（1236）「この問題の正解率は６４.５％でした。」

（01）
問題　次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
　　　　　男の子も女の子もいます。
帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
　― 中略 ―
この問題の正解率は６４.５％でした。入試で問われるスキルは何一つ問うていないのに、
国立Ｓクラスでは８５％が正当した一方、私大Ｂ、Ｃクラスでは正当率が５割を切りました。
では、多くの高校生が憧れる私大Ｓクラスではどうだったか。国立Ｓクラスに比べて２０ポイントも低い６６.８％に留まりました。
どこの大学に入学できるかは、学習量でも知識でも運でもない、論理的な読解と推論の力ではないのか、６０００枚の答案をみているうちに、私は確信するようになりました。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
然るに、
（01）により、
（02）
（ⅰ）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（ⅱ）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
然るに、
（03）
男子＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）｝
女子＝｛　花子　、　桃子、　（梅子）｝
に於いて、
帽子をかぶっている　＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）、（梅子）｝
帽子をかぶっていない＝｛　花子、　　桃子｝
とする。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子（花子、桃子）です。
（１）男の子（一郎、次郎、三郎）はみんな帽子をかぶっている。
といふ「命題」は、「真（〇）」である。
然るに、
（03）により、
（05）
帽子をかぶっている＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）、（梅子）｝
であるため、
帽子をかぶっている≒｛（梅子）｝
であって、それ故、
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（〃）梅子は女の子ではない。
といふ「命題」は、「偽（✕）」である。
然るに、
（01）により、
（06）
（ⅱ）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
といふことは、
帽子をかぶっている＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）、（梅子）｝
といふ「４人」の内の｛（一郎）、（次郎）、（三郎）　　　　　｝といふ「３人」は、「スニーカーを履いていない」。
といふことである。
然るに、
（07）
帽子をかぶっている＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）、（梅子）｝
といふ「４人」の内の｛（一郎）、（次郎）、（三郎）　　　　　｝といふ「３人」は、「スニーカーを履いていない」。
といふことは、
帽子をかぶっている≒｛（梅子）｝
に関しては、「スニーカーを履いているかも、知れない」。
といふことである。
然るに、
（03）（07）により、
（08）
帽子をかぶっている≒｛（梅子）｝
に関しては、「スニーカーを履いているかも、知れない」。
といふことは、
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふのではなく、
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子ども（梅子）がいる。
かも知れない。
といふ、ことである。
従って、
（08）により、
（09）
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふ「命題」は、「偽（✕）」である。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
（ⅰ）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（ⅱ）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
といふ「命題」が「真（〇）」であるならば、
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
に於いて、
（１）だけが、「真（〇）」であるが、「新井紀子」先生の「解答」も、
（１）だけが、「真（〇）」である。
然るに、
（11）
この問題は、
（ⅰ）
１　　　（１）～∃ｘ（女子ｘ＆　男子ｘ）　　Ａ
　２　　（２）　　　　女子ａ＆　男子ａ　　　Ａ
　２　　（３）　∃ｘ（女子ｘ＆　男子ｘ）　　２ＥＩ
１２　　（４）～∃ｘ（女子ｘ＆　男子ｘ）＆
　　　　　　　　∃ｘ（女子ｘ＆　男子ｘ）　　１３＆Ｉ
１　　　（５）　　～（女子ａ＆　男子ａ）　　２４ＲＡＡ
　　６　（６）　　　　女子ａ　　　　　　　　Ａ
　　　７（７）　　　　　　　　　男子ａ　　　Ａ
　　６７（８）　　　　女子ａ＆　男子ａ　　　６７＆Ｉ　
１　６７（９）　　～（女子ａ＆　男子ａ）＆
　　　　　　　　　　（女子ａ＆　男子ａ）　　５８＆Ｉ
１　６　（ア）　　　　　　　　～男子ａ　　　７ＲＡＡ
１　　　（イ）　　　　女子ａ→～男子ａ　　　６アＣＰ
１　　　（ウ　　∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ）　　イＵＩ
（ⅱ）
１　　　（１）　∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ）　　Ａ
　２　　（２）　∃ｘ（女子ｘ＆　男子ｘ）　　Ａ
１　　　（３）　　　　女子ａ→～男子ａ　　　１ＵＥ
　　３　（４）　　　　　女子ａ＆男子ａ　　　Ａ
　　３　（５）　　　　　女子ａ　　　　　　　４＆Ｅ
１　３　（６）　　　　　　　　～男子ａ　　　３５ＭＰＰ
　　３　（７）　　　　　　　　　男子ａ　　　４＆Ｅ
１　３　（８）　　　　　～男ａ＆男子ａ　　　６７＆Ｉ
　　３　（９）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ）　　１８ＲＡＡ
　２　　（ア）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ）　　２３９ＥＥ
１２　　（イ）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ）＆
　　　　　　　　∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ）　　１ア＆Ｉ
１　　　（ウ）～∃ｘ（女子ｘ＆　男子ｘ）　　２イＲＡＡ
という「計算」に拘っていると、「頭がぐちゃぐちゃになる」ものの、
男子＝｛（一郎）、（次郎）、（三郎）｝
女子＝｛　花子　、　桃子、　（梅子）｝
という風に、「書いて」みると、「極めて、簡単に、答えが出る」。
従って、
（12）
「生成ＡＩ君」に対しても、「このような解法」を、勧めたい。

（1324）「仮説検定」の一例。

（01）
① ＡＢＣ
に対しては、
①・・・ＡＢＣ・・・
②・・・ＡＢ・Ｃ・・
③・・・ＡＢ・・Ｃ・
④・・・ＡＢ・・・Ｃ
⑤・・・Ａ・ＢＣ・・
⑥・・・Ａ・Ｂ・Ｃ・
⑦・・・Ａ・Ｂ・・Ｃ
⑧・・・Ａ・・ＢＣ・
⑨・・・Ａ・・Ｂ・Ｃ
⑩・・・Ａ・・・ＢＣ
⑪・・・・ＡＢＣ・・
⑫・・・・ＡＢ・Ｃ・
⑬・・・・ＡＢ・・Ｃ
⑭・・・・Ａ・ＢＣ・
⑮・・・・Ａ・Ｂ・Ｃ
⑯・・・・Ａ・・ＢＣ
⑰・・・・・ＡＢＣ・
⑱・・・・・ＡＢ・Ｃ
⑲・・・・・Ａ・ＢＣ
⑳・・・・・・ＡＢＣ
による「２０通リ」である。
従って、
（01）により、
（02）
① ＡＢＣ
に対して「２０通リ」であるため、
① ＡＢＣ
② ＡＣＢ
③ ＢＡＣ
④ ＢＣＡ
⑤ ＣＡＢ
⑥ ＣＢＡ
であれば、
「６×２０＝６×５×４＝6Ｐ3（通リ）」である。
然るに、
（03）
①・・・ＡＢＣ・・・
① ｄｅｆｇｈｉ
によって、例へば、
① ｄｅｆＡＢＣｇｈｉ
を作ることが出来る。
然るに、
（04）
① ｄｅｆｇｈｉ
の「階乗」は、
① ６！＝６×５×４×３×２×１＝７２０
である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① ＡＢＣ
② ＡＣＢ
③ ＢＡＣ
④ ＢＣＡ
⑤ ＣＡＢ
⑥ ＣＢＡ
の「６通リ」が、
　 ９８７６５４３２１
① ｄｅｆＡＢＣｇｈｉ
① ｄｅｆＡＢｇＣｈｉ
① ｄｅｆＡＢｇｈＣｉ
① ｄｅｆＡＢｄｇｈＣ
① ｄｅｆＡｇＢＣｈｉ
① ｄｅｆＡｇＢｈＣｉ
② ｄｅｆＡＣＢｇｈｉ
② ｄｅｆＡＣｇＢｈｉ
② ｄｅｆＡＣｇｈＢｉ
② ｄｅｆＡＣｄｇｈＢ
② ｄｅｆＡｇＣＢｈｉ
② ｄｅｆＡｇＣｈＢｉ
③ ｄｅｆＢＡＣｇｈｉ
③ ｄｅｆＢＡｇＣｈｉ
③ ｄｅｆＢＡｇｈＣｉ
③ ｄｅｆＢＡｄｇｈＣ
③ ｄｅｆＢｇＡＣｈｉ
③ ｄｅｆＢｇＡｈＣｉ
④ ｄｅｆＢＣＡｇｈｉ
④ ｄｅｆＢＣｇＡｈｉ
④ ｄｅｆＢＣｇｈＡｉ
④ ｄｅｆＢＣｄｇｈＡ
④ ｄｅｆＢｇＣＡｈｉ
④ ｄｅｆＢｇＣｈＡｉ
⑤ ｄｅｆＣＡＢｇｈｉ
⑤ ｄｅｆＣＡｇＢｈｉ
⑤ ｄｅｆＣＡｇｈＢｉ
⑤ ｄｅｆＣＡｄｇｈＢ
⑤ ｄｅｆＣｇＡＢｈｉ
⑤ ｄｅｆＣｇＡｈＢｉ
⑥ ｄｅｆＣＢＡｇｈｉ
⑥ ｄｅｆＣＢｇＡｈｉ
⑥ ｄｅｆＣＢｇｈＡｉ
⑥ ｄｅｆＣＢｄｇｈＡ
⑥ ｄｅｆＣｇＢＡｈｉ
⑥ ｄｅｆＣｇＢｈＡｉ
のやうに「後ろから数えて、６番目以内に入るパターン」は、
⑦ 6Ｐ3×６！＝（６×５×４）×（６×５×４×３×２×１）＝８６４００通リ。
である。
然るに、
（06）
⑧ ＡＢＣｄｅｆｇｈｉ
の「階乗」は、
⑧ ９！＝９×８×７×６×５×４×３×２×１＝３６２８８０通リ。
である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
⑧ ＡＢＣｄｅｆｇｈｉ
を「ランダム（無作為）」に並べた際に、例へば、
① ｄｅｆＡｇＢｈＣｉ
のやうに、「後ろから数えて、６番目以内に入る確率」は、
⑦ 6Ｐ3×６！＝（６×５×４）×（６×５×４×３×２×１）＝　８６４００通リ。
⑧ 　　　９！＝９×８×７×６×５×４×３×２×１　　　　＝３６２８８０通リ。
に於いて、「⑦を⑧で割った値」である。
従って、
（07）により、
（08）
例えば、
（ⅰ）「９回の血液検査」の内で、
（ⅱ）「赤血球の小さい」方から数えて、
（ⅲ）「６番目」以内に、
（ⅳ）「３つの、全ての、痛風発作」が「集中」する。
という場合の「確率Ｐ」は、
① 6Ｐ3×６！÷９！≒０.２３８≒２４％ である。
従って、
（09）
「同じ計算」により、
（ⅰ）「１９回の血液検査」の内で、
（ⅱ）「赤血球の小さい」方から数えて、
（ⅲ）「６番目」以内に、
（ⅳ）「３つの、全ての、痛風発作」が「集中」する。
という場合の「確率Ｐ」は、
② 6Ｐ3×１６！÷１９！≒０.０２≒２％ （は５％以下）である。
従って、
（10）
「同じ計算」により、
（ⅰ）「３５回の血液検査」の内で、
（ⅱ）「赤血球数の小さい」方から数えて、
（ⅲ）「８番目」以内に、
（ⅳ）「４つの、全ての、痛風発作」が「集中」する。
という「場合」の「確率Ｐ」は、
③ 8Ｐ4×３１！÷３５！≒０.００１３３６≒０.０１３４％ （は１％以下）である。
然るに、 （11）
Ｐ値が小さいほど、検定統計量がその値となることはあまり起こりえないことを意味する。
一般的にP値が５％または１％以下の場合に「帰無仮説」を偽として棄却し、「対立仮説」
を採択する（統計用語集、仮説検定）。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
① Ｐ値＝6Ｐ3×６！÷９！≒０.２３８≒２４％
② Ｐ値＝6Ｐ3×１６！÷１９！≒０.０２≒２％ （は５％以下）である。
③ Ｐ値＝8Ｐ4×３１！÷３５！≒０.００１３３６≒０.０１３４％ （は１％以下）である。
であって、Ｐ値が小さいほど、一般的にP値が５％または１％以下の場合に「対立仮説」を採択する。
然るに、
（11）により、
（13）
佐藤「・・・である。」
高橋「・・・であるのは、偶然かも知れない。」
佐藤「だったら、確率を計算してみよう。」
佐藤「従って、・・・が、偶然である確率は、５％どころか、１％にも満たない。」
佐藤「従って、・・・は、偶然であるというには、あまりにも、確率が低すぎる。」
佐藤「従って、・・・は、偶然ではない。」
佐藤「従って、・・・であるということは、正しい。」
高橋「なるほど、確かに、佐藤さんの言う通りである。」
というのが、『仮説検定（の考え方）』である。
然るに、
（14）

従って、
（12）（13）（14）により、
（15）

然るに、
（16）

従って、
（15）（16）により、
（17）
「痛風発作の原因」は、「入院前に存在していた脱水状態」である。
という「命題（帰無仮説）」の「否定（対立仮説）」が「真」である『確率』、すなわち、
「（ＡＢ先生の）診断」が、『誤診』である『確率』は、「四捨五入」をすると、「９９.９％」である。
（18）
因みに、ＡＢ先生は、私の「質問」に対して、１００日以上も、「回答」を「拒否」してゐる。
ｃｆ.

（1200）「誤診」の確率（私の父の場合）。

（01）
ＮＨＫ高校講座 数学Ｉ（仮説検定）

（02）
一枚のコインを、１０回トスするとして、
① 　０回、表が出る場合の数＝10Ｃ 0＝　　１
②　 １回、表が出る場合の数＝10Ｃ 1＝　１０
③ 　２回、表が出る場合の数＝10Ｃ 2＝　４５
④ 　３回、表が出る場合の数＝10Ｃ 3＝１２０
⑤ 　４回、表が出る場合の数＝10Ｃ 4＝２１０
⑥ 　５回、表が出る場合の数＝10Ｃ 5＝２５２
⑦ 　６回、表が出る場合の数＝10Ｃ 6＝２１０
⑧　 ７回、表が出る場合の数＝10Ｃ 7＝１２０
⑨ 　８回、表が出る場合の数＝10Ｃ 8＝　４５
⑩ 　９回、表が出る場合の数＝10Ｃ 9＝　１０
⑪ １０回、表が出る場合の数＝10Ｃ10＝　  １
然るに、
（03）
一枚のコインを、１０回トスするとして、
⑫「表か裏」が出る場合の数＝①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥＋⑦＋⑧＋⑨＋⑩＋⑪＝１０２４
従って、
（02）（03）により、
（04）
一枚のコインを、１０回トスするとして、
① ０回、表が出る確率＝　１/１０２４
② １回、表が出る確率＝１０/１０２４
③ ２回、表が出る確率＝４５/１０２４
然るに、
（05）

という「公式」を「計算」すると、
② １回、表が出る確率＝１０×（１/２）の１０乗＝１０/１０２４
従って、
（04）（05）により、
（06）

 

従って、
（01）～（06）により、
（07）
「１枚のコインを１０回投げたところ、表が１回しかでなかった。このコインは細工していると言えるか？」
という「問い」にたいする「答え」は、

 

 

従って、
（01）～（07）により、
（08）
（ⅰ）
「１枚のコインを１０回投げたところ、表が１回しか出なかった。このコインは細工されていると言えるか？」
ということを、明らかにするために、「コインは細工されていない（１/２の確率で裏表が出る）」という「帰無仮説」を「仮定」する。
然るに、
（ⅱ）
「コインが細工されていない」と「仮定」すると、１枚のコインを１０回投げて、表が１回しか出ない「確率」は「１％にも満たない」。
然るに、
（ⅲ）
「１％にも満たない」ということは、「ほぼ、有り得ない」。
従って、
（ⅱ）（ⅲ）により、
（ⅳ）
「背理法（ＲＡＡ）」により、「コインが細工されていない」という「仮定」は、「棄却（否定）」される。
従って、
（ⅴ）
「コインは細工されていない（帰無仮説）」は「マチガイ」であって、「二重否定（ＤＮ）」により、
「コインは細工されている　（対立仮設）」こそが、「正しい」。
従って、
（08）により、
（09）
「仮説検定」というのは、
「帰無仮説」と「対立仮説」という
「二つの矛盾する仮定」を「仮定」した上で、
「帰無仮説」が起こる「確率」を計算して、
「その確率」が、「一定の数値（有意水準）」よりも低ければ、
「帰無仮説」を「否定（棄却）」することによって、
「対立仮説」を「肯定」する「手法」である。
然るに、
（10）
Ｐ＜０.０５は慣習的なものだ。Ｐ＜０.０５を有意水準とする数学的な根拠は無くて、Ｐ＜０.１でもＰ＜０.０３でも構わないが、Ｐ＜０.０５以外を有意水準にするときは、根拠を問われることになる。
（Ｐ値と有意水準 | ブログ | 統計WEB）
然るに、
（11）
Ｐ＜０.０５は慣習的なものだ。
とは言うものの、
Ｐ≦０.５（半々以下）
であれば、「帰無仮説」を「否定（棄却）」出来ないわけであって、そのため、
Ｐ値が、低ければ低いほど、「信頼性」が増すことになることは、当然である。
従って、
（12）
たとえば、Ｐ値＜０．０１の結果が出たときに、「非常に有意」という結論を出している学会発表をみたことはないでしょうか？私はしばしばみかけますが、」「非常に有意」という言葉は、実は有り得ないのです。英検で「すごく合格」という結果が出てくるようなものだからです。
（吉田寛輝、いちばんやさしい医療統計、2019年、５０頁）
とは言うものの、私自身は、「非常に有意」という「言い方」をすることは、当然であると、思っている。
然るに、
（13）
（ａ）

（ｂ）

従って、
（13）により、
（14）
男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
女子＝｛Ｄ，Ｅ｝
であるとして、
男子と女子が、ランダムに、「１列」に並ぶ際に、
女子＝｛Ｄ，Ｅ｝
の２人が、「４番目と５番目に並ぶ、確率」は、
（３！×２！）÷５！＝１２÷１２０＝０.１
であって、
女子＝｛Ｄ，Ｅ｝
の内の１人が「５番目に並ぶ、確率」は、
（４！×２！）÷５！＝４８÷１２０＝０.４
である。
従って、
（14）により、
（15）
男子＝３６人
女子＝　５人
の「クラス」で、男子と女子が、ランダムに、「１列」に並ぶ際に、
女子＝　５人
が、「３７・３８・３９・４０・４１番目に並ぶ、確率」は、
（３６！×５！）÷４１！＝約０.０００００１３３４４（約７５万分の１）
である。
従って、
（05）（06）（15）により、
（16）
① １枚のコインを１０回投げて、表が１回だけしか出ない　「確率」＝約０.０９７７
② ５人の女子が、３７・３８・３９・４０・４１番目に並ぶ「確率」＝約０.０００００１３３４４
に於いて、
② の方が、
① よりも、「比較にならない」程「小さい」。
然るに、
（17）

という「データ」を、「大きい順に並べ替える」と、

 

従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
点滴無し＝３６回
点滴有り＝　５回
の「血液検査」の「赤血球のデータ」を、「大きい順の並べた」際に、
点滴有り＝　５回
の「データ」が、「３７・３８・３９・４０・４１番目に並んだ」とするならば、その場合は、
『点滴をしても、赤血球の数値は下がらない。』という「帰無仮説」は、「棄却」せざるを得ない。
然るに、
（19）

従って、
（18）（19）により、
（20）
『赤血球が少なくなっているのは、点滴で血液が薄くなっている可能性がある。』
という「対立仮説」こそが、「正しい」。
然るに、
（21）
『赤血球が少なくなっているのは、点滴で血液が薄くなっている』からであるとするならば、
「点滴・無し」の際の、「赤血球のデータ」は、「外れ値」として、「除外」しなければ、

ということが言えるのかどうかは、「分からない」。
然るに、
（22）

 

従って、、
（22）により、
（23）
「３６回の血液検査」の際にあって、
「２０１９年０１月２５日」の「赤血球の値（２．４６）」という「値」は、
「中央値（２．５１）」よりも「小さい」し、
「平均値（２．４８）」よりも「小さい」。
従って、
（21）（22）（23）により、
（24）
「点滴をやめて様子をみたが、０１月２５日の血液検査で、血液濃縮（脱水）による腎機能の低下が認められた」とは言うものの、仮に、
「点滴をやめた結果として、脱水（血液濃縮）が起こっていた」とするならば、
「３６回の血液検査」の内、少なくとも、その「３分の２」である、
「２４回の血液検査」に於いても、「脱水（血液濃縮）」があった。
ということに、ならざるを得ない。
然るに、
（25）
「赤血球の値（２．４６）」という「値」は、「基準値の下限（４．２７）」の、
「６０％」にも満たない（胃癌手術後の悪性貧血）である上に、Ｓ医師ではなく、本来の主治医であるＫ医師からは、「脱水（血液濃縮）」に関する「説明」を受けたことなど、ただの一度も無い。
従って、
（23）（24）（25）により、
（26）
「３６回の血液検査」の際にあって、
「２０１９年０１月２５日」の「赤血球の値（２．４６）」という「値」は、
「中央値（２．５１）」よりも「小さい」し、
「平均値（２．４８）」よりも「小さい」という「事実」を以てすれば、
「２０１９年０１月２５日」に於いて、『脱水』があった。
ということは、「有り得ない」ということを、「裁判」では「主張」するつもりである。
然るに、
（27）
「同日（２０１９年０１月２７日）」より「輸液（点滴）」を再開した「結果」、どうなったかと言うと、

従って、
（27）により、
（28）
（Ⅰ）
　赤血球は、
「２０１９年０１月２９日」には、
「２０１９年０１月１８日」と「同じレベル」に戻っている。
（Ⅱ）
　尿素窒素は、
「２０１９年０１月１８日」から、
「２０１９年０１月２５日」にかけて、「３倍強」に跳ね上がっていて、
「点滴」を「再開」した後の、
「２０１９年０１月２９日」になっても、
「２０１９年０１月１８日」の「２．５倍」のままである。
（Ⅲ）
クレアチニンは、
「２０１９年０１月１８日」から、
「２０１９年０１月２５日」にかけて、「１．７４倍」になっていて、
「点滴」を「再開」した後の、
「２０１９年０１月２９日」には、反って、更に、「上昇」し、
「２０１９年０１月１８日」の「１．８６倍」になっている。
（Ⅳ）
その「結果」として、父は、
「２０１９年０１月２９日、２２時２１分」に「永眠」した。

（1108）「サイコロを３回投げたとき（反復試行）」の確率。

（01）
サイコロを３回投げた際に、
① ３回とも、２の目が出た。
⑧ ３回とも、２の目以外（□）が出た。
といふことを、
①（２，２，２）
⑧（□，□，□）
といふ風に、書くことにする。
従って、
（01）により、
（02）
□＝｛１，３，４，５，６｝は「２以外」。 であるとして、
②（２，２，□）は、（６－１＝５通リ）があって、
③（２，□，２）も、（６－１＝５通リ）があって、
④（□，２，２）も、（６－１＝５通リ）がある。
従って、
（01）（02）により、
（03）
□ ＝｛１，３，４，５，６｝
であるため、
□□＝｛１１，３１，４１，５１，６１，１３，３３，４３，５３，６３，１４，３４，４４，５４，６４，１５，３５，４５，５５，６５，１６，３６，４６，５６，６６｝
であるとして、
⑤（２，□，□）は、（５×５＝２５通リ）があって、
⑥（□，２，□）も、（５×５＝２５通リ）があって、
⑦（□，□，２）も、（５×５＝２５通リ）がある。
然るに、
（04）
（ⅰ）□＝｛１，３，４，５，６｝
（ⅱ）□＝｛１，３，４，５，６｝
（ⅲ）□＝｛１，３，４，５，６｝
に於ける、
（ⅰ）の「５通リ」の、その各々に対して、
（ⅱ）の「５通リ」が有って、その各々に対して、
（ⅲ）の「５通リ」があるため、
⑧（□，□，□）は、
⑧（５×５）×５＝１２５
による「１２５通リ」である。
従って、
（01）～（04）により、
（05）
□＝｛１，３，４，５，６｝は「２以外」。
であるとして、
①（２，２，２）
②（２，２，□）
③（２，□，２）
④（□，２，２）
⑤（２，□，□）
⑥（□，２，□）
⑦（□，□，２）
⑧（□，□，□）
は、「合計」で、
１＋１５＋７５＋１２５＝２１６
による「２１６通リ」である。
然るに、
（06）
（１，１，１）（１，１，２）（１，１，３）（１，１，４）（１，１，５）（１，１，６）
（１，２，１）（１，２，２）（１，２，３）（１，２，４）（１，２，５）（１，２，６）
（１，３，１）（１，３，２）（１，３，３）（１，３，４）（１，３，５）（１，３，６）
（１，４，１）（１，４，２）（１，４，３）（１，４，４）（１，４，５）（１，４，６）
（１，５，１）（１，５，２）（１，５，３）（１，５，４）（１，５，５）（１，５，６）
（１，６，１）（１，６，２）（１，６，３）（１，６，４）（１，６，５）（１，６，６）

（２，１，１）（２，１，２）（２，１，３）（２，１，４）（２，１，５）（２，１，６）
（２，２，１）（２，２，２）（２，２，３）（２，２，４）（２，２，５）（２，２，６）
（２，３，１）（２，３，２）（２，３，３）（２，３，４）（２，３，５）（２，３，６）
（２，４，１）（２，４，２）（２，４，３）（２，４，４）（２，４，５）（２，４，６）
（２，５，１）（２，５，２）（２，５，３）（２，５，４）（２，５，５）（２，５，６）
（２，６，１）（２，６，２）（２，６，３）（２，６，４）（２，６，５）（２，６，６）

（３，１，１）（３，１，２）（３，１，３）（３，１，４）（３，１，５）（３，１，６）
（３，２，１）（３，２，２）（３，２，３）（３，２，４）（３，２，５）（３，２，６）
（３，３，１）（３，３，２）（３，３，３）（３，３，４）（３，３，５）（３，３，６）
（３，４，１）（３，４，２）（３，４，３）（３，４，４）（３，４，５）（３，４，６）
（３，５，１）（３，５，２）（３，５，３）（３，５，４）（３，５，５）（３，５，６）
（３，６，１）（３，６，２）（３，６，３）（３，６，４）（３，６，５）（３，６，６）

（４，１，１）（４，１，２）（４，１，３）（４，１，４）（４，１，５）（４，１，６）
（４，２，１）（４，２，２）（４，２，３）（４，２，４）（４，２，５）（４，２，６）
（４，３，１）（４，３，２）（４，３，３）（４，３，４）（４，３，５）（４，３，６）
（４，４，１）（４，４，２）（４，４，３）（４，４，４）（４，４，５）（４，４，６）
（４，５，１）（４，５，２）（４，５，３）（４，５，４）（４，５，５）（４，５，６）
（４，６，１）（４，６，２）（４，６，３）（４，６，４）（４，６，５）（４，６，６）

（５，１，１）（５，１，２）（５，１，３）（５，１，４）（５，１，５）（５，１，６）
（５，２，１）（５，２，２）（５，２，３）（５，２，４）（５，２，５）（５，２，６）
（５，３，１）（５，３，２）（５，３，３）（５，３，４）（５，３，５）（５，３，６）
（５，４，１）（５，４，２）（５，４，３）（５，４，４）（５，４，５）（５，４，６）
（５，５，１）（５，５，２）（５，５，３）（５，５，４）（５，５，５）（５，５，６）
（５，６，１）（５，６，２）（５，６，３）（５，６，４）（５，６，５）（５，６，６）

（６，１，１）（６，１，２）（６，１，３）（６，１，４）（６，１，５）（６，１，６）
（６，２，１）（６，２，２）（６，２，３）（６，２，４）（６，２，５）（６，２，６）
（６，３，１）（６，３，２）（６，３，３）（６，３，４）（６，３，５）（６，３，６）
（６，４，１）（６，４，２）（６，４，３）（６，４，４）（６，４，５）（６，４，６）
（６，５，１）（６，５，２）（６，５，３）（６，５，４）（６，５，５）（６，５，６）
（６，６，１）（６，６，２）（６，６，３）（６，６，４）（６，６，５）（６，６，６）

従って、
（05）（06）により、
（07）
サイコロを３回投げた際の「場合の数」は、
（６×６）×６＝２１６
による「２１６通リ」である。
従って、
（03）（05）（07）により、
（08）
□＝｛１，３，４，５，６｝は「２以外」。
であるとして、
⑤（２，□，□）は（５×５＝２５通リ）。
⑥（□，２，□）も（５×５＝２５通リ）。
⑦（□，□，２）も（５×５＝２５通リ）。
は（２５×３＝７５通リ）であって、
◇＝｛１，２，３，４，５，６｝
であるとして、
⑨（◇，◇，◇）
は「２１６通リ」である。
従って、
（08）により、
（09）
［例題］
１個のサイコロを３回投げるとき、２の目がちょうど１回でる確率を求めよ。
【高校　数学Ａ】　確率１４　反復試行の確率１　（１６分）
の［答へ］は、
｛3Ｃ2×（５×５）｝÷（６×６×６）＝７５÷２１６＝２５/７２
である。
然るに、
（10）
【高校　数学Ａ】　確率１４　反復試行の確率１　（１６分）
の［答へ］自体は、同じく、
（１/６）×（５/６）×3Ｃ2＝２５/７２
である。
然るに、
（11）
【高校　数学Ａ】　確率１４　反復試行の確率１　（１６分）
の「説明」を視聴しても、何故、
（１/６）×（５/６）×3Ｃ2＝２５/７２
となるのか、といふことが、私には、「理解出来ない」。

（1103）「順列（の樹形図）」のやうに「機械的」に「組合せ」を書く「方法」。

（01）
「組合せ」は「樹形図」では書けないのですか？
といふ風に、

といふ画像の彼が質問したところ、
ヨビノリたくみ曰く、
組合せは、まぁ。樹形図で書いた後に、「数え過ぎ」の部分を「割り算」するということになります。
（ユーチューブ、中学数学からはじめる確率統計、１：１２：５１頃）
然るに、
（02）
① １２＝１と２。
② １３＝１と３。
③ １４＝１と４。
④ １５＝１と５。
⑤ １６＝１と６。
⑥ ２３＝２と３。
⑦ ２４＝２と４。
⑧ ２５＝２と５。
⑨ ２６＝２と６。
⑩ ３４＝３と４。
⑪ ３５＝３と５。
⑫ ３６＝３と６。
⑬ ４５＝４と５。
⑭ ４６＝４と６。
⑮ ５６＝５と６。
とするならば、
① １＜２
② １＜３
③ １＜４
④ １＜５
⑤ １＜６
⑥ ２＜３
⑦ ２＜４
⑧ ２＜５
⑨ ２＜６
⑩ ３＜４
⑪ ３＜５
⑫ ３＜６
⑬ ４＜５
⑭ ４＜６
⑮ ５＜６
である。
然るに、
（03）
① １２＝twelve
② １３＝thirteen
③ １４＝fourteen
④ １５＝fifteen
⑤ １６＝sixteen
⑥ ２３＝twenty three
⑦ ２４＝twenty four
⑧ ２５＝twenty five
⑨ ２６＝twenty six
⑩ ３４＝thirty four
⑪ ３５＝thirty five
⑫ ３６＝thirty six
⑬ ４５＝forty five
⑭ ４６＝forty six
⑮ ５６＝fifty six
であるため、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮
である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① １２
② １３
③ １４
④ １５
⑤ １６
⑥ ２３
⑦ ２４
⑧ ２５
⑨ ２６
⑩ ３４
⑪ ３５
⑫ ３６
⑬ ４５
⑭ ４６
⑮ ５６
といふ「１５通リ」は、「便宜的」に、
① １＜２
② １＜３
③ １＜４
④ １＜５
⑤ １＜６
⑥ ２＜３
⑦ ２＜４
⑧ ２＜５
⑨ ２＜６
⑩ ３＜４
⑪ ３＜５
⑫ ３＜６
⑬ ４＜５
⑭ ４＜６
⑮ ５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮
である。
といふ風に、「見做す」ことが出来る。
従って、
（04）により、
（05）
① １＜２
② １＜３
③ １＜４
④ １＜５
⑤ １＜６
⑥ ２＜３
⑦ ２＜４
⑧ ２＜５
⑨ ２＜６
⑩ ３＜４
⑪ ３＜５
⑫ ３＜６
⑬ ４＜５
⑭ ４＜６
⑮ ５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮
となるように、
｛１，２，３，４，５，６｝
から｛＃，＃｝を選ぶことによって、
① １２
② １３
③ １４
④ １５
⑤ １６
⑥ ２３
⑦ ２４
⑧ ２５
⑨ ２６
⑩ ３４
⑪ ３５
⑫ ３６
⑬ ４５
⑭ ４６
⑮ ５６
といふ「１５通リ」を得ることになる。
従って、
（05）により、
（06）
① １＜２＜３
② １＜２＜４
③ １＜２＜５
④ １＜２＜６
⑤ １＜３＜４
⑥ １＜３＜５
⑦ １＜３＜６
⑧ １＜４＜５
⑨ １＜４＜６
⑩ １＜５＜６
⑪ ２＜３＜４
⑫ ２＜３＜５
⑬ ２＜３＜６
⑭ ２＜４＜５
⑮ ２＜４＜６
⑯ ２＜５＜６
⑰ ３＜４＜５
⑱ ３＜４＜６
⑲ ３＜５＜６
⑳ ４＜５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮＜⑯＜⑰＜⑱＜⑲＜⑳
となるように、
｛１，２，３，４，５，６｝
から｛＃，＃，＃｝を選ぶことによって、
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
といふ「２０通リ」を得ることになる。
然るに、
（07）
① １２３
からは、
① １２３　１３２　２１３　２３１　３１２　３２１
といふ「３！（６）通リ」を得ることが出来る。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
といふ「２０通リ」からは、
① １２３　１３２　２１３　２３１　３１２　３２１
② １２４　１４２　２１４　２４１　４１２　４２１
③ １２５　１５２　２１５　２５１　５１２　５２１
④ １２６　１６２　２１６　２６１　６１２　６２１
⑤ １３４　１４３　３１４　３４１　４１３　４３１
⑥ １３５　１５３　３１５　３５１　５１３　５３１
⑦ １３６　１６３　３１６　３６１　６１３　６３１
⑧ １４５　１５４　４１５　４５１　５１４　５４１
⑨ １４６　１６４　４１６　４６１　６１４　６４１
⑩ １５６　１６５　５１６　５６１　６１５　６５１
⑪ ２３４　２４３　３２４　３４２　４２３　４３２
⑫ ２３５　２５３　３２５　３５２　５２３　５３２
⑬ ２３６　２６３　３２６　３６２　６２３　６３２
⑭ ２４５　２５４　４２５　４５２　５２４　５４２
⑮ ２４６　２６４　４２６　４６２　６２４　６４２
⑯ ２５６　２６５　５２６　５６２　６２５　６５２
⑰ ３４５　３５４　４３５　４５３　５３４　５４３
⑱ ３４６　３６４　４３６　４６３　６３４　６４３
⑲ ３５６　３６５　５３６　５６３　６３５　６５３
⑳ ４５６　４６５　５４６　５６４　６４５　６５４
といふ「２０×３！＝１２０通リ」を得ることが出来る。
然るに、
（09）
① １２３　１３２　１４２　１５２　１６２
① １２４　１３４　１４３　１５３　１６３
① １２５　１３５　１４５　１５４　１６４
① １２６　１３６　１４６　１５６　１６５
② ２１３　２３１　２４１　２５１　２６１
② ２１４　２３４　２４３　２５３　２６３
② ２１５　２３５　２４５　２５４　２６４
② ２１６　２３６　２４６　２５６　２６５
③ ３１２　３２１　３４１　３５１　３６１
③ ３１４　３２４　３４２　３５２　３６２
③ ３１５　３２５　３４５　３５４　３６４
③ ３１６　３２６　３４６　３５６　３６５
④ ４１２　４２１　４３１　４５１　４６１
④ ４１３　４２３　４３２　４５２　４６２
④ ４１５　４２５　４３５　４５３　４６３
④ ４１６　４２６　４３６　４５６　４６５
⑤ ５１２　５２１　５３１　５４１　５６１
⑤ ５１３　５２３　５３２　５４２　５６２
⑤ ５１４　５２４　５３４　５４３　５６３
⑤ ５１６　５２６　５３６　５４６　５６４
⑥ ６１２　６２１　６３１　６４１　６５１
⑥ ６１３　６２３　６３２　６４２　６５２
⑥ ６１４　６２４　６３４　６４３　６５３
⑥ ６１５　６２５　６３５　６４５　６５４
は、「6Ｐ3＝４×５×６＝１２０通リ」は、『樹形図の順番』である。
然るに、
（10）
「公式」として、
6Ｃ3×３！＝6Ｐ3
である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
といふ「２０通リ」は、「6Ｃ3」である。
従って、
（06）（10）（11）により、
（12）
① １＜２＜３
② １＜２＜４
③ １＜２＜５
④ １＜２＜６
⑤ １＜３＜４
⑥ １＜３＜５
⑦ １＜３＜６
⑧ １＜４＜５
⑨ １＜４＜６
⑩ １＜５＜６
⑪ ２＜３＜４
⑫ ２＜３＜５
⑬ ２＜３＜６
⑭ ２＜４＜５
⑮ ２＜４＜６
⑯ ２＜５＜６
⑰ ３＜４＜５
⑱ ３＜４＜６
⑲ ３＜５＜６
⑳ ４＜５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮＜⑯＜⑰＜⑱＜⑲＜⑳
となるように、
｛１，２，３，４，５，６｝
から｛＃，＃，＃｝を選ぶことによって、得ることが出来た、
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
は、「２０通リ」は、「6Ｃ3×３！＝6Ｐ3」でいふ、「6Ｃ3」である。
従って、
（12）により、
（13）
① １＜２＜３＜４
② １＜２＜３＜５
③ １＜２＜３＜６
④ １＜２＜４＜５
⑤ １＜２＜４＜６
⑥ １＜２＜５＜６
⑦ １＜３＜４＜５
⑧ １＜３＜４＜６
⑨ １＜３＜５＜６
⑩ １＜４＜５＜６
⑪ ２＜３＜４＜５
⑫ ２＜３＜４＜６
⑬ ２＜３＜５＜６
⑭ ２＜４＜５＜６
⑮ ３＜４＜５＜６
であって、尚且つ、
①＜②＜③＜④＜⑤＜⑥＜⑦＜⑧＜⑨＜⑩＜⑪＜⑫＜⑬＜⑭＜⑮
となるように、
｛１，２，３，４，５，６｝
から｛＃，＃，＃，＃｝を選ぶならば、
① １２３４
② １２３５
③ １２３６
④ １２４５
⑤ １２４６
⑥ １２５６
⑦ １３４５
⑧ １３４６
⑨ １３５６
⑩ １４５６
⑪ ２３４５
⑫ ２３４６
⑬ ２３５６
⑭ ２４５６
⑮ ３４５６
は、「6Ｃ4」であって、それ故、
① １２３４　１２４３　１３２４　１３４２　１４２３　１４３２
① ２１３４　２１４３　２３１４　２３４１　２４１３　２４３１
① ３１２４　３１４２　３２１４　３２４１　３４１２　３４２１
① ４１２３　４１３２　４２１３　４２３１　４３１２　４３２１
② １２３５　１２５３　１３２５　１３５２　１５２３　１５３２
② ２１３５　２１５３　２３１５　２３５１　２５１３　２５３１
② ３１２５　３１５２　３２１５　３２５１　３５１２　３５２１
② ５１２３　５１３２　５２１３　５２３１　５３１２　５３２１
③ １２３６　１２６３　１３２６　１３６２　１６２３　１６３２
③ ２１３６　２１６３　２３１６　２３６１　２６１３　２６３１
③ ３１２６　３１６２　３２１６　３２６１　３６１２　３６２１
③ ６１２３　６１３２　６２１３　６２３１　６３１２　６３２１
④ １２４５　１２５４　１４２５　１４５２　１５２４　１５４２
④ ２１４５　２１５４　２４１５　２４５１　２５１４　２５４１
④ ４１２５　４１５２　４２１５　４２５１　４５１２　４５２１
④ ５１２４　５１４２　５２１４　５２４１　５４１２　５４２１
⑤ １２４６　１２６４　１４２６　１４６２　１６２４　１６４２
⑤ ２１４６　２１６４　２４１６　２４６１　２６１４　２６４１
⑤ ４１２６　４１６２　４２１６　４２６１　４６１２　４６２１
⑤ ６１２４　６１４２　６２１４　６２４１　６４１２　６４２１
⑥ １２５６　１２６５　１５２６　１５６２　１６２５　１６５２
⑥ ２１５６　２１６５　２５１６　２５６１　２６１５　２６５１
⑥ ５１２６　５１６２　５２１６　５２６１　５６１２　５６２１
⑥ ６１２５　６１５２　６２１５　６２５１　６５１２　６５２１
⑦ １３４５　１３５４　１４３５　１４５３　１５３４　１５４３
⑦ ３１４５　３１５４　３４１５　３４５１　３５１４　３５４１
⑦ ４１３５　４１５３　４３１５　４３５１　４５１３　４５３１
⑦ ５１３４　５１４３　５３１４　５３４１　５４１３　５４３１
⑧ １３４６　１３６４　１４３６　１４６３　１６３４　１６４３
⑧ ３１４６　３１６４　３４１６　３４６１　３６１４　３６４１
⑧ ４１３６　４１６３　４３１６　４３６１　４６１３　４６３１
⑧ ６１３４　６１４３　６３１４　６３４１　６４１３　６４３１
⑨ １３５６　１３６５　１５３６　１５６３　１６３５　１６５３
⑨ ３１５６　３１６５　３５１６　３５６１　３６１５　３６５１
⑨ ５１３６　５１６３　５３１６　５３６１　５６１３　５６３１
⑨ ６１３５　６１５３　６３１５　６３５１　６５１３　６５３１
⑩ １４５６　１４６５　１５４６　１５６４　１６４５　１６５４
⑩ ４１５６　４１６５　４５１６　４５６１　４６１５　４６５１
⑩ ５１４６　５１６４　５４１６　５４６１　５６１４　５６４１
⑩ ６１４５　６１５４　６４１５　６４５１　６５１４　６５４１
⑪ ２３４５　２３５４　２４３５　２４５３　２５３４　２５４３
⑪ ３２４５　３２５４　３４２５　３４５２　３５２４　３５４２
⑪ ４２３５　４２５３　４３２５　４３５２　４５２３　４５３２
⑪ ５２３４　５２４３　５３２４　５３４２　５４２３　５４３２
⑫ ２３４６　２３６４　２４３６　２４６３　２６３４　２６４３
⑫ ３２４６　３２６４　３４２６　３４６２　３６２４　３６４２
⑫ ４２３６　４２６３　４３２６　４３６２　４６２３　４６３２
⑫ ６２３４　６２４３　６３２４　６３４２　６４２３　６４３２
⑬ ２３５６　２３６５　２５３６　２５６３　２６３５　２６５３
⑬ ３２５６　３２６５　３５２６　３５６２　３６２５　３６５２
⑬ ５２３６　５２６３　５３２６　５３６２　５６２３　５６３２
⑬ ６２３５　６２５３　６３２５　６３５２　６５２３　６５３２
⑭ ２４５６　２４６５　２５４６　２５６４　２６４５　２６５４
⑭ ４２５６　４２６５　４５２６　４５６２　４６２５　４６５２
⑭ ５２４６　５２６４　５４２６　５４６２　５６２４　５６４２
⑭ ６２４５　６２５４　６４２５　６４５２　６５２４　６５４２
⑮ ３４５６　３４６５　３５４６　３５６４　３６４５　３６５４
⑮ ４３５６　４３６５　４５３６　４５６３　４６３５　４６５３
⑮ ５３４６　５３６４　５４３６　５４６３　５６３４　５６４３
⑮ ６３４５　６３５４　６４３５　６４５３　６５３４　６５４３
であれば、
6Ｐ4＝（6Ｃ4＝６×５×４×３÷４！）×４！＝３６０
である。
従って、
（01）（12）（13）により、
（14）
Ｑ：「組合せ」は「樹形図」では書けないのですか？
といふ「質問」が、
Ｑ：「組合せ」は「順列」のように、「機械的」に書けないのですか？
といふ「質問」であるならば、
Ａ：ありません。
ではなく、
Ａ：あるけれど、
① １２３
② １２４
③ １２５
④ １２６
⑤ １３４
⑥ １３５
⑦ １３６
⑧ １４５
⑨ １４６
⑩ １５６
⑪ ２３４
⑫ ２３５
⑬ ２３６
⑭ ２４５
⑮ ２４６
⑯ ２５６
⑰ ３４５
⑱ ３４６
⑲ ３５６
⑳ ４５６
を書くことは、「（順列の）樹形図」を書くよりは、少しだけ難しいが、馴れれば、簡単である。
といふ、ことになる。

（1102）「組合せの問題（南山大学、昭和ｘｘ年）」。

（01）
例題 ２８
Ａ高校の生徒会の役員は６名で、その中３名は女子である。また、
Ｂ高校の生徒会の役員は５名で、その中２名は女子である。
各高校の役員から、それぞれ２名以上を出して、
合計５名の合同委員会を作るとき、次の各場合は何通リあるか。
（１）合同委員会の作り方。
（２）合同委員会に少なくとも１人女子が入っている場合。
（３）合同委員会に１名女子が入っている場合。
（４）合同委員会に各校から１名女子が入っている場合。
〔南山大学〕
（チャート式 基礎からの確率・統計、1967年、５２頁）
（02）
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ａ高校女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
Ｂ高校女子＝｛Ｊ，Ｋ｝
であるとする。
（03）
①Ａ高から２名（Ｂ高から３名）を選ぶ。
②Ｂ高から２名（Ａ高から３名）を選ぶ。
といふ「２通り」がある。
（04）
Ａ高＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
から「２名」を選ぶ「場合の数」は、
①ＡＢ
②ＡＣ
③ＡＤ
④ＡＥ
⑤ＡＦ
⑥ＢＣ
⑦ＢＤ
⑧ＢＥ
⑨ＢＦ
⑩ＣＤ
⑪ＣＥ
⑫ＣＦ
⑬ＤＥ
⑭ＤＦ
⑮ＥＦ
といふ「6Ｃ2＝１５通リ」である。
然るに、
（05）
Ｂ高＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ｝
から「３名」を選ぶ「場合の数」は、
①ＧＨＩ
②ＧＨＪ
③ＧＨＫ
④ＧＩＪ
⑤ＧＩＫ
⑥ＧＪＫ
⑦ＨＩＪ
⑧ＨＩＫ
⑨ＨＪＫ
⑩ＩＪＫ
といふ「5Ｃ3＝１０通リ」である。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
①Ａ高から２名（Ｂ高から３名）を選ぶ「場合」は、
①ＡＢ
②ＡＣ
③ＡＤ
④ＡＥ
⑤ＡＦ
⑥ＢＣ
⑦ＢＤ
⑧ＢＥ
⑨ＢＦ
⑩ＣＤ
⑪ＣＥ
⑫ＣＦ
⑬ＤＥ
⑭ＤＦ
⑮ＥＦ
といふ「１５通リ」の、「その各々」に対して、
①ＧＨＩ
②ＧＨＪ
③ＧＨＫ
④ＧＩＪ
⑤ＧＩＫ
⑥ＧＪＫ
⑦ＨＩＪ
⑧ＨＩＫ
⑨ＨＪＫ
⑩ＩＪＫ
といふ「１０通リ」が、対応する。
従って、
（02）（06）により、
（07）
①Ａ高から２名（Ｂ高から３名）を選ぶ「場合」は、
①（１５×１０＝１５０通リ）である。
然るに、
（08）
Ａ高＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
から「３名」を選ぶ「場合の数」は、
①ＡＢＣ
②ＡＢＤ
③ＡＢＥ
④ＡＢＦ
⑤ＡＣＤ
⑥ＡＣＥ
⑦ＡＣＦ
⑧ＡＤＥ
⑨ＡＤＦ
⑩ＡＥＦ
⑪ＢＣＤ
⑫ＢＣＥ
⑬ＢＣＦ
⑭ＢＤＥ
⑮ＢＤＦ
⑯ＢＥＦ
⑰ＣＤＥ
⑱ＣＤＦ
⑲ＣＥＦ
⑳ＤＥＦ
といふ「6Ｃ3＝２０通リ」である。
然るに、
（09）
Ｂ高＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ，Ｋ｝
から「２名」を選ぶ「場合の数」は、
①ＧＨ
②ＧＩ
③ＧＪ
④ＧＫ
⑤ＨＩ
⑥ＨＪ
⑦ＨＫ
⑧ＩＪ
⑨ＩＫ
⑩ＪＫ
といふ「5Ｃ2＝１０通リ」である。
従って、
（03）（08）（09）により、
（10）
②Ｂ高から２名（Ａ高から３名）を選ぶ「場合」は、
①ＡＢＣ
②ＡＢＤ
③ＡＢＥ
④ＡＢＦ
⑤ＡＣＤ
⑥ＡＣＥ
⑦ＡＣＦ
⑧ＡＤＥ
⑨ＡＤＦ
⑩ＡＥＦ
⑪ＢＣＤ
⑫ＢＣＥ
⑬ＢＣＦ
⑭ＢＤＥ
⑮ＢＤＦ
⑯ＢＥＦ
⑰ＣＤＥ
⑱ＣＤＦ
⑲ＣＥＦ
⑳ＤＥＦ
といふ「２０通リ」の、「その各々」に対して、
①ＧＨ
②ＧＩ
③ＧＪ
④ＧＫ
⑤ＨＩ
⑥ＨＪ
⑦ＨＫ
⑧ＩＪ
⑨ＩＫ
⑩ＪＫ
といふ「１０通リ」が、対応する。
従って、
（02）（10）により、
（11）
②Ｂ高から２名（Ａ高から３名）を選ぶ「場合」は、
②（２０×１０＝２００通リ）である。
従って、
（07）（11）により、
（12）
①Ａ高から２名（Ｂ高から３名）を選ぶ「場合」と、
②Ｂ高から２名（Ａ高から３名）を選ぶ「場合」は、
①（１５×１０＝１５０通リ）であると、
②（２０×１０＝２００通リ）である。
従って、
（01）（12）により、
（13）
（１）合同委員会の作り方。
に関しては、
①（１５×１０＝１５０通リ）
②（２０×１０＝２００通リ）
による、
①＋②＝３５０通リ。
である。
然るに、
（14）
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
から「５人」を選ぶ「選び方」は、
①ＡＢＣＧＨ
②ＡＢＣＧＩ
③ＡＢＣＨＩ
④ＡＢＧＨＩ
⑤ＡＣＧＨＩ
⑥ＢＣＧＨＩ
による「6Ｃ5＝６通リ」である。
従って、
（01）（13）（14）により、
（15）
（２）合同委員会に少なくとも１人女子が入っている場合。
（〃）全員（５人）がすべて男子であるわけではない。
に関しては、
（３５０－６＝３４４通リ）である。
（16）
Ａ高校女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
Ｂ高校女子＝｛Ｊ，Ｋ｝
による「５人」から「１人」を選んで、
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
による「６人」から「４人」を選ぶことにする。
然るに、
（17）
Ａ高校女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
Ｂ高校女子＝｛Ｊ，Ｋ｝
から「１人」を選ぶ「選び方」は、
①Ｄ
②Ｅ
③Ｆ
④Ｊ
⑤Ｋ
による「5Ｃ1＝５通リ」である。
然るに、
（18）
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
から「４人」を選ぶ「選び方」は、
①ＡＢＣＧ
②ＡＢＣＨ
③ＡＢＣＩ
④ＡＢＧＨ
⑤ＡＢＧＩ
⑥ＡＢＨＩ
⑦ＡＣＧＨ
⑧ＡＣＧＩ
⑨ＡＣＨＩ
⑩ＡＧＨＩ
⑪ＢＣＧＨ
⑫ＢＣＧＩ
⑬ＢＣＨＩ
⑭ＢＧＨＩ
⑮ＣＧＨＩ
による「6Ｃ4＝１５通リ」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
例へば、
女子１人＝Ｄ（はＡ高校）
であるならば、
①Ｄ＆（ＡＢＣＧ）
②Ｄ＆（ＡＢＣＨ）
③Ｄ＆（ＡＢＣＩ）
④Ｄ＆（ＡＢＧＨ）
⑤Ｄ＆（ＡＢＧＩ）
⑥Ｄ＆（ＡＢＨＩ）
⑦Ｄ＆（ＡＣＧＨ）
⑧Ｄ＆（ＡＣＧＩ）
⑨Ｄ＆（ＡＣＨＩ）
⑩Ｄ＆（ＡＧＨＩ）
⑪Ｄ＆（ＢＣＧＨ）
⑫Ｄ＆（ＢＣＧＩ）
⑬Ｄ＆（ＢＣＨＩ）
⑭Ｄ＆（ＢＧＨＩ）
⑮Ｄ＆（ＣＧＨＩ）
である。
然るに、
（01）（02）（19）により、
（20）
①Ｄ＆（ＡＢＣＧ）
②Ｄ＆（ＡＢＣＨ）
③Ｄ＆（ＡＢＣＩ）
であるとすると、
Ａ高校＝４人 で、
Ｂ高校＝１人 であるため、
「各高校の役員から、それぞれ２名以上を出して」といふ「条件」に「抵触」する。
然るに、
（21）
例へば、
女子１人＝Ｅ（はＢ高校）
であるならば、
①Ｅ＆（ＡＢＣＧ）
②Ｅ＆（ＡＢＣＨ）
③Ｅ＆（ＡＢＣＩ）
④Ｅ＆（ＡＢＧＨ）
⑤Ｅ＆（ＡＢＧＩ）
⑥Ｅ＆（ＡＢＨＩ）
⑦Ｅ＆（ＡＣＧＨ）
⑧Ｅ＆（ＡＣＧＩ）
⑨Ｅ＆（ＡＣＨＩ）
⑩Ｅ＆（ＡＧＨＩ）
⑪Ｅ＆（ＢＣＧＨ）
⑫Ｅ＆（ＢＣＧＩ）
⑬Ｅ＆（ＢＣＨＩ）
⑭Ｅ＆（ＢＧＨＩ）
⑮Ｅ＆（ＣＧＨＩ）
である。
然るに、
（01）（02）（21）により、
（22）
例へば、
⑩Ｅ＆（ＡＧＨＩ）
⑭Ｅ＆（ＢＧＨＩ）
⑮Ｅ＆（ＣＧＨＩ）
であるとすると、
Ｂ高校＝４人 で、
Ａ高校＝１人 であるため、
「各高校の役員から、それぞれ２名以上を出して」といふ「条件」に「抵触」する。
従って、
（16）～（22）により、
（23）
（３）合同委員会に１名女子が入っている場合。
に関しては、
｛５×（１５－３）＝６０通リ｝である。
（24）
Ａ高校女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
Ｂ高校女子＝｛Ｊ，Ｋ｝
であるため、
①ＤＪ＋男子３人
②ＤＫ＋男子３人
③ＥＪ＋男子３人
④ＥＫ＋男子３人
⑤ＦＪ＋男子３人
⑥ＦＫ＋男子３人。
であれば、
（４）合同委員会に各校から１名女子が入っている場合。
といふ「条件」を、満たしてゐる。
然るに、
（01）（02）（24）により、
（25）
その場合は、
Ａ高校男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
Ｂ高校男子＝｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
であるため、例へば、
①ＤＪ＋男子３人（ＡＢＣ）。
②ＤＫ＋男子３人（ＧＨＩ）。
「各高校の役員から、それぞれ２名以上を出して」といふ「条件」に「抵触」する。
然るに、
（26）
｛Ｇ，Ｈ，Ｉ｝からは、｛２人｝選ぶ場合は、
①ＧＨ
②ＧＩ
③ＨＩ
による、「3Ｃ2＝３通リ」である。
（27）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝からは、｛２人｝選ぶ場合は、
①ＡＢ
②ＡＣ
③ＢＣ
による、「3Ｃ2＝３通リ」である。
従って、
（05）（26）（27）により、
（28）
「男子３人」は、
①Ａ＋ＧＨ
②Ａ＋ＧＩ
③Ａ＋ＨＩ
④Ｂ＋ＧＨ
⑤Ｂ＋ＧＩ
⑥Ｂ＋ＨＩ
⑦Ｃ＋ＧＨ
⑧Ｃ＋ＧＩ
⑨Ｃ＋ＨＩ
であるか、または、
①Ｇ＋ＡＢ
②Ｇ＋ＡＣ
③Ｇ＋ＢＣ
④Ｈ＋ＡＢ
⑤Ｈ＋ＡＣ
⑥Ｈ＋ＢＣ
⑦Ｉ＋ＡＢ
⑧Ｉ＋ＡＣ
⑨Ｉ＋ＢＣ
でなければ、ならない。
従って、
（24）（28）により、
（29）
①女子２人（ＤＪ）＋男子３人
②女子２人（ＤＫ）＋男子３人
③女子２人（ＥＪ）＋男子３人
④女子２人（ＥＫ）＋男子３人
⑤女子２人（ＦＪ）＋男子３人
⑥女子２人（ＦＫ）＋男子３人。
といふ「６通リ」の、「その各々」に対して、
①男子３人（Ａ＋ＧＨ）
②男子３人（Ａ＋ＧＩ）
③男子３人（Ａ＋ＨＩ）
④男子３人（Ｂ＋ＧＨ）
⑤男子３人（Ｂ＋ＧＩ）
⑥男子３人（Ｂ＋ＨＩ）
⑦男子３人（Ｃ＋ＧＨ）
⑧男子３人（Ｃ＋ＧＩ）
⑨男子３人（Ｃ＋ＨＩ）
であるか、または、
①男子３人（Ｇ＋ＡＢ）
②男子３人（Ｇ＋ＡＣ）
③男子３人（Ｇ＋ＢＣ）
④男子３人（Ｈ＋ＡＢ）
⑤男子３人（Ｈ＋ＡＣ）
⑥男子３人（Ｈ＋ＢＣ）
⑦男子３人（Ｉ＋ＡＢ）
⑧男子３人（Ｉ＋ＡＣ）
⑨男子３人（Ｉ＋ＢＣ）
でなければ、ならない。
従って、
（24）～（29）により、
（30）
（４）合同委員会に各校から１名女子が入っている場合。
に関しては、
｛６×（９＋９）＝１０８通リ｝である。
従って、
（01）～（30）により、
（31）
果たして、
「チャート式 基礎からの確率・統計、1967年、５２頁、例題２８」
の「答へ」は、四つとも、すべて「正しい」。

（1101）「5Ｃ3×３！」＝「5Ｐ3」。

（01）
［問題］
男子４人、女子３人が一列に並ぶとき、
女子が、連続しない並び方の総数を求めよ。
（02）
男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝
女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
であるとする。
従って、
（02）により、
（03）
男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝
に関しては、
ＡＢＣＤ　ＡＢＤＣ　ＡＣＢＤ　ＡＣＤＢ　ＡＤＢＣ　ＡＤＣＢ
ＢＡＣＤ　ＢＡＤＣ　ＢＣＡＤ　ＢＣＤＡ　ＢＤＡＣ　ＢＤＣＡ
ＣＡＢＤ　ＣＡＤＢ　ＣＢＡＤ　ＣＢＤＡ　ＣＤＡＢ　ＣＤＢＡ
ＤＡＢＣ　ＤＡＣＢ　ＤＢＡＣ　ＤＢＣＡ　ＤＣＡＢ　ＤＣＢＡ
による、「４！＝２４通リ」がある。
然るに、
（04）
女子＝｛Ｅ，Ｄ，Ｆ｝
の３人が、
①Ａ②Ｂ③Ｃ④Ｄ⑤
に於ける、
①，②，③，④，⑤
の「位置」に入るものとする。
然るに、
（05）
①，②，③，④，⑤
の「位置」に関しては、
（ⅰ）①，②，③
（ⅱ）①，②，④
（ⅲ）①，②，⑤
（ⅳ）①，③，④
（ⅴ）①，③，⑤
（ⅵ）①，④，⑤
（ⅶ）②，③，④
（ⅷ）②，③，⑤
（ⅸ）②，④，⑤
（ⅹ）③，④，⑤
といふ、「5Ｃ3＝１０通リ」がある。
然るに、
（06）
女子＝｛Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
に関しては、
ＤＥＦ　ＤＦＥ　ＥＤＦ　ＥＦＤ　ＦＤＥ　ＦＥＤ
による、「３！＝６通リ」がある。
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
女子＝｛Ｅ，Ｄ，Ｆ｝
の３人が、
①Ａ②Ｂ③Ｃ④Ｄ⑤
に於ける、
①，②，③，④，⑤
の「位置」に入る場合の、「場合の数」は、
5Ｃ3×３！＝１０×６＝６０通リ。
である。
従って、
（01）（03）（07）により、
（08）
［問題］
男子４人、女子３人が一列に並ぶとき、
女子が、連続しない並び方の総数を求めよ。
といふ［問題］の［答へ］は、
４！×5Ｃ3×３！＝２４×１０×６
といふ「計算」による、
１４４０通リ。
が、［正解］である。
然るに、
（09）
① 5Ｃ3×３！
② 5Ｐ3
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）により、
（10）
① ４！×5Ｃ3×３！
② ４！×5Ｐ3
に於いて、
①＝② である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① ４！×5Ｃ3×３！
② ４！×5Ｐ3
に於いて、
①＝②
であるため、
男子４人、女子３人が一列に並ぶとき、
女子が、連続しない並び方の総数を求めよ。
といふ［問題］の［答へ］は、
② ４！×5Ｐ3
といふことであれば、
何らの疑問も無い。
従って、
（12）
① ４！×5Ｃ3×３！
② ４！×5Ｐ3
に於いて、
①＝②
であることを、示さないまま、いきなり、

といふ具合に、
男子４人、女子３人が一列に並ぶとき、
女子が、連続しない並び方の総数を求めよ。
といふ［問題］の［答へ］は、
② ４！×5Ｐ3
であると、言はれても、「何故そうなのか」といふ「理由」を、「説明したことにはならない」。

（1100）６本の中の２本が当たりのクジを３本引く。

―「先程の記事」を補足します。―
（01）
［問題１］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引くときの「場合の数」を求めよ。
［問題２］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、少なくとも１本が当たりである「場合の数」を求めよ。
［問題３］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、２本が当たりである「場合の数」を求めよ。
［問題４］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、１本が当たりである「場合の数」を求めよ。
然るに、
（02）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝から選ぶ、｛異なる３個の組合せ（6Ｃ3）｝と、
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝から選ぶ、｛異なる３個の 順列 （6Ｐ3）｝とは、次のやうになる。
― 6Ｃ3｛（６×５×４）÷３！＝２０｝―
① ＡＢＣ
② ＡＢＤ
③ ＡＢＥ
④ ＡＢＦ
⑤ ＡＣＤ
⑥ ＡＣＥ
⑦ ＡＣＦ
⑧ ＡＤＥ
⑨ ＡＤＦ
⑩ ＡＥＦ
⑪ ＢＣＤ
⑫ ＢＣＥ
⑬ ＢＣＦ
⑭ ＢＤＥ
⑮ ＢＤＦ
⑯ ＢＥＦ
⑰ ＣＤＥ
⑱ ＣＤＦ
⑲ ＣＥＦ
⑳ ＤＥＦ
―（6Ｐ3＝6Ｃ3×３！＝２０×６＝１２０）―
① ＡＢＣ　ＡＣＢ　ＢＡＣ　ＢＣＡ　ＣＡＢ　ＣＢＡ
② ＡＢＤ　ＡＤＢ　ＢＡＤ　ＢＤＡ　ＤＡＢ　ＤＢＡ
③ ＡＢＥ　ＡＥＢ　ＢＡＥ　ＢＥＡ　ＥＡＢ　ＥＢＡ
④ ＡＢＦ　ＡＦＢ　ＢＡＦ　ＢＦＡ　ＦＡＢ　ＦＢＡ
⑤ ＡＣＤ　ＡＤＣ　ＣＡＤ　ＣＤＡ　ＤＡＣ　ＤＣＡ
⑥ ＡＣＥ　ＡＥＣ　ＣＡＥ　ＣＥＡ　ＥＡＣ　ＥＣＡ
⑦ ＡＣＦ　ＡＦＣ　ＣＡＦ　ＣＦＡ　ＦＡＣ　ＦＣＡ
⑧ ＡＤＥ　ＡＥＤ　ＤＡＥ　ＤＥＡ　ＥＡＤ　ＥＤＡ
⑨ ＡＤＦ　ＡＦＤ　ＤＡＦ　ＤＦＡ　ＦＡＤ　ＦＤＡ
⑩ ＡＥＦ　ＡＦＥ　ＥＡＦ　ＥＦＡ　ＦＡＥ　ＦＥＡ
⑪ ＢＣＤ　ＢＤＣ　ＣＢＤ　ＣＤＢ　ＤＢＣ　ＤＣＢ
⑫ ＢＣＥ　ＢＥＣ　ＣＢＥ　ＣＥＢ　ＥＢＣ　ＥＣＢ
⑬ ＢＣＦ　ＢＦＣ　ＣＢＦ　ＣＦＢ　ＦＢＣ　ＦＣＢ
⑭ ＢＤＥ　ＢＥＤ　ＤＢＥ　ＤＥＢ　ＥＢＤ　ＥＤＢ
⑮ ＢＤＦ　ＢＦＤ　ＤＢＦ　ＤＦＢ　ＦＢＤ　ＦＤＢ
⑯ ＢＥＦ　ＢＦＥ　ＥＢＦ　ＥＦＢ　ＦＢＥ　ＦＥＢ
⑰ ＣＤＥ　ＣＥＤ　ＤＣＥ　ＤＥＣ　ＥＣＤ　ＥＤＣ
⑱ ＣＤＦ　ＣＦＤ　ＤＣＦ　ＤＦＣ　ＦＣＤ　ＦＤＣ
⑲ ＣＥＦ　ＣＦＥ　ＥＣＦ　ＥＦＣ　ＦＣＥ　ＦＥＣ
⑳ ＤＥＦ　ＤＦＥ　ＥＤＦ　ＥＦＤ　ＦＤＥ　ＦＥＤ
―（6Ｐ3＝４×５×６＝１２０）は「樹形図」の順。―
① ＡＢＣ　ＡＣＢ　ＡＤＢ　ＡＥＢ　ＡＦＢ
① ＡＢＤ　ＡＣＤ　ＡＤＣ　ＡＥＣ　ＡＦＣ
① ＡＢＥ　ＡＣＥ　ＡＤＣ　ＡＥＤ　ＡＦＤ
① ＡＢＦ　ＡＣＦ　ＡＤＦ　ＡＥＦ　ＡＦＦ
② ＢＡＣ　ＢＣＡ　ＢＤＡ　ＢＥＡ　ＢＦＡ
② ＢＡＤ　ＢＣＤ　ＢＤＣ　ＢＥＣ　ＢＦＣ
② ＢＡＥ　ＢＣＥ　ＢＤＣ　ＢＥＤ　ＢＦＤ
② ＢＡＦ　ＢＣＦ　ＢＤＦ　ＢＥＦ　ＢＦＦ
③ ＣＡＢ　ＣＢＡ　ＣＤＡ　ＣＥＡ　ＣＦＡ
③ ＣＡＤ　ＣＢＤ　ＣＤＢ　ＣＥＢ　ＣＦＢ
③ ＣＡＥ　ＣＢＥ　ＣＤＢ　ＣＥＤ　ＣＦＤ
③ ＣＡＦ　ＣＢＦ　ＣＤＦ　ＣＥＦ　ＣＦＦ
④ ＤＡＢ　ＤＢＡ　ＤＣＡ　ＤＥＡ　ＤＦＡ
④ ＤＡＣ　ＤＢＣ　ＤＣＢ　ＤＥＢ　ＤＦＢ
④ ＤＡＥ　ＤＢＥ　ＤＣＢ　ＤＥＣ　ＤＦＣ
④ ＤＡＦ　ＤＢＦ　ＤＣＦ　ＤＥＦ　ＤＦＦ
⑤ ＥＡＢ　ＥＢＡ　ＥＣＡ　ＥＤＡ　ＥＦＡ
⑤ ＥＡＣ　ＥＢＣ　ＥＣＢ　ＥＤＢ　ＥＦＢ
⑤ ＥＡＤ　ＥＢＤ　ＥＣＢ　ＥＤＣ　ＥＦＣ
⑤ ＥＡＦ　ＥＢＦ　ＥＣＦ　ＥＤＦ　ＥＦＦ
⑥ ＦＡＢ　ＦＢＡ　ＦＣＡ　ＦＤＡ　ＦＥＡ
⑥ ＦＡＣ　ＦＢＣ　ＦＣＢ　ＦＤＢ　ＦＥＢ
⑥ ＦＡＤ　ＦＢＤ　ＦＣＢ　ＦＤＣ　ＦＥＣ
⑥ ＦＡＥ　ＦＢＥ　ＦＣＥ　ＦＤＥ　ＦＥＥ
然るに、
（03）
当たり＝｛Ａ，Ｂ｝
ハズレ＝｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
とする。
従って、
（02）（03）により、
（04）
［答へ１］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引くときの「場合の数」は、
6Ｃ3＝（６×５×４）÷３！＝１２０÷６＝２０
である。
然るに、
（02）（03）により、
（05）
３本引いて、
⑰ ＣＤＥ
⑱ ＣＤＦ
⑲ ＣＥＦ
⑳ ＤＥＦ
のやうに、
３本とも「ハズレ（Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ）」である「場合の数」は、
4Ｃ3＝（４×３×２）÷３！＝２４÷６＝４
である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
［答へ２］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引くときに、
３本が、３本とも「ハズレ」であるわけではない「場合の数」、すなはち、
① ＡＢＣ
② ＡＢＤ
③ ＡＢＥ
④ ＡＢＦ
⑤ ＡＣＤ
⑥ ＡＣＥ
⑦ ＡＣＦ
⑧ ＡＤＥ
⑨ ＡＤＦ
⑩ ＡＥＦ
⑪ ＢＣＤ
⑫ ＢＣＥ
⑬ ＢＣＦ
⑭ ＢＤＥ
⑮ ＢＤＦ
⑯ ＢＥＦ
のやうに、
３本の内の、２本、あるいは１本が「当たり」である「場合の数」は、
２０—４＝１６
である。
然るに、
（07）
2Ｃ2＝（２×１）÷２！＝２÷２＝１
4Ｃ1＝（４×１）÷１！＝４÷１＝４
従って、
（02）（03）（07）により、
（08）
［答へ３］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、
① ＡＢＣ
② ＡＢＤ
③ ＡＢＥ
④ ＡＢＦ
のやうに、
２本が「当たり（１本がハズレ）」である「場合の数」は、
１×４＝４
である。
然るに、
（09）
2Ｃ1＝（２×１）÷１！＝　２÷１＝２
4Ｃ2＝（４×３）÷２！＝１２÷２＝６
従って、
（02）（03）（09）により、
（10）
［答へ４］
６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、
⑤ ＡＣＤ
⑥ ＡＣＥ
⑦ ＡＣＦ
⑧ ＡＤＥ
⑨ ＡＤＦ
⑩ ＡＥＦ
⑪ ＢＣＤ
⑫ ＢＣＥ
⑬ ＢＣＦ
⑭ ＢＤＥ
⑮ ＢＤＦ
⑯ ＢＥＦ
のやうに、
１本が「当たり（２本がハズレ）」である「場合の数」は、
２×６＝１２
である。
従って、
（01）～（10）により、
（11）
［問題１］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引くときの「場合の数」を求めよ。
［問題２］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、少なくとも１本が当たりである「場合の数」を求めよ。
［問題３］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、２本が当たりである「場合の数」を求めよ。
［問題４］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引き、１本が当たりである「場合の数」を求めよ。
に対しては、
［答へ１］２０通リ。
［答へ２］１６通リ。
［答へ３］　４通リ。
［答へ４］１２通リ。
といふ［答へ］が「正しい」。
然るに、
（11）により、
（12）
［答へ２］＝［答へ３］＋［答へ４］＝（４＋１２＝１６）通リ。
であるため、確かに、「正しい」。
然るに、
（02）により、
（13）
［答へ１］２０通リ。
［答へ２］１６通リ。
［答へ３］　４通リ。
［答へ４］１２通リ。
のそれぞれを、（３！＝６）倍すると、
［答へ１］１２０通リ。
［答へ２］　９６通リ。
［答へ３］　２４通リ。
［答へ４］　７２通リ。
従って、
（12）（13）により、
（14）
［答へ２］＝［答へ３］＋［答へ４］＝　　　（４＋１２＝１６）通リ。
［答へ２］＝［答へ３］＋［答へ４］＝３！×（４＋１２＝１６）通リ。
従って、
（11）～（14）により、
（15）
［問題２］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引く際に、少なくとも１本が当たりである「確率」を求めよ。
［問題３］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引く際に、２本が当たりである「確率」を求めよ。
［問題４］６本の中の２本が当たりのクジを３本を引く際に、１本が当たりである「確率」を求めよ。
といふ「確率の問題」自体は、『組合せ（Ｃ）』で考へても、『順列（Ｐ）』で考へても、「同じ」になる。
従って、
（15）により、
（16）
このやうな「確率の問題」の場合は、
順列と組み合わせで一番よくつまずくのが、問題を見た時に組み合わせなのか順列なのか、つまりＰで計算するのかＣで計算するのかが分からないという時です（家庭教師のあすなろ関西）。
といふことには、ならない。
（17）
Ｐで「計算」しても、
Ｃで「計算」しても、「同じ」であるものを、
Ｐで「計算」すべきか、
Ｃで「計算」すべきか、分からないことは、「当然」である。

（1097）「同じもの」を含む「順列」（Ⅱ）。

―「今日（令和０４年０５月２２日）の記事」の続きを書きます。―
然るに、
（09）
｛1，２，３，４，５｝
からは、
①１２３
②１２　４
③１２　　５
④１　３４
⑤１　３　５
⑥１　　４５
⑦　２３４
⑧　２３　５
⑨　２４　５
⑩　　３４５
といふ「１０通リ」を得ることが出来る。
従って、
（09）により、
①１２３ＤＥ
②１２Ｄ４Ｅ
③１２ＤＥ５
④１Ｄ３４Ｅ
⑤１Ｄ３Ｅ５
⑥１ＤＥ４５
⑦Ｄ２３４Ｅ
⑧Ｄ２３Ｅ５
⑨Ｄ２Ｅ４５
⑩ＤＥ３４５
といふ「１０通リ」を得ることが出来る。
然るに、
（10）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
からは、
①ＡＢＣ
②ＡＣＢ
③ＢＡＣ
④ＢＣＡ
⑤ＣＡＢ
⑥ＣＢＡ
といふ「６通リ」を得ることが出来る。
従って、
（09）（10）により、
（11）
①ＡＢＣＤＥ
②ＡＢＤＣＥ
③ＡＢＤＥＣ
④ＡＤＢＣＥ
⑤ＡＤＢＥＣ
⑥ＡＤＥＢＣ
⑦ＤＡＢＣＥ
⑧ＤＡＢＥＣ
⑨ＤＡＥＢＣ
⑩ＤＥＡＢＣ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＣＢＤＥ
②ＡＣＤＢＥ
③ＡＣＤＥＢ
④ＡＤＣＢＥ
⑤ＡＤＣＥＢ
⑥ＡＤＥＣＢ
⑦ＤＡＣＢＥ
⑧ＤＡＣＥＢ
⑨ＤＡＥＣＢ
⑩ＤＥＡＣＢ
といふ「１０通リ」と、
①ＢＡＣＤＥ
②ＢＡＤＣＥ
③ＢＡＤＥＣ
④ＢＤＡＣＥ
⑤ＢＤＡＥＣ
⑥ＢＤＥＡＣ
⑦ＤＢＡＣＥ
⑧ＤＢＡＥＣ
⑨ＤＢＥＡＣ
⑩ＤＥＢＡＣ
といふ「１０通リ」と、
①ＢＣＡＤＥ
②ＢＣＤＡＥ
③ＢＣＤＥＡ
④ＢＤＣＡＥ
⑤ＢＤＣＥＡ
⑥ＢＤＥＣＡ
⑦ＤＢＣＡＥ
⑧ＤＢＣＥＡ
⑨ＤＢＥＣＡ
⑩ＤＥＢＣＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＣＡＢＤＥ
②ＣＡＤＢＥ
③ＣＡＤＥＢ
④ＣＤＡＢＥ
⑤ＣＤＡＥＢ
⑥ＣＤＥＡＢ
⑦ＤＣＡＢＥ
⑧ＤＣＡＥＢ
⑨ＤＣＥＡＢ
⑩ＤＥＣＡＢ
といふ「１０通リ」と、
①ＣＢＡＤＥ
②ＣＢＤＡＥ
③ＣＢＤＥＡ
④ＣＤＢＡＥ
⑤ＣＤＢＥＡ
⑥ＣＤＥＢＡ
⑦ＤＣＢＡＥ
⑧ＤＣＢＥＡ
⑨ＤＣＥＢＡ
⑩ＤＥＣＢＡ
といふ「１０通リ」による、「計６０通リ」を得ることが出来る。
然るに、
（12）
｛Ｄ，Ｅ｝からは、
①ＤＥ
②ＥＤ
といふ「２通リ」を得ることが出来る。
従って、
（11）（12）により、
（13）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝
の「順列」は、
①ＤＥ
の「順」による「６０通リ」に加へて、
②ＥＤ
の「順」による「６０通リ（計１２０通リ）」がある。
然るに、
（11）（13）により、
（14）
Ａ＝Ｂ＝Ｃ
とするならば、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」と、
①ＡＡＡＤＥ
②ＡＡＤＡＥ
③ＡＡＤＥＡ
④ＡＤＡＡＥ
⑤ＡＤＡＥＡ
⑥ＡＤＥＡＡ
⑦ＤＡＡＡＥ
⑧ＤＡＡＥＡ
⑨ＤＡＥＡＡ
⑩ＤＥＡＡＡ
といふ「１０通リ」に於いて、「区別」が付かない。
従って、
（09）～（14）により、
（15）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝
の「順列」が「１２０通り」であるのに対して、
｛Ａ，Ａ，Ａ，Ｄ，Ｅ｝
の「順列」は、その「１/３！」の、「２０通リ」である。
（16）
「ユーチューブ」の『映像授業』で、「場合の数・確率」を学んだものの、惜しむらくは、
『映像授業』は、概ね、「解法」だけを示して、「何故、そうなるのか」を説明しようとせず、
そのため、「何故、そうなのか」といふ点については、「自分自身」で考へる「必要」があった。
然るに、
（17）
もちろん、「何故、そうなのか」といふことは、考へずとも、「解法」を覚えれば、「どんな問題」も解けるため、「数学は暗記科目」であるといふ「言ひ方」は、明らかに、「正しい」。

 

（1096）「同じもの」を含む「順列」。

（01）
｛1，２，３，４，５｝
からは、
①１２
②１　３
③１　　４
④１　　　５
⑤　２３
⑥　２　４
⑦　２　　５
⑧　　３４
⑨　　３　５
⑩　　　４５
といふ「１０通リ」を得ることが出来る。
従って、
（01）により、
（02）
①１２ＣＤＥ
②１Ｃ３ＤＥ
③１ＣＤ４Ｅ
④１ＣＤＥ５
⑤Ｃ２３ＤＥ
⑥Ｃ２Ｄ４Ｅ
⑦Ｃ２ＤＥ５
⑧ＣＤ３４Ｅ
⑨ＣＤ３Ｅ５
⑩ＣＤＥ４５
といふ「１０通リ」を得ることが出来る。
従って、
（02）により、
（03）
①ＡＢＣＤＥ
②ＡＣＢＤＥ
③ＡＣＤＢＥ
④ＡＣＤＥＢ
⑤ＣＡＢＤＥ
⑥ＣＡＤＢＥ
⑦ＣＡＤＥＢ
⑧ＣＤＡＢＥ
⑨ＣＤＡＥＢ
⑩ＣＤＥＡＢ
といふ「１０通リ」と、
⑪ＢＡＣＤＥ
⑫ＢＣＡＤＥ
⑬ＢＣＤＡＥ
⑭ＢＣＤＥＡ
⑮ＣＢＡＤＥ
⑯ＣＢＤＡＥ
⑰ＣＢＤＥＡ
⑱ＣＤＢＡＥ
⑲ＣＤＢＥＡ
⑳ＣＤＥＡＢ
といふ「１０通リ」による、「計２０通リ」を得ることが出来る。
然るに、
（04）
｛Ｃ，Ｄ，Ｅ｝
からは、
①ＣＤＥ
②ＣＥＤ
③ＤＣＥ
④ＤＥＣ
⑤ＥＣＤ
⑥ＥＤＣ
といふ「６通リ」を得ることが出来る。
従って、
（05）
①ＡＢＣＤＥ
②ＡＣＢＤＥ
③ＡＣＤＢＥ
④ＡＣＤＥＢ
⑤ＣＡＢＤＥ
⑥ＣＡＤＢＥ
⑦ＣＡＤＥＢ
⑧ＣＤＡＢＥ
⑨ＣＤＡＥＢ
⑩ＣＤＥＡＢ
⑪ＢＡＣＤＥ
⑫ＢＣＡＤＥ
⑬ＢＣＤＡＥ
⑭ＢＣＤＥＡ
⑮ＣＢＡＤＥ
⑯ＣＢＤＡＥ
⑰ＣＢＤＥＡ
⑱ＣＤＢＡＥ
⑲ＣＤＢＥＡ
⑳ＣＤＥＡＢ
といふ「２０通リ」の、「その各々」に対して、
①ＣＤＥ
②ＣＥＤ
③ＤＣＥ
④ＤＥＣ
⑤ＥＣＤ
⑥ＥＤＣ
といふ「６通リ」が「対応」する。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝
の「順列」は、
ＡＢＣＦＧ　ＡＢＣＧＦ　ＡＢＦＣＧ　ＡＢＦＧＣ　ＡＢＧＣＦ　ＡＢＧＦＣ
ＡＣＢＦＧ　ＡＣＢＧＦ　ＡＣＦＢＧ　ＡＣＦＧＢ　ＡＣＧＢＦ　ＡＣＧＦＢ
ＡＦＢＣＧ　ＡＦＢＧＣ　ＡＦＣＢＧ　ＡＦＣＧＢ　ＡＦＧＢＣ　ＡＦＧＣＢ
ＡＧＢＣＦ　ＡＧＢＦＣ　ＡＧＣＢＦ　ＡＧＣＦＢ　ＡＧＦＢＣ　ＡＧＦＣＢ
ＢＡＣＦＧ　ＢＡＣＧＦ　ＢＡＦＣＧ　ＢＡＦＧＣ　ＢＡＧＣＦ　ＢＡＧＦＣ
ＢＣＡＦＧ　ＢＣＡＧＦ　ＢＣＦＡＧ　ＢＣＦＧＡ　ＢＣＧＡＦ　ＢＣＧＦＡ
ＢＦＡＣＧ　ＢＦＡＧＣ　ＢＦＣＡＧ　ＢＦＣＧＡ　ＢＦＧＡＣ　ＢＦＧＣＡ
ＢＧＡＣＦ　ＢＧＡＦＣ　ＢＧＣＡＦ　ＢＧＣＦＡ　ＢＧＦＡＣ　ＢＧＦＣＡ
ＣＡＢＦＧ　ＣＡＢＧＦ　ＣＡＦＢＧ　ＣＡＦＧＢ　ＣＡＧＢＦ　ＣＡＧＦＢ
ＣＢＡＦＧ　ＣＢＡＧＦ　ＣＢＦＡＧ　ＣＢＦＧＡ　ＣＢＧＡＦ　ＣＢＧＦＡ
ＣＦＡＢＧ　ＣＦＡＧＢ　ＣＦＢＡＧ　ＣＦＢＧＡ　ＣＦＧＡＢ　ＣＦＧＢＡ
ＣＧＡＢＦ　ＣＧＡＦＢ　ＣＧＢＡＦ　ＣＧＢＦＡ　ＣＧＦＡＢ　ＣＧＦＢＡ
ＦＡＢＣＧ　ＦＡＢＧＣ　ＦＡＣＢＧ　ＦＡＣＧＢ　ＦＡＧＢＣ　ＦＡＧＣＢ
ＦＢＡＣＧ　ＦＢＡＧＣ　ＦＢＣＡＧ　ＦＢＣＧＡ　ＦＢＧＡＣ　ＦＢＧＣＡ
ＦＣＡＢＧ　ＦＣＡＧＢ　ＦＣＢＡＧ　ＦＣＢＧＡ　ＦＣＧＡＢ　ＦＣＧＢＡ
ＦＧＡＢＣ　ＦＧＡＣＢ　ＦＧＢＡＣ　ＦＧＢＣＡ　ＦＧＣＡＢ　ＦＧＣＢＡ
ＧＡＢＣＦ　ＧＡＢＦＣ　ＧＡＣＢＦ　ＧＡＣＦＢ　ＧＡＦＢＣ　ＧＡＦＣＢ
ＧＢＡＣＦ　ＧＢＡＦＣ　ＧＢＣＡＦ　ＧＢＣＦＡ　ＧＢＦＡＣ　ＧＢＦＣＡ
ＧＣＡＢＦ　ＧＣＡＦＢ　ＧＣＢＡＦ　ＧＣＢＦＡ　ＧＣＦＡＢ　ＧＣＦＢＡ
ＧＦＡＢＣ　ＧＦＡＣＢ　ＧＦＢＡＣ　ＧＦＢＣＡ　ＧＦＣＡＢ　ＧＦＣＢＡ
による、５！＝５×４×３×２×１＝１２０通リ。
である。
然るに、
（07）
①ＡＢＣＤＥ
②ＡＣＢＤＥ
③ＡＣＤＢＥ
④ＡＣＤＥＢ
⑤ＣＡＢＤＥ
⑥ＣＡＤＢＥ
⑦ＣＡＤＥＢ
⑧ＣＤＡＢＥ
⑨ＣＤＡＥＢ
⑩ＣＤＥＡＢ
といふ「１０通リ」と、
⑪ＢＡＣＤＥ
⑫ＢＣＡＤＥ
⑬ＢＣＤＡＥ
⑭ＢＣＤＥＡ
⑮ＣＢＡＤＥ
⑯ＣＢＤＡＥ
⑰ＣＢＤＥＡ
⑱ＣＤＢＡＥ
⑲ＣＤＢＥＡ
⑳ＣＤＥＡＢ
といふ「１０通リ」による、「計２０通リ」に於いて、
Ａ＝Ｂ
とするならば、
①ＡＡＣＤＥ
②ＡＣＡＤＥ
③ＡＣＤＡＥ
④ＡＣＤＥＡ
⑤ＣＡＡＤＥ
⑥ＣＡＤＡＥ
⑦ＣＡＤＥＡ
⑧ＣＤＡＡＥ
⑨ＣＤＡＥＡ
⑩ＣＤＥＡＡ
と、
⑪ＡＡＣＤＥ
⑫ＡＣＡＤＥ
⑬ＡＣＤＡＥ
⑭ＡＣＤＥＡ
⑮ＣＡＡＤＥ
⑯ＣＡＤＡＥ
⑰ＣＡＤＥＡ
⑱ＣＤＡＡＥ
⑲ＣＤＡＥＡ
⑳ＣＤＥＡＡ
は、「区別」が付かない。
従って、
（03）～（07）により、
（08）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝
の「順列」が「１２０通り」であるのに対して、
｛Ａ，Ａ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝
の「順列」は、その「半分（１/２！）」の、「６０通リ」である。
然るに、
（09）
｛1，２，３，４，５｝
からは、
①１２３
②１２４
③１２５
④１３４
⑤１３５
⑥１４５
⑦２３４
⑧２３５
⑨２４５
⑩３４５
といふ「１０通リ」を得ることが出来き、
｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝
からは、
①ＡＢＣ
②ＡＣＢ
③ＢＡＣ
④ＢＣＡ
⑤ＣＡＢ
⑥ＣＢＡ
といふ「６通リ」を得ることが出来る。
従って、
（01）～（09）により、
（10）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝
の「順列」が「１２０通り」であるのに対して、
｛Ａ，Ａ，Ａ，Ｄ，Ｅ｝
の「順列」は、その「１/３！」の、「２０通リ」である。

（1095）「男子は３人で、女子が４人の、計９人が１列に並ぶ」際の「ある確率」。

（01）
［問題］
男子は３人で、女子が４人の、計９人が、１列に、ランダムに並ぶとき、
１番から５番目までが、「男子３人、女子２人になる」際の確率を求めよ。
（02）
男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝
であるとして、「５人から３人を選ぶ、組合せ」は、
①ＡＢＣ
②ＡＢＤ
③ＡＢＥ
④ＡＣＤ
⑤ＡＣＥ
⑥ＡＤＥ
⑦ＢＣＤ
⑧ＢＣＥ
⑨ＢＤＥ
⑩ＣＤＥ
による、5Ｃ3＝（５×４×３）÷（３×２×１）＝１０通リ。
（03）
女子＝｛Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
であるとして、「４人から２人を選ぶ、組合せ」は、
①ＦＧ
②ＦＨ
③ＦＩ
④ＧＨ
⑤ＧＩ
⑥ＨＩ
による、4Ｃ2＝（４×３）÷（２×１）＝６通リ。
従って、
（02）（03）により、
（03）
「男子３人女子２人」の「組合せ」は、
①ＡＢＣ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）＝ＡＢＣＦＧ＋ＡＢＣＦＨ＋ＡＢＣＦＩ＋ＡＢＣＧＨ＋ＡＢＣＧＩ＋ＡＢＣＨＩ
②ＡＢＤ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）＝ＡＢＤＦＧ＋ＡＢＤＦＨ＋ＡＢＤＦＩ＋ＡＢＤＧＨ＋ＡＢＤＧＩ＋ＡＢＤＨＩ
③ＡＢＥ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）＝ＡＢＥＦＧ＋ＡＢＥＦＨ＋ＡＢＥＦＩ＋ＡＢＥＧＨ＋ＡＢＥＧＩ＋ＡＢＥＨＩ
④ＡＣＤ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）＝ＡＣＤＦＧ＋ＡＣＤＦＨ＋ＡＣＤＦＩ＋ＡＣＤＧＨ＋ＡＣＤＧＩ＋ＡＣＤＨＩ
⑤ＡＣＥ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）＝ＡＣＥＦＧ＋ＡＣＥＦＨ＋ＡＣＥＦＩ＋ＡＣＥＧＨ＋ＡＣＥＧＩ＋ＡＣＥＨＩ
⑥ＡＤＥ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）＝ＡＤＥＦＧ＋ＡＤＥＦＨ＋ＡＤＥＦＩ＋ＡＤＥＧＨ＋ＡＤＥＧＩ＋ＡＤＥＨＩ
⑦ＢＣＤ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）＝ＢＣＤＦＧ＋ＢＣＤＦＨ＋ＢＣＤＦＩ＋ＢＣＤＧＨ＋ＢＣＤＧＩ＋ＢＣＤＨＩ
⑧ＢＣＥ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）＝ＢＣＥＦＧ＋ＢＣＥＦＨ＋ＢＣＥＦＩ＋ＢＣＥＧＨ＋ＢＣＥＧＩ＋ＢＣＥＨＩ
⑨ＢＤＥ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）＝ＢＤＥＦＧ＋ＢＤＥＦＨ＋ＢＤＥＦＩ＋ＢＤＥＧＨ＋ＢＤＥＧＩ＋ＢＤＥＨＩ
⑩ＣＤＥ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）＝ＣＤＥＦＧ＋ＣＤＥＦＨ＋ＣＤＥＦＩ＋ＣＤＥＧＨ＋ＣＤＥＧＩ＋ＣＤＥＨＩ
による、１０×６＝６０通リ。
従って、
（03）により、
（04）
①ＡＢＣ×ＦＧ＝ＡＢＣＦＧ
といふ「組合せ」は、「６０通リ」の中の「１通リ」である。
然るに、
（05）
①ＡＢＣＦＧ
の「順列」は、
ＡＢＣＦＧ　ＡＢＣＧＦ　ＡＢＦＣＧ　ＡＢＦＧＣ　ＡＢＧＣＦ　ＡＢＧＦＣ
ＡＣＢＦＧ　ＡＣＢＧＦ　ＡＣＦＢＧ　ＡＣＦＧＢ　ＡＣＧＢＦ　ＡＣＧＦＢ
ＡＦＢＣＧ　ＡＦＢＧＣ　ＡＦＣＢＧ　ＡＦＣＧＢ　ＡＦＧＢＣ　ＡＦＧＣＢ
ＡＧＢＣＦ　ＡＧＢＦＣ　ＡＧＣＢＦ　ＡＧＣＦＢ　ＡＧＦＢＣ　ＡＧＦＣＢ

ＢＡＣＦＧ　ＢＡＣＧＦ　ＢＡＦＣＧ　ＢＡＦＧＣ　ＢＡＧＣＦ　ＢＡＧＦＣ
ＢＣＡＦＧ　ＢＣＡＧＦ　ＢＣＦＡＧ　ＢＣＦＧＡ　ＢＣＧＡＦ　ＢＣＧＦＡ
ＢＦＡＣＧ　ＢＦＡＧＣ　ＢＦＣＡＧ　ＢＦＣＧＡ　ＢＦＧＡＣ　ＢＦＧＣＡ
ＢＧＡＣＦ　ＢＧＡＦＣ　ＢＧＣＡＦ　ＢＧＣＦＡ　ＢＧＦＡＣ　ＢＧＦＣＡ

ＣＡＢＦＧ　ＣＡＢＧＦ　ＣＡＦＢＧ　ＣＡＦＧＢ　ＣＡＧＢＦ　ＣＡＧＦＢ
ＣＢＡＦＧ　ＣＢＡＧＦ　ＣＢＦＡＧ　ＣＢＦＧＡ　ＣＢＧＡＦ　ＣＢＧＦＡ
ＣＦＡＢＧ　ＣＦＡＧＢ　ＣＦＢＡＧ　ＣＦＢＧＡ　ＣＦＧＡＢ　ＣＦＧＢＡ
ＣＧＡＢＦ　ＣＧＡＦＢ　ＣＧＢＡＦ　ＣＧＢＦＡ　ＣＧＦＡＢ　ＣＧＦＢＡ

ＦＡＢＣＧ　ＦＡＢＧＣ　ＦＡＣＢＧ　ＦＡＣＧＢ　ＦＡＧＢＣ　ＦＡＧＣＢ
ＦＢＡＣＧ　ＦＢＡＧＣ　ＦＢＣＡＧ　ＦＢＣＧＡ　ＦＢＧＡＣ　ＦＢＧＣＡ
ＦＣＡＢＧ　ＦＣＡＧＢ　ＦＣＢＡＧ　ＦＣＢＧＡ　ＦＣＧＡＢ　ＦＣＧＢＡ
ＦＧＡＢＣ　ＦＧＡＣＢ　ＦＧＢＡＣ　ＦＧＢＣＡ　ＦＧＣＡＢ　ＦＧＣＢＡ

ＧＡＢＣＦ　ＧＡＢＦＣ　ＧＡＣＢＦ　ＧＡＣＦＢ　ＧＡＦＢＣ　ＧＡＦＣＢ
ＧＢＡＣＦ　ＧＢＡＦＣ　ＧＢＣＡＦ　ＧＢＣＦＡ　ＧＢＦＡＣ　ＧＢＦＣＡ
ＧＣＡＢＦ　ＧＣＡＦＢ　ＧＣＢＡＦ　ＧＣＢＦＡ　ＧＣＦＡＢ　ＧＣＦＢＡ
ＧＦＡＢＣ　ＧＦＡＣＢ　ＧＦＢＡＣ　ＧＦＢＣＡ　ＧＦＣＡＢ　ＧＦＣＢＡ
による、５！＝５×４×３×２×１＝１２０通リ。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
「男子３人女子２人」の「組合せ」である、
①ＡＢＣ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）
②ＡＢＤ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）
③ＡＢＥ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）
④ＡＣＤ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）
⑤ＡＣＥ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）
⑥ＡＤＥ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）
⑦ＢＣＤ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）
⑧ＢＣＥ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）
⑨ＢＤＥ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）
⑩ＣＤＥ×（ＦＧ＋ＦＨ＋ＦＩ＋ＧＨ＋ＧＩ＋ＨＩ）
による、１０×６＝６０通リ。
の「組合せ」からは、６０×１２０＝７２００通リ。
の「順列」を得ることになる。
然るに、
（07）
男子＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝
女子＝｛Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
全員＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ｝
であるものの、
9Ｐ9＝９！＝３６２８８０通リ。
である。
従って、
（01）（06）（07）により、
（08）
［問題］
男子は３人で、女子が４人の、計９人が、１列に、ランダムに並ぶとき、
１番から５番目が、「男女男女男」等のように「男子３人で女子２人なる」際の確率を求めよ。
に対する［答へ］は、
７２００÷３６２８８０＝５/２５２
であるに、違ひない（？）。

（1093）６人を、２人ずつ、３つのグループに分ける。

―「令和０４年０５月１６日の記事」を書き直します。―
［問題１］
６人の生徒（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ）を、２人ずつ、 ３つの組み（１組、２組、３組）に分けるときの分け方の総数を答えよ。
［問題２］
６人の生徒（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ）を、２人ずつ、 ただ単に、３つに分けるときの分け方の総数を答えよ。
然るに、
（02）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
から、（２人）を選ぶ場合は、
①（ＡＢ）
②（ＡＣ）
③（ＡＤ）
④（ＡＥ）
⑤（ＡＦ）
⑥（ＢＣ）
⑦（ＢＤ）
⑧（ＢＥ）
⑨（ＢＦ）
⑩（ＣＤ）
⑪（ＣＥ）
⑫（ＣＦ）
⑬（ＤＥ）
⑭（ＤＦ）
⑮（ＥＦ）
による、
6Ｃ2＝（６×５）÷（２×１）＝１５通リ。
である。
従って、
（02）により、
（03）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
から、（４人）を選ぶ場合も、
①（ＣＤＥＦ）
②（ＢＤＥＦ）
③（ＢＣＥＦ）
④（ＢＣＤＦ）
⑤（ＢＣＤＥ）
⑥（ＡＤＥＦ）
⑦（ＡＣＥＦ）
⑧（ＡＣＤＦ）
⑨（ＡＣＤＥ）
⑩（ＡＢＥＦ）
⑪（ＡＢＤＦ）
⑫（ＡＢＤＥ）
⑬（ＡＢＣＦ）
⑭（ＡＢＣＥ）
⑮（ＡＢＣＤ）
による、
6Ｃ4＝（６×５×４×３）÷（４×３×２×１）＝１５通リ。
である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
から（２人）と（４人）を選ぶ場合は、
①（ＡＢ）（ＣＤＥＦ）
②（ＡＣ）（ＢＤＥＦ）
③（ＡＤ）（ＢＣＥＦ）
④（ＡＥ）（ＢＣＤＦ）
⑤（ＡＦ）（ＢＣＤＥ）
⑥（ＢＣ）（ＡＤＥＦ）
⑦（ＢＤ）（ＡＣＥＦ）
⑧（ＢＥ）（ＡＣＤＦ）
⑨（ＢＦ）（ＡＣＤＥ）
⑩（ＣＤ）（ＡＢＥＦ）
⑪（ＣＥ）（ＡＢＤＦ）
⑫（ＣＦ）（ＡＢＤＥ）
⑬（ＤＥ）（ＡＢＣＦ）
⑭（ＤＦ）（ＡＢＣＥ）
⑮（ＥＦ）（ＡＢＣＤ）
による、
6Ｃ2＝（６×５）÷（２×１）＝１５通リ。
6Ｃ4＝（６×５×４×３）÷（４×３×２×１）＝１５通リ。
である。
然るに、
（05）
①（ＡＢ）（ＣＤＥＦ）
に於ける、
①（ＣＤＥＦ）
から、（２人）を選ぶ場合は、
①（ＣＤ）
②（ＣＥ）
③（ＣＦ）
④（ＤＥ）
⑤（ＤＦ）
⑥（ＥＦ）
による、
4Ｃ2＝（４×３）÷（２×１）＝６通リ。
である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
１組に、（ＡＢ）が入るとすると、
１組と２組は、
①（ＡＢ）（ＣＤ）
②（ＡＢ）（ＣＥ）
③（ＡＢ）（ＣＦ）
④（ＡＢ）（ＤＥ）
⑤（ＡＢ）（ＤＦ）
⑥（ＡＢ）（ＥＦ）
といふ「６通り」になる。
然るに、
（07）
①（ＣＤＥＦ）
から、
①（ＣＤ）
②（ＣＥ）
③（ＣＦ）
④（ＤＥ）
⑤（ＤＦ）
⑥（ＥＦ）
を「選ぶ」といふことは、
①（ＣＤＥＦ）
から、
①（ＥＦ）
②（ＤＦ）
③（ＤＥ）
④（ＣＦ）
⑤（ＣＥ）
⑥（ＣＤ）
による、
4Ｃ2＝（４×３）÷（２×１）＝６通リ。
を「選ぶ」といふことに「等しい」。
従って、
（06）（07）により、
（08）
（１組）に、（ＡＢ）が入るとすると、
（１組）と　　　　　　　　（２組）と　　　（３組）は、
①（ＡＢ）が１組、（ＣＤ）が２組、（ＥＦ）が３組。
②（ＡＢ）が１組、（ＣＥ）が２組、（ＤＦ）が３組。
③（ＡＢ）が１組、（ＣＦ）が２組、（ＤＥ）が３組。
④（ＡＢ）が１組、（ＤＥ）が２組、（ＣＦ）が３組。
⑤（ＡＢ）が１組、（ＤＦ）が２組、（ＣＥ）が３組。
⑥（ＡＢ）が１組、（ＥＦ）が２組、（ＣＤ）が３組。
といふ「６通リ」になる。
従って、
（02）（08）により、
（09）
①（ＡＢ）
②（ＡＣ）
③（ＡＤ）
④（ＡＥ）
⑤（ＡＦ）
⑥（ＢＣ）
⑦（ＢＤ）
⑧（ＢＥ）
⑨（ＢＦ）
⑩（ＣＤ）
⑪（ＣＥ）
⑫（ＣＦ）
⑬（ＤＥ）
⑭（ＤＦ）
⑮（ＥＦ）
といふ「１５通リ」の、「その各々」に対して、
次のやうな「６通リ」がある。
（ア）
①（ＡＢ）（ＣＤ）（ＥＦ）
②（ＡＢ）（ＣＥ）（ＤＦ）
③（ＡＢ）（ＣＦ）（ＤＥ）
④（ＡＢ）（ＤＥ）（ＣＦ）
⑤（ＡＢ）（ＤＦ）（ＣＥ）
⑥（ＡＢ）（ＥＦ）（ＣＤ）
（イ）
①（ＡＣ）（ＢＤ）（ＥＦ）
②（ＡＣ）（ＢＥ）（ＤＦ）
③（ＡＣ）（ＢＦ）（ＤＥ）
④（ＡＣ）（ＤＥ）（ＢＦ）
⑤（ＡＣ）（ＤＦ）（ＢＥ）
⑥（ＡＣ）（ＥＦ）（ＢＤ）
（ウ）
①（ＡＤ）（ＢＣ）（ＥＦ）
②（ＡＤ）（ＢＥ）（ＣＦ）
③（ＡＤ）（ＢＦ）（ＣＥ）
④（ＡＤ）（ＣＥ）（ＢＦ）
⑤（ＡＤ）（ＣＦ）（ＢＥ）
⑥（ＡＤ）（ＥＦ）（ＢＣ）
（エ）
①（ＡＥ）（ＢＣ）（ＤＦ）
②（ＡＥ）（ＢＤ）（ＣＦ）
③（ＡＥ）（ＢＦ）（ＣＤ）
④（ＡＥ）（ＣＤ）（ＢＦ）
⑤（ＡＥ）（ＣＦ）（ＢＤ）
⑥（ＡＥ）（ＤＦ）（ＢＣ）
（オ）
①（ＡＦ）（ＢＣ）（ＤＥ）
②（ＡＦ）（ＢＤ）（ＣＥ）
③（ＡＦ）（ＢＥ）（ＣＤ）
④（ＡＦ）（ＣＤ）（ＢＥ）
⑤（ＡＦ）（ＣＥ）（ＢＤ）
⑥（ＡＦ）（ＤＥ）（ＢＣ）
（カ）
①（ＢＣ）（ＡＤ）（ＥＦ）
②（ＢＣ）（ＡＥ）（ＤＦ）
③（ＢＣ）（ＡＦ）（ＤＥ）
④（ＢＣ）（ＤＥ）（ＡＦ）
⑤（ＢＣ）（ＤＦ）（ＡＥ）
⑥（ＢＣ）（ＥＦ）（ＡＤ）
（キ）
①（ＢＤ）（ＡＣ）（ＥＦ）
②（ＢＤ）（ＡＥ）（ＣＦ）
③（ＢＤ）（ＡＦ）（ＣＥ）
④（ＢＤ）（ＣＥ）（ＡＦ）
⑤（ＢＤ）（ＣＦ）（ＡＥ）
⑥（ＢＤ）（ＥＦ）（ＡＣ）
（ク）
①（ＢＥ）（ＡＣ）（ＤＦ）
②（ＢＥ）（ＡＤ）（ＣＦ）
③（ＢＥ）（ＡＦ）（ＣＤ）
④（ＢＥ）（ＣＤ）（ＡＦ）
⑤（ＢＥ）（ＣＦ）（ＡＤ）
⑥（ＢＥ）（ＤＦ）（ＡＣ）
（ケ）
①（ＢＦ）（ＡＣ）（ＤＥ）
②（ＢＦ）（ＡＤ）（ＣＥ）
③（ＢＦ）（ＡＥ）（ＣＤ）
④（ＢＦ）（ＣＤ）（ＡＥ）
⑤（ＢＦ）（ＣＥ）（ＡＤ）
⑥（ＢＦ）（ＤＥ）（ＡＣ）
（コ）
①（ＣＤ）（ＡＢ）（ＥＦ）
②（ＣＤ）（ＢＥ）（ＡＦ）
③（ＣＤ）（ＢＦ）（ＡＥ）
④（ＣＤ）（ＡＥ）（ＢＦ）
⑤（ＣＤ）（ＡＦ）（ＢＥ）
⑥（ＣＤ）（ＥＦ）（ＡＢ）
（サ）
①（ＣＥ）（ＡＢ）（ＤＦ）
②（ＣＥ）（ＢＤ）（ＡＦ）
③（ＣＥ）（ＢＦ）（ＡＤ）
④（ＣＥ）（ＡＤ）（ＢＦ）
⑤（ＣＥ）（ＡＦ）（ＢＤ）
⑥（ＣＥ）（ＤＦ）（ＡＢ）
（シ）
①（ＣＦ）（ＡＢ）（ＤＥ）
②（ＣＦ）（ＢＤ）（ＡＥ）
③（ＣＦ）（ＢＥ）（ＡＤ）
④（ＣＦ）（ＡＤ）（ＢＥ）
⑤（ＣＦ）（ＡＥ）（ＢＤ）
⑥（ＣＦ）（ＤＥ）（ＡＢ）
（ス）
①（ＤＥ）（ＡＢ）（ＣＦ）
②（ＤＥ）（ＢＣ）（ＡＦ）
③（ＤＥ）（ＢＦ）（ＡＣ）
④（ＤＥ）（ＡＣ）（ＢＦ）
⑤（ＤＥ）（ＡＦ）（ＢＣ）
⑥（ＤＥ）（ＣＦ）（ＡＢ）
（セ）
①（ＤＦ）（ＡＢ）（ＣＥ）
②（ＤＦ）（ＢＣ）（ＡＥ）
③（ＤＦ）（ＢＥ）（ＡＣ）
④（ＤＦ）（ＡＣ）（ＢＥ）
⑤（ＤＦ）（ＡＥ）（ＢＣ）
⑥（ＤＦ）（ＣＥ）（ＡＢ）
（ソ）
①（ＥＦ）（ＡＢ）（ＣＤ）
②（ＥＦ）（ＢＣ）（ＡＤ）
③（ＥＦ）（ＢＤ）（ＡＣ）
④（ＥＦ）（ＡＣ）（ＢＤ）
⑤（ＥＦ）（ＡＤ）（ＢＣ）
⑥（ＥＦ）（ＣＤ）（ＡＢ）
然るに、
（09）により、
（10）
①（ＡＢ）（ＣＤ）（ＥＦ）
②（ＡＢ）（ＣＥ）（ＤＦ）
③（ＡＢ）（ＣＦ）（ＤＥ）
④（ＡＢ）（ＤＥ）（ＣＦ）
⑤（ＡＢ）（ＤＦ）（ＣＥ）
⑥（ＡＢ）（ＥＦ）（ＣＤ）
に於いて、「組合せ」としては、
①＝⑥ であって、
②＝⑤ であって、
③＝④ である。
従って、
（10）により、
（11）
①（ＡＢ）（ＣＤ）（ＥＦ）
②（ＡＢ）（ＣＥ）（ＤＦ）
③（ＡＢ）（ＣＦ）（ＤＥ）
④（ＡＢ）（ＤＥ）（ＣＦ）
⑤（ＡＢ）（ＤＦ）（ＣＥ）
⑥（ＡＢ）（ＥＦ）（ＣＤ）
といふ「６通リ」は、「組合せ」としては、
①（ＡＢ）（ＣＤ）（ＥＦ）
②（ＡＢ）（ＣＥ）（ＤＦ）
③（ＡＢ）（ＣＦ）（ＤＥ）
といふ「３通リ」しかない。
従って、
（08）～（11）により、
（12）
「組合せ」としては、
（ア）
①（ＡＢ）（ＣＤ）（ＥＦ）
②（ＡＢ）（ＣＥ）（ＤＦ）
③（ＡＢ）（ＣＦ）（ＤＥ）
（イ）
①（ＡＣ）（ＢＤ）（ＥＦ）
②（ＡＣ）（ＢＥ）（ＤＦ）
③（ＡＣ）（ＢＦ）（ＤＥ）
（ウ）
①（ＡＤ）（ＢＣ）（ＥＦ）
②（ＡＤ）（ＢＥ）（ＣＦ）
③（ＡＤ）（ＢＦ）（ＣＥ）
（エ）
①（ＡＥ）（ＢＣ）（ＤＦ）
②（ＡＥ）（ＢＤ）（ＣＦ）
③（ＡＥ）（ＢＦ）（ＣＤ）
（オ）
①（ＡＦ）（ＢＣ）（ＤＥ）
②（ＡＦ）（ＢＤ）（ＣＥ）
③（ＡＦ）（ＢＥ）（ＣＤ）
（カ）
①（ＢＣ）（ＡＤ）（ＥＦ）
②（ＢＣ）（ＡＥ）（ＤＦ）
③（ＢＣ）（ＡＦ）（ＤＥ）
（キ）
①（ＢＤ）（ＡＣ）（ＥＦ）
②（ＢＤ）（ＡＥ）（ＣＦ）
③（ＢＤ）（ＡＦ）（ＣＥ）
（ク）
①（ＢＥ）（ＡＣ）（ＤＦ）
②（ＢＥ）（ＡＤ）（ＣＦ）
③（ＢＥ）（ＡＦ）（ＣＤ）
（ケ）
①（ＢＦ）（ＡＣ）（ＤＥ）
②（ＢＦ）（ＡＤ）（ＣＥ）
③（ＢＦ）（ＡＥ）（ＣＤ）
（コ）
①（ＣＤ）（ＡＢ）（ＥＦ）
②（ＣＤ）（ＢＥ）（ＡＦ）
③（ＣＤ）（ＢＦ）（ＡＥ）
（サ）
①（ＣＥ）（ＡＢ）（ＤＦ）
②（ＣＥ）（ＢＤ）（ＡＦ）
③（ＣＥ）（ＢＦ）（ＡＤ）
（シ）
①（ＣＦ）（ＡＢ）（ＤＥ）
②（ＣＦ）（ＢＤ）（ＡＥ）
③（ＣＦ）（ＢＥ）（ＡＤ）
（ス）
①（ＤＥ）（ＡＢ）（ＣＦ）
②（ＤＥ）（ＢＣ）（ＡＦ）
③（ＤＥ）（ＢＦ）（ＡＣ）
（セ）
①（ＤＦ）（ＡＢ）（ＣＥ）
②（ＤＦ）（ＢＣ）（ＡＥ）
③（ＤＦ）（ＢＥ）（ＡＣ）
（ソ）
①（ＥＦ）（ＡＢ）（ＣＤ）
②（ＥＦ）（ＢＣ）（ＡＤ）
③（ＥＦ）（ＢＤ）（ＡＣ）
といふ「１５×３＝４５通リ」しかない。
然るに、
（13）
（ア）①（ＡＢ）（ＣＤ）（ＥＦ）
（コ）①（ＣＤ）（ＡＢ）（ＥＦ）
（ソ）①（ＥＦ）（ＡＢ）（ＣＤ）
は、「組合せ」としては、
（ア）＝（コ）＝（ソ） である。
同様に、
（14）
（ア）②（ＡＢ）（ＣＥ）（ＤＦ）
（サ）①（ＣＥ）（ＡＢ）（ＤＦ）
（セ）①（ＤＦ）（ＡＢ）（ＣＥ）
は、「組合せ」としては、
（ア）＝（サ）＝（セ） である。
同様に、
（15）
（ア）③（ＡＢ）（ＣＦ）（ＤＥ）
（シ）①（ＣＦ）（ＡＢ）（ＤＥ）
（ス）①（ＤＥ）（ＡＢ）（ＣＦ）
は、「組合せ」としては、
（ア）＝（シ）＝（ス） である。
従って、
（12）～（15）により、
（16）
「１５×３＝４５通リ」は、
「１５×１＝１５通リ」に、『集約』される。
従って、
（01）～（15）により、
（17）
①（ＡＢ）が（１組）になると、「６通リ」の「組み分け」が出来、
②（ＡＣ）が（１組）になると、「６通リ」の「組み分け」が出来、
③（ＡＤ）が（１組）になると、「６通リ」の「組み分け」が出来、
④（ＡＥ）が（１組）になると、「６通リ」の「組み分け」が出来、
⑤（ＡＦ）が（１組）になると、「６通リ」の「組み分け」が出来、
⑥（ＢＣ）が（１組）になると、「６通リ」の「組み分け」が出来、
⑦（ＢＤ）が（１組）になると、「６通リ」の「組み分け」が出来、
⑧（ＢＥ）が（１組）になると、「６通リ」の「組み分け」が出来、
⑨（ＢＦ）が（１組）になると、「６通リ」の「組み分け」が出来、
⑩（ＣＤ）が（１組）になると、「６通リ」の「組み分け」が出来、
⑪（ＣＥ）が（１組）になると、「６通リ」の「組み分け」が出来、
⑫（ＣＦ）が（１組）になると、「６通リ」の「組み分け」が出来、
⑬（ＤＥ）が（１組）になると、「６通リ」の「組み分け」が出来、
⑭（ＤＦ）が（１組）になると、「６通リ」の「組み分け」が出来、
⑮（ＥＦ）が（１組）になると、「６通リ」の「組み分け」が出来ることによって、
「１５×６＝９０通リ」の「組み分け」が出来るものの、「組合せ」としては、
「１５×１＝１５通リ」である。
従って、
（01）（17）により、
［問題１］
６人の生徒（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ）を、２人ずつ、 ３つの組み（１組、２組、３組）に分けるときの分け方の総数を答えよ。
の［答へ］は、（6Ｃ2×4Ｃ2＝９０通リ）であって、
［問題２］
６人の生徒（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ）を、２人ずつ、 ただ単に、３つに分けるときの分け方の総数を答えよ。
の［答へ］は、（６Ｃ2＝１５通リ）である。

（1092）「赤玉、白玉」の「最も簡単な、基本的な問題」（Ⅱ）。

（01）
「赤玉が２個、白玉が３個入った袋から１個、玉を取り出すとき、赤玉を取り出す確率を求めてください。」
といふ「中学２年生の問題」は、「簡単すぎる」ので、
「赤玉が２個、黒玉が４個入った袋から２個、玉を取り出すとき、赤玉を取り出す確率を求めてください。」
（02）
赤玉＝｛Ａ，Ｂ｝
黒玉＝｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
とする。
然るに、
（03）
ＡＢ＝ＡＢ
Ａ×（Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ）＝ＡＣ＋ＡＤ＋ＡＥ＋ＡＦ
Ｂ×（Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ）＝ＢＣ＋ＢＤ＋ＢＥ＋ＢＦ
従って、
（02）（03）により、
（04）
①ＡＢ
②ＡＣ
③ＡＤ
④ＡＥ
⑤ＡＦ
⑥ＢＣ
⑦ＢＤ
⑧ＢＥ
⑨ＢＦ
といふ「（１＋４＋４＝９）通リ」であれば、
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
の中から、「赤玉を１・２個」取り出したことになる。
然るに、
（05）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
の中から、２個を取り出した「結果」は、全体では、
①ＡＢ
②ＡＣ
③ＡＤ
④ＡＥ
⑤ＡＦ
⑥ＢＣ
⑦ＢＤ
⑧ＢＥ
⑨ＢＦ
⑩ＣＤ
⑪ＣＥ
⑫ＣＦ
⑬ＤＥ
⑭ＤＦ
⑮ＥＦ
による、（6Ｃ2＝６×５÷２！＝１５）通リ。
である。
然るに、
（06）
｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
の中から、２個を取り出した「結果」は、
⑩ＣＤ
⑪ＣＥ
⑫ＣＦ
⑬ＤＥ
⑭ＤＦ
⑮ＥＦ
のよる、（4Ｃ2＝４×３÷２！＝６）通リ。
である。
然るに、
（07）
①（6Ｃ2＝６×５÷２！＝１５）
②（4Ｃ2＝４×３÷２！＝　６）
に於いて、
①－②＝９
９÷①＝９/１５＝３/５
従って、
（01）～（07）により、
（08）
「赤玉が２個、黒玉が４個入った袋から２個、玉を取り出すとき、赤玉を取り出す確率を求めてください。」
といふ「問題」の「答へ」は、「３/５」である。
然るに、
（09）
「赤玉が２個、黒玉が４個入った袋から３個、玉を取り出すとき、赤玉を取り出す確率を求めてください。」
然るに、
（10）
｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
の中から、３個を取り出した「結果」は、
①ＡＢＣ
②ＡＢＤ
③ＡＢＥ
④ＡＢＦ
⑤ＡＣＤ
⑥ＡＣＥ
⑦ＡＣＦ
⑧ＡＤＥ
⑨ＡＤＦ
⑩ＡＥＦ
⑪ＢＣＤ
⑫ＢＣＥ
⑬ＢＣＦ
⑭ＢＤＥ
⑮ＢＤＦ
⑯ＢＥＦ
⑰ＣＤＥ
⑱ＣＤＦ
⑲ＣＥＦ
⑳ＤＥＦ
による、（6Ｃ3＝６×５×４÷３！＝２０）通り。
である。
然るに、
（11）
｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝
の中から、３個を取り出した「結果」は、
⑫ＣＤＥ
⑬ＣＤＦ
⑭ＣＥＦ
⑮ＤＥＦ
による、（4Ｃ1＝４÷１＝４）通リ。
である。
然るに、
（12）
①（6Ｃ3＝６×５×４÷３！＝２０）
②（4Ｃ1＝４÷１＝４）
　①－②＝１６
１６÷①＝１６/２０＝４/５
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
「赤玉が２個、黒玉が４個入った袋から３個、玉を取り出すとき、赤玉を取り出す確率を求めてください。」
といふ「問題」の「答へ」は、「４/５」である。
然るに、
（14）
因みに、
（ⅰ）赤玉１個と黒玉２個。
（ⅱ）赤玉２個と黒玉１個。
であれば、
（ⅰ）Ａ×　（ＣＤ＋ＣＥ＋ＣＦ＋ＤＥ＋ＤＦ＋ＥＦ）
（〃）　Ｂ×（ＣＤ＋ＣＥ＋ＣＦ＋ＤＥ＋ＤＦ＋ＥＦ）
（ⅱ）ＡＢ×（Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ）
による、（６＋６＋４＝１６）通リ。
であるため、この場合も、「１６/２０＝４/５」である。

（1091）「赤玉、白玉」の「最も簡単な、基本的な問題」。

（01）
［問題］
　赤玉が２個、黒玉が３個入ってゐる袋の中から同時に３個を取り出すとき、
（１）「３個」とも「黒玉」になる確率を求めよ。
（２）「赤玉」が「２個」で「黒玉」が「１個」である確率を求めよ。
（３）「赤玉」が「１個」で「黒玉」が「２個」である確率を求めよ。
然るに、
（02）
黒玉＝｛Ｃ，Ｄ，Ｅ｝
であるとして、
黒黒黒
であるならば、
ＣＤＥ
による「3Ｃ3＝（３×２×１）÷３！＝１通リ」である。
（03）
赤玉は｛Ａ，Ｂ｝。
黒玉は｛Ｃ，Ｄ，Ｅ｝。
であるとして、
① 赤赤Ｃ
② 赤赤Ｄ
③ 赤赤Ｅ
であるならば、
① ＡＢ×Ｃ＝ＡＢＣ
② ＡＢ×Ｄ＝ＡＢＤ
③ ＡＢ×Ｅ＝ＡＢＥ
による、
2Ｃ2×3Ｃ1＝１×３＝３通り。
である。
（04）
赤玉は｛Ａ，Ｂ｝。
黒玉は｛Ｃ，Ｄ，Ｅ｝。
であるとして、
黒黒
であるならば、
① ＣＤ
② ＣＥ
③ ＤＥ
による「3Ｃ2＝（３×２）÷２！＝３通リ」である。
従って、
（04）により、
（05）
① Ａ黒黒
② Ｂ黒黒
であるならば、
① Ａ×（ＣＤ＋ＣＥ＋ＤＥ）＝ＡＣＤ＋ＡＣＥ＋ＡＤＥ
② Ｂ×（ＣＤ＋ＣＥ＋ＤＥ）＝ＢＣＤ＋ＢＣＥ＋ＢＤＥ
による、2Ｃ1×3Ｃ2＝２×３＝６通リ。
である。
然るに、
（06）
全部で｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ｝。
赤玉は｛Ａ，Ｂ｝。
黒玉は｛Ｃ，Ｄ，Ｅ｝。
であるとして、
赤玉が２個、黒玉が３個入ってゐる袋の中から同時に３個を取り出すと、
① ＡＢＣ　⑥ ＡＤＥ
② ＡＢＤ　⑦ ＢＣＤ
③ ＡＢＥ　⑧ ＢＣＥ
④ ＡＣＤ　⑨ ＢＤＥ
⑤ ＡＣＥ　⑩ ＣＤＥ
といふ「5Ｃ3＝（５×４×３）÷（３×２×１）＝１０通リ」である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
［問題］
　赤玉が２個、黒玉が３個入ってゐる袋の中から同時に３個を取り出すとき、
（１）「３個」とも「黒玉」になる確率を求めよ。
（２）「赤玉」が「２個」で「黒玉」が「１個」である確率を求めよ。
（３）「赤玉」が「１個」で「黒玉」が「２個」である確率を求めよ。
に対する［解答］は、
（１）　　　3Ｃ3÷5Ｃ3＝３/１０
（２）2Ｃ2×3Ｃ1÷5Ｃ3＝３/１０
（３）2Ｃ1×3Ｃ2÷5Ｃ3＝６/１０
である。

（1090）「赤玉２個と青玉３個と黄玉４個」の問題。

（01）
mtg********さん
2013/10/30 23:17
1回答
数Aです。
赤玉が２個、青玉が３個、
黄玉が４個入っている
袋の中から同時に３個
取り出すとき次の各
確率を求めよ。
（１）３個とも同色である。
（２）３個すべての色が違う。
（３）ちょうど２色である。
わかりやすく教えて下さい(u_u)
よろしくお願いします。
然るに、
（02）
赤玉＝｛１，２｝
青玉＝｛Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ｝
黄玉＝｛⑥，⑦，⑧，⑨｝
であるとして、
１２Ⅲ　１Ⅲ⑦　１Ⅴ⑧　２Ⅲ⑥　２Ⅴ⑦　ⅢⅣ⑥　Ⅲ⑥⑨　Ⅳ⑥⑨　⑥⑦⑧
１２Ⅳ　１Ⅲ⑧　１Ⅴ⑨　２Ⅲ⑦　２Ⅴ⑧　ⅢⅣ⑦　Ⅲ⑦⑧　Ⅳ⑦⑧　⑥⑦⑨
１２Ⅴ　１Ⅲ⑨　１⑥⑦　２Ⅲ⑧　２Ⅴ⑨　ⅢⅣ⑧　Ⅲ⑦⑨　Ⅳ⑦⑨　⑥⑧⑨
１２⑥　１ⅣⅤ　１⑥⑧　２Ⅲ⑨　２⑥⑦　ⅢⅣ⑨　Ⅲ⑧⑨　Ⅳ⑧⑨　⑦⑧⑨
１２⑦　１Ⅳ⑥　１⑥⑨　２ⅣⅤ　２⑥⑧　ⅢⅤ⑥　ⅣⅤ⑥　Ⅴ⑥⑦
１２⑧　１Ⅳ⑦　１⑦⑧　２Ⅳ⑥　２⑥⑨　ⅢⅤ⑦　ⅣⅤ⑦　Ⅴ⑥⑧
１２⑨　１Ⅳ⑧　１⑦⑨　２Ⅳ⑦　２⑦⑧　ⅢⅤ⑧　ⅣⅤ⑧　Ⅴ⑥⑨
１ⅢⅣ　１Ⅳ⑨　１⑧⑨　２Ⅳ⑧　２⑦⑨　ⅢⅤ⑨　ⅣⅤ⑨　Ⅴ⑦⑧
１ⅢⅤ　１Ⅴ⑥　２ⅢⅣ　２Ⅳ⑨　２⑧⑨　Ⅲ⑥⑦　Ⅳ⑥⑦　Ⅴ⑦⑨
１Ⅲ⑥　１Ⅴ⑦　２ⅢⅤ　２Ⅴ⑥　ⅢⅣⅤ　Ⅲ⑥⑧　Ⅳ⑥⑧　Ⅴ⑧⑨
といふ「9Ｃ3＝（９×８×７）÷（３×２×１）＝８４通リ」を、考へれば良い。
然るに、
（03）
「赤玉は２個しかない」ため、
（１）３個とも同色である。
といふことは、
（ⅰ）３個とも、青玉か、または、
（ⅱ）３個とも、黄玉である。
といふことである。
然るに、
（02）により、
（03）
青玉＝｛Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ｝
であるため、
（ⅰ）３個とも、青玉。
なのは、｛Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ｝といふ場合の、「１通リ」である。
然るに、
（04）
黄玉＝｛⑥，⑦，⑧，⑨｝
から、｛⑥｝を除けば、｛⑦，⑧，⑨｝は｛黄玉が３個｝で、
同じく｛⑦｝を除けば、｛⑥，⑧，⑨｝は｛黄玉が３個｝で、
同じく｛⑧｝を除けば、｛⑥，⑦，⑨｝は｛黄玉が３個｝で、
同じく｛⑨｝を除けば、｛⑥，⑦，⑧｝は｛黄玉が３個｝である。
従って、
（03）（04）により、
（05）
（１）３個とも同色である。
といふことは、
（ⅰ）３個とも、青玉か、または、
（ⅱ）３個とも、黄玉であるが、
（ⅰ）は「１通リ」で、
（ⅱ）は「４通リ」であるため、 「（１＋４＝５）通リ」が［答へ］になる。
ｃｆ.
１２Ⅲ　１Ⅲ⑦　１Ⅴ⑧　２Ⅲ⑥　２Ⅴ⑦　ⅢⅣ⑥　Ⅲ⑥⑨　Ⅳ⑥⑨　⑥⑦⑧
１２Ⅳ　１Ⅲ⑧　１Ⅴ⑨　２Ⅲ⑦　２Ⅴ⑧　ⅢⅣ⑦　Ⅲ⑦⑧　Ⅳ⑦⑧　⑥⑦⑨
１２Ⅴ　１Ⅲ⑨　１⑥⑦　２Ⅲ⑧　２Ⅴ⑨　ⅢⅣ⑧　Ⅲ⑦⑨　Ⅳ⑦⑨　⑥⑧⑨
１２⑥　１ⅣⅤ　１⑥⑧　２Ⅲ⑨　２⑥⑦　ⅢⅣ⑨　Ⅲ⑧⑨　Ⅳ⑧⑨　⑦⑧⑨
１２⑦　１Ⅳ⑥　１⑥⑨　２ⅣⅤ　２⑥⑧　ⅢⅤ⑥　ⅣⅤ⑥　Ⅴ⑥⑦
１２⑧　１Ⅳ⑦　１⑦⑧　２Ⅳ⑥　２⑥⑨　ⅢⅤ⑦　ⅣⅤ⑦　Ⅴ⑥⑧
１２⑨　１Ⅳ⑧　１⑦⑨　２Ⅳ⑦　２⑦⑧　ⅢⅤ⑧　ⅣⅤ⑧　Ⅴ⑥⑨
１ⅢⅣ　１Ⅳ⑨　１⑧⑨　２Ⅳ⑧　２⑦⑨　ⅢⅤ⑨　ⅣⅤ⑨　Ⅴ⑦⑧
１ⅢⅤ　１Ⅴ⑥　２ⅢⅣ　２Ⅳ⑨　２⑧⑨　Ⅲ⑥⑦　Ⅳ⑥⑦　Ⅴ⑦⑨
１Ⅲ⑥　１Ⅴ⑦　２ⅢⅤ　２Ⅴ⑥　ⅢⅣⅤ　Ⅲ⑥⑧　Ⅳ⑥⑧　Ⅴ⑧⑨
然るに、
（06）
（３）ちょうど２色である。
といふことは、
（３）
（ⅰ）赤玉２個と、青玉１個
（ⅱ）赤玉２個と、黄玉１個
（ⅲ）青玉２個と、赤玉１個
（ⅳ）青玉２個と、黄玉１個
（ⅴ）黄玉２個と、赤玉１個
（ⅵ）黄玉２個と、青玉１個
といふことであると、思はれる。
然るに、
（07）
｛１，２｝から｛２個｝を「選ぶ」ならば、
（ａ）ＡＢ
による（2Ｃ2＝１）通リ。
である。
（08）
｛Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ｝からの｛２個｝は、
（ｂ）ⅢⅣ
（ｃ）ⅢⅤ
（ｄ）ⅣⅤ
による（3Ｃ2＝３）通リ。
である。
（09）
｛⑥，⑦，⑧，⑨｝からの｛２個｝は、
（ｅ）⑥⑦
（ｆ）⑥⑧
（ｇ）⑥⑨
（ｈ）⑦⑧
（ｉ）⑦⑨
（ｊ）⑧⑨
による（4Ｃ2＝６）通リ。
である。
従って、
（06）（07）（08）（09）により、
（10）
（ⅰ）赤玉２個と、青玉１個
（ⅱ）赤玉２個と、黄玉１個
（ⅲ）青玉２個と、赤玉１個
（ⅳ）青玉２個と、黄玉１個
（ⅴ）黄玉２個と、赤玉１個
（ⅵ）黄玉２個と、青玉１個
であれば、
（ⅰ）｛１２×（Ⅲ＋Ⅳ＋Ⅴ）　　＝１２Ⅲ＋１２Ⅳ＋１２Ⅴ｝　　　　は３通リ。
（ⅱ）｛１２×（⑥＋⑦＋⑧＋⑨）＝１２⑥＋１２⑦＋１２⑧＋１２⑨｝は４通リ。
（ⅲ）｛ⅢⅣ×（１＋２）＝１ⅢⅣ＋２ⅢⅣ｝は２通リ。
（〃）｛ⅢⅤ×（１＋２）＝１ⅢⅤ＋２ⅢⅤ｝も２通リ。
（〃）｛ⅣⅤ×（１＋２）＝１ⅣⅤ＋２ⅣⅤ｝も２通リ。
（ⅳ）｛ⅢⅣ×（⑥＋⑦＋⑧＋⑨）＝ⅢⅣ⑥＋ⅢⅣ⑦＋ⅢⅣ⑧＋ⅢⅣ⑨｝は４通リ。
（〃）｛ⅢⅤ×（⑥＋⑦＋⑧＋⑨）＝ⅢⅤ⑥＋ⅢⅤ⑦＋ⅢⅤ⑧＋ⅢⅤ⑨｝も４通リ。
（〃）｛ⅣⅤ×（⑥＋⑦＋⑧＋⑨）＝ⅣⅤ⑥＋ⅣⅤ⑦＋ⅣⅤ⑧＋ⅣⅤ⑨｝も４通リ。
（ⅴ）｛⑥⑦×（１＋２）＝１⑥⑦＋２⑥⑦｝は２通リ。
（〃）｛⑥⑧×（１＋２）＝１⑥⑧＋２⑥⑧｝も２通リ。
（〃）｛⑥⑨×（１＋２）＝１⑥⑨＋２⑥⑨｝も２通リ。
（〃）｛⑦⑧×（１＋２）＝１⑦⑧＋２⑦⑧｝も２通リ。
（〃）｛⑦⑨×（１＋２）＝１⑦⑨＋２⑦⑨｝も２通リ。
（〃）｛⑧⑨×（１＋２）＝１⑧⑨＋２⑧⑨｝も２通リ。
（ⅵ）｛⑥⑦×（Ⅲ＋Ⅳ＋Ⅴ）＝Ⅲ⑥⑦＋Ⅳ⑥⑦＋Ⅴ⑥⑦｝は３通リ。
（〃）｛⑥⑧×（Ⅲ＋Ⅳ＋Ⅴ）＝Ⅲ⑥⑧＋Ⅳ⑥⑧＋Ⅴ⑥⑧｝も３通リ。
（〃）｛⑥⑨×（Ⅲ＋Ⅳ＋Ⅴ）＝Ⅲ⑥⑨＋Ⅳ⑥⑨＋Ⅴ⑥⑨｝も３通リ。
（〃）｛⑦⑧×（Ⅲ＋Ⅳ＋Ⅴ）＝Ⅲ⑦⑧＋Ⅳ⑦⑧＋Ⅴ⑦⑧｝も３通リ。
（〃）｛⑦⑨×（Ⅲ＋Ⅳ＋Ⅴ）＝Ⅲ⑦⑨＋Ⅳ⑦⑨＋Ⅴ⑦⑨｝も３通リ。
（〃）｛⑧⑨×（Ⅲ＋Ⅳ＋Ⅴ）＝Ⅲ⑧⑨＋Ⅳ⑧⑨＋Ⅴ⑧⑨｝も３通リ。
である。
従って、
（06）～（10）により、
（11）
（３）ちょうど２色である。
といふことは、
（３）
（ⅰ）赤玉２個と、青玉１個
（ⅱ）赤玉２個と、黄玉１個
（ⅲ）青玉２個と、赤玉１個
（ⅳ）青玉２個と、黄玉１個
（ⅴ）黄玉２個と、赤玉１個
（ⅵ）黄玉２個と、青玉１個
といふことであるとすると、
（３）ちょうど２色である。
といふ「場合の数」は、
（３＋４＋２＋２＋２＋４＋４＋４＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋３＋３＋３＋３＋３＋３）＝
（３＋４＋６＋１２＋１２＋１８）＝５５通リ。
である。
然るに、
（12）
１２Ⅲ　１Ⅲ⑦　１Ⅴ⑧　２Ⅲ⑥　２Ⅴ⑦　ⅢⅣ⑥　Ⅲ⑥⑨　Ⅳ⑥⑨　⑥⑦⑧
１２Ⅳ　１Ⅲ⑧　１Ⅴ⑨　２Ⅲ⑦　２Ⅴ⑧　ⅢⅣ⑦　Ⅲ⑦⑧　Ⅳ⑦⑧　⑥⑦⑨
１２Ⅴ　１Ⅲ⑨　１⑥⑦　２Ⅲ⑧　２Ⅴ⑨　ⅢⅣ⑧　Ⅲ⑦⑨　Ⅳ⑦⑨　⑥⑧⑨
１２⑥　１ⅣⅤ　１⑥⑧　２Ⅲ⑨　２⑥⑦　ⅢⅣ⑨　Ⅲ⑧⑨　Ⅳ⑧⑨　⑦⑧⑨
１２⑦　１Ⅳ⑥　１⑥⑨　２ⅣⅤ　２⑥⑧　ⅢⅤ⑥　ⅣⅤ⑥　Ⅴ⑥⑦
１２⑧　１Ⅳ⑦　１⑦⑧　２Ⅳ⑥　２⑥⑨　ⅢⅤ⑦　ⅣⅤ⑦　Ⅴ⑥⑧
１２⑨　１Ⅳ⑧　１⑦⑨　２Ⅳ⑦　２⑦⑧　ⅢⅤ⑧　ⅣⅤ⑧　Ⅴ⑥⑨
１ⅢⅣ　１Ⅳ⑨　１⑧⑨　２Ⅳ⑧　２⑦⑨　ⅢⅤ⑨　ⅣⅤ⑨　Ⅴ⑦⑧
１ⅢⅤ　１Ⅴ⑥　２ⅢⅣ　２Ⅳ⑨　２⑧⑨　Ⅲ⑥⑦　Ⅳ⑥⑦　Ⅴ⑦⑨
１Ⅲ⑥　１Ⅴ⑦　２ⅢⅤ　２Ⅴ⑥　ⅢⅣⅤ　Ⅲ⑥⑧　Ⅳ⑥⑧　Ⅴ⑧⑨
従って、
（11）（12）により、
（13）
果たして、
（３）ちょうど２色である。
といふ「場合の数」は、
（３＋４＋２＋２＋２＋４＋４＋４＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋３＋３＋３＋３＋３＋３）＝
（３＋４＋６＋１２＋１２＋１８）＝５５通リ。
である。
従って、
（01）～（13）により、
（14）
ベストアンサー
sendaivenusvvvさん
2013/10/30 23:22
まず全部で9つある玉から3個取る事象は9C3=84通り。
（１）
有りうるのは白玉3個パターンと青玉3個パターンです。
白玉3個取り出すのは3C3=１通り
青玉3個取り出すのは4C3=4通り
合計で5通りです。
以上より確率は5/84
（２）
全ての色が違うということは
赤一個白一個青一個取り出すことです。
2C1×3C1×4C1=24通り
以上より確率は24/84=2/7
（３）
丁度2色であるというのは
全体から、三色と一色のパターンを引けばよいので
84-5-24=55通り
以上より確率は55/84
こんな感じっすかね。
といふ「回答」は、「正しい」。
（15）
　sendaivenusvvvさんが言ふ
「一色のパターン」といふのは、
「赤、青、黄」の「３色が、全て揃ってゐる」場合であって、尚且つ、
赤玉＝｛１，２｝
青玉＝｛Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ｝
黄玉＝｛⑥，⑦，⑧，⑨｝
であるため、
２（赤玉の個数）×３（赤玉の個数）×４（黄玉の個数）＝２４
といふことなる。