（01）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛象ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ）｝ Ａ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （４） 象ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ） ２ＵＥ
５ （５） 象ａ Ａ
１ ５ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３５ＭＰＰ
１ ５ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６＆Ｅ
１ ５ （８） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６＆Ｅ
１ ５ （９） ～鼻ｃａ→～長ｃ ８ＵＥ
２５ （ア） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ） ４５ＭＰＰ
イ（イ） 耳ｃａ＆～鼻ｃａ Ａ
イ（ウ） 耳ｃａ イ＆Ｅ
イ（エ） ～鼻ｃａ イ＆Ｅ
１ ５イ（オ） ～長ｃ ９エＭＰＰ
１ ５イ（カ） 耳ｃａ＆～長ｃ エオ＆Ｉ
１ ５イ（キ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～長ｚ） カＥＩ
１２５ （ク） ∃ｚ（耳ｚａ＆～長ｚ） アイキＥＥ
１２５ （ケ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∃ｚ（耳ｚａ＆～長ｚ） ７ク＆Ｉ
１２ （コ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∃ｚ（耳ｚａ＆～長ｚ） ５ケＣＰ
１２ （サ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∃ｚ（耳ｚｘ＆～長ｚ）｝ コＵＩ
（02）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∃ｚ（耳ｚｘ＆～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∀ｚ（耳ｚｘ→ 長ｚ）｝ Ａ
１ （３） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∃ｚ（耳ｚａ＆～長ｚ） １ＵＥ
４ （４） 象ａ＆∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∀ｚ（耳ｚａ→ 長ｚ） Ａ
４ （５） 象ａ ４＆Ｅ
１ ４ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∃ｚ（耳ｚａ＆～長ｚ） ３５ＭＰＰ
４ （７） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）∨∀ｚ（耳ｚａ→ 長ｚ） ４＆Ｅ
１ ４ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ６＆Ｅ
９ （９） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） Ａ
ア （ア） 鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
９ （イ） 鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＥ
９ （ウ） 鼻ｂａ ア＆Ｅ
９ア （エ） ～長ｂ イウＭＰＰ
ア （オ） 長ｂ ア＆Ｅ
９ア （カ） ～長ｂ＆長ｂ エオ＆Ｉ
１ ４ （キ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～長ｚ） ６＆E
ク （ク） ∀ｚ（耳ｚａ→ 長ｚ） Ａ
ケ（ケ） 耳ｂａ＆～長ｂ Ａ
ク （コ） 耳ｂａ→ 長ｂ クＵＥ
ケ（サ） 耳ｂａ ケ＆Ｅ
クケ（シ） 長ｂ コサＭＰＰ
ケ（ス） ～長ｂ ケ＆Ｅ
クケ（ソ） ～長ｂ＆長ｂ シス＆Ｉ
１ ４ ア ケ（タ） ～長ｂ＆長ｂ ７９カクケ∨Ｅ
１ ４ ケ（チ） ～長ｂ＆長ｂ ８アタＥＥ
１ ４ （ツ） ～長ｂ＆長ｂ キケチＥＥ
１２ （テ） ～長ｂ＆長ｂ ２４ツＥＥ
１ （ト）～∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∀ｚ（耳ｚｘ→ 長ｚ）｝ ２テＲＡＡ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ）｝。 従って、
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）＆∃ｚ（耳ｚｘ＆～長ｚ）｝。従って、
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）∨∀ｚ（耳ｚｘ→ 長ｚ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。然るに、
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、鼻ではない）｝。従って、
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、あるｚは（ｘの耳であって、長くない）｝。従って、
④ あるｘが｛象であって、すべてのｙについて（ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くないか）、または、すべてのｚについて（ｚがｘの耳であるならば、ｚは長い）｝といふことはない。
といふ「推論」、すなはち、
① 象は、鼻は長いが、鼻以外は長くない。然るに、
② 象は、鼻は耳ではない。 従って、
③ 象は、鼻は長いが、耳は長くない。 従って、
④ 象であって、鼻が長くないか、耳が長い、といふことはない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
① 象は、鼻は長いが、鼻以外も長い。然るに、
② 象は、鼻は耳ではない。 従って、
③ 象は、鼻は長いが、耳は長くない。 従って、
④ 象であって、鼻が長くないか、耳が長い、といふことはない。
といふ「推論」は、「妥当」でない。
然るに、
（05）
① 象は、鼻が長い。 然るに、
② 象は、鼻は耳ではない。 従って、
③ 象は、鼻は長いが、耳は長くない。従って、
④ 象であって、鼻が長くないか、耳が長い、といふことはない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
① 象は、鼻は長いが、鼻以外は長くない。
② 象は、鼻は長いが、鼻以外も長い。
③ 象は、鼻が長い。
に於いて、
①＝② ではなくて、
①＝③ である。
令和５年４月２９日、毛利太。
（01）
［例］先生不レ知二何許人一。
［読み］先生は何許の人なるかを知らず。
［訳］先生がどこの出身の人であるかは分からない。〈陶潜・五柳先生伝〉
（注）この文の「先生」は主文の主語ではなく、名詞節の主語である。意味内容からすれば、「我不レ知二先生何許一」ということだが。
この文のように表現するから注意を要する。
（天野成之、漢文基本語辞典、1999年、６０頁）
然るに、
（02）
① 鳥吾知其能飛＝
① 鳥吾知（其能飛）⇒
① 鳥吾（其能飛）知＝
① 鳥については、私は、飛べることを知ってゐる。
（史記、老子韓非列伝）
従って、
（02）により、
（03）
② 鳥吾不知其能飛＝
② 鳥吾不〔知（其能飛）〕⇒
② 鳥吾〔（其能飛）知〕不＝
② 鳥については、私は、飛べることを知らない。
然るに、
（04）
② 鳥吾不知其能飛。
に於いて、
鳥＝先生
能飛＝何許人
といふ「代入」を行ふと、
③ 先生吾不知其何許人＝
③ 先生吾不〔知（其何許人）〕⇒
③ 先生吾〔（其何許人）知〕不＝
③ 先生は、吾〔（其の何許人ならかを）知ら〕不＝
③ 先生については、私は、どこの出身の人であるかは分からない。
といふ「漢文」になる。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
③ 先生＿不知＿何許人。
といふ「漢文」は、
③ 吾 其
が「省略」されてゐる。
といふ風に、「解釈」出来るし、そのため、
③ 先生吾不知其何許人。
に於いて、
③ 先生＝其
である。
然るに、
（06）
③ 先生吾不知其何許人。
③ 先生＝其
であるといふことは、
③ 吾不〔知（先生何許人）〕。
といふこと、すなはち、
③ 我不レ知二先生何許一。
といふことに、他ならない。
（01）
① 象は動物である。
② 象には鼻がある。
③ 象の鼻は動物の鼻である。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ）｝。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆動物ｘ）｝。
といふ「論理式」、すなはち、
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
② すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻である）｝。
③ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、ｘは動物である）｝。
といふ「論理式」に「相当」する。
然るに、
（02）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ）｝ Ａ
１ （３） 象ａ→動物ａ １ＵＥ
２ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ） ２ＵＥ
５ （５） 象ａ Ａ
１ ５ （６） 動物ａ ３５ＭＰＰ
１２５ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ） ４６ＭＰＰ
８（８） 鼻ｂａ Ａ
１２５８（９） 鼻ｂａ＆動物ａ ６８＆Ｉ
１２５８（ア） ∃ｙ（鼻ｙａ＆動物ａ） ９ＥＩ
１２５ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆動物ａ） ７８アＥＥ
１２ （ウ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆動物ａ） ５イＣＰ
１２ （エ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆動物ｘ）｝ ウＵＩ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 象は動物である。然るに、
② 象には鼻がある。従って、
③ 象の鼻は動物の鼻である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 象は動物である。
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
① 象は鼻が長い（が、鼻以外は長くない）。
② 兎は耳は長い（が、耳は、鼻ではない）。
③ 象は兎ではない。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆長ｚ＆～鼻ｚｘ）｝。
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「論理式」、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻ではないならば、ｚは長くない）｝。
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、長いが、ｚは鼻ではない）｝。
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「論理式」に「相当」する。
然るに、
（06）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＩ
２ ６ （イ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ウ （ウ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ （エ） ～鼻ｂａ ウ＆Ｅ
ウ （オ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ６ウ （カ） ～長ｂ アエＭＰＰ
１ ６ウ （キ） 長ｂ＆～長ｂ オカ＆Ｉ
１２ ６ （ク） 長ｂ＆～長ｂ イウキＥＥ
１２３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３６クＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ケＲＡＡ
１２ （サ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） コ量化子の関係
１２ （シ） ～（象ａ＆兎ａ） サＵＥ
ス （ス） 象ａ Ａ
セ（セ） 兎ａ Ａ
スセ（ソ） 象ａ＆兎ａ スセ＆Ｉ
１２ スセ（タ） ～（象ａ＆兎ａ）＆（象ａ＆兎ａ） シソ＆Ｉ
１２ ス （チ） ～兎ａ セタＲＡＡ
１２ （ツ） 象ａ→～兎ａ スチＣＰ
１２ （テ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ツＵＩ
従って、
（05）（06）により、
（07）
① 象は鼻が長い（が、鼻以外は長くない）。然るに、
② 兎は耳は長い（が、耳は、鼻ではない）。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（07）により、
（08）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳は長い。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「推論」は、「妥当」であるならば、
① 象は鼻が長い。
② 兎は耳は長い。
といふ「日本語」は、
① 象は鼻が長い（が、鼻以外は長くない）。然るに、
② 兎は耳は長い（が、耳は、鼻ではない）。従って、
といふ「日本語」に「等しい」。
然るに、
（09）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳は長い。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
① 象は鼻が長い（が、鼻以外は長くない）。 といふ「日本語」に「等しい」。
従って、
（05）（10）により、
（11）
① 象は鼻が長い。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）（11）により、
（12）
① 象は動物である。
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「論理式」に「相当」する。
従って、
（12）により、
（13）
① 象は動物である。
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」に於ける、
① 象は
① 象は
は、「両方」とも、
② ∀ｘ（象ｘ→
② ∀ｘ｛象ｘ→
といふ風に、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、
といふ風に、「翻訳」出来る。
従って、
（14）
① 象は動物である。に於ける、
① 象は が、「主語」であるならば、
① 象は鼻が長い。 に於ける、
① 象は も、「主語」である。
然るに、
（15）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、
といふことは、敢へて、言ふと、
① 象についていうと、
① 象についていうと、
といふことである。
然るに、
（16）
１ 「象は鼻が長い」という例文
三上章は『象は鼻が長い』という本を書いて、日本語には主語がないと主張しました。
「象は鼻が長い」という文の「象は」というのは主語ではなく、主題なのだという主張でした。助詞「は」がつく語は主題になります。
「は」は文の区切りになるようです。
「象は鼻が長い」の「象は」という主題は、「象についていうと」という意味になります。「象は」のあとに主題についての解説が続くというのが、この文の構造のようです。
（投稿日: 2017-02-08 作成者: 丸山有彦）
従って、
（15）（16）により、
（17）
① 象は動物である。に於ける、
① 象は が、「主題」であるならば、
① 象は鼻が長い。 に於ける、
① 象は も、「主題」である。
従って、
（12）（14）（17）により、
（18）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「論理式」に「相当」する所の、
① 象は動物である。
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」に於ける、
① 象は
① 象は
①「主語」であると言へば、「主語」であるし、
①「主題」であると言へば、「主題」である。
（01）
１ （１）∀ｘ｛仏国ｘ→∃ｙ［（巴里ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝ Ａ
２ （２）∃ｚ（里昂ｚ＆～巴里ｚ） Ａ
１ （３） 仏国ａ→∃ｙ［（巴里ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）］ １ＵＥ
４ （４） 里昂ｃ＆～巴里ｃ Ａ
４ （５） 里昂ｃ ４＆Ｅ
４ （６） ～巴里ｃ ４＆Ｅ
７ （７） 仏国ａ Ａ
１ ７ （８） ∃ｙ［（巴里ｙ＆首都ｙａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｙ）］ ３７ＭＰＰ
９ （９） （巴里ｂ＆首都ｂａ）＆∀ｚ（首都ｚａ→ｘ＝ｂ） Ａ
９ （ア） 巴里ｂ＆首都ｂａ ９＆Ｅ
９ （イ） 巴里ｂ ア＆Ｅ
９ （ウ） ∀ｚ（首都ｚａ→ｚ＝ｂ） ９＆Ｅ
９ （エ） 首都ｃａ→ｃ＝ｂ ウＵＥ
オ（オ） ｃ＝ｂ Ａ
９オ（カ） 巴里ｃ イオ＝Ｅ
４ ９オ（キ） ～巴里ｃ＆巴里ｃ ６カ＆Ｉ
４ ９ （ク） ｃ≠ｂ オキＲＡＡ
４ ９ （ケ） ～首都ｃａ エクＭＴＴ
４ ９ （コ） 里昂ｃ＆～首都ｃａ ５ケ＆Ｉ
４ ９ （サ）∃ｚ（里昂ｚ＆～首都ｚａ） コＥＩ
１ ４７ （シ）∃ｚ（里昂ｚ＆～首都ｚａ） ８９サＥＥ
１２ ７ （ス）∃ｚ（里昂ｚ＆～首都ｚａ） ２４シＥＥ
１２ （セ） 仏国ａ→∃ｚ（里昂ｚ＆～首都ｚａ） ７スＣＰ
１２ （ソ）∀ｘ｛仏国ｘ→∃ｚ（里昂ｚ＆～首都ｚｘ）｝ セＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛仏国ｘ→∃ｙ［（巴里ｙ＆首都ｙｘ）＆∀ｚ（首都ｚｘ→ｚ＝ｙ）］｝。然るに、
② ∃ｚ（里昂ｚ＆～巴里ｚ）。従って、
③ ∀ｘ｛仏国ｘ→∃ｚ（里昂ｚ＆～首都ｚｘ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘがフランスであるならば、あるｙは［（パリであり、ｙはｘの首都であり）、すべてのｚについて（ｚがｘの首都であるならば、ｚはｙと「同一」である）］｝。然るに、
② あるｚは（リヨンであってパリではない）。従って、
③ すべてのｘについて｛ｘがフランスであるならば、あるｚは（リヨンであって、ｘの首都ではない）｝。
といふ「推論」、すなはち、
① フランスは、パリが首都である。然るに、
② リヨンはパリではない。従って、
③ フランスは、リヨンは首都ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
① フランスは、パリが首都である。
といふことは、
① パリが、フランスの、唯一の首都（the capital）である。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
（04）
① パリが、フランスの、唯一の首都（the capital）である。
といふことは、
② フランスの首都＝パリ。
といふことに、「他ならない」。
然るに、
（05）
② フランスの首都＝パリ。
といふことは、
③ パリ＝フランスの首都。
といふことに、「他ならない」。
従って、
（05）により、
（06）
「数学」で言ふ、「交換法則」により、
① Paris is the capital of France.
② The capital of France is Paris.
といふ「英文（命題）」は、両方とも、「真」である。
然るに、
（07）
E.J.レモンは、
① Paris is the capital of France.
② The capital of France is Paris.
③ Socrates is the philosopher who tauto Plato.
④ The philosopher who tauto Plato is Socrates.
等に於ける「is」を、「"is" of identity」と呼び、竹尾・浅野 先生は、「同一性の"である"」といふ風に「訳してゐる」。
ｃｆ.
（E.J.レモン 著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、２０５頁）
然るに、
（08）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。 と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（07）（08）により、
（09）
⑤ タゴール記念会は、私が理事長です。
⑥ タゴール記念会は、理事長は私です。
に於ける「です」は、竹尾・浅野 先生が所謂、「同一性の"です"」である。
（01）
① ∀ｘ｛偶数ｘ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝。
といふ「命題」、すなはち、
① いかなるｘであっても｛ｘが偶数であるならば、あるｙは（偶数であって、尚且つ、ｘとｙは、「同じ数」ではない）｝。
といふ「命題」は、
① 偶数は「１つ」でない。
といふ「命題」に、「他ならない」。
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛偶数ｘ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝。
といふ「命題の否定」、すなはち、
② ～∀ｘ｛偶数ｘ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝。
といふ「命題」は、
② 偶数は「１つ」である。
といふ「命題」に、「他ならない」。
ｃｆ.
素数２は、唯一の偶数の素数であり、これを「偶素数」と呼ぶ。
即ち、２以外の偶数は、２で割り切れるので、合成数である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ｛偶数ｘ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛偶数ｘ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝ １量化子の関係
３（３） ～｛偶数ａ→∃ｙ（偶数ｙ＆ａ≠ｙ）｝ Ａ
３（４） ～｛～偶数ａ∨∃ｙ（偶数ｙ＆ａ≠ｙ）｝ ３含意の定義
３（５） 偶数ａ＆～∃ｙ（偶数ｙ＆ａ≠ｙ） ４ド・モルガンの法則
３（６） 偶数ａ ５＆Ｅ
３（７） ～∃ｙ（偶数ｙ＆ａ≠ｙ） ５＆Ｅ
３（８） ∀ｙ～（偶数ｙ＆ａ≠ｙ） ７量化子の関係
３（９） ～（偶数ｂ＆ａ≠ｂ） ８ＵＥ
３（ア） ～偶数ｂ∨ａ＝ｂ ９ド・モルガンの法則
３（イ） 偶数ｂ→ａ＝ｂ ア含意の定義
３（ウ） ∀ｙ（偶数ｙ→ａ＝ｙ） イＵＩ
３（エ） 偶数ａ＆∀ｙ（偶数ｙ→ａ＝ｙ） ６ウ＆Ｉ
３（オ） ∃ｘ｛偶数ｘ＆∀ｙ（偶数ｙ→ｘ＝ｙ）｝ エＥＩ
１ （カ） ∃ｘ｛偶数ｘ＆∀ｙ（偶数ｙ→ｘ＝ｙ）｝ １３オＥＥ
（ⅲ）
１ （１） ∃ｘ｛偶数ｘ＆∀ｙ（偶数ｙ→ｘ＝ｙ）｝ １３オＥＥ
２（２） 偶数ａ＆∀ｙ（偶数ｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２（３） 偶数ａ ２＆Ｅ
２（４） ∀ｙ（偶数ｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２（５） 偶数ｂ→ａ＝ｂ ４ＵＩ
２（６） ～偶数ｂ∨ａ＝ｂ ５含意の定義
２（７） ～（偶数ｂ＆ａ≠ｂ） ６ド・モルガンの法則
２（８） ∀ｙ～（偶数ｙ＆ａ≠ｙ） ７ＵＩ
２（９） ～∃ｙ（偶数ｙ＆ａ≠ｙ） ８量化子の関係
２（ア） 偶数ａ＆～∃ｙ（偶数ｙ＆ａ≠ｙ） ３９＆Ｉ
２（イ） ～（～偶数ａ∨∃ｙ（偶数ｙ＆ａ≠ｙ） ア、ド・モルガンの法則
２（ウ） ～｛偶数ａ→∃ｙ（偶数ｙ＆ａ≠ｙ）｝ イ含意の定義
２（エ）∃ｘ～｛偶数ｃ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ）∃ｘ～｛偶数ｘ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝ １２エＥＥ
１ （カ）～∀ｘ｛偶数ｘ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝ オ量化子の関係
従って、
（03）により、
（04）
① 偶数（の素数）は１つ（２）だけである。
② ～∀ｘ｛偶数ｘ→∃ｙ（偶数ｙ＆ｘ≠ｙ）｝
③ ∃ｘ｛偶数ｘ＆∀ｙ（偶数ｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（04）により、
（05）
一般に、
① 性質Ｆを持つ対象は、１つしか無い。
② ～∀ｘ｛Ｆｘ→∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （４） Ｆｂ→ａ＝ｂ ３ＵＥ
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） Ｆｂ ５＆Ｅ
２５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
２ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５７ＣＰ
２ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ８ＵＩ
２ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９ＵＩ
２ （イ） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （ウ）∃ｘＦｘ イＥＩ
２ （エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） アウ＆Ｉ
１ （ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２エＥＥ
（ⅳ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ２３エＥＥ
従って、
（06）により、
（07）
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
④ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① 性質Ｆを持つ対象は、１つしか無い。
② ～∀ｘ｛Ｆｘ→∃ｙ（Ｆｙ＆ｘ≠ｙ）｝
③ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
④ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、すなはち、
① 性質Ｆを持つ対象は、１つしか無い。
② いかなるｘであっても｛ｘが偶数であるならば、あるｙは（偶数であって、尚且つ、ｘとｙは、「同一」ではない）｝。といふことはない。
③ あるｘは｛Ｆであって、すべてのｙについて（ｙがＦであるならば、ｘとｙは「同一」である）｝。
④ あるｘはＦであって、すべてのｘとｙについて｛ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、 ｘとｙは「同一」である）｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
（01）
― 矛盾（韓非子）―
① 楚人有［鬻〔盾與（矛）〕者］。
② 譽（之）曰、吾盾之堅、莫（能陷）也。
③ 又譽（其矛）曰、吾矛之利、於（物）無〔不（陷）〕也。
④ 或曰、以（子之矛）、陷（子之盾）何如。
⑤ 其人弗〔能（應）〕也。
（02）
① 楚人［〔盾（矛）與〕鬻者］有。
② （之）譽曰、吾盾之堅、（能陷）莫也。
③ 又（其矛）譽曰、吾矛之利、（物）於〔（陷）不〕無也。
④ 或曰、（子之矛）以、（子之盾）陷何如。
⑤ 其人〔（應）能〕弗也。
（03）
① 楚人に［〔盾と（矛）とを〕鬻ぐ者］有り。
② （之を）譽めて曰く、吾が盾の堅きこと、（能く陷す）莫きなり。
③ 又（其の矛を）譽めて曰く、吾が矛の利なること、（物に）於いて〔（陷さ）不る〕無きなり。
④ 或曰く、（子の矛を）以て、（子の盾を）陷さば何如。
⑤ 其の人〔（應ふ）能は〕弗るなり。
ｃｆ.
（Ｗｉｋｉｂｏｏｋｓ）
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ｛吾盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ＆吾矛ｙ→ 陥ｙｘ）｝ Ａ
２ （２） 吾盾ａ＆∀ｙ（矛ｙ＆吾矛ｙ→ 陥ｙａ） １ＵＥ
２ （３） 吾盾ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（矛ｙ＆吾矛ｙ→ 陥ｙａ） ２＆Ｅ
２ （５） 矛ｂ＆吾矛ｂ→ 陥ｂａ ４ＵＥ
６ （６） 吾矛ｂ Ａ
７ （７） 矛ｂ Ａ
６７ （８） 矛ｂ＆吾矛ｂ ６７＆Ｉ
２６７ （９） 陥ｂａ ５８ＭＰＰ
２６ （ア） 矛ｂ→ 陥ｂａ ７９ＣＰ
２ （イ） 吾矛ｂ→（矛ｂ→ 陥ｂａ） ６アＣＰ
ウ（ウ） 矛ｂ＆～陥ｂａ Ａ
ウ（エ） ～（～矛ｂ∨ 陥ｂａ） ウ、ド・モルガンの法則
ウ（オ） ～（矛ｂ→ 陥ｂａ） エ含意の定義
２ ウ（カ） ～吾矛ｂ イオＭＴＴ
２ （キ） 矛ｂ＆～陥ｂａ→～吾矛ｂ ウカＣＰ
２ （ク） ∀ｙ（矛ｙ＆～陥ｙａ→～吾矛ｙ） キＵＩ
２ （ケ） 吾盾ａ＆∀ｙ（矛ｙ＆～陥ｙａ→～吾矛ｙ） ３ク＆Ｉ
２ （コ）∃ｘ｛吾盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ＆～陥ｙｘ→～吾矛ｙ）｝ ケＥＩ
１ （サ）∃ｘ｛吾盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ＆～陥ｙｘ→～吾矛ｙ）｝ １２コＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ｛吾盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ＆～陥ｙｘ→～吾矛ｙ）｝ Ａ
２ （２） 吾盾ａ＆∀ｙ（矛ｙ＆～陥ｙａ→～吾矛ｙ） Ａ
２ （３） 吾盾ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∀ｙ（矛ｙ＆～陥ｙａ→～吾矛ｙ） ２＆Ｅ
２ （５） 矛ｂ＆～陥ｂａ→～吾矛ｂ ４ＵＥ
６ （６） 吾矛ｂ Ａ
６ （７） ～～吾矛ｂ ６ＤＮ
２６ （８） ～（矛ｂ＆～陥ｂａ） ５７ＭＴＴ
２６ （９） ～矛ｂ∨ 陥ｂａ ８ド・モルガンの法則
２６ （ア） 矛ｂ→ 陥ｂａ ９含意の定義
２ （イ） 吾矛ｂ→（矛ｂ→ 陥ｂａ） ６アＣＰ
ウ（ウ） 矛ｂ＆吾矛ｂ Ａ
ウ（エ） 吾矛ｂ ウ＆Ｅ
２ ウ（オ） 矛ｂ→ 陥ｂａ イエＭＰＰ
ウ（カ） 矛ｂ ウ＆Ｅ
２ ウ（キ） 陥ｂａ オカＭＰＰ
２ （ク） 矛ｂ＆吾矛ｂ→ 陥ｂａ ウキＣＰ
２ （ケ） ∀ｙ（矛ｙ＆吾矛ｙ→ 陥ｙａ） クＵＩ
２ （コ） 吾盾ａ＆∀ｙ（矛ｙ＆吾矛ｙ→ 陥ｙａ） ３ケ＆Ｉ
２ （サ）∃ｘ｛吾盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ＆吾矛ｙ→ 陥ｙｘ）｝ コＥＩ
１ （シ）∃ｘ｛吾盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ＆吾矛ｙ→ 陥ｙｘ）｝ １２サＥＥ
従って、
（04）により、
（05）
① ∃ｘ｛吾盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ＆吾矛ｙ→ 陥ｙｘ）｝。
② ∃ｘ｛吾盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ＆～陥ｙｘ→～吾矛ｙ）｝。
に於いて、すなはち、
① あるｘは｛私の矛であって、すべてのｙについて（ｙが矛であって、ｙが私の矛であるならば、ｙはｘを陥す）｝。
② あるｘは｛私の矛であって、すべてのｙについて（ｙが矛であって、ｙがｘを陥さないのであれば、ｙは私の矛ではない）｝。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
① あるｘは｛私の矛であって、すべてのｙについて（ｙが矛であって、ｙが私の矛であるならば、ｙはｘを陥す）｝。
② あるｘは｛私の矛であって、すべてのｙについて（ｙが矛であって、ｙがｘを陥さないのであれば、ｙは私の矛ではない）｝。
といふことは、
③ 私の矛は、私の盾を陥すが、私の矛以外は、私の盾を陥さない。
といふ、ことである。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
④ 子の矛を以て、子の盾を陷さば何如。
といふ「問ひ」に対しては、例へば、
⑤ ∃ｘ｛吾盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ＆～陥ｙｘ→～吾矛ｙ）｝。
といふ風に「回答」すれば、「つじつま」が合った。
ということになるが、「私の学力」では、
⑤ ∃ｘ｛吾盾ｘ＆∀ｙ（矛ｙ＆～陥ｙｘ→～吾矛ｙ）｝。
を、「漢文」に「翻訳」出来ない。
然るに、
（08）
③ 唯吾矛能陥吾盾＝
③ 唯吾矛能陥（吾盾）⇒
③ 唯吾矛能（吾盾）陥矣＝
③ 唯、吾が矛のみ能く吾が盾を陥す＝
③ 私の矛は、私の盾を陥すが、私の矛以外は、私の盾を陥さない。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ｛吾矛ｘ⇔∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ｘｙ）｝ Ａ
１ （２） 吾矛ａ⇔∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ） １ＵＥ
１ （３） 吾矛ａ→∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ）＆
∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ）→吾矛ａ ２Ｄｆ．⇔
１ （４） 吾矛ａ→∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ） ３＆Ｅ
１ （５） ∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ）→吾矛ａ ３＆Ｅ
６（６） ～吾矛ａ Ａ
１６（７） ～∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ） ５６ＭＴＴ
１ （８） ～吾矛ａ→～∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ） ６７ＣＰ
１ （９） 吾矛ａ→ ∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ）＆
～吾矛ａ→～∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ） ４８＆Ｉ
１ （ア）∀ｘ｛ 吾矛ｘ→ ∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ｘｙ）＆
～吾矛ｘ→～∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ｘｙ）｝ ９ＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛ 吾矛ｘ→ ∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ｘｙ）＆
～吾矛ｘ→～∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ｘｙ）｝ Ａ
１ （２） 吾矛ａ→ ∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ）＆
～吾矛ａ→～∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ） １ＵＥ
１ （３） 吾矛ａ→ ∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ） ２＆Ｅ
１ （４） ～吾矛ａ→～∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ） ２＆Ｅ
５（５） ∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ） Ａ
５（６） ～～∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ） ５ＤＮ
１５（７） ～～吾矛ａ ４６ＭＴＴ
１５（８） 吾矛ａ ７ＤＮ
１ （９） ∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ）→吾矛ａ ５８ＣＰ
１ （ア） 吾矛ａ→∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ）＆
∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ）→吾矛ａ ３９＆Ｉ
１ （イ） 吾矛ａ⇔∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ａｙ） アＤｆ.⇔
１ （ウ） ∀ｘ｛吾矛ｘ⇔∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ｘｙ）｝ イＵＩ
従って、
（09）により、
（10）
① ∀ｘ｛吾矛ｘ⇔∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ｘｙ）｝
② ∀ｘ｛吾矛ｘ→∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ｘｙ）＆～吾矛ｘ→～∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ｘｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが吾矛であるならば、そのときに限って、あるｙは（吾盾であって、ｘはｙを陥す）｝。
② すべてのｘについて｛ｘが吾矛であるならば、あるｙは（吾盾であって、ｘはｙを陥し）、ｘが吾矛でないならば、あるｙが（吾盾であって、ｘがｙを陥す）といふことはない｝。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（07）（10）により、
（11）
③ 唯吾矛能陥吾盾（唯、吾が矛のみ能く吾が盾を陥す）。
といふ「漢文」は、
① ∀ｘ｛吾矛ｘ⇔∃ｙ（吾盾ｙ＆陥ｘｙ）｝。
といふ風に、「翻訳」出来る。
（01）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ ａ＝ｙ） １ＵＥ
１ （３） Ｆａ＆Ｆｂ→ ａ＝ｂ ２ＵＥ
４（４） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ） Ａ
４（５） Ｆａ＆Ｆｂ ４ド・モルガンの法則
１４（６） ａ＝ｂ ３５ＭＰＰ
１ （７） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ）→ａ＝ｂ ４６ＣＰ
１ （８） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ） ７含意の定義
１ （９） ∀ｙ｛～Ｆａ∨～Ｆｙ∨（ａ＝ｙ）｝ ８ＵＩ
１ （ア）∀ｘ∀ｙ｛～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨（ｘ＝ｙ）｝ ９ＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ∀ｙ｛～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨（ｘ＝ｙ）｝ Ａ
１ （２） ∀ｙ｛～Ｆａ∨～Ｆｙ∨（ａ＝ｙ）｝ １ＵＥ
１ （３） ～Ｆａ∨～Ｆｂ∨（ａ＝ｂ） ２ＵＥ
１ （４） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ）→ａ＝ｂ ３含意の定義
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） ～（～Ｆａ∨～Ｆｂ） ５ド・モルガンの法則
１５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
１ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ ａ＝ｂ ５７ＣＰ
１ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ ａ＝ｙ） ８ＵＩ
１ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ ｘ＝ｙ） ９ＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ｛～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨（ｘ＝ｙ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘとｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、ｘとｙは「同一」である）。
② すべてのｘとｙについて｛ｘはＦでないか、ｙはＦでないか、または、ｘとｙは「同一」である｝。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（02）により、
（03）
② すべてのｘとｙについて｛ｘはＦでないか、ｙはＦでないか、または、ｘとｙは「同一」である｝。
といふのであれば、
② Ｆであるモノの「個数」は、「０個、または、１個である」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ｛～Ｆｘ∨～Ｆｙ∨（ｘ＝ｙ）｝
であるならば、両方とも、
① Ｆであるモノの「個数」は、「０個、または、１個」である。
② Ｆであるモノの「個数」は、「０個、または、１個」である。
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
の「否定」である、
① ～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
であるならば、
① Ｆであるモノの「個数」は、「２個以上」である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘ～∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∃ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ２量化子の関係
４ （４） ∃ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
５（５） ～（Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ） Ａ
５（６） ～｛～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ｝ ５含意の定義
５（７） Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ） ６ド・モルガンの法則
５（８） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝ ７ＥＩ
４ （９） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝ ４５８ＥＥ
４ （ア） ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ ９ＥＩ
４ （イ） ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ アＥＩ
１ （ウ） ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ ３４イＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ｛Ｆａ＆Ｆｙ＆（ａ≠ｙ）｝ Ａ
３（３） Ｆａ＆Ｆｂ＆（ａ≠ｂ） Ａ
３（４） ～｛～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨ａ＝ｂ｝ ３ド・モルガンの法則
３（５） ～（Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ） ４含意の定義
３（６） ∃ｙ～（Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ） ５ＥＩ
２ （７） ∃ｙ～（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２３６ＥＥ
２ （８）∃ｘ∃ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ７ＥＩ
１ （９）∃ｘ∃ｙ～（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２８ＥＥ
１ （ア）∃ｘ～∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９量化子の関係
１ （イ）～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ア量化子の関係
従って、
（06）により、
（07）
① ～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ ｘ＝ｙ）
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
① ～∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ ｘ＝ｙ）
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
であるならば、両方とも、
① Ｆであるモノの「個数」は、「２個以上」である。
② Ｆであるモノの「個数」は、「２個以上」である。
然るに、
（09）
① Ｆであるモノの「個数」は、「２個以上」である。
② Ｆであるモノの「個数」は、「２個以上」である。
といふことは、
① 性質Ｆをもつ少なくとも２つの対象が存在する。
② 性質Ｆをもつ少なくとも２つの対象が存在する。
といふことである。
従って、
（08）（09）により、
（10）
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
ではなく、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
であるならば、
① 性質Ｆをもつ少なくとも２つの対象が存在する。
といふことには、ならない。
然るに、
（11）
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（この結果は事実上、強化して相互導出可能にすることができる。）この連式の妥当性から、
ひとつだけの対象がＦをもっているならば、∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）ということが帰結する。
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１０頁）
従って、
（10）（11）により、
（12）
① 性質Ｆをもつ少なくとも２つの対象が存在する。
といふことを、「示したい」のであれば、
② ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）｝
といふ「論理式」を、
③ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
といふ風に、「書き換へ」ては、ならない。
然るに、
（13）
∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｚ＝ｙ）
といふことは、
｛ａ，ｂ，ｃ｝が｛変域（ドメイン）」であるとして、
① Ｆａ＆Ｆｂ
② Ｆａ＆Ｆｃ
③ Ｆｂ＆Ｆｃ
といふことは、有り得ても、
④ Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ
⑤ Ｆａ＆Ｆｃ＆Ｆｂ
⑥ Ｆｂ＆Ｆｃ＆Ｆａ
といふことは、「有り得ない」。
といふ「意味」である。
従って、
（12）（13）により、
（14）
ところで、Ｆをもつ正確に２つのものが存在すると言いたいならば、幾つかの道が開かれている。
恐らく最も簡単なのはつぎのように書くことであろう。
（19）∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｚ＝ｙ）｝
（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１２頁）
従って、
（14）により、
（15）
① ∃ｘ∃ｙ｛Ｆｘ＆Ｆｙ＆（ｘ≠ｙ）＆∀ｚ（Ｆｚ→ｚ＝ｘ∨ｚ＝ｙ）｝
を「書き換へる」と、
② ∃ｙ∃ｚ［ｙ≠ｚ＆私ｙ＆彼ｚ＆理事ｙｘ＆理事ｚｘ＆∀ｕ（理事ｕｘ→ｕ＝ｙ∨ｕ＝ｚ）］
といふ「命題関数」は、すなはち、
② あるｙとあるｚについて［ｙとｚは同一ではなく、ｙは私、ｚは彼であって、ｙはｘの理事であって、ｚもｘの理事であって、すべてのｕについて（ｕがｘの理事であるならば、ｕはｙであるか、または、ｚである）］。
といふ「命題関数」は、
② ｘの理事は、私と彼だけある。
といふ、「意味」になる。
従って、
（15）により、
（16）
③ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ∃ｚ［ｙ≠ｚ＆私ｙ＆彼ｚ＆理事ｙｘ＆理事ｚｘ＆∀ｕ（理事ｕｘ→ｕ＝ｙ∨ｕ＝ｚ）］｝。
といふ「命題」、すなはち、
③ すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙとあるｚについて［ｙとｚは同一ではなく、ｙは私、ｚは彼であって、ｙはｘの理事であって、ｚもｘの理事であって、すべてのｕについて（ｕがｘの理事であるならば、ｕはｙであるか、または、ｚである）］｝。
といふ「命題」は、
③ タゴール記念会は、私と彼だけが理事である。
といふ、「意味」になる。
（01）
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ∃ｚ［ｙ≠ｚ＆私ｙ＆彼ｚ＆理事ｙｘ＆理事ｚｘ＆∀ｕ（理事ｕｘ→ｕ＝ｙ∨ｕ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ∃ｚ［ｙ≠ｚ＆私ｙ＆彼ｚ＆理事ｙａ＆理事ｚａ＆∀ｕ（理事ｕａ→ｕ＝ｙ∨ｕ＝ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｔ会の会員ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ∃ｚ［ｙ≠ｚ＆私ｙ＆彼ｚ＆理事ｙａ＆理事ｚａ＆∀ｕ（理事ｕａ→ｕ＝ｙ∨ｕ＝ｚ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） ∃ｚ［ｂ≠ｚ＆私ｂ＆彼ｚ＆理事ｂａ＆理事ｚａ＆∀ｕ（理事ｕａ→ｕ＝ｂ∨ｕ＝ｚ）］ Ａ
６ （６） ｂ≠ｃ＆私ｂ＆彼ｃ＆理事ｂａ＆理事ｃａ＆∀ｕ（理事ｕａ→ｕ＝ｂ∨ｕ＝ｃ） Ａ
６ （７） 私ｂ ６＆Ｅ
６ （８） 彼ｃ ６＆Ｅ
６ （９） ∀ｕ（理事ｕａ→ｕ＝ｂ∨ｕ＝ｃ） ６＆Ｅ
６ （ア） 理事ｄａ→ｄ＝ｂ∨ｄ＝ｃ ９ＵＥ
９ （９）∃ｚ（汝ｚ＆～私ｚ＆～彼ｚ） Ａ
ア （ア） 汝ｄ＆～私ｄ＆～彼ｄ Ａ
ア （イ） 汝ｄ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～私ｄ ア＆Ｅ
ア （エ） ～彼ｄ ア＆Ｅ
オ （オ） ｄ＝ｂ Ａ
６ オ （カ） 私ｄ ７オ＝
６ アオ （キ） ～私ｄ＆私ｄ ウカ＆Ｉ
６ ア （ク） ｄ≠ｂ オキＲＡＡ
ケ（ケ） ｄ＝ｃ Ａ
ア ケ（コ） ～彼ｃ エケ＝
６ ア ケ（サ） ～彼ｃ＆彼ｃ ８コ＆Ｉ
６ ア （シ） ｄ≠ｃ ケサＲＡＡ
６ ア （ス） ｄ≠ｂ＆ｄ≠ｃ クシ＆Ｉ
６ ア （セ） ～（ｄ＝ｂ∨ｄ＝ｃ） ス、ド・モルガンの法則
６９ （シ） ～（ｄ＝ｂ∨ｄ＝ｃ） ９アセＥＥ
５ ９ （ス） ～（ｄ＝ｂ∨ｄ＝ｃ） ５６シＥＥ
１３ ９ （ソ） ～（ｄ＝ｂ∨ｄ＝ｃ） ４５スＥＥ
１３ ６９ （タ） ～理事ｄａ アソＭＴＴ
１３５ ９ （チ） ～理事ｄａ ５６タＥＥ
１３ ９ （ツ） ～理事ｄａ ４５チＥＥ
１３ ９ア （テ） 汝ｄ＆～理事ｄａ イツ＆Ｉ
１３ ９ア （ト）∃ｚ（汝ｚ＆～理事ｚａ） テＥＩ
１３ ９ （ナ）∃ｚ（汝ｚ＆～理事ｚａ） ９アトＥＥ
１ ９ （ニ） Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（汝ｚ＆～理事ｚａ） ３ナＣＰ
１ ９ （ヌ）∀ｘ（Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（汝ｚ＆～理事ｚｘ）｝ ニＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ∃ｚ［ｙ≠ｚ＆私ｙ＆彼ｚ＆理事ｙｘ＆理事ｚｘ＆∀ｕ（理事ｕｘ→ｕ＝ｙ∨ｕ＝ｚ）］｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（汝ｚ＆～私ｚ＆～彼ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ（Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（汝ｚ＆～理事ｚｘ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙとあるｚについて［ｙはｚではなく、ｙは私であって、ｚは彼であって、ｙはｘの理事であって、ｚもｘの理事であって、すべてのｕについて（ｕがｘの理事であるならば、ｕはｙであるか、または、ｚである）］｝。然るに、
（ⅱ）あるｚは（汝であって、私ではなく、彼でもない）。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｚは（汝であって、尚且つ、ｘの理事ではない）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）タゴール記念会は、私と彼が理事である。然るに、
（ⅱ）あなた（汝）は、私ではないし、彼でもない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会は、あなたは、理事ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）タゴール記念会は、私と彼が理事である。然るに、
（ⅱ）あなた（汝）は、私ではないし、彼でもない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会は、あなたは、理事ではない。
といふ「推論」が「妥当」である。
といふことは、
① タゴール記念会は、私と彼が理事である。
② タゴール記念会は、私と彼以外は理事ではない。
③ タゴール記念会の理事は、彼と私である。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふことに、「他ならない」。
（01）
「私」は、「私」だけである。
従って、
（01）により、
（02）
「私」以外は、「私」ではない。
従って、
（02）により、
（03）
① 理事長は私です。
と言ふのであれば、
② 私以外に理事長はゐない。
然るに、
（04）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されるのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念会は、私が理事長です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念会」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（03）（04）により、
（05）
① タゴール記念会は、理事長は私です。
② タゴール記念会は、私以外に理事長はゐない。
③ タゴール記念会は、私が理事長です。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（06）
１ （１）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝ Ａ
１ （２） Ｔ会の会員ａ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ １ＵＥ
３ （３） Ｔ会の会員ａ Ａ
１３ （４） ∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｙ＝ｚ）］ ２３ＭＰＰ
５ （５） 私ｂ＆理事長ｂａ＆∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） Ａ
５ （６） 私ｂ＆理事長ｂａ ５＆Ｅ
５ （７） ∀ｚ（理事長ｚａ→ｂ＝ｚ） ５＆Ｅ
５ （８） 理事長ｃａ→ｂ＝ｃ ７ＵＥ
９ （９） ∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ） Ａ
ア （ア） 小倉ｃ＆～私ｃ Ａ
ア （イ） 小倉ｃ ア＆Ｅ
ア （ウ） ～私ｃ ア＆Ｅ
エ（エ） ｂ＝ｃ Ａ
アエ（オ） ～私ｂ ウエ＝Ｅ
５ （カ） 私ｂ ６＆Ｅ
５ アエ（キ） ～私ｂ＆私ｂ オカ＆Ｉ
５ ア （ク） ｂ≠ｃ エキＲＡＡ
５ ア （ケ） ～理事長ｃａ ８クＭＴＴ
５ ア （コ） 小倉ｃ＆～理事長ｃａ イケ＆Ｉ
５ ア （サ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） コＥＩ
５９ （シ） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ９アサＥＥ
１３ ９ （ス） ∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ４５シＥＥ
１ ９ （セ） Ｔ会の会員ａ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚａ） ３スＣＰ
１ ９ （ソ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝ セＵＩ
従って、
（05）（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。然るに、
（ⅱ）∃ｚ（小倉ｚ＆～私ｚ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｚ（小倉ｚ＆～理事長ｚｘ）｝。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｙは［私であって、理事長であって、すべてのｚについて（ｚがｘの理事長であるならば、ｙ＝ｚである）］｝。然るに、
（ⅱ）あるｚは（小倉であって、私ではない）。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて｛ｘがタゴール記念会の会員であるならば、あるｚは（小倉であって、小倉はｘの理事長ではない）｝。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）タゴール記念会は、私が理事長です。然るに、
（ⅱ）小倉氏は私ではない。従って、
（ⅲ）タゴール記念会は、小倉氏は理事長ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（05）（07）により、
（08）
① タゴール記念会は、理事長は私です。
② タゴール記念会は、私以外に理事長はゐない。
③ タゴール記念会は、私が理事長です。
④ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（09）
④ ∀ｘ｛Ｔ会の会員ｘ→∃ｙ［私ｙ＆理事長ｙｘ＆∀ｚ（理事長ｚｘ→ｙ＝ｚ）］｝。
といふことは、
④ 私∈タゴール記念会の理事長。
ではなく、
④ 私＝タゴール記念会の理事長。
といふことである。
然るに、
（10）
「理事長」でなく、
「理事」は「一人だけ」ではなく、「二人以上ゐる」とするならば、
⑤ 私は理事です。
とは言へても、
④ 私が理事です。
とは、言へない。
然るに、
（11）
「理事」は「一人だけ」ではなく、 「理事」は「二人以上ゐる」とするならば、
⑤ 私∈理事。
であったとしても、
④ 私＝理事。
ではない。
従って、
（08）～（11）により、
（12）
① タゴール記念会は、理事長は私です。
② タゴール記念会は、私以外に理事長はゐない。
③ タゴール記念会は、私が理事長です。
といふ「日本語」は、
④ タゴール記念会の理事長＝私。
④ 私＝タゴール記念会の理事長。
といふ「等式」が「真（本当）」である。
といふことを、「示している」。
従って、
（13）
④ 私＝タゴール記念会の理事長。
④ タゴール記念会の理事長＝私。
といふ「等式」が「真（本当）」である。
といふことを、「示したい」場合には、
① タゴール記念会は、理事長は私です。
② タゴール記念会は、私以外に理事長はゐない。
③ タゴール記念会は、私が理事長です。
といふ風に、言ふことになる。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
① 私はＡです（私∈Ａ）。
② 私はＡです（私＝Ａ）。
といふ「２通リ」があって、
② 私はＡです（私＝Ａ）。
である場合に、
② 私＝Ａ
といふ「等式」を「強調（確認）」したい場合であれば、
① 私はＡです。
とは言はずに、
② 私がＡです（Ａは私です）。
といふ風に、言ふことになる。
（01）
8.2 日本語文法を見直して作文する
8.2.3 「象は鼻が長い」の文法論争
表題の文は、名詞二つ、助詞二つ、形容詞一つで構成されています。普通に読めば違和感を起こしませんが、それは文の意味論(semantics)の方を感覚的に理解しているからです。
したがって、「鼻は象が長い」「象の鼻は長い」と言い換えても、正しく理解されます。
従って、
（01）により、
（02）
① 鼻は象が長い。
② 象の鼻は長い。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
② 象の鼻は長い。
③ 象の鼻が長い。
に於いて、
②＝③ であるとは、「思へない」。
然るに、
（04）
｛象、兎、馬｝が｛変域｝であるならば、
① 鼻は象が長く、
② 耳は兎が長く、
③ 顔は馬が長い。
然るに、
（05）
｛象、兎、馬｝が｛変域｝であるならば、
① 象の鼻が長く、
② 兎の耳が長く、
③ 馬の顔が長い。
然るに、
（06）
１ （１）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ∃ｙ（兎ｘ→～象ｘ＆鼻ｙｘ） Ａ
１ （３） ∃ｙ｛（象ａ＆鼻ｙａ→長ｙ）＆（～象ａ＆鼻ｙａ→～長ｙ）｝ １ＵＥ
４ （４） （象ａ＆鼻ｂａ→長ｂ）＆（～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
４ （５） ～象ａ＆鼻ｂａ→～長ｂ ４＆Ｅ
２ （６） ∃ｙ（兎ａ→～象ａ＆鼻ｙａ） ２ＵＥ
７ （７） 兎ａ→～象ａ＆鼻ｂａ Ａ
８（８） 兎ａ Ａ
７８（９） ～象ａ＆鼻ｂａ ７８ＭＰＰ
４ ７８（ア） ～長ｂ ５９ＭＰＰ
７８（イ） 鼻ｂａ ９＆Ｅ
４ ７８（ウ） 鼻ｂａ＆～長ｂ アイ＆Ｉ
４ ７ （エ） 兎ａ→鼻ｂａ＆～長ｂ ８ウＣＰ
４ ７ （オ） ∃ｙ（兎ａ→鼻ｙａ＆～長ｙ） エＥＩ
２４ （カ） ∃ｙ（兎ａ→鼻ｙａ＆～長ｙ） ６７オＥＥ
１２ （キ） ∃ｙ（兎ａ→鼻ｙａ＆～長ｙ） ３４カＥＥ
１２ （ク） ∀ｘ∃ｙ（兎ｘ→鼻ｙｘ＆～長ｙ） キＵＩ
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ∃ｙ（兎ｘ→～象ｘ＆鼻ｙｘ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ∃ｙ（兎ｘ→鼻ｙｘ＆～長ｙ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘとあるｙについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く）、（ｘが象ではなく、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘとあるｙについて（ ｘが兎であるならば、ｘは象ではなく、ｙはｘの鼻である）。従って、
（ⅲ）すべてのｘとあるｙについて（ ｘが兎であるならば、ｙはｘの鼻であって、ｙは長くない）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎に鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（08）
（ⅰ）鼻は象が長い。然るに、
（ⅱ）兎は象ではないが、兎に鼻がある。従って、
（ⅲ）兎の鼻は長くない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① 鼻は象が長い。⇔
② 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。⇔
③ ∀ｘ∃ｙ｛（象ｘ＆鼻ｙｘ→長ｙ）＆（～象ｘ＆鼻ｙｘ→～長ｙ）｝。⇔
④ すべてのｘとあるｙについて｛（ｘが象であって、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長く）、（ｘが象ではなく、ｙがｘの鼻であるならば、ｙは長くない）｝。
といふ「等式」が、「成立」する。
然るに、
（10）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ａｘ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （イ） ～象ｂａ→～長ｂ アＵＥ
１ ６ （ウ） 象ｂａ∨～長ｂ イ含意の定義
１ ６ （エ） ～（～象ｂａ＆ 長ｂ） ウ、ド・モルガンの法則
１ ６ （オ） ∀ｚ～（～象ｚａ＆ 長ｚ） エＵＩ
１ ６ （エ） ～∃ｚ（～象ｚａ＆ 長ｚ） オ量化子の関係
２ ６ （オ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５７ＭＰＰ
カ（カ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｚ Ａ
カ（キ） ～鼻ｂａ＆長ｂ カ＆Ｅ
カ（ク） ∃ｚ（～鼻ｂａ＆長ｂ） キＥＩ
２ ６ （ケ） ∃ｚ（～鼻ｂａ＆長ｂ） オカクＥＥ
１２ ６ （コ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） エケ＆Ｉ
１２３ （サ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ３６コＥＥ
１２ （シ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３サＲＡＡ
１２ （ス）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） シ量化子の関係
１２ （セ） ～（象ａ＆兎ａ） スＵＥ
１２ （ソ） ～象ａ∨～兎ａ セ、ド・モルガンの法則
１２ （タ） 象ａ→～兎ａ ソ、含意の定義
１２ （チ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） タＵＩ
従って、
（10）により、
（11）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であり、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。然るに、
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、鼻ではないが、長い）｝。従って、
③ すべてのｘについて（ｘが象ならば、ｘは兎ではない）。
といふ「推論」、すなはち、
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、
② 兎の耳は、鼻ではないが、長い。従って、
③ 兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（12）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
③ 兎は象ではない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① 象は鼻が長い。⇔
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。⇔
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であり、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
といふ「等式」が、「成立」する。
従って、
（09）（13）により、
（14）
① 鼻は象が長い。
② 象は鼻が長い。
③ 象の鼻は長く、象以外の鼻は長くない。
④ 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である。
従って、
（14）により、
（15）
① ＢはＡがＣである。
② ＡはＢがＣである。
③ ＡのＢはＣであり、Ａ以外のＢはＣではない。
④ ＡはＢはＣであり、Ｂ以外はＣではない。
に於いて、
①＝③ であって、
②＝④ である。
（01）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
１ （３） 象ａ→～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） １ＵＥ
２ （４） 兎ａ→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
５ （５） ～∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） Ａ
５ （６） ∃ｘ～（象ｘ→～兎ｘ） ５量化子の関係
７（７） ～（象ａ→～兎ａ） Ａ
７（８） ～（～象ａ∨～兎ａ） ７含意の定義
７（９） 象ａ＆ 兎ａ ８ド・モルガンの法則
７（ア） 象ａ ９＆Ｅ
７（イ） 兎ａ ９＆Ｅ
１ ７（ウ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ３アＭＰＰ
２ ７（エ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ４イＭＰＰ
１２ ７（オ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆
∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） イウ＆I
１２５ （カ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆
∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ６７オＥＥ
１２ （キ）～～∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ５カＲＡＡ
１２ （ク） ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） キＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛象ｘ→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
（演繹推理は）前提を追加しても結論は不変でよい。結論は前提が含むものだけを導出するのであるから、
新前提を加えても、これから新結論を引き出す必要はないからである（岩波全書、論理学入門、１５６頁）。
然るに、
（04）
① ∀ｘ｛象ｘ→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛兎ｘ→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
に対して、
① ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
② 耳ｚｘ
を「追加」すると、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
然るに、
（05）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ９＆Ｅ
２ ６ （イ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ウ（ウ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ（エ） ～鼻ｂａ＆長ｂ ウ＆Ｅ
ウ（オ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） エＥＩ
２ ６ （カ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） イウオＥＥ
１２ ６ （キ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） アカ＆Ｉ
１２３ （ク） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ３６キＥＥ
１２ （ケ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３クＲＡＡ
１２ （コ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） ケ量化子の関係
１２ （サ） ～（象ａ＆兎ａ） コＵＥ
１２ （シ） ～象ａ∨～兎ａ サ、ド・モルガンの法則
１２ （ス） 象ａ→～兎ａ シ含意の定義
１２ （セ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） スＵＩ
従って、
（05）により、
（06）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」、すなはち、
① すべてのｘについて｛もしそのｘが象であるならば（ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い）が、あるｚが（ｘの鼻以外であって、長い）といふことはない｝。然るに、
② すべてのｘについて｛もしそのｘが兎であるならば（ｙなるものが存在し、そのｙは耳であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い）が、あるｚは（ｘの鼻以外であって、長い）｝。従って、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「演繹推理」、すなはち、
① 象は鼻が長く、鼻以外は長くない。然るに、
② 兎の耳は鼻ではないが、長い。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は「妥当」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
といふ「命題」に「含まれる」、
① ∀ｘ｛象ｘ→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛兎ｘ→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
といふ「命題」が、
③ ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）。
といふ「命題」と「矛盾」するため、
① ∀ｘ｛象ｘ→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛兎ｘ→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
といふ「命題」が「真」である限り、
③ ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ）。
が「偽」となり、その「結果」として、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「命題」が「真」になる。
従って、
（07）により、
（08）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
といふ「命題」から、
① ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）
といふ「命題（関数）」を「取り除いた」場合は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」ではない。
然るに、
（09）
沢田充茂の『現代論理学入門』（一九六ニ年）には楽しい解説が載っています。
・・・・・・たとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」といえば・・・・・・たとえば動物園で象をはじめて見た小学生が、父親にむかってこのような文章で話しかけたとすれば、その子供は論理的であるといって感心されるまえに社会人としての常識をうたがわれるにきまっている。常識（すなはち共通にもっている情報）でわかっているものはいちいち言明の中にいれないで、いわば暗黙の了解事項として、省略し、できるだけ短い記号の組み合せで、できるだけ多くの情報を伝えることが日常言語の合理性の一つである。・・・・・・
（山崎紀美子、日本語基礎講座―三上文法入門、2003年、２１４頁）
従って、
（09）により、
（10）
「沢田先生」は、
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」を、
① すべてのｘについて｛もしそのｘが象であるならば（ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い）が、あるｚが（ｘの鼻以外であって、長い）といふことはない｝。
といふ「意味」ではなく、すなはち、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
といふ「意味」ではなく、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
といふ「意味」に、「翻訳」してゐる。
従って、
（06）（10）により、
（11）
「沢田先生」の「誤訳」からすると、
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎の耳は鼻ではないが、長い。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は、「妥当」ではない。
（01）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
１ （３） 象ａ→～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） １ＵＥ
２ （４） 兎ａ→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
５ （５） ～∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） Ａ
５ （６） ∃ｘ～（象ｘ→～兎ｘ） ５量化子の関係
７（７） ～（象ａ→～兎ａ） Ａ
７（８） ～（～象ａ∨～兎ａ） ７含意の定義
７（９） 象ａ＆ 兎ａ ８ド・モルガンの法則
７（ア） 象ａ ９＆Ｅ
７（イ） 兎ａ ９＆Ｅ
１ ７（ウ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ３アＭＰＰ
２ ７（エ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ４イＭＰＰ
１２ ７（オ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆
∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） イウ＆I
１２５ （カ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆
∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ６７オＥＥ
１２ （キ）～～∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ５カＲＡＡ
１２ （ク） ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） キＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛象ｘ→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
（演繹推理は）前提を追加しても結論は不変でよい。結論は前提が含むものだけを導出するのであるから、
新前提を加えても、これから新結論を引き出す必要はないからである（岩波全書、論理学入門、１５６頁）。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」である。
然るに、
（02）（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」の場合は、「前提を追加した」のではなく「（結論を導く上での）前提を除外してゐる」。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」であるが、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」ではない。
従って、
（06）により、
（07）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」であるが、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）｝。従って、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」ではない。
従って、
（07）により、
（08）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は、「妥当」であるが、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）｝。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は、「妥当」ではない。
従って、
（08）により、
（09）
① 象は鼻が長い。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は、「妥当」であるが、
① 象は鼻が長い。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）｝。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は、「妥当」ではない。
従って、
（08）（09）により、
（10）
① 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
といふ「翻訳」に対する、
① 象は鼻が長い＝∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）｝。
といふ「翻訳」、すなはち、
① 象は鼻が長い＝すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い。
といふ「翻訳」は、『誤訳』である。
然るに、
（11）
たとえば「象は鼻が長い」というような表現は、象が主語なのか、鼻が主語なのかはっきりしないから、このままではその論理的構造が明示されていない。
いわば非論理的な文章である、というひともある。しかしこの文の論理的な構造をはっきりと文章にあらわして
「すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い」
といえばいいかもしれない（沢田充茂、現代論理学入門、1962年、２９頁）。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は、「妥当」であるが、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）｝。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は、「妥当」ではない。
といふ「意味」に於いて、「沢田先生」による、
① 象は鼻が長い＝すべてのｘについて、もしそのｘが象であるならば、ｙなるものが存在し、そのｙは鼻であり、ｘはｙを所有しており、このｙは長い。
といふ「翻訳」は、『誤訳』である。
（01）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６（６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６（７） 象ａ ６＆Ｅ
６（８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６（９） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６（ア） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
１２ ６（イ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆
∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ９ア＆Ｉ
１２３ （ウ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆
∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ３６イＥＥ
１２ （エ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ウＲＡＡ
１２ （オ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） エ量化子の関係
１２ （カ） ～（象ａ＆兎ａ） オＵＥ
１２ （キ） ～象ａ∨～兎ａ カ、ド・モルガンの法則
１２ （ク） 象ａ→～兎ａ キ含意の定義
１２ （ケ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） クＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ｛象ｘ→～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｚが（ｘの鼻でなくて、長い）といふことはない｝。然るに、
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの鼻でなくて、長い）｝。従って、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「演繹推理」は、「妥当」である。
然るに、
（03）
「演繹推理」は、「前提」に含まれる「もの」だけを「導出」するため、
「演繹推理」は、「前提」を「追加」しても「結論」は「不変」である。
然るに、
（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」は「妥当」である。
然るに、
（05）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ９＆Ｅ
２ ６ （イ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ウ（ウ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ（エ） ～鼻ｂａ＆長ｂ ウ＆Ｅ
ウ（オ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） エＥＩ
２ ６ （カ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） イウオＥＥ
１２ ６ （キ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） アカ＆Ｉ
１２３ （ク） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ３６キＥＥ
１２ （ケ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３クＲＡＡ
１２ （コ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） ケ量化子の関係
１２ （サ） ～（象ａ＆兎ａ） コＵＥ
１２ （シ） ～象ａ∨～兎ａ サ、ド・モルガンの法則
１２ （ス） 象ａ→～兎ａ シ含意の定義
１２ （セ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） スＵＩ
従って、
（04）（05）により、
（06）
果たして、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、あるｚが（ｘの鼻でなくて、長い）といふことはない｝。然るに、
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、鼻ではなくて、長い）｝。従って、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「演繹推理」は「妥当」である。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） １ＵＥ
３（３） 象ａ Ａ
１３（４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ２３ＭＰＰ
１３（５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１３（６） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ４＆Ｅ
１３（７） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆長ｚ） ６量化子の関係
１３（８） ～（～鼻ｂａ＆長ｂ） ７ＵＥ
１２（９） ～～鼻ｂａ∨～長ｂ ８ド・モルガンの法則
１２（ア） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９含意の定義
１２（イ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） アＵＩ
１２（ウ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５イ＆Ｉ
１ （エ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２ウＣＰ
１ （オ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ エＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｂ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３（３） 象ａ Ａ
１３（４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２３ＭＰＰ
１３（５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４＆Ｅ
１３（６） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４＆Ｅ
１３（７） ～鼻ｂａ→～長ｂ ６ＵＥ
１３（８） 鼻ｂａ∨～長ｂ ７含意の定義
１３（９） ～（～鼻ｂａ＆ 長ｂ） ８ド・モルガンの法則
１３（ア） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９ＵＩ
１３（イ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ア量化子の関係
１３（ウ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ５イ＆Ｉ
１ （エ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ） ３ウＣＰ
１ （オ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ エＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」は「妥当」である。
然るに、
（10）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＩ
２ ６ （イ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ウ （ウ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ （エ） ～鼻ｂａ ウ＆Ｅ
ウ （オ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ６ウ （カ） ～長ｂ アエＭＰＰ
１ ６ウ （キ） 長ｂ＆～長ｂ オカ＆Ｉ
１２ ６ （ク） 長ｂ＆～長ｂ イウキＥＥ
１２３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３６クＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ケＲＡＡ
１２ （サ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） コ量化子の関係
１２ （シ） ～（象ａ＆兎ａ） サＵＥ
ス （ス） 象ａ Ａ
セ（セ） 兎ａ Ａ
スセ（ソ） 象ａ＆兎ａ スセ＆Ｉ
１２ スセ（タ） ～（象ａ＆兎ａ）＆（象ａ＆兎ａ） シソ＆Ｉ
１２ ス （チ） ～兎ａ セタＲＡＡ
１２ （ツ） 象ａ→～兎ａ スチＣＰ
１２ （テ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ツＵＩ
従って、
（09）（10）により、
（11）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「演繹推理」、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。然るに、
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、鼻ではなく、長い）｝。従って、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「演繹推理」は「妥当」である。
従って、
（01）～（11）により、
（12）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。然るに、
② ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
③ ∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
① すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長い）｝。然るに、
② すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、長い）｝。従って、
③ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
然るに、
（13）
① 象は鼻が長い。然るに、
② 兎は耳が長い。従って、
③ 象は兎ではない。
といふ「演繹推理」は「妥当」である。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
① 象は鼻が長い。
といふ「日本語」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
といふ「意味」ではなく、
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
といふ「意味」である。
（01）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＩ
２ ６ （イ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
ウ （ウ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
ウ （エ） ～鼻ｂａ ウ＆Ｅ
ウ （オ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ６ウ （カ） ～長ｂ アエＭＰＰ
１ ６ウ （キ） 長ｂ＆～長ｂ オカ＆Ｉ
１２ ６ （ク） 長ｂ＆～長ｂ イウキＥＥ
１２３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３６クＥＥ
１２ （コ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ケＲＡＡ
１２ （サ）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） コ量化子の関係
１２ （シ） ～（象ａ＆兎ａ） サＵＥ
ス （ス） 象ａ Ａ
セ（セ） 兎ａ Ａ
スセ（ソ） 象ａ＆兎ａ スセ＆Ｉ
１２ スセ（タ） ～（象ａ＆兎ａ）＆（象ａ＆兎ａ） シソ＆Ｉ
１２ ス （チ） ～兎ａ セタＲＡＡ
１２ （ツ） 象ａ→～兎ａ スチＣＰ
１２ （テ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ） ツＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。然るに、
（ⅱ）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。従って、
（ⅲ）∀ｘ（象ｘ→～兎ｘ）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて｛ｘが兎であるならば、あるｚは（ｘの耳であって、鼻ではなく、長い）｝。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは兎ではない）。
といふ「推論」、すなはち、
（ⅰ）象は鼻は長く、鼻以外は長くない。然るに、
（ⅱ）兎の耳は鼻ではないが長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
然るに、
（03）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は鼻ではないが長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は「妥当」である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 象は鼻が長い。
② 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
④ すべてのｘについて｛ｘが象であるならば、あるｙは（ｘの鼻であって、長く）、すべてのｚについて（ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない）｝。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（05）
① 象は鼻が長く、
② 兎は耳が長く、
③ 馬は顔が長い。
従って、
（05）により、
（06）
（象、兎、馬｝であれば、
① 象が鼻が長く（、象以外の鼻は長くない）。
② 兎が耳が長く（、兎以外の鼻は長くない）。
③ 馬が顔が長く（、馬以外の顔は長くない）。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
① ＡがＢである。
② ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（08）
② Ａ以外はＢでない。
③ ＢはＡである。
に於いて、
②＝③ は「対偶（contraposition）」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
① ＡがＢである。
② ＡはＢであり、Ａ以外はＢでない。
③ ＡはＢであり、ＢはＡである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（09）により、
（10）
① ＡはＢである。
と言はずに、敢へて、
① ＡがＢである。
と言ふのであれば、
② ＢはＡである。
といふ、ことになる。
従って、
（10）により、
（11）
③ 私は大野です。
と言はずに、敢へて、
① 私が大野です。
と言ふのであれば、
② 大野は私です。
といふ、ことになる。
然るに、
（12）
（３） 未知と既知
この組み合わせは次のような場合に現われる。
私が大野です。
これは、「大野さんはどちらですか」というような問いに対する答えとして使われる。つまり文脈において、「大野」なる人物はすでに登場していて既知である。ところが、それが実際にどの人物なのか、その帰属する先が未知である。その未知の対象を「私」と表現して、それをガで承けた。それゆえこの形は、
大野は私です。
に置きかえてもほぼ同じ意味を表わすといえる（大野晋、日本語の文法を考える、1978年、３４頁）。
従って、
（11）（12）により、
（13）
① 私が大野です（私以外は大野ではない）。
② 大野は私です（私以外は大野ではない）。
といふことと、「既知と未知」とは、「関係」が無い。
（01）
数学の命題は、大抵の場合、定数を表す記号と関数を表す記号と述語記号を定めて、
変数および論理記号を用いて書き表すことができる。
例えば、「正の実数の相乗平均は相加平均以下である」は、
∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝
と書ける（上江洲忠弘、述語論理入門、2007年、１４頁）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１）～∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝ １量化子の関係
１ （３）∃ｘ∃ｙ～｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝ ２量化子の関係
４ （４） ∃ｙ～｛（０＜ａ∧０＜ｙ）⊃√ａ・ｙ≦（ａ＋ｙ）｝ Ａ
５（５） ～｛（０＜ａ∧０＜ｂ）⊃√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝ Ａ
５（６） ～｛～（０＜ａ∧０＜ｂ）∨√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝ ５含意の定義
５（７） （０＜ａ∧０＜ｂ）∧～｛√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ） ６ド・モルガンの法則
５（８） （０＜ａ∧０＜ｂ） ７∧Ｅ
５（９） ～｛√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ） ７∧Ｅ
５（ア） √ａ・ｂ＞（ａ＋ｂ） ９ＤＮ
５（イ） （０＜ａ∧０＜ｂ）∧√ａ・ｂ＞（ａ＋ｂ） ８ア∧Ｉ
５（ウ） ∃ｙ｛（０＜ａ∧０＜ｙ）∧√ａ・ｙ＞（ａ＋ｙ）｝ イＥＩ
４ （エ） ∃ｙ｛（０＜ａ∧０＜ｙ）∧√ａ・ｙ＞（ａ＋ｙ）｝ ４５ウＥＥ
４ （オ） ∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝ エＥＩ
１ （カ） ∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝ １４オＥＥ
（ⅱ）
１ （１） ∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝ Ａ
２ （２） ∃ｙ｛（０＜ａ∧０＜ｙ）∧√ａ・ｙ＞（ａ＋ｙ）｝ Ａ
３（３） （０＜ａ∧０＜ｂ）∧√ａ・ｂ＞（ａ＋ｂ） Ａ
３（４） （０＜ａ∧０＜ｂ） ３∧Ｅ
３（５） √ａ・ｂ＞（ａ＋ｂ） ３∧Ｅ
３（６） ～｛√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝ ５ＤＮ
３（７） （０＜ａ∧０＜ｂ）＆～｛√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝ ４６∧Ｉ
３（８） ～｛～（０＜ａ∧０＜ｂ）∨√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝ ７ド・モルガンの法則
３（９） ～｛（０＜ａ∧０＜ｂ）⊃√ａ・ｂ≦（ａ＋ｂ）｝ ８含意の定義
３（ア） ∃ｙ～｛（０＜ａ∧０＜ｙ）⊃√ａ・ｙ≦（ａ＋ｙ）｝ ９ＥＩ
２ （イ） ∃ｙ～｛（０＜ａ∧０＜ｙ）⊃√ａ・ｙ≦（ａ＋ｙ）｝ ２３アＥＥ
２ （ウ）∃ｘ∃ｙ～｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝ イＥＩ
１ （エ）∃ｘ∃ｙ～｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝ １２ウＥＥ
１ （オ）∃ｘ～∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝ エ量化子の関係
１ （カ）～∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝ オ量化子の関係
従って、
（02）により、
（03）
① ～∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝
② ∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
① ～～∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝
② ～∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
「二重否定律」により、
① ∀ｘ∀ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）⊃√ｘ・ｙ≦（ｘ＋ｙ）｝
② ～∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）（05）により、
（06）
①「正の実数の相乗平均は相加平均以下である。」
② ～∃ｘ∃ｙ｛（０＜ｘ∧０＜ｙ）∧√ｘ・ｙ＞（ｘ＋ｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（06）により、
（07）
①「正の実数の相乗平均は相加平均以下である。」
②「正の実数の相乗平均が相加平均以下よりも大きい」といふことは無い。
に於いて、
①＝② ある。