るならば、バカボンのパパは天才である)。
といふ「仮言命題」は、「恒に、真(本当)」であって、
③ 太陽は東から昇る。
といふ「命題」も「真(本当)」であるが、
③ バカボンのパパは天才である。
といふ「命題」は、「真(本当)」であるとは、限らない。
従って、
(04)(19)により、
(20)
③「任意の命題(Q)は、任意の仮言命題(P→Q)の後件(Q)である。」が、
③「後件(Q)の真偽(本当・ウソ)は、不明である。」


(521)「象は鼻が長い。」等、計12個の「述語論理」(Ⅱ)。

2020-02-20 20:06:45 | 象は鼻が長い、述語論理。

―「一昨日(令和02年02月18日)」の記事を書き直して、わずかに、要約します。結論は、(44)に示します。―
(01)
①{象、□、□}
②{象、机、車}
③{象、兎、馬}
に於いて、
①{象、□、□}
であれば、
①{少なくとも、象は動物である}。
然るに、
(02)
②{象、机、車}
③{象、兎、馬}
に於いて、
② であれば、{象以外(机、車)は動物ではなく}、
③ であれば、{象以外(兎、馬)も動物ではある}。
然るに、
(03)
②{象、机、車}であれば、
②{象が動物であり}、
③{象、兎、馬}であれば、
③{象も動物である}。
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
① 象は動物である。⇔ 象は動物である。
② 象が動物である。⇔ 象は動物であり、象以外は動物でない。
③ 象も動物である。⇔ 象は動物であり、象以外も動物である。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(05)
① 象は動物である。
② 象は動物であり、象以外は動物でない。
③ 象は動物であり、象以外も動物である。
といふことは、「記号」で書くと。
① ∀x(象x→動x)
② ∀x(象x→動x&~象x→~動x)
③ ∀x{象x→動x&∃y(~象y&動y)}
であって、それぞれの「読み方」は、
① すべてのxについて、xが象であるならば、xは動物である。
② すべてのxについて、xが象であるならば、xは動物であり、xが象でないならば、xは動物ではない。
③ すべてのxについて、xが象であるなあば、xは動物であり、あるyは象ではないが、動物である。
である。
(06)
④ 象は鼻は長い。
といふことは、
④ 象には長い鼻がある。
といふことである。
従って、
(06)により、
(07)
④ 象は鼻は長い。⇔
④ 象には長い鼻がある。⇔
④ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)}⇔
④ すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、長い。
(08)
⑤ 象は鼻が長い。
といふことは、
⑤ 象の鼻は長いが、鼻以外は長くない。
といふことである。
従って、
(08)により、
(09)
⑤ 象は鼻が長い。⇔
⑤ 象の鼻は長いが、鼻以外は長くない。⇔
⑤ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
⑤ すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない。
(10)
⑥ 象は鼻も長い。
といふことは、
⑥ 象は鼻は長いが、鼻以外が長くない、といふわけではない。
といふことである。
従って、
(09)(10)により、
(11)
⑥ 象は鼻も長い。⇔
⑥ 象は鼻は長いが、鼻以外が長くない、といふわけではない。⇔
⑥ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
⑥ すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くない、といふわけではない。
然るに、
(12)
(ⅵ)
1 (1)~∀z(~鼻zx→~長z) A
1 (2)∃z~(~鼻zx→~長z) 1量化子の関係
 3(3)  ~(~鼻cx→~長c) A
 3(4)  ~( 鼻cx∨~長c) 3含意の定義
 3(5)    ~鼻cx& 長c  4ド・モルガンの法則
 3(6) ∃z(~鼻zx& 長z) 5EI
1 (7) ∃z(~鼻zx& 長z) 136EE
(ⅶ)
1  (1) ∃z(~鼻zx& 長z) A
 2 (2)    ~鼻cx& 長c  A
  3(3) ∀z(~鼻zx→~長z) A
  3(4)    ~鼻cx→~長c) 3UE
 2 (5)    ~鼻cx      2&E
 23(6)         ~長c  45MPP
 2 (7)          長c  2&E
 23(8)      ~長c&長c  67&I
 2 (9)~∀z(~鼻zx→~長z) 38RAA
従って、
(12)により、
(13)
⑥ ~∀z(~鼻zx→~長z)
⑦   ∃z(~鼻zx& 長z)
に於いて、
⑥=⑦ である。
従って、
(11)(12)(13)により、
(14)
⑥ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~∀z(~鼻zx→~長z)}
⑦ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&  ∃z(~鼻zx& 長z)}
に於いて、
⑥=⑦ である。
従って、
(11)(14)により、
(15)
⑥ 象は鼻も長い。⇔
⑥ 象は鼻は長く、鼻以外も長い。⇔
⑥ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx&長z)}⇔
⑥ すべてのxについて、あるyはxの鼻であって、長く。あるzはxの鼻ではなく、zは長い。
従って、
(04)(05)(07)(09)(15)により、
(16)
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
④ 象は鼻は長い。
⑤ 象は鼻が長い。
⑥ 象は鼻も長い。
といふ「日本語」は、
① ∀x(象x→動x)
② ∀x(象x→動x&~象x→~動x)
③ ∀x{象x→動x&∃y(~象y&動y)}
④ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)}
⑤ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
⑥ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx& 長z)}
といふ「述語論理」に、相当する。
(17)
⑦ 象が鼻は長い。
といふことは、
⑦ 象は鼻は長いが、象以外の動物の鼻は長くない。
といふことである。
然るに、
(18)
⑦ 象は鼻は長いが、象以外の動物はの鼻は長くない。⇔
⑦ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~象x→~∃y(鼻yx&長y)}⇔
⑦ すべてのxについて、xが象ならば、あるyはxの鼻であって、長く、xが象でないならば、xの鼻であって、長いyは存在しない。
従って、
(17)(18)により、
(19)
⑦ 象が鼻は長い。⇔
⑦ 象は鼻は長いが、象以外の動物はの鼻は長くない。⇔
⑦ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~象x→~∃y(鼻yx&長y)}⇔
⑦ すべてのxについて、xが象ならば、あるyはxの鼻であって、長く、xが象でないならば、xの鼻であって、長いyは存在しない。
(20)
⑧ 象が鼻が長い。
といふことは、
⑧ 象以外に、鼻が長い動物はゐない。
といふことである。
然るに、
(21)
⑧ 象以外に、鼻が長い動物はゐない。
といふことは、
⑧ 象以外に、鼻は長いが、鼻以外は長くない動物はゐない。
といふことである。
然るに、
(22)
② 象が動物である。
⑤ 象は鼻が長い。
② ∀x(象x→動x&~象x→~動x)
⑤ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
を「合成」すると、
⑧ 象が鼻が長い。⇔
⑧ 象以外に、鼻が長い動物はゐない。⇔
⑧ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x→~[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]}
といふ、ことになる。
然るに、
(23)
(ⅷ)
1    (1)~象x→~[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)] A
1    (2)~象a→~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)] A
 3   (3)~象a
13   (4)    ~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)] 23MPP
13   (5)    ~∃y(鼻ya&長y)∨~∀z(~鼻za→~長z)  4ド・モルガンの法則
13   (6)     ∃y(鼻ya&長y)→~∀z(~鼻za→~長z)  5含意の定義
  7  (7)     ∃y(鼻ya&長y)                A
137  (8)                ~∀z(~鼻za→~長z)  67MPP
137  (9)                ∃z~(~鼻ca→~長c)  8量化子の関係
   ア (ア)                  ~( 鼻ca∨~長c)  9含意の定義
   ア (イ)                    ~鼻ca& 長c   ア、ド・モルガンの法則
   ア (ウ)                 ∃z(~鼻za& 長z)  イEI
137  (エ)                 ∃z(~鼻za& 長z)  クアウEE
13   (オ)     ∃y(鼻ya&長y)→ ∃z(~鼻za& 長z)  7エCP
1    (カ)~象a→[∃y(鼻ya&長y)→ ∃z(~鼻za& 長z)] 3オCP
    キ(キ)~象a& ∃y(鼻ya&長y)                A
    キ(ク)~象a                            キ&E
1   キ(ケ)    [∃y(鼻ya&長y)→ ∃z(~鼻za& 長z)] カクMPP
    キ(コ)     ∃y(鼻ya&長y)                キ&E
1   キ(サ)                 ∃z(~鼻za& 長z)  ケコMPP
1    (シ) ~象a&∃y(鼻ya&長y)→ ∃z(~鼻za& 長z)  キサ
1    (ス) ~象x&∃y(鼻yx&長y)→ ∃z(~鼻zx& 長z)  シUI
(ⅸ)
1    (1) ~象x&∃y(鼻yx&長y)→ ∃z(~鼻zx& 長z)  A
1    (2) ~象a&∃y(鼻ya&長y)→ ∃z(~鼻za& 長z)  1UE
 3   (3) ~象a                           A
  4  (4)     ∃y(鼻ya&長y)                A
 34  (5) ~鼻a&∃y(鼻ya&長y)                34&I
134  (6)                 ∃z(~鼻za& 長z)  25MPP
   7 (7)                    ~鼻ca& 長c   A
   7 (8)                   ~(鼻ca∨~長c)  7ド・モルガンの法則
   7 (9)                  ~(~鼻ca→~長c)  8含意の定義
   7 (ア)                ∃z~(~鼻za→~長c)  9EI
134  (イ)                ∃z~(~鼻za→~長c)  67アEE
134  (ウ)                ~∀z(~鼻za→~長c)  イ量化子の関係 
13   (エ)     ∃y(鼻ya&長y)→~∀z(~鼻za→~長c)  4ウCP
13   (オ)    ~∃y(鼻ya&長y)∨~∀z(~鼻za→~長z)  エ含意の定義
13   (カ)    ~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)] オ、ド・モルガンの法則
1    (キ)~象a→~[∃y(鼻ya&長y)&∀z(~鼻za→~長z)] 3カCP
1    (ク)~象x→~[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)] キUI
従って、
(23)により、
(24)
⑧ ~象x→~[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]
⑨ ~象x&∃y(鼻yx&長y)→   ∃z(~鼻zx& 長z)
に於いて、
⑧=⑨ である。
従って、
(22)(23)(24)により、
(25)
⑧ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x→~[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]}
⑨ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x&  ∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx& 長z)}
に於いて、
⑧=⑨ である。
然るに、
(26)
⑧ ∀x{象x→[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]&~象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx&長z)}⇔
⑧  すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くなく、xが象ではなく、yがxの鼻であって長いならば、あるzはxの鼻ではなくて、長い。
といふことは、
⑧ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くないが、象以外に、鼻が長い動物は、鼻以外も長い。
といふ、ことである。
然るに、
(27)
⑧ 象は、鼻は長く、鼻以外は長くないが、象以外に、鼻が長い動物は、鼻以外も長い。
といふことは、
⑧ 鼻は長く、鼻以外は長くない動物は、象だけである。
といふことである。
然るに、
(28)
⑧ 鼻は長く、鼻以外は長くない動物は、象だけである。
といふことは、
⑧ 象が鼻が長い。
といふことである。
従って、
(20)~(28)により、
(29)
⑧ 象が鼻が長い。⇔
⑧ 象以外に、鼻が長い動物はゐない。
⑧ ∀x{象x→[∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)]&~象x&∃y(鼻yx&長y)→∃z(~鼻zx&長z)}⇔
⑧  すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって、長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くなく、xが象ではなく、yがxの鼻であって長いならば、あるzはxの鼻ではなくて、長い。
然るに、
(30)
⑨ 象が鼻も長い。
といふことは、
⑨ 象は、鼻と、鼻以外も長いが、象以外の動物の鼻が長がければ、その動物の鼻以外は長くない。
といふことである。
然るに、
(31)
⑨ 象は、鼻と、鼻以外も長いが、象以外の動物の鼻が長がければ、その動物の鼻以外は長くない。⇔
⑨ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx&長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)→~∃z(~鼻zx&長z)}⇔
⑨ すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって長く、あるzはxの鼻ではなくて、長く、xが象でなくて、あるyがxの鼻であって、長いならば、xの鼻でなくて、長いzは存在しない
従って、
(30)(31)により、
(32)
⑨ 象が鼻も長い。⇔
⑨ 象は、鼻と、鼻以外も長いが、象以外の動物の鼻が長がければ、その動物の鼻以外は長くない。⇔
⑨ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx&長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)→~∃z(~鼻zx&長z)}⇔
⑨ すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって長く、あるzはxの鼻ではなくて、長く、xが象でなくて、あるyがxの鼻であって、長いならば、xの鼻でなくて、長いzは存在しない
従って、
(16)(19)(29)(32)により、
(33)
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
④ 象は鼻は長い。
⑤ 象は鼻が長い。
⑥ 象は鼻も長い。
⑦ 象が鼻は長い。
⑧ 象が鼻が長い。
⑨ 象が鼻も長い。
といふ「日本語」は、
① ∀x(象x→動x)
② ∀x(象x→動x&~象x→~動x)
③ ∀x{象x→動x&∃y(~象y&動y)}
④ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)}
⑤ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
⑥ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx& 長z)}
⑦ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~象x→~∃y(鼻yx&長y)}
⑧ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)→ ∃z(~鼻zx&長z)}
⑨ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx& 長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)→~∃z(~鼻zx&長z)}
といふ「述語論理」に、相当する。
(34)
⑩ 象も鼻は長い。
といふことは、
⑩ 象は鼻は長いが、象以外の動物の鼻で、長い鼻が存在しない、といふわけではない。
といふことである。
然るに、
(35)
⑩ 象は鼻は長いが、象以外の動物の鼻ならば、長い鼻が存在しない、といふわけではない。⇔
⑩ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~[~象x→~∃y(鼻yx&長y)]}⇔
⑩ すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であって長く、xが象でないならば、xの鼻であって、長いyが存在しない、といふわけではない。
然るに、
(36)
(a)
1(1)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~[~象x→~∃y(鼻yx&長y)]} A
1(2)   象a→∃y(鼻ya&長y)&~[~象a→~∃y(鼻ya&長y)]} A
1(3)   象a→∃y(鼻ya&長y)                     2UE
1(4)                 ~[~象a→~∃y(鼻ya&長y)]  2UE
1(5)                 ~[ 象a∨~∃y(鼻ya&長y)]  4含意の定義
1(6)                   ~象a& ∃y(鼻ya&長y)   5ド・モルガンの法則
1(7)   象a→∃y(鼻ya&長y)&  ~象a& ∃y(鼻ya&長y)   36&I
1(8)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&  ~象x& ∃y(鼻yx&長y)}  7UI
(b)
1 (1)∀x{象a→∃y(鼻ya&長y)&  ~象a& ∃y(鼻ya&長y)}  A
1 (2)   象a→∃y(鼻ya&長y)&  ~象a& ∃y(鼻ya&長y)   1UE
1 (3)   象a→∃y(鼻ya&長y)                     2&E
1 (4)                   ~象a& ∃y(鼻ya&長y)   2&E
 5(5)                   ~象a→~∃y(鼻ya&長y)   A
1 (6)                   ~象a               4&E
15(7)                       ~∃y(鼻ya&長y)   56MPP
1 (8)                        ∃y(鼻ya&長y)   4&E
15(9)                       ~∃y(鼻ya&長y)&
                             ∃y(鼻ya&長y)   78&I
1 (ア)                 ~[~象a→~∃y(鼻ya&長y)]  59RAA
1 (イ)   象a→∃y(鼻ya&長y)&~[~象a→~∃y(鼻ya&長y)]  3ア&I
1 (ウ)∀x{象a→∃y(鼻ya&長y)&~[~象a→~∃y(鼻ya&長y)]} イUI
従って、
(36)により、
(37) 
(a)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~[~象x→~∃y(鼻yx&長y)]}
(b)∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&  ~象x& ∃y(鼻yx&長y)}
に於いて、
(a)=(b)である。
従って、
(34)(35)(36)により、
(38)
⑩ 象も鼻は長い。⇔
⑩ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~象x&∃y(鼻yx&長y)}⇔
⑩ すべてのxについて、xが象ならば、あるyはxの鼻であって長く、xは象でなくとも、あるyはxの鼻であって長い。
然るに、
(33)により、
(39)
⑤ 象は鼻が長い。⇔
⑤ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
従って、
(38)(39)により、
(40)
⑤ 象は鼻が長い。 と、
⑤ 象は鼻が長い。 を、「合成」すると、
⑪ 象も鼻が長い。⇔
⑪ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}⇔
⑪ すべてのxについて、xが象ならば、あるyはxの鼻であって長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くなく、xは象でなくとも、あるyはxの鼻であって長く、すべてのzについて、zがxの鼻でないならば、zは長くなくない。
然るに、
(41)
⑫ 象も鼻も長い。
といふことは、
⑫ 象と、象の他に、鼻と鼻以外が長い動物がゐる。
といふことである。
然るに、
(42)
⑫ 象と、象の他に、鼻と鼻以外が長い動物がゐる。
⑫ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx&長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx&長z)}⇔
⑫ すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であり、長く、あるzはxの鼻以外であるが、長く、xが象でなくとも、あるyはxの鼻であり、長く、あるzはxの鼻以外であるが、長い。
従って、
(41)(42)により、
(43)
⑫ 象も鼻も長い。⇔
⑫ 象と、象の他に、鼻と鼻以外が長い動物がゐる。
⑫ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx&長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx&長z)}⇔
⑫ すべてのxについて、xが象であるならば、あるyはxの鼻であり、長く、あるzはxの鼻以外であるが、長く、xが象でなくとも、あるyはxの鼻であり、長く、あるzはxの鼻以外であるが、長い。
従って、
(33)(38)(40)(43)により、
(44)
① 象は動物である。
② 象が動物である。
③ 象も動物である。
④ 象は鼻は長い。
⑤ 象は鼻が長い。
⑥ 象は鼻も長い。
⑦ 象が鼻は長い。
⑧ 象が鼻が長い。
⑨ 象が鼻も長い。
⑩ 象も鼻は長い。
⑪ 象も鼻が長い。
⑫ 象も鼻も長い。
といふ「日本語」は、
① ∀x(象x→動x)
② ∀x(象x→動x&~象x→~動x)
③ ∀x{象x→動x&∃y(~象y&動y)}
④ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)}
⑤ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
⑥ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx& 長z)}
⑦ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~象x→~∃y(鼻yx&長y)}
⑧ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)→ ∃z(~鼻zx&長z)}
⑨ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx& 長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)→~∃z(~鼻zx&長z)}
⑩ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~象x&∃y(鼻yx&長y)}
⑪ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
⑫ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx& 長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx& 長z)}
といふ「述語論理」に、相当する。
然るに、
(45)
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。そこに含まれている仕事は翻訳の仕事に違いないけれども、しかしそこへ翻訳が行われる形式言語は、自然言語のシンタックスとは幾らか違ったシンタックスをもっており、また限られた述語―論理的結合記号、変数、固有名、述語文字、および2つの量記号―しかもたない。その言語のおもな長所は、記法上の制限にもかかわらず、非常に広範な表現能力をもっていることである(E.J.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、130頁)。
然るに、
(46)
⑩ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~象x&∃y(鼻yx&長y)}
⑪ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
⑫ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx& 長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx& 長z)}
といふ「述語論理式」が書けるようになるためには、確かに、
(a)あたまが柔軟であることが必要であるし、
(b)なんら確定的な規則があるわけではないし、
(c)量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。
従って、
(47)
「練習を積むこと」を厭はない人でなければ、
⑩ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&~象x&∃y(鼻yx&長y)}
⑪ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)&∀z(~鼻zx→~長z)}
⑫ ∀x{象x→∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx& 長z)&~象x&∃y(鼻yx&長y)&∃z(~鼻zx& 長z)}
といふ「式」を、書けるようには、ならないのが、「普通」であると、思はれる。