（01）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ） １エ＆イ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（01）により、
（02）
①（～Ｐ∨～Ｑ）⇔ ～（Ｐ＆Ｑ）
であるところの、「ド・モルガンの法則」は、「ベン図」を用ひなくとも、「命題論理」として「正しい」。
（03）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（～Ｆｘ∨～Ｇｘ） Ａ
１ （２） ～Ｆａ∨～Ｇａ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ＆ Ｇａ Ａ
４ （４） ～Ｆａ Ａ
３ （５） Ｆａ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｆａ＆Ｆａ ４５＆Ｉ
４ （７） ～（Ｆａ＆ Ｇａ） ３６ＲＡＡ
８（８） ～Ｇａ Ａ
３ （９） Ｇａ ３＆Ｅ
３ ８（ア） ～Ｇａ＆Ｇａ ８９＆Ｉ
８（イ） ～（Ｆａ＆ Ｇａ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） ～（Ｆａ＆ Ｇａ） ２４７８イ∨Ｅ
１ （エ）∀ｘ～（Ｆｘ＆ Ｇｘ） ウＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ～（ Ｆｘ＆ Ｇｘ） Ａ
２ （２） ～（～Ｆａ∨～Ｇａ） Ａ
３ （３） ～Ｆａ Ａ
３ （４） ～Ｆａ∨～Ｇａ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｆａ∨～Ｇａ）＆
（～Ｆａ∨～Ｇａ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｆａ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｆａ ６ＤＮ
８（８） ～Ｇａ Ａ
８（９） ～Ｆａ∨～Ｇａ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｆａ∨～Ｇａ）＆
（～Ｆａ∨～Ｇａ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｇａ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｇａ イＤＮ
２ （エ） Ｆａ＆ Ｇａ ７ウ＆Ｉ
１ （オ） ～（ Ｆａ＆ Ｇａ） １ＵＥ
１２ （カ） （ Ｆａ＆ Ｇａ）＆
～（ Ｆａ＆ Ｇａ） エオ＆Ｉ
１ （キ） ～～（～Ｆａ∨～Ｇａ） ２カＲＡＡ
１ （ク） （～Ｆａ∨～Ｇａ） キＤＮ
１ （ケ） ∀ｘ（～Ｆｘ∨～Ｇｘ） クＵＩ
従って、
（03）により、
（04）
② ∀ｘ（～Ｆｘ∨～Ｇｘ）⇔ ∀ｘ（～Ｆｘ∨～Ｇｘ）
であるところの、「ド・モルガンの法則」は、「ベン図」を用ひなくとも、「述語論理」として「正しい」。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① （～Ｐ∨～Ｑ）⇔ ～（Ｐ＆Ｑ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ∨～Ｇｘ）⇔ ∀ｘ（～Ｆｘ∨～Ｇｘ）
であるところの、「ド・モルガンの法則」は、「ベン図」を用ひなくとも、「命題論理」としても、「述語論理」としても「正しい」。
然るに、
（01）（03）により、
（06）
（ⅱ）
３ （３）～Ｐ Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ（選言導入の規則）
（ⅱ）
３ （３）～Ｆａ Ａ
３ （４）～Ｆａ∨～Ｇａ ３∨Ｉ（選言導入の規則）
従って、
（05）（06）により、
（07）
「∨Ｉ（選言導入の規則）」を用ひなければ、
① （～Ｐ∨～Ｑ）⇔ ～（Ｐ＆Ｑ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ∨～Ｇｘ）⇔ ∀ｘ（～Ｆｘ∨～Ｇｘ）
であるところの、「ド・モルガンの法則」は、「命題論理」としても、「述語論理」としても「証明できない」が故に、「他の規則」と同様に、「∨Ｉ（選言導入の規則）」は、「重要」である。
然るに、
（08）
この規則は、推論の中で意識されることがおおよそないといえます。「彼女は背が高い」という主張をＰとしましょう。すると、このＰから「彼女は背が高い または 彼女は美人だ」が導けます。この場合、主張Ｑは「彼女は美人だ」に対応しています。しかし、「彼女は背が高い」がわかっているのに、わざわざ、「彼女は背が高い または 彼女は美人だ」とつなげる場面は普通の会話ではあまりないでしょう。数学の証明でも、これが使われる場面はほとんど見かけないような気がします（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１５６頁）。
従って、
（07）（08）により、
（09）
「∨Ｉ（選言導入の規則）」は、「重要」であるが、「分りにくい」。
然るに、
（10）
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ（選言導入の規則）
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１（４） ～Ｑ １３前件否定の誤謬。
従って、
（10）により、
（11）
「Ｐでない。ＰならばＱである。故に。Ｑでない。」
とするならば、「前件否定の誤謬」といふ、「マチガイ」になる。
然るに、
（12）
「Ｐでない。ＰならばＱである。故に。Ｑである。」
とするならば、もちろん、「マチガイ」である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ（選言導入の規則）
１（〃）Ｐでないか、または、Ｑである。 １∨Ｉ（選言導入の規則）
としても、
１（〃）Ｑであるのか、Ｑでないのか。 は、「全くの、不明」である。
然るに、
（14）
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ（選言導入の規則）
に於いて、
（２）の左には、
１ があり、このことは、
１（〃）Ｐでないか、または、Ｑである。 １∨Ｉ（選言導入の規則）
に於いて、「Ｐでない」といふことの、「保証（証拠）」になってゐる。
従って、
（13）（14）により、
（15）
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ（選言導入の規則）
１（〃）Ｐでないか、または、Ｑである。 １∨Ｉ（選言導入の規則）
といふのは、実際には、
１（〃）Ｐではないが、「Ｑであるか、Ｑでないか」は「不明」である。
といふ、「意味」である。
従って、
（15）により、
（16）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ（選言導入の規則）
１（〃）Ｐであるか、または、Ｑである。 １∨Ｉ（選言導入の規則）
といふのは、実際には、
１（〃）Ｐではあるが、「Ｑであるか、Ｑでないか」は「不明」である。
といふ、「意味」である。
然るに、
（17）
１（１）Ｐである。 ただし、
１（２）Ｐではあるが、「Ｑであるか、Ｑでないか」は「不明」である。
といふ「日本語」に、「不自然な所」は、「全く、無い」。
従って、
（18）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ（選言導入の規則）
１（〃）Ｐではあるが、「Ｑであるか、Ｑでないか」は「不明」である。 １∨Ｉ（選言導入の規則）
といふ「推論」は、「日本語」としても、「完全に、正しい」。
従って、
（18）により、
（19）
１（１）Ｐ Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ（選言導入の規則）
１（３）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ １∨Ｉ（選言導入の規則）
１（〃）Ｐではあるが、「Ｑであるか、Ｑでないか」は「不明」であるし、「Ｒあるか、Ｒでないか」も「不明」である。
といふ「推論」には、「何らの問題」も無い。
従って、
（20）
１（１） Ｒ Ａ
１（２） Ｑ∨Ｒ １∨Ｉ（選言導入の規則）
１（３）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ １∨Ｉ（選言導入の規則）
１（〃）Ｒではあるが、「Ｑであるか、Ｑでないか」は「不明」であるし、「Ｐあるか、Ｐでないか」も「不明」である。
といふ「推論」には、「何らの問題」も無い。
従って、
（19）（20）により、
（21）
② Ｐ∨Ｑ∨Ｒ＝Ｐか、Ｑか、Ｒである。
といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、
② Ｐ Ｑ Ｒ
といふ「３つ」内の。少なくとも、「１つ」は、「真（本当）」である。
といふ、ことである。
従って、
（21）により、
（22）
②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）
といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、
② 愛ｄａ 愛ｄｂ 愛ｄｃ
といふ「３つ」内の。少なくとも、「１つ」は、「真（本当）」である。
といふ、ことである。
同様に、
（23）
②（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）
といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、
② 愛ｅａ 愛ｅｂ 愛ｅｃ）
といふ「３つ」内の。少なくとも、「１つ」は、「真（本当）」である。
といふ、ことである。
同様に、
（24）
②（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）
といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、
② 愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ
といふ「３つ」内の。少なくとも、「１つ」は、「真（本当）」である。
といふ、ことである。
従って、
（01）～（24）により、
（25）
①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）
といふ「命題」が与へられた際に、言へることは、
①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ） （愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ） （愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）
といふ「３つ」内の。少なくとも、「１つ」は、「真（本当）」である。
といふ、ことである。
然るに、
（26）
例えば、
①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）
が「真（本当）」である場合は、
①（愛ｄａと愛ｅａと愛ｆａ） は、「３つ」とも、「真（本当）」である。
同様に、
（27）
①（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）
が「真（本当）」である場合も、
①（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）
が「真（本当）」である場合も、それぞれ、「３つ」とも、「真（本当）」である。
従って、
（28）
①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）
が「真（本当）」である場合は、
① 愛ｄａ
① 愛ｅａ
① 愛ｆａ
が「真（本当）」であるため、（21）により、
① 愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ
① 愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ
① 愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ
といふ「３つ」が、「３つ」とも、「真（本当）」である。
従って、
（28）により、
（29）
①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）
が「真（本当）」である場合は、
②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）
は「真（本当）」である。
従って、
（25）～（29）により、
（30）
同様に、
①（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）
が「真（本当）」である場合も、
②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）
は「真（本当）」であり、
①（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）
が「真（本当）」である場合も、
②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）
は「真（本当）」である。
然るに、
（21）（29）（30）ににより、
（31）
①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）
②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）
に於いて、
① が「真（本当）」であるならば、
② も「真（本当）」である。
然るに、
（21）により、
（32）
例へば、
②（愛ｄａ ）＆（ 愛ｅｂ ）＆（ 愛ｆｃ）
が「真（本当）」である場合も、
②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）
は「真（本当）」である。
然るに、
（33）
②（愛ｄａ ）＆（ 愛ｅｂ ）＆（ 愛ｆｃ）
が、「真（本当）」であるとしても、
①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）
は、「真（本当）」には、ならない。
従って、
（31）（32）（33）により、
（34）
①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）
②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）
に於いて、
① が「真（本当）」であるならば、
② は「真（本当）」であるが、
② が「真（本当）」であるとしても、
① は「真（本当）」であるとは、限らない。
従って、
（34）により、
（35）
｛ｘの変域が、三人の少女｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
｛ｙの変域が、三人の少年｝＝｛ｄ、ｅ、ｆ｝
であるとして、
①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）
②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（36）
｛ｘの変域が、三人の少女｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
｛ｙの変域が、三人の少年｝＝｛ｄ、ｅ、ｆ｝
であるとして、例へば、
① 少年ｄは少女ｂを愛し、少年ｅも少女ｂを愛し、少年ｆも少女ｂを愛す＝（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）。
といふことは、
① すべての少年（ｄとｅとｆ）は、共通の、ある一人の少女（ｂ）を愛す。
といふことに、他ならない。
（37）
｛ｘの変域が、三人の少女｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
｛ｙの変域が、三人の少年｝＝｛ｄ、ｅ、ｆ｝
であるとして、
②「ｄはａを愛するか、ｄはｂを愛するか、ｄはｃを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真（本当）」である。
②「ｅはａを愛するか、ｅはｂを愛するか、ｅはｃを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真（本当）」である。
②「ｆはａを愛するか、ｆはｂを愛するか、ｆはｃを愛するか。」の内の、少なくとも一つは、「真（本当）」である。
といふことは、
① すべての少年（ｄとｅとｆ）は、ある少女（ａかｂかｃ）を愛す。
といふことに、他ならない。
然るに、
（38）
（ⅰ）
１ （１）∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝ Ａ
２ （２） 少女ａ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ） Ａ
２ （３） 少女ａ ２＆Ｉ
２ （４） ∀ｙ（少年ｙ→愛ｙａ） ２＆Ｉ
２ （５） 少年ｂ→愛ｂａ ４ＵＥ
６（６） 少年ｂ Ａ
２６（７） 愛ｂａ ５６ＭＰＰ
２６（８） 少女ａ＆愛ｂａ ３７＆Ｉ
２６（９） ∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ） ８ＥＩ
１ ６（ア） ∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ） １２９ＥＥ
１ （イ） 少年ｂ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ） ６アＣＰ
１ （ウ）∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝ １ＵＩ
といふ「計算」は、「正しい」。
然るに、
（39）
（ⅱ）
１ （１）∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝ Ａ
１ （２） 少年ｂ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ） １ＵＥ
３ （３） 少年ｂ Ａ
１３ （４） ∃ｘ（少女ｘ＆愛ｂｘ） ２３ＭＰＰ
５（５） 少女ａ＆愛ｂａ Ａ
５（６） 少女ａ ５＆Ｅ
５（７） 愛ｂａ ５＆Ｅ
の場合は、これ以上、「続けよう」が無い。
従って、
（38）（39）により、
（40）
① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
② ∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝
に於いて、
① ならば、② であるが、
② ならば、① ではない。
然るに、
（36）～（40）により、
（41）
① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
② ∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝
といふ「述語論理式」は、
｛ｘの変域が、三人の少女｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
｛ｙの変域が、三人の少年｝＝｛ｄ、ｅ、ｆ｝
である際の、
①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）
②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）
といふ「それ」に「等しい」。
然るに、
（01）～（04）により、
（42）
「述語論理」は、「命題論理」の「拡張」であって、それ故、「命題論理」は、「述語論理の基礎」である。
然るに、
（43）
①（愛ｄａ＆愛ｅａ＆愛ｆａ）∨（愛ｄｂ＆愛ｅｂ＆愛ｆｂ）∨（愛ｄｃ＆愛ｅｃ＆愛ｆｃ）
②（愛ｄａ∨愛ｄｂ∨愛ｄｃ）＆（愛ｅａ∨愛ｅｂ∨愛ｅｃ）＆（愛ｆａ∨愛ｆｂ∨愛ｆｃ）
といふ「それ」を、仮に『といふ書き方』とするならば、『といふ書き方』は、
① ∃ｘ｛少女ｘ＆∀ｙ（少年ｙ→愛ｙｘ）｝
② ∀ｙ｛少年ｙ→∃ｘ（少女ｘ＆愛ｙｘ）｝
といふ「述語論理式」を、表すことは、出来たとしても、例へば、
１（１）～Ｐ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ（選言導入の規則）
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４）～Ｐ→（Ｐ→Ｑ） １ＣＰ
（〃）Ｐでないならば（ＰならばＱである）。 １ＣＰ
といふ「命題論理」を、表すことが、出来ない。
従って、
（42）（43）により、
（44）
「命題論理」を「基礎」とし、その上に成立する「述語論理」を、『といふ書き方』に、「置き換へ」ることは、出来ない。
ｃｆ.
『といふ書き方』を書いたのは、おそらく、私が初めて（？）なので、『といふ書き方』には、「正式な名前」は無いものと、思はれます。